Introduction aux modèles financiers

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1 Notes pour le module spécifique Introduction aux modèles financiers Ecole Centrale de Lyon Option Mathématiques 1

2 2 Introduction Quelques références Pour comprendre les marchés financiers, avoir un apreçu historique de la finance mathématique et de la théorie des probabilités appliquées à la finance, etc... Nicolas Bouleau : Martingales et Marchés financiers, Odile Jacob Pour une introduction claire et self-contained aux outils probabilistes et aux problèmes de base de la finance : Damien Lamberton et Bernard Lapeyre : Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Ellipses Rose-Anne Dana et Monique Jeanblanc-Picqué : Marchés financiers en temps continu, Valorisation et équilibre, 2nde édition, Coll. Recherche en Gestion, Economica 1998.

3 3 Première partie : Modèles discrets Dans ces modèles, le marché financier est supposé n avoir qu un nombre fini d états possibles. 1. Modèle probabiliste du marché financier 1.1. Etats du monde. Espace probabilisé. On note Ω l ensemble fini des états possibles du marché sur une période de temps donnée. Autrement dit, chaque élément ω Ω décrit l état du marché au cours de cette période de temps. On munit Ω de la tribu F = P(Ω) et d une probabilité P et l on suppose que, pour tout ω Ω, P [{ω}] > 0. Le marché est observé à N + 1 (N 1) dates fixées notées 0,..., N et l information sur le marché à la date n {0,..., N} est contenue dans la sous-tribu F n de F, la suite (F n ) n=0..n constituant ainsi une filtration de F. Dans la suite, on supposera que F 0 = {, Ω} et F N = F Actifs financiers et prix. Le marché est constitué de d + 1 actifs (d 1), dont les prix en euros à la date n {0,..., N} sont donnés par le vecteur aléatoire S n = (S 0 n,..., S d n) de R d+1 que l on suppose mesurable par rapport à F n et de composantes strictement positives. Le processus (S n ) n=0..n est donc adapté à la filtration (F n ) n=0..n. Remarque 1.1. Avec l hypothèse sur F 0, le vecteur S 0 est déterministe, autrement dit, la valeur de ce vecteur est connue. L actif 0 est un actif sans risque (S 0 n est constant, ou déterministe, pour tout n). On supposera toujours S 0 0 = 1. La quantité 1/S 0 n s appelle le coefficient d actualisation de la date n à la date 0, c est-à-dire le montant qu il faut investir dans l actif sans risque à la date 0 pour posséder un euro à la date n. Si S est un montant en euros à la date n, le montant actualisé sera noté S = S/S 0 n. Les actifs 1 à d sont des actifs à risque, c est-à-dire que leurs prix sont des variables aléatoires Stratégies et portefeuilles. Une stratégie est une suite φ = (φ n ) n=0..n de R d+1 de portefeuilles détenus par un opérateur donné sur le marché aux différentes dates (φ i n est la quantité d actif i détenue à la date n). Il est naturel de supposer que non seulement c est un processus adapté à la filtration mais qu en outre le portefeuille conçu au vu des informations accessibles à la date n 1, et donc qui sera appliqué à la date n, ne dépende que de ces informations. On imposera donc une condition de de mesurabilité supplémentaire aux stratégies. Définition 1.1. Etant donnés un espace mesurable (Ω, F) et une filtration (F n ) n 0, un processus (X n ) n 1 est dit prévisible si, pour tout n 1, X n est F n 1 -mesurable. Définition 1.2. Une stratégie est un processus (φ n ) n=0..n de R d+1 adapté et prévisible.

