Chapitre II : Géométrie dans l Espace (Couche n 2)

Transcription

1 hapitre II : Géométrie dans l space (ouche n 2) I. Représentations planes de solides de l espace 1. Représentation en perspective a) La perspective des peintres Les peintres utilisent une méthode de perspective très efficace car elle donne des résultats extrêmement réalistes. lle consiste à se donner tout d abord une ligne d horizon. Toutes les droites qui ont dans la réalité la même direction, concourent sur le dessin en un même point de cette ligne d horizon (c est le point de fuite). ans les plans parallèles au plan de la feuille par contre, les proportions sont respectées. nfin, on ne représente pas les arêtes cachées des solides. Le désavantage majeur de cette perspective est qu elle ne conserve ni le parallélisme, ni les milieux. est gênant pour faire de la géométrie! b) La perspective cavalière est la perspective des géomètres car elle permet de conserver le parallélisme et les milieux. omme la perspective des peintres, les proportions sont respectées dans tous les plans parallèles à celui de la feuille. es plans sont appelés plans frontaux ou plan de face. Voici les différences : Les droites parallèles dans la réalité le sont sur le dessin. Les perpendiculaires au plan de la feuille sont représentées avec un angle non droit (souvent 45 ). Sur ces perpendiculaires, les longueurs sont multipliées par un coefficient positif (souvent 1 ). 2 Les arêtes cachées sont dessinées en pointillés. Le désavantage de cette perspective est qu elle n est pas réaliste : elle ne tient notamment pas compte de la profondeur. essinez les solides suivants en perspective cavalière. Rappelez leur volume. - un cône - un tétraèdre - une pyramide à base carrée - un cylindre - une sphère - un prisme à base triangulaire est un prisme droit à base triangulaire. Voici la représentation en perspective cavalière proposée par un élève. Trouvez les erreurs qu elle comporte. I K 2. Représentation en patron a) éfinition du patron d un solide Le patron d un solide est obtenu en plaçant toutes ses faces dans un même plan. Remarques : Un même solide peut avoir plusieurs patrons, non superposables. Tous les solides n ont pas forcément un patron. (contre-exemple : la sphère) b) onstruction du patron d un solide iche 1 p 170 hapitre 2 : Géométrie dans l space 1/5 2 nde Ozar Hatorah

2 II. roites et plans de l espace 1. xiomes de la géométrie plane qui restent vrais dans l espace a) eux points pour une droite ar deux points distincts, et, passe une unique droite. On la note ()..... b) xiome d uclide On ne peut mener qu une unique droite parallèle à une droite donnée par un point extérieur à cette droite.. 2. xiomes spécifiques à la géométrie dans l espace a) Trois points pour un plan ar trois points non alignés,, et, passe un unique plan. On le note () b) roite incluse dans un plan Si un plan contient deux points et, alors il contient tous les points de la droite () Trois caractérisations d un plan a) eux droites sécantes eux droites sécantes définissent un unique plan. b) Une droite et un point extérieur Une droite et un point n appartenant pas à cette droite, définissent un unique plan... c) eux droites strictement parallèles eux droites strictement parallèles définissent un unique plan. Soit GH un parallélépipède rectangle. Les droites () et () définissent-elles un unique plan? H G hapitre 2 : Géométrie dans l space 2/5 2 nde Ozar Hatorah

3 4. Règles d incidences iche 2 p 171 a) ositions relatives de deux droites Non coplanaires Sécantes oplanaires onfondues arallèles. ucun point commun = Un unique point commun = Tous les points en commun = ucun point commun = Soit un tétraèdre, I et K les milieux respectifs des segments [] et []. tudier la position relative des droites () et () d une part, et () et (IK) d autre part. b) ositions relatives de deux plans iche 5 p 175 Sécants onfondus arallèles Une droite de points communs = Tous les points en communs = ucun point commun = Remarque : Toute droite de l espace peut être considérée comme l intersection de deux plans distincts. ette caractérisation n est pas unique. Soit un tétraèdre et un point de la face. La droite () coupe le plan () en N. émontrez que les points, et N sont alignés. c) ositions relatives d une droite et d un plan Sécants arallèles roite incluse dans le plan. Un unique point commun = Tous les points en communs = ucun point commun = hapitre 2 : Géométrie dans l space 3/5 2 nde Ozar Hatorah

4 Remarque : Une intersection de deux ensembles étant toujours un ensemble (potentiellement vide), la rigueur mathématique voudrait que l on note = {} au lieu de =. ans le cadre de ce chapitre, et pour ce cas bien précis, nous nous affranchirons des accolades afin de gagner en clarté. On considère le tétraèdre ci-dessous. Les points I, J, K et L sont respectivement sur les arêtes [], [], [] et [], de sorte que (IJ)//(). ompléter les K par «parallèles», «sécant(e)s», «non coplanaires», ou «confondu(e)s» : Les droites (IJ) et () sont K Les droites (IJ) et (L) sont K Les droites (IJ) et () sont K Les droites (IJ) et (KL) sont K. J I. Les droites (IK) et () sont K La droite (IJ) et le plan (KL) sont K. L Les plans () et (LK) sont K K. Les plans () et (IJ) sont K III. arallélisme dans l espace 1) éfinition et transitivité du parallélisme iche 4 p 173 a) roite parallèle à un plan On dit qu une droite est parallèle à un plan lorsqu il existe une droite du plan telle que //. b) lans parallèles On dit que deux plans sont parallèles entre eux lorsqu il existe deux droites sécantes (ou parallèles) du premier qui sont toutes les deux parallèles au second. c) Transitivité du parallélisme Soient,, des droites et,, des plans : Si // et //, alors // Si // et //, alors // Si // et //, alors // Si // et, alors // Remarques : La transitivité du parallélisme permet de noter // // (signification : //, // et // ) e n est pas parce que deux droites sont parallèles que les plans qui les contiennent le sont! est un tétraèdre. est un point de [] et N est un point de [] tels que (N) // (). est un point de [] tel que (N) // (). 1) émontrez que (N) et () sont parallèles. 2) émontrez que () et () sont parallèles. N hapitre 2 : Géométrie dans l space 4/5 2 nde Ozar Hatorah

5 2) arallélisme et intersections iche 4 p 173 a) arallélisme et intersection Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l une coupe l autre. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite qui coupe l un coupe l autre. Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles. GH est un cube. est un point de l arête []. Le plan (G) coupe la droite () en N. 1) émontrez que les droites (N) et (G) sont parallèles. 2) onstruisez le point N H G b) Le théorème «du toit» Si deux droites et sont parallèles, alors les plans sécants les contenants ont pour intersection une droite parallèle à et. S Soit S une pyramide non aplatie de base. Les points, N et tels que : [S] N [S] []. nfin : (N)//() et le plan (N) coupe () en R. émontrez que les droites (N), (R) et () sont parallèles. N R *** hapitre 2 : Géométrie dans l space 5/5 2 nde Ozar Hatorah