NOUVELLES APPROCHES DE MODELISATION NON LINEAIRE DES STRUCTURES EN BETON ARME

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1 SBEIDCO st International Conference on Sustainable Built Environment Infrastructures in Developing Countries ENSET Oran (Algeria) - October -, 9 NOUVELLES APPROCHES DE MODELISATION NON LINEAIRE DES STRUCTURES EN BETON ARME M. Mekki, SM. Elachachi, M. Zoutat T. RESUME Le calcul des structures en béton armé soumises à des actions sismiques fortes est généralement basé sur l acceptation de leur comportement dans le domaine non linéaire. Les incertitudes et les difficultés du calcul post élastique conduisent souvent à se contenter en pratique de méthodes simples préconisées par les règlements parasismiques, dans lesquels l aspect non linéaire n est pris en compte qu à travers un coefficient désigné par coefficient de comportement. La bonne compréhension du comportement sismique des structures à travers des modèles non linéaires sur la base de lois simplifiées reliant une déformation à son effort associé d une part et d autre part le développement de nouvelles méthodes non linéaires ont permis la formulation du facteur de réduction, facteur responsable de la réduction de l effort sismique. Le présent article met le point sur un modèle numérique développé qui permet d'effectuer une analyse itérative pour aboutir à la valeur du facteur R pour une ductilité spécifiée ainsi que les diverses formulations de ce facteur qui ont été proposées par différents chercheurs dans le but d obtenir ce facteur qui dépend de la ductilité et de la période. MOT CLES Analyse non linéaire, facteur de comportement, modèles de déformations, ductilité. Département Génie Civil, USTOMB Oran, Algérie, mekki_m@univ-usto.dz Département Génie Civil, USTOMB Oran, Algérie, sm_elachachi@yahoo.fr Département Génie Civil, USTOMB Oran, Algérie, z_marie@yahoo.fr T.Nouvelles approches de modélisation non linéaire des structures en béton armé, M. Mekki, SM. Elachachi, M. Zoutat 7

2 SBEIDCO st International Conference on Sustainable Built Environment Infrastructures in Developing Countries ENSET Oran (Algeria) - October -, 9. INTRODUCTION Le dimensionnement des structures de génie civil prend en compte de manière très approximative le comportement non linéaire de la structure par le biais d un coefficient appelé "coefficient de comportement". Les actions sismiques agissant sur une structure réelle sont déduites de celles appliquées sur la structure idéalement élastique associée en les divisant par ce coefficient R. La plupart des codes prennent en compte une valeur forfaitaire unique de ce facteur, dont la justification n'est pas toujours explicitée clairement. Le mauvais choix de la valeur de ce coefficient peut entraîner une mauvaise estimation de l'effort appliqué sur la structure et un danger pour sa stabilité. Mais en réalité le coefficient de comportement est une fonction complexe d un grand nombre de paramètres est dont l expression ne peut se résumé à une simple constante. L objectif consiste en une compréhension et une simulation numérique du comportement des structures en béton armé en tenant compte de plusieurs paramètres à savoir: le chargement sismique, la variation de l amortissement et de la modification de la distribution des forces sur la hauteur du bâtiment. Pour avoir des valeurs plus correctes du facteur R, un modèle numérique a été développé permettant d'effectuer une analyse itérative pour déterminer la valeur du facteur R pour une ductilité spécifiée. Une bonne compréhension du comportement sismique des structures à travers des modèles non linéaires permet d'estimer leurs réponses vis à vis d un chargement sismique sur la base des lois simplifiées reliant une déformation à son effort associé. Ceci permet d'établir des relations entre le déplacement du système et ses composantes à un état limite. Ces modèles de comportement doivent être capables de prendre en compte plusieurs phénomènes essentiels mis en jeu lors d'une sollicitation sismique telle que la fissuration du béton, abaissement de la rigidité et la dissipation d'énergie. La nécessité d'avoir un outil capable de reproduire le comportement d'une structure soumise à une action dynamique et plus particulièrement sismique, et pouvoir ainsi comparer l'apport dans la modélisation non linéaire des structures de Génie Civil et des nouvelles approches, ainsi q'une meilleure formulation de facteur de réduction suggéré par le RPA, ont constitué le moteur du travail présenté dans cet article.. DETERMINATION DU FACTEUR DE REDUCTION Les forces latérales déterminées à partir des règlements parasismiques sont généralement inférieures à celles exigées pour maintenir la structure dans le domaine élastique quand elle est soumise à un séisme fort voir figure, cette réduction est du fait de la prise en compte du facteur de réduction donnée par la relation (). [Chopra ] [Cloug et al. 99] [Davidovici 999] Coefficient de réduction : Fela (élastique µ ) R xela () Fy x y Ductilité : x max x max () Avec: F y : force à la limite élastique. F ela : force élastique. X ela : déplacement élastique. x y x R ela T.Nouvelles approches de modélisation non linéaire des structures en béton armé, M. Mekki, SM. Elachachi, M. Zoutat 7

