physique année scolaire

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1 Enoncé du DS commun de physique n 4 - Mécanique des uides Ce problème porte sur quelques éléments d'un réseau d'eau cf. gure, les trois parties distribution d'eau par des conduites, débitmètre pour eau usées et désablage étant indépendantes. Un formulaire se trouve en n de sujet. Figure Cycle de l'eau domestique spé P C, P C et P C 2 page n Janson de Sailly

2 I- Pertes de charge dans les conduites On considère dans toute cette partie des conduites rectilignes d'ae Oz à section circulaire S constante de diamètre D. Dans un repère cylindrique d'ae Oz, le champ des vitesses s'eprime sous la forme vr, θ, z, t. On dénit Q le débit volumique total de la conduite et U = Q S est la vitesse moyenne. Dans une telle conduite cylindrique, on admet que la transition du régime laminaire au régime turbulent se situe au alentours de nombres de Reynolds de 2300 dans l'epression du nombre de Reynolds, on choisira respectivement U et D comme ordres de grandeur de la vitesse du uide et de la dimension transversale de l'écoulement. On dénit une hauteur H appelée hauteur manométrique ou charge totale : H = h 0 + p ρg + v2 2 g où h 0 est l'altitude, p la pression et v la vitesse du uide au point considéré, ρ sa masse volumique et g l'accélération de la pesanteur g = 9, 8 m s 2. Pour un écoulement de A à B, la quantité H = HA HB positive ou nulle s'appelle la perte de charge. De même, on introduit le coecient de Coriolis : α = U 3 v 3 r ds S section et on admet que la charge moyenne H = section H dq Q s'écrit H = h 0 + p 2 ρg + αu 2g La rugosité absolue ε a la dimension d'une hauteur. Elle donne une idée de la hauteur moyenne des aspérités de la surface intérieure de la conduite : par eemple, pour des conduites métalliques rivetées, la rugosité prend en compte le nombre et l'écartement des les longitudinales et transversales de rivets sur le revêtement. La perte de charge régulière moyenne, pour un écoulement incompressible dans une conduite circulaire rectiligne de longueur L et de diamètre D, est donnée par H l = f R e, ε L U 2 D D 2 g dénissant ainsi le coecient de perte de charge f R e, ε/d qui dépend du nombre de Reynolds R e, et par conséquent du régime d'écoulement, et de la rugosité relative ε/d de la conduite. La valeur numérique de ce coecient de perte de charge est donnée par le diagramme de Moody cf. gure précédente, en fonction du nombre de Reynolds, pour diérentes valeurs de la rugosité relative ε/d lue à droite du graphe. I.A - Fluide parfait en écoulement homogène incompressible laminaire On suppose que l'écoulement est parfait, unidimensionnel et stationnaire..a Rappeler les dénitions d'un écoulement parfait de uide et d'un écoulement stationnaire..b On admettant que l'énergie interne massique d'un uide parfait ne varie pas, retrouver la relation de Bernoulli à partir du premier principe de la thermodynamique eprimé relativement à un système ouvert à dénir en régime permanent..c Quelle est alors la perte de charge si la relation de Bernoulli est vériée?.d Que vaut le coecient α? 2 On s'intéresse au limites du modèle du uide parfait. 2.a Dans le cas de l'écoulement laminaire d'un uide réel, dans quelles zones le modèle d'un écoulement parfait est-il inadapté? On prend maintenant en compte la viscosité du uide, et on dénit la densité massique de force de viscosité f visc = ν v où ν = η ρ est la viscosité cinématique. 2.b Montrer que la perte de charge par unité de longueur est H z strictement positive? = ν g v z. Pourquoi est-elle spé P C, P C et P C 2 page n 2 Janson de Sailly