4 4 On ne fait aucune hypothèse sur le signe des composantes du portefeuille à la date n : lorsque φ 0 n < 0 on considère que l on a emprunté de l argent dans l actif sans risque (l argent est placé si φ 0 n > 0) ; et si φ i n < 0, c est qu on a vendu l actif i à découvert (position courte, par opposition à une position longue lorsque l on détient cet actif et que φ i n > 0). En revanche, on supposera que l on ne possède pas d autre revenu et que l on ne consomme pas. Autrement dit, il n y a ni apport ni retrait de fonds entre deux dates successives. Précisons cela avec quelques définitions supplémentaires. Définition 1.3. La valeur du portefeuille à la date n est donnée par d V n (φ) = S n φ n = Snφ i i n. S il n y a pas d apport ni de retrait de fonds, c est que la somme disponible à toute date doit permettre de constituer le portefeuille qui sera appliqué à la date suivante : Définition 1.4. Une stratégie autofinancée est une stratégie (φ n ) n=0..n telle que, pour tout n {1,..., N}, i=0 (1) φ n S n 1 = φ n 1 S n 1. L autofinancement est une hypothèse sous laquelle nous travaillerons toujours dans ce cours (mais certains modèles ne se placent pas dans ce cadre) et sous laquelle on peut calculer différemment la valeur ou la valeur actualisée d un portefeuille. Remarque 1.2. La valeur actualisée du portefeuille au temps n est donnée par Ṽ n (φ) = S n φ n. Proposition 1.1. Soit φ = (φ n ) n=0..n une stratégie. Les propositions suivantes sont équivalentes : (a) φ est autofinancée. (b) La variation du portefeuille observée entre deux dates consécutives n est due qu à la variation des cours entre ces deux dates : pour tout n {1,..., N}, (c) Pour tout n {1,..., N}, V n (φ) V n 1 (φ) = φ n (S n S n 1 ). V n (φ) = V 0 (φ) + (d) Pour tout n {1,..., N}, Ṽ n (φ) = V 0 (φ) + n φ k (S k S k 1 ). k=1 n φ k ( S k S k 1 ). k=1 Démonstration : Pour tout n {1,..., N}, on a V n (φ) V n 1 (φ) = φ n (S n S n 1 ) + φ n S n 1 φ n 1 S n 1, par conséquent l équivalence entre (a) et (b) est immédiate. De plus n V n (φ) = V 0 (φ) + (V k (φ) V k 1 (φ)), k=1

5 5 donc (b) implique (c) et, finalement, (c) implique (b) par un calcul direct. Enfin, grâce à la Remarque 1.2 et en remarquant que (a) équivaut à φ n S n 1 = φ n 1 S n 1 pour tout n, on voit que (b) est équivalent à : pour tout n {1,..., N}, Ṽ n (φ) Ṽn 1(φ) = φ n ( S n S n 1 ). En procédant comme ci-dessus, on montre que ceci est équivalent à (d). Corollaire 1.1. La valeur actualisée d une stratégie autofinancée ne dépend que de la valeur initiale du portefeuille et des quantités d actifs à risque détenues à tout instant. Démonstration : En effet, d après la proposition précédente, la valeur actualisée d un portefeuille constitué à l aide d une stratégie autofinancée à la date n est n d Ṽ n (φ) = V 0 (φ) + φ i k ( S k i S k 1). i k=1 i=0 Il suffit de remarquer alors que S 0 n = 1 pour tout n. Proposition 1.2. Soit ((φ 1 n,..., φ d n)) n=0..n un processus prévisible et soit V 0 une variable aléatoire réelle F 0 -mesurable. Il existe une unique stratégie sur l actif sans risque (φ 0 n) n=0..n telle que φ = (φ n ) n=0..n soit une stratégie autofinancée de valeur initiale V 0. Démonstration : La donnée de φ 0 0 F 0 -mesurable est uniquement déterminée par la relation d V 0 (φ) = φ i 0S0 i = V 0. i=0 De plus, la relation d autofinancement (1) donne, par récurrence, φ 0 n de façon unique en fonction de (φ 1 n,..., φ d n), φ n 1 et S n 1, par conséquent, φ 0 est déterminée de façon unique pour que φ soit une stratégie autofinancée, et φ 0 est bien un processus prévisible.

6 6 Le modèle de Cox, Ross et Rubinstein I Nous allons étudier, sous forme de problème, un modèle à deux actifs et N + 1 dates. Il s agit de calculer le prix de calls (ou de puts) européen et américain et de donner le portefeuille de couverture du vendeur de l option. Les données du problème sont les suivantes : L actif sans risque (S 0 n) n=0..n est un placement dont le taux d intérêt (le rendement) entre deux dates est r ]0, 1[ et S 0 0 = 1. Le cours de l actif risqué (S n ) n=1..n est défini de la façon suivante : S 0 > 0 est donné et, si le cours à la date n {0,..., N 1} est S n, le cours à la date n + 1, S n+1, est soit (1 + a)s n soit (1 + b)s n, ces deux éventualités ayant lieu avec probabilité non nulle, en supposant 1 < a < b < 1 et indépendamment de la valeur de S k, pour k {0,..., n}. (1) Calculer S 0 n pour tout n {0,..., N}. (2) Proposer une modélisation probabiliste, c est-à-dire un espace probabilisé filtré (Ω, F, (F n ) n=0..n, P), de l évolution des cours.

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