3 SBEIDCO st International Conference on Sustainable Built Environment Infrastructures in Developing Countries ENSET Oran (Algeria) - October -, 9 X max : déplacement maximal. X y : déplacement à la limite élastique. F F ela F y x y x ela x max u Figure. Diagramme Force-déformation Avant que les méthodes non-linéaires ne soient développées, les codes parasismiques ne prenaient compte du comportement non-linéaire de la structure qu à travers certaines valeurs du facteur de comportement dont l utilisation était des fois mal justifiée, surtout pour des structures complexes contenant différents matériaux de construction et différents types de contreventement, c est pour cela, les auteurs ont beaucoup insisté sur le calcul du facteur de comportement en recommandant à l ingénieur d éviter d utiliser une valeur forfaitaire de ce coefficient. Afin de déterminer des valeurs plus correctes du facteur R, on a développé un modèle numérique permettant d'effectuer une analyse itérative qui a aboutis à la valeur du facteur R pour une ductilité spécifiée [Chopra ] en fonction de plusieurs paramètres à savoir: le chargement sismique et les caractéristiques dynamiques des structures (amortissement et la période fondamentale). L'organigramme présenté dans la figure, résume les étapes de résolution pour l'obtention d'un facteur de réduction correspondant à une ductilité donnée. Le langage utilisé pour le traitement des données est le langage MATLAB [Mokhtari et Mesbah 997]. Chargement sismique Amortissement ξ, Période fondamentale T n Déplacement élastique maximal Coefficient de comportement : R,R,,R n Modèle de déformation Ductilité : µ, µ,, µ n Facteur de comportement -Ductilité Figure. Procédure de determination du facteur de réduction en fonction de la ductilité T.Nouvelles approches de modélisation non linéaire des structures en béton armé, M. Mekki, SM. Elachachi, M. Zoutat 7

4 SBEIDCO st International Conference on Sustainable Built Environment Infrastructures in Developing Countries ENSET Oran (Algeria) - October -, 9 A partir des concepts de coefficient de réduction et de ductilité permettant de construire les spectres de réponses inélastiques et en utilisant les modèles de comportement acceptés actuellement par la communauté scientifique, à savoir ceux de : Takeda, Allahabadi et Powell, modèle Q de Saïdi et Sozen [Mehdi 98] [Takeda et al. 997], et à travers une procédure d intégration temporelle diversifiée (méthodes de Newmark, de Houbolt, de Park, de Wilson, ou de Collocation), un outil (logiciel) a été développé.. MODELE DE COMPORTEMENT DE LA STRUCTURE Les structures sujettes à des séismes sévères développent des déformations dépassant la limite élastique. Les déformations inélastiques dépendent de l intensité de l excitation sismique et des caractéristiques de chargement et déformation de la structure. Le modèle d'hystérésis force-déplacement de Takeda avec dégradation de la rigidité [Takeda et al. 997] est utilisé dans la modélisation de notre structure. Ce modèle a pour objectif principal de traduire la dissipation observée aux niveaux des boucles d'hystérésis formées par les grandeurs globales représentées par la relation entre l'éffort tranchant le déplacement des structures en béton armé. Ce modèle comprend une loi de chargement et de déchargement avec dégradation. le comportement dynamique de la structure est ainsi modélisé par un système à un seul degré de liberté représentant la structure complexe dissociée en éléments simples. L'équation du mouvement d'un tel système est donnée par la relation suivante: u F (u) s u x g (t) () M Avec: est l'amortissement du premier mode, est la pulsation du premier mode, M la masse généralisée du premier mode, F s (x) est la rigidité variable et est le facteur de participation modal. A ce titre, le comportement cyclique est défini par trois paramètres r, α et β, qui apportent beaucoup de souplesse pour la modélisation de comportements complexes. Comme on peut le voir sur la figure qui indique l'influence des ces trois paramètres sur le comportement non linéaire de la structure. a) b) c).... r = % r = % r = % =, =, =, =, =, =,.. F, [N/m]. F, [N/m] F, [N/m] u, [m] u, [m] u, [m] Figure. Modèle d'hystérésis de Takeda a) Influence du paramètre d écrouissage sur la courbe effort-déplacement; b) Influence du paramètre α sur la dégradation de la rigidité et c) Influence du paramètre β sur la dégradation de la résistance.. DIFFERENTES FORMULATIONS DE FACTEUR DE REDUCTION L utilisation de nouvelles méthodes permet de décrire le comportement réel de la structure, ce qui a abouti aux formulations du facteur de réduction sur la base d études statistiques qui ont pu donner des valeurs plus précises de ce facteur. T.Nouvelles approches de modélisation non linéaire des structures en béton armé, M. Mekki, SM. Elachachi, M. Zoutat 7