3 I.B - Fluide visqueu homogène incompressible en régime laminaire : écoulement de Poiseuille On étudie le cas particulier de l'écoulement laminaire d'un uide visqueu incompressible de Poiseuille. Compte tenu des symétries du problème, le champ des vitesses s'eprime sous la forme vm = v z r, z e z. On suppose la perte de charge linéique uniforme tout au long de la conduite et on note H z = a avec a > 0. 3 Etude du champ de vitesse de l'écoulement de Poiseuille. 3.a Montrer que la projection de la vitesse v z r, z ne dépend pas de z. 2 3.b Montrer que v z r = v ma. On eprimera v ma en fonction de ρ, g, a, η et D. r D 2 3.c Eprimer débit volumique Q de uide dans la conduite en fonction de v ma et de D. 3.d En déduire la vitesse moyenne U en fonction de v ma. 4 Propriétés de l'écoulement de Poiseuille. 4.a Quelle est la perte de charge linéique? 4.b Que vaut le coecient α? 4.c Montrer que f R e, ε D = β, où β est une constante numérique sans dimension, qu'on donnera. R e Vérier sur le diagramme de Moody que c'est bien cohérent. 4.d Le coecient de perte de charge ainsi obtenu dépend-il de la rugosité? Pourquoi? I.C - Fluide visqueu homogène incompressible en régime turbulent 5 Comportement de l'écoulement turbulent Dans le cas de régimes turbulents courants, les valeurs du coecient α oscillent entre,05 et,20. 5.a De quel type d'écoulement déjà étudié se rapproche donc l'écoulement turbulent? 5.b Justier ce qui précède grâce à une étude portant sur le nombre de Reynolds. I.D - Application à un cas concret. Pour relier la station de pompage au château d'eau qui se trouve à une altitude 00 m plus élevée, on installe une conduite en fonte de diamètre D = 20 cm, de longueur L = 8, 345 km. Dans les conditions nominales de fonctionnement, cette conduite débite Q = 30 L s d'eau η =, Pa s et ρ =, kg m 3. 6 Calculer le nombre de Reynolds de l'écoulement. Conclure. La rugosité de la conduite en fonte dépend de son état de surface, selon qu'elle est neuve ou plus ou moins corrodée. 7 En utilisant l'abaque de Moody, évaluer la perte de charge régulière moyenne H l et en déduire la surpression nécessaire p pour le transport de l'eau dans cette conduite si cette dernière est : 7.a en fonte neuve ε = 0, 4 mm ; 7.b en fonte corrodée ε 2 =, 2 mm ; 7.c en fonte déposée ε 3 =, 6 mm. spé P C, P C et P C 2 page n 3 Janson de Sailly

4 II- Débitmètres pour eau usées L'encombrement des eau d'égout par des débris solides interdit l'usage de débitmètres comportant des parties mobiles immergées dans le uide. La mesure du débit en diérents points de la station, pratiquée à des ns de surveillance, doit pouvoir être eectuée soit en canalisation fermée, la conduite étant alors remplie d'eau sous pression, soit en canalisation ouverte, la surface libre du liquide étant alors à la pression atmosphérique. II.A - Déversoir à seuil mince en canal ouvert 8 On considère un canal à fond plat dans lequel circulent les eau usées, assimilées à un uide parfait dont l'écoulement est irrotationnel et stationnaire. Loin en amont du déversoir, on note v = vm = v u la vitesse du uide et h la profondeur d'eau. Le déversoir à seuil mince consiste en une plaque métallique étroite, de hauteur H appelée pelle voir gure 2. L'ensemble a une largeur B suivant u y. On note = g u z l'accélération de la pesanteur. On fait de plus les hypothèses suivantes les lignes de courant du uide sont supposées horizontales dans la section verticale au dessus de la pelle : v 2 = vm 2 = v 2 z u ; la pression au sein du uide au dessus de la pelle est assimilée à la pression atmosphérique P 0 ; h H H. Sonde ultrasonore air P 0 h s M v y z M 2 v 2 z z h v eau H pelle Figure 2 Déversoir en canal ouvert vue de côté 8.a Montrer que v 2,ma v, où v 2,ma est la valeur maimale de v 2 z. On supposera par la suite que z, v 2 z v. 8.b En appliquant le théorème de Bernoulli à une ligne de courant à la surface de l'eau, trouver une relation entre v et v 2 z = h H. 8.c Eprimer la vitesse v 2 z au point M 2 en fonction de g, h, H et z. 8.d En déduire que le débit volumique Q peut s'écrire sous la forme Q = Ah H 3/2 où A est une constante que l'on eprimera en fonction de B et g. 9 En amont, une sonde utilisant des ondes ultrasonores, émet une impulsion, puis mesure le décalage temporel t de l'impulsion rééchie par la surface des eau. 9.a Eprimer h en fonction de la hauteur h s à laquelle est ée la sonde, de la vitesse c des ondes ultrasonores dans l'air et de t. 9.b Pourquoi ce type de sonde permet-il d'avoir accès au débit? 9.c En quoi son utilisation avec des eau très chargées en mousses peut s'avérer problématique? spé P C, P C et P C 2 page n 4 Janson de Sailly

