Exercices induction électromagnétique

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1 Exercices induction électromagnétique 1 Approximation des régimes quasi stationnaires 1.1 Plaque de cuivre dans un champ magnétique variable Deux plans P et P parallèles au plan xoy et de cotes respectives suivant zz égales à +a/2 et a/2, délimitent une plaque de cuivre homogène, d épaisseur a, de perméabilité 0, de permittivité 0 et de conductivité. 1 ) Une source de champ magnétique uniforme et constant est placée au dessus de P. La présence de la plaque modifie-t-elle le champ magnétique? 2 ) La plaque est maintenant plongée dans un champ uniforme, mais alternatif avec. On supposera la fréquence suffisamment basse pour que le champ magnétique reste quasiment uniforme dans tout le conducteur. a) Montrer que l existence de ce champ magnétique implique l apparition d un champ électrique, et dans la plaque, d un courant de densité. b) Par des arguments de symétrie précis, monter que est colinéaire à avec. c) Par le calcul de circulation de sur un contour judicieusement choisi, déterminer. En déduire la densité de courant correspondante et tracer le graphe de la variation de l amplitude de cette densité en fonction de z. 3 ) On considère une portion de plaque limitée par un cylindre droit de génératrices parallèles à Oz, et dont les bases, situées dans les deux plans z = a/2 ont pour aire S. Soit = S a le volume de cette portion de plaque. Calculer la puissance p( ) dissipée en moyenne sur une période par effet joule dans le volume ainsi que la puissance volumique moyenne <p>. Exprimer <p> en fonction de, et B 0. 4 ) Un cube fait de plaque de cuivre isolées et empilées dans la direction z z peut être soumis à un champ magnétique ou. Dans quel cas la puissance volumique moyenne dissipée par les courants dans la plaque, appelés courants de Foucault, est-elle la plus grande? 1.2 Emission isotrope de charges Une bille métallique fixe de rayon a suffisamment faible par rapport aux autres dimensions pour que cette sphère soit confondue avec son centre O, initialement électriquement neutre, émet des électrons de manière isotrope à partir de l'instant t = 0 : le nombre d'électrons émis par unité de temps est une constante et les électrons sont émis avec un vecteur vitesse v v0u r où v 0 est une constante. On néglige les forces électromagnétiques subies par les électrons (approximation d'ordre le plus bas). 1 ) Déterminer la densité volumique de charges (r,t) (en exprimant la charge comprise entre les sphères de rayons r et r + dr) ainsi que la densité de courants j r, t. On distinguera deux cas : r > v 0 t et ensuite r < v 0 t. 2 ) Déterminer le champ électrique E supposé isotrope ainsi que le potentiel scalaire V(r,t) dont il dérive. 3 ) En utilisant les propriétés de symétrie, déterminer le champ r t B,. 4 ) En déduire la densité d énergie électrique. Déterminer la puissance volumique cédée aux charges. Comparer la dérivée par rapport au temps de la densité d énergie à la puissance volumique cédée aux charges. Conclusion. 5 ) En réalité, l hypothèse v 0 constante n est pas cohérente. Pourquoi? 2 Induction électromagnétique 2.1 Aimant et bobine Le barreau aimanté de la figure ci-contre se déplace à vitesse constante vers la bobine. - Quel est le signe de U AB? - Comment varie cette tension quand l aimant avance? A B N S Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM exercices magnétostatique 81

2 2.2 Courant induit Un solénoïde long comportant n spires par unité de longueur et de section S est parcouru par un courant i(t) = I 0 sin(t). Il est entouré par une bobine plate en circuit fermé, de résistance R et d inductance L. On notera I(t) le courant induit dans cette bobine. 1 ) Etablir l équation différentielle en I(t). 2 ) Déterminer l expression de I(t). La comparer à celle de i(t). 3 ) Déterminer la puissance dissipée dans la bobine. 2.3 Freinage d une spire Une spire de rayon a, de résistance R et d inductance propre négligeable est montée sur des pivots parfaits qui lui permettent de tourner autour d un diamètre vertical. Elle est plongée dans un champ B uniforme et stationnaire horizontal et n est pas alimentée. La spire est freinée avec une durée caractéristique. 1 ) Pourquoi la spire est-elle freinée? Analyser les phénomènes. 2 ) Pour une spire donnée, on étudie l influence du champ magnétique. 3 ) On compare la durée de freinage selon la résistance R de la spire, sa masse, son rayon et le champ magnétique étant maintenus constants. est proportionnelle à R n. On propose 5 valeurs possibles pour n : 2, 1, 0, +1, +2. Indiquer, presque sans calculs, laquelle est exacte et justifier l élimination des autres. 4 ) Sans changer de matériau, on compare la durée de freinage selon le rayon a de la spire : on constate alors que est proportionnelle à a. En réalisant une approche énergétique relative faisant intervenir les différents paramètres fonction de a (résistance, flux, fem, moment d inertie), interpréter qualitativement le résultat. 2.4 Train Un train roule sur des rails écartés d une distance d = 2 m à une vitesse v = 30 m.s 1. La composante verticale B du champ magnétique terrestre vaut à cet endroit 10 5 T. Un millivoltmètre est connecté entre les rails. Expliquer pourquoi le millivoltmètre indiquera une tension. Déterminer la valeur de la tension indiquée. Cette tension change-t-elle de signe au moment où le train passe au-dessus du millivoltmètre? a 2.5 Freinage par induction Une spire carrée de côté a, de masse m, tombe dans le champ de pesanteur. Dans le demi-espace x > 0, règne y le champ magnétique. A l instant t = 0, la spire se trouve dans la situation sur la figure ci-contre, sa vitesse est, son côté inférieur est en x = 0. 1 ) Montrer que le mouvement ultérieur de la spire reste une translation verticale suivant Oz. 2 ) Soit R la résistance de la spire, déterminer la vitesse x v(t) de la spire. 3 ) La spire a maintenant une résistance nulle (spire supraconductrice) et on note L son inductance propre. Reprendre l étude précédente et préciser la condition d oscillation de la spire. 2.6 Barre mobile et rail circulaire Une barre conductrice est mobile sur fil conducteur circulaire. Le circuit est fermé par un fil. La barre, de masse m, et de longueur L, est lâchée à l instant t = 0, l angle (0) étant petit, dans le champ magnétique. La liaison avec l axe de rotation est parfaite. La résistance de la barre est R, les résistances des autres O éléments du circuit sont négligeables. Déterminer le mouvement de la barre et réaliser le bilan énergétique entre les instants t et t+dt. On supposera le champ magnétique assez faible pour que le mouvement soit pseudo-périodique. Données : J Oz = m L 2 /3 et J Gz = m L 2 /12 Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM exercices magnétostatique 82

3 2.7 Rails inclinés Sur un cadre métallique incliné d un angle par rapport à l horizontale, un barre métallique MN, de longueur L et de masse m, glisse sans frottement. L ensemble est placé dans un champ magnétique constant. La seule résistance électrique prise en compte est celle de la partie QP du cadre. La barre est abandonnée sans vitesse initiale à t = 0. Sa position est repérée par x = QM. 1 ) Déterminer l expression du vecteur vitesse. 2 ) Reprendre le problème en ajoutant un ressort entre QP et MN sans masse, de raideur k et de longueur à vite l 0. A l équilibre, la longueur du ressort est l éq, on note alors x = l l éq. 2.8 Galvanomètre à cadre mobile Un galvanomètre à cadre mobile est constitué d'un cadre rectangulaire comprenant N = 500 spires de fil conducteur. L'ensemble constitue une bobine plate de surface S = 6 cm 2. Ce cadre parcouru par un courant I est placé dans un champ magnétique radial de 0,2 T. Il est suspendu par un fil de torsion dont la constante de torsion vaut C = N.m.rad 1. 1 ) La rotation du cadre étant de =, calculer l'intensité du courant I. 2 ) Si le cadre, en circuit ouvert, est écarté de sa positon d'équilibre il effectue des oscillations de période 1,4 s. On néglige les frottements, calculer le moment d'inertie du cadre par rapport à l'axe du fil de torsion. 3 ) Le cadre, de résistance R g et d inductance propre négligeable, est relié à un dipôle de fem E et de résistance R. Déterminer l équation différentielle vérifiée par Comment choisir R pour faire la mesure de l intensité I dans le dipôle? 2.9 Moteur à courant continu Le bobinage du rotor d'un moteur électrique est constitué de N fils disposés suivant les génératrices d'un cylindre d'axe Oz, de rayon r et de hauteur h. Chacun des fils est parcouru par un courant constant d'intensité I (figure 1). L'ensemble est placé dans un champ magnétique tout point (figure 2). z Q y P N M L i N z'z entrefer radial, centrifuge et d'intensité constante en S x I h Figure 1 Figure 2 1 ) Citer la loi qui permet d'exprimer la force magnétique qui s'exerce sur chacun des fils. Donner l'expression de cette force et préciser sur un schéma son sens et sa direction. 2 ) Déterminer le moment de cette force par rapport à l'axe de rotation du rotor. En déduire le moment résultant des forces magnétiques qui s'exercent sur l'ensemble du rotor 3 ) Le rotor tourne à n tours par seconde, quelle est la puissance mécanique P du moteur? 4 ) Application numérique : r = 0,1 m ; h = 0,2 m ; B = 1 T ; I = 4 A ; N = 1000 ; n = 30 tr.s 1 : calculer la puissance du moteur. Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM exercices magnétostatique 83

4 2.10 Chauffage par induction Un solénoïde long, d'axe Oz, comprenant n spires par unité de longueur, circulaires de rayon a et parcourues par un courant d'intensité I = I 0 cos( t), crée en un point M repéré par ses coordonnées cylindriques (r,,z) un champ magnétique tel que à l'extérieur, pour r > a, B 0 ; à l'intérieur, pour r < a B 0nIu z. 1 ) On cherche un champ électrique E de la forme E E r, t u. Déterminer son expression pour r < a. 2 ) On place à l intérieur du solénoïde un cylindre métallique de conductivité, d'axe Oz, de hauteur L, et de section circulaire de rayon b < a. Déterminer la puissance moyenne < P J > dissipée par effet Joule dans le cylindre. A travers sa surface latérale, ce cylindre évacue une puissance thermique surfacique de la forme dp'/ds = h (T s - T e ) où h est une constante, T s la température à la surface du métal et T e la température ambiante. Comment faut-il choisir pour faire fondre le métal dont la température de fusion vaut T F? Commenter l'influence de L et b. 3 ) On suppose le cylindre métallique long. A quel système le cylindre parcouru par des courants induits est-il équivalent? Déterminer le champ magnétique cylindres de rayons r et r + dr. d B' créé sur l'axe Oz par les courants induits dans le métal entre les En déduire l expression du champ magnétique B ' total. A quelle condition sur b la valeur maximale de B est-elle négligeable devant la valeur maximale de B? Lorsque cette condition n'est pas vérifiée, on constate que les courants se localisent sur une pellicule d'épaisseur au voisinage de la surface ; commenter Chauffage par induction On place un cylindre conducteur d'axe Oz de section S o = R 2, de longueur L et de conductivité dans un champ magnétique uniforme (créé par des sources extérieures) colinéaire à l'axe Oz : B B0 cos tu z. On se propose de calculer les courants induits et la puissance dissipée par effet Joule dans le conducteur dans l'approximation où le champ magnétique reste identique au champ extérieur appliqué, puis d'examiner la validité de cette hypothèse. On note r, et z les coordonnées cylindriques. 1 ) On admet que E P E ( r) u, déterminer l expression de P E en fonction de, B 0 et r. 2 ) Puissance perdue par effet Joule a) Exprimer la puissance moyenne P j. (moyenne temporelle) dissipée par effet Joule dans le cylindre (on fera apparaître dans cette expression les termes : conductivité électrique du matériau, S o et f = / 2, fréquence de variation du champ magnétique). b) Application numérique : on donne : B o = 0,1 T, = m -1, L= 0,5 m, S o = 20 cm 2, f = 50Hz. 3 ) Les courants induits (tels que nous les avons calculés) créent un champ magnétique B i qui se superpose à celui des sources extérieures. a) On néglige le courant de déplacement par rapport au courant induit de densité j P hypothèse est-elle justifiée? B i est orienté suivant b) Exprimer B i (on admettra que c) A quelle condition, portant sur R, rayon du cylindre, l'hypothèse initiale (le champ magnétique reste identique au u z et que champ B extérieur appliqué) est-elle vérifiée (autrement dit, à. Pourquoi cette B i est nul à l'extérieur du cylindre). quelle condition le module de B i reste-t-il négligeable devant B o )? 4 ) Limitation de la puissance dissipée par les courants induits (on se place toujours dans l'hypothèse "champ magnétique identique au champ extérieur appliqué"). Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM exercices magnétostatique 84

5 a) Que devient la puissance P j (question 2.a.) si au lieu d'un seul conducteur cylindrique, on utilise n conducteurs cylindriques identiques de section S 0 = S 0 / n? b) Comment tire-t-on parti du résultat obtenu à la question précédente dans la réalisation des transformateurs pour limiter les pertes par courants de Foucault? Dans cet exercice, on utilisera le formulaire donnant les opérateurs en coordonnées cylindriques Mesure d une inductance mutuelle On considère deux bobines identiques, formées de N spires circulaires de rayon a, d inductance L, que l on place de façon que les deux bobinages soient coaxiaux, avec le même sens d enroulement, la distance entre leurs centres étant repérée le long de l axe commun Oz par la longueur d. On se propose de mesurer le couplage entre les deux bobines en envoyant dans l une d elles, dite la première, une tension triangulaire et en comparant à l oscilloscope cette tension avec la tension induite dans l autre, celle-ci étant en circuit ouvert. On a branché en série entre le générateur de fonction et la première bobine une résistance R = 100. On néglige la résistance R des bobines. 1 ) Faire le schéma du montage. 2 ) Les traces observées à l oscilloscope ont l allure suivante : trace supérieure : 1 V/div 1,4 divisions Trace inférieure variable (voir tableau) balayage : 0,2 ms/div En faisant varier la distance d entre les bobines, on observe pour l amplitude crête à crête A du signal induit, mesurée en divisions de l écran, les valeurs suivantes : Calibre 0.01 V/div 5 mv/div 2 mv/div 1mV/div d (cm) A a) Ecrire les équations électriques du circuit. b) Etablir l expression de l inductance mutuelle M entre les deux bobines en fonction de la période T du signal d entrée, de son amplitude crête à crête e, de l amplitude crête à crête A du signal induit et de la résistance R. c) Calculer alors, en mh, l inductance mutuelle M entre les deux bobines pour chaque valeur de d. 3 ) Le champ magnétique créé par la première bobine, parcourue par un courant I 1, en un point de son axe situé à la distance z de son centre, est de la forme z B B I z e. 0 z e z a) Déterminer (z). On montre que, en un point proche de l axe, le champ magnétique est, à l ordre 2 en r, 2 2 r db r d B B r z er B z ez dz dz 0 0 (, ) 0( ) b) Exprimer le flux du champ magnétique créé par la première bobine à travers la deuxième. En déduire l expression du cœfficient d inductance mutuelle entre les deux bobines, en fonction de R, N, (d) et "(d). d) On prend des bobines de 7 cm de rayon, comportant 100 spires. Le modèle théorique ci-dessus donne M = 43 µh pour d = 20 cm et M = 0,16 mh pour d = 5 cm. Ces résultats sont-ils en accord avec les résultats expérimentaux? Pourquoi? 1 Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM exercices magnétostatique 85

6 2.13 Interaction d un aimant tournant avec une bobine Un aimant, dipôle magnétique caractérisé par son y moment magnétique, contenu dans le plan xoy, tourne autour de l axe Ozà la vitesse angulaire constante. Une bobine plate comportant N spires, d axe Ox, de rayon a, de résistance totale R, d inductance propre négligeable, est placée à la distance D de O. 1 ) Analyser le phénomène et justifier l action d un opérateur extérieur pour maintenir constante la x vitesse de rotation du dipôle. 2 ) Déterminer le couple moyen que doit D exercer l opérateur pour maintenir constante la vitesse de rotation du dipôle. On posera. 3 ) L opérateur cesse son action, à un instant précis pris comme origine des temps. Que se passe-t-il alors? Déterminer l équation vérifiée par l angle dont a tourné le dipôle avant son arrêt. Le moment d inertie du dipôle par rapport à l axe Oz est noté J. Conseil : on peut modéliser l aimant par une petite spire de surface s parcourue par un courant i Moteur asynchrone Le rotor (R) d'un moteur électrique peut être décrit : - d'un point de vue mécanique, comme un solide mobile autour d'un axe vertical Oz par rapport auquel son moment d'inertie est J, est freiné dans sa rotation de vitesse angulaire par rapport à Oz par des forces de frottement fluide dont le moment par rapport à Oz est de la forme h. - d'un point de vue électromagnétique, comme une bobine plate formée de N spires planes superposées de même aire S dont le vecteur normal n appartient au plan horizontal xoy dans lequel sa rotation est repérée. On note respectivement R et L la résistance et l'inductance du circuit ainsi constitué, i(t) l'intensité qui le parcourt à l'instant t. Initialement immobile et siège d'aucun courant, le rotor est soumis à l'action d'un champ magnétique par l'angle u x,n extérieur B contenu dans le plan xoy, de module constant, dont la direction tourne à vitesse angulaire constante 0 autour de la verticale. 1 ) En introduisant les paramètres 0 = NBS et = 0 t, écrire les deux équations traduisant le comportement du rotor (R). On donne l expression du moment du couple de forces auquel est soumis un dipôle magnétique placé dans un champ magnétique extérieur : M B. 2 ) En négligeant le champ magnétique propre du circuit devant le champ magnétique extérieur et en supposant que les variations de sont lentes devant celles de, donner une expression de la moyenne temporelle <> du couple moteur qui s'exerce sur (R). Commenter qualitativement les effets de ce couple moyen en ce qui concerne les qualités du moteur réalisé. 3 ) Déduire des équations générales un bilan énergétique. 4 ) Proposer une réalisation matérielle simple du «champ tournant» qui fasse appel au courant alternatif fourni par le secteur sans intervention d'aucune pièce mobile. Quelle sera la vitesse de rotation? Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM exercices magnétostatique 86