5 SBEIDCO st International Conference on Sustainable Built Environment Infrastructures in Developing Countries ENSET Oran (Algeria) - October -, 9 La détermination du facteur de réduction et qui dépend de la ductilité a fait l objet de plusieurs propositions du facteur R. Plusieurs formulations on été faites pour exprimer le facteur de réduction R. Les modèles de facteur de réduction s appliquent dans l approche du spectre élastique réduit équivalent. Ces modèles de facteurs de réductions présentées sont les facteurs de réductions pour les systèmes élastoplastiques de Newmark and Hall (98), de Krawinkler et Nassar (99), de Borzi et Elnashai (999), pour les systèmes élastoplastiques, bilinéaires avec dégradation des rigidités de Vidic, Fajfar et Fischinger[Fajfar 99] [Borzi et Elnashai ] [Nassar et Krawinkler 99] [Vidic et al. 99]. Les effets de site ou des conditions de sol sur les équations R --T n ont été étudiés par Miranda et Bertero [Miranda et Bertero 99]. D autres facteurs de réduction existent dans la littérature entre autre le modèle d Arias et Hidalgo. D autres modèles basées sur l hypothèse de l énergie équivalente d un comportement hystérétique, au lieu de la ductilité. Ces modèles s appliquent dans l approche du spectre élastique réduit équivalent. La figure présente quelques propositions de facteurs de réduction de différents auteurs: 7 µ = µ = µ = µ = µ = Rµ... T, [sec] a) Newmark et Hall (98).. µ = µ = µ = µ = µ = Rµ T, [sec] b) Hidalgo et Arias 7 µ = µ = µ = µ = µ = Rµ... T, [sec] c) Vidic, Fajfar et Fichinger Figure. Différentes propositions du facteur R. La théorie du facteur de ductilité qui est basée sur l hypothèse de l équivalence des déplacements maximums d un système à un seul degré de liberté à comportement inélastique et celui d un T.Nouvelles approches de modélisation non linéaire des structures en béton armé, M. Mekki, SM. Elachachi, M. Zoutat 7

6 SBEIDCO st International Conference on Sustainable Built Environment Infrastructures in Developing Countries ENSET Oran (Algeria) - October -, 9 oscillateur similaire à comportement élastique linéaire ; Conduit à la définition d un facteur de comportement R qui coïncide substantiellement avec la ductilité globale, à moins que, celle-ci ne soit pas limitée par les mécanismes de ruine locaux.. VARIATION DU FACTEUR DE COMPORTEMENT EN FONCTION DE LA DUCTILITE Les figures montrent la variation du facteur de comportement en fonction de la ductilité pour des valeurs constantes de la période déterminées à partir d une procédure itérative, elles sont tracées pour un amortissement =% ; r= ; = et =. Pour une valeur fixe de la ductilité, on tire la valeur du facteur de comportement correspondante qui va être utilisée pour l obtention des différentes réponses inélastiques en terme de déplacement, vitesse et accélération. Figure. Variation du facteur de comportement en fonction de la ductilité. VARIATION DU FACTEUR DE COMPORTEMENT EN FONCTION DE LA PERIODE Les figures suivantes présentent la variation du facteur de comportement en fonction de la période propre T pour différentes valeurs du facteur d'écrouissage r pour un amortissement =%. T.Nouvelles approches de modélisation non linéaire des structures en béton armé, M. Mekki, SM. Elachachi, M. Zoutat 7

7 SBEIDCO st International Conference on Sustainable Built Environment Infrastructures in Developing Countries ENSET Oran (Algeria) - October -, 9 7 =, r = % r = % r = % r = % r = 7% r = 9% = 7 r = % r = % r = % r = % r = 7% r = 9% R R... T [sec]... T [sec] Figure. Variation du facteur de comportement en fonction de la période L analyse des figures montre que le facteur de comportement prend la valeur de la ductilité quand l écrouissage augmente. Ceci est clairement illustré par les courbes de la figure pour lesquelles le facteur de comportement prend la même valeur que la ductilité pour un facteur d écrouissage de 9%. 8. CONCLUSION Dans le cas de sollicitation sismique de forte amplitude, il est nécessaire de réaliser une analyse non linéaire de la réponse de l ouvrage, car il n est pas réaliste de considérer que son comportement reste dans le domaine linéaire pour ce type de séisme. L étude de certains paramètres qui influencent le comportement non linéaire des structures nous a permis de tirer les conclusions suivantes : Le comportement sismique non linéaire des structures dépend essentiellement de leur ductilité. La ductilité d'une structure dépend de manière significative du taux d amortissement de cette structure. Dans les codes de calcul la non linéarité du comportement n est prise en compte qu à travers le coefficient de comportement. La détermination de ce facteur présente une certaine difficulté car dépendant de plusieurs paramètres (type de matériaux, types de contreventement,...). Toutefois un coefficient de comportement global est retenu dans le calcul classique. L observation qui peut être effectué concernant les codes est d acrédir l idée que la phase de calcul constitue la partie la plus importante dans la conception parasismique. Or, il suffit de réfléchir à la notion du facteur de comportement et à la manière dont ses valeurs sont estimées pour se rendre compte qu une telle idée est loin d être suffisante. Le calcul élastique avec l introduction du coefficient de comportement même s il constitue un progrès par rapport aux autres méthodes, reste un calcul approché et vise essentiellement a fournir une procédure de dimensionnement plutôt qu une image du comportement réel. REFERENCES Borzi B. et Elnashai A.. Refined force reduction factors for seismic design. Engineering structures, Vol., N, pp. -. T.Nouvelles approches de modélisation non linéaire des structures en béton armé, M. Mekki, SM. Elachachi, M. Zoutat 77

8 SBEIDCO st International Conference on Sustainable Built Environment Infrastructures in Developing Countries ENSET Oran (Algeria) - October -, 9 Chopra A.,. Dynamics of Structures: Theory and applications to earthquake engineering. ed. Prentice Hall, NJ. Clough R.W. et Penzien J. 99. Dynamics of structures. New-York, Second edition, Mc-Graw-Hill. Davidovici V La construction en zone Sismique. Groupe moniteur (Edition le moniteur), Paris. Fajfar P. 99. Design spectra for the new generation of codes. th earthquakes engineering, Vienna, Austria, 8/8-/9 99, Balkema. European conference on Mehdi S. 98. Hysteresis models for reinforced concrete. Journal of structural Division Proceedings of the American Society of Civil Engineers. vol. 8, pp Mekki M.. Détermination des spectres de réponse d une structure par diverses méthodes d intégration temporelle, Mémoire de Magister, Département de Génie Civil, USTOMB Oran, Algérie. Miranda E., Bertero V.V. 99. Evaluation of Strength Reduction Factors, Earthquake Spectra, Earthquake Engineering Research Institute, Vol., No., pp Mokhtari M. et Mesbah A Apprendre et maîtriser MATLAB. Verbag Berlin Heidelberg, Allemagne. Nassar, A., Krawinkler, H. 99. Seismic Demands for SDOF, Report N 9, The John A. Blume Earthquake Engrg. Center, Stanford University. Takeda T., Mete A., Sozen N. and Norby, N. 97. Reinforced concrete response earthquakes. Journal of structural Division, vol. 9, ST, pp Vidic T., Fajfar P.,Fischinger M. 99. Consistent Inelastic Design Spectra: Strength and Displacement, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol., pp. 7-. T.Nouvelles approches de modélisation non linéaire des structures en béton armé, M. Mekki, SM. Elachachi, M. Zoutat 78