5 II.B - Jaugeur Venturi en canal ouvert a Préliminaire : écoulement uvial ou torrentiel Soit de l'eau assimilée à un liquide parfait en écoulement stationnaire et irrotationnel dans un canal à fond plat de largeur B. On note h la hauteur d'eau dans le canal et v = v u la vitesse du uide, uniforme sur une section voir gure 3. La surface libre est à la pression atmosphérique P 0. air P 0 v eau h Figure 3 Modèle d'écoulement dans un canal plat 0 On appelle charge spécique la grandeur H = h + v2 2g. 0.a Montrer que H ne dépend en fait pas de pour l'écoulement considéré. 0.b Eprimer H en fonction de h et du débit volumique Q. 0.c Tracer l'allure de Hh. 0.d En déduire que pour un débit volumique et une charge spécique és, il eiste en général deu hauteurs h et h possibles pour l'écoulement, avec h > h. La solution h, v est appelée régime torrentiel et la solution h, v régime uvial..a Justier ces appellations..b Indiquer la zone correspondant à chaque régime sur le tracé de Hh. 2 À débit é, les valeurs h c et v c minimisent la charge spécique. La solution h c, v c correspond au régime critique. 2.a Déterminer les valeurs h c et v c, en fonction de Q et des données. 2.b Eprimer la charge spécique critique H c en fonction de h c. 2.c Pourquoi observe-t-on fréquemment des ondulations importantes de la surface libre au voisinage du régime critique? 3 On se place à charge spécique ée. 3.a Eprimer Qh. 3.b Tracer l'allure de Qh. 3.c Pour quelle valeur de h le débit est-il maimal? 3.d Identier les zones d'écoulement uvial et torrentiel sur le graphe. spé P C, P C et P C 2 page n 5 Janson de Sailly

6 II.C - Jaugeur Venturi Un débitmètre à jaugeur Venturi est constitué d'un canal d'approche à fond plat de largeur B constante et de longueur au moins égale à 0 B, suivie d'un canal de mesure dans lequel le uide traverse un convergent, un canal droit de largeur b, puis un divergent voir gure 4. Deu sondes ultrasonores à la verticale des points I et J mesurent les hauteurs d'eau h et h 2. On note v = v u et v 2 = v 2 u les vitesses du uide respectivement en amont du Venturi et dans le canal de largeur b. Les vitesses sont supposées uniformes sur une section droite. v 2 b B I J v α β Figure 4 Vue de dessus d'un jaugeur Venturi Dans le cas d'un jaugeur Venturi noyé, le régime d'écoulement demeure uvial. Dans le cas d'un jaugeur Venturi dénoyé, le régime d'écoulement, uvial en amont, devient progressivement torrentiel entre les sections α et β, en passant par le régime critique, avant de brutalement redevenir uvial dans le divergent du Venturi, avec présence d'un ressaut hydraulique. On pourra négliger la variation de la charge spécique H lors du passage par le convergent. 4 Généralités sur le débit 4.a Écrire le débit volumique Q en fonction de v, B, h. 4.b Puis le réécrire en fonction de v 2, b, h 2. 5 Cas du jaugeur noyé La vitesse v 2 est alors uniforme dans tout le canal droit v 2 = v 2. 5.a Grâce au résultats des questions précédentes, tracer sur le même graphe l'allure des fonctions qui relient la charge spécique à la hauteur d'eau h, respectivement H B h dans le canal de largeur B et H b h dans le canal de largeur b < B. 5.b Indiquer sur ce graphe la transformation 2 subie par le uide au passage par le convergent. En déduire le signe de h 2 h, puis justier celui de v 2 v. 5.c En supposant v 2 v, eprimer v 2 en fonction de g, b, h et h 2. 5.d Montrer que la mesure de h et h 2 permet donc d'avoir accès au débit. 6 Cas du jaugeur dénoyé 6.a On suppose l'écoulement assez lent en amont, de sorte que l'on pourra considérer que v 2gh. Eprimer alors H en fonction de h. 6.b Il eiste un régime critique en un point du canal de largeur b. Eprimer alors h c en fonction de Q, g et b. 6.c En déduire que le débit Q est alors uniquement relié à b et à la hauteur d'eau en amont h par la relation Q 0, 544 b g h 3/2. 6.d Dimensionner le jaugeur Venturi en calculant la valeur numérique de b pour h = 50 cm et Q = 000m 3 h. La norme ISO4359 précise que les largeurs b utilisées doivent rester supérieures à 0 cm, quel eet risquerait de fausser la mesure sinon? 7 Comparaison des deu dispositifs. 7.a Quelles sont les principales sources d'incertitudes dans les deu dispositifs : jaugeur dénoyé plutôt qu'un jaugeur noyé? 7.b Quel avantage y a-t-il à utiliser un jaugeur dénoyé plutôt qu'un jaugeur noyé? spé P C, P C et P C 2 page n 6 Janson de Sailly

