M1-Math.-Ens. UE7 : Probabilités-Statistiques

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1 UNSA-USTV-IUFM M1-Math.-Ens. UE7 : Probabilités-Statistiques Examen du 7 juin 2012 Durée : 3 h Calculatrices autorisées ; documents et tout autre matériel électronique interdits. Ne pas hésiter à traiter les questions dans l ordre de son choix. Ne pas hésiter à utiliser les résultats d une question antérieure. Nous vous demandons de bien prendre soin de justifier vos solutions en employant le formalisme des probabilités. Exercice n o 1 : Questions de cours ( 1,5 pts Soit (Ω, A, P un espace probabilisé (A est la tribu des «événements», X une variable aléatoire réelle définie sur Ω. a R, ω Ω qui admet une densité f. On considère les 6 objets mathématiques suivants (pour la probabilité conditionnelle, on suppose que P ([X a] 0 : X ; X(ω ; [X a] ; f ; P [X a] (encore noté P(. [X a] ; x P(X x. Indiquer l appartenance de chacun de ces six objets à l un des ensembles suivants (s il y a plusieurs choix, prendre le plus petit ensemble : R ; [0, 1] ; A ; F(A; [0, 1] ; F(Ω; [0, 1] ; F(R; R ; C(R; R ; F(Ω; R. Pour cela, vous vous contenterez de mettre des croix dans les cases appropriées du tableau donné en annexe 1. (Aucune justification n est demandée. On rappelle que pour deux ensembles A et B, F(A; B désigne l ensemble des applications de A dans B ; C(R; R désigne l ensemble des fonctions continues de R dans R. Un bonne réponse est comptée 1/4 point, une mauvaise réponse (y compris si l ensemble choisi n est pas le plus petit enlève 1/4 point (le minimum que l on peut obtenir à l exercice restant quand-même 0. Exercice n o 2 : Les quatre tiroirs (3 pts Un professeur de mathématiques recherche la clef de sa voiture dans l un des 4 tiroirs que possède son scriban. On suppose que la probabilité que la clef soit dans l un des 4 tiroirs est p, où p ]0, 1[ est donné. Notez bien qu il est possible que la clef ne soit dans aucun des 4 tiroirs, puisque p < 1. On suppose de plus que les chances de trouver sa clef dans un des 4 tiroirs sont égales. On notera T i l événement «la clef est dans le tiroir i». Le professeur a ouvert les trois premiers tiroirs sans y trouver la clef. Quelle est la probabilité que la clef. se trouve dans le 4 ème tiroir? 4 4 Réponse : On a P( T i P(T i car les T i sont évidemment disjoints puisque la clef ne peut pas être dans deux tiroirs différents. D où pour i 1, , P (T i p 4. 3 Posons A T 3 i. Alors Ā T i et donc P(A 1 3p 4. D autre part, il est clair que T 4 A. Donc, P(A T 4 P(T 4. On trouve ce qui est la probabilité cherchée. P A (T 4 P(A T 4 P(A P(T 4 P(A p 4 3p Exercice n o 3 : Une somme de longueur variable (5 pts Le nombre N de versements d indemnités effectués par une compagnie d assurance en une semaine est 2011/2012 Master cohabilité Nice-Toulon 1/6 IUFM Célestin Freinet

2 donné par une variable aléatoire d espérance n 0. Pour i N, on suppose que le montant du i-ème versement est une variable aléatoire discrète Y i définie sur un espace probabilisé (Ω, F, P à valeur dans N. On suppose que les variables aléatoires Y i sont de même loi et ont une même espérance µ. On fait l hypothèse que les variables aléatoires Y i sont indépendantes, et sont indépendantes de N. Soit U Y 1 + Y Y N la variable aléatoire qui représente les versements totaux effectués par la compagnie en une semaine. La variable aléatoire U est donc définie sur (Ω, F, P par U(ω Y 1 (ω + Y 2 (ω + + Y N(ω (ω (si N(ω 0, on pose U(ω 0. Le but de l exercice est de montrer que E(U n 0 µ. On admettra que pour une série double à termes positifs (u i,j (i,j N 2 on a i0 ( j0 u i,j j0 ( i0 u i,j où les séries peuvent éventuellement être divergentes (on a alors Quelle série doit converger pour que U admette une espérance? Réponse : Par définition de l espérance, il s agit de la série kp(u k. 2. Montrer que pour tout k 0, P(U k (P(N n P(Y Y n k. Réponse : Comme les [N n], n N forment un système complet d événements on peut écrire P (U k