7 III- Dessablage - Déshuilage III.A - Sédimentation On étudie dans cette partie la sédimentation ou, au contraire, la remontée à la surface de particules dans le bac de pré-traitement des eau usées dessablage - déshuilage, l'euent ayant déjà traversé à l'entrée de la station d'épuration une grille qui retient les déchets solides les plus volumineu dégrillage. On modélise l'une de ces particules par une sphère homogène de masse volumique ρ s et de rayon r. On note d = ρ s /ρ e sa densité, où ρ e est la masse volumique de l'eau. La vitesse de la bille sphérique est v = vt u z. z H eau v O Figure 5 Particule sphérique plongée dans l'eau 8 On suppose que la force de traînée F t s'écrit sous la forme d'une force de Stokes : F t = 6πηr v où η est la viscosité dynamique de l'eau. 8.a Eectuer un bilan des forces s'eerçant sur la bille dans le référentiel du uide au repos supposé galiléen. 8.b Déterminer la vitesse limite de chute v l de la bille en fonction de r, d, g et ν = η/ρ e, viscosité cinématique de l'eau. À quelle condition y aura-t-il sédimentation, ou remontée en surface? 8.c Eprimer le nombre de Reynolds Re caractéristique de l'écoulement autour de la bille en fonction des paramètres introduits. Sable grossier Sable n Limon Argile Colloïde Rayon r mm 00 µm 0 µm µm 0, µm Table Taille typique de diérentes particules 9 On prendra ν =, m 2 s et d = 2, 65 densité du quartz. Pour les diérentes particules proposées dans le tableau on présentera les résultats sous la forme d'un tableau : 9.a Calculer la vitesse limite v l. 9.b Calculer le temps t c nécessaire pour parcourir une hauteur H 0 = 2 m, en supposant que la vitesse limite est immédiatement atteinte. 9.c Calculer le nombre de Reynolds Re caractéristique de l'écoulement autour de la bille. 20 Utilisation des résultats. 20.a Sachant que l'epression de la force de traînée introduite précédemment peut être utilisée pour Re 5, commenter les résultats de la question précédente. 20.b Le temps de chute t c des particules ne peut dépasser 2 heures, an d'éviter la remontée de sédiments provoquée par la sédimentation des boues. En déduire la taille minimale r min des particules solides éliminées dans le dessableur. spé P C, P C et P C 2 page n 7 Janson de Sailly

8 III.B - Dimensionnement du dessableur Le débit à traiter est Q = 20 L s, soit environ 700 m 3 par jour. Le dessableur longitudinal est un bac de profondeur H 0 = 2, 0 m, de longueur L et de largeur l = L/6. Les eau usées traversent le bac dessableur avec une vitesse v eau = v eau u. 2 On se place en régime permanent. z L H 0 v eau l O Figure 6 Vue de prol d'un bac dessableur 2.a Déterminer v eau en fonction de Q, L et H 0. 2.b Quelle est la forme de la trajectoire des particules solides dans le référentiel du sol? 2.c Estimer le temps t mis par l'eau, support des particules, pour traverser le dessableur. 2.d Déterminer numériquement la longueur minimale L min du bac dessableur pour que toutes les particules de rayon supérieur à r min sédimentent. FIN spé P C, P C et P C 2 page n 8 Janson de Sailly

9 Formulaire d'analyse vectorielle Coordonnées cartésiennes cylindriques sphériques u u 2 u 3 s s 2 s 3 µ µ 2 µ 3 u u y u z y z u r u θ u z r θ z r u r u θ u ϕ r θ ϕ r r. sin θ A div = f = µ.µ 2.µ 3 A rot = µ.µ 2.µ 3 [ s grad f = µ2.µ 3 µ s µ s µ 2 s 2 µ 3 s 3 [ ] µ3.a 3 µ 2.µ 3 s 2 µ2.a2 s 3 [ µ.a µ 3.µ s 3 µ3.a3 [ µ2.a 2 µ.µ 2 s s ] ] µ.a s 2 µ2.µ 3.A + µ 3.µ.A 2 + µ.µ 2.A 3 s s 2 s 3 + µ3.µ + µ.µ 2 s 2 µ 2 s 2 s 3 µ 3 s 3 A = A A y A z U + V = U + V A + B = A + B A + B = A + B U = 0. A = 0. U = 2 U A =.. A 2. A U.V = U.V + U. V U. A = U. A + U. A U. A = U A + U. A A. B = A. B A. B A B =. B. A. A. B B +. A.. B = A B + A. B A +. B + f. dl = d 2 S grad f f. d 2 S = grad f.d 3 τ et et. A. A. B B.. A A. A dl = rot. d 2 S A. d 2 S = d 2 S A A = rot.d 3 τ A div.d 3 τ ] spé P C, P C et P C 2 page n 9 Janson de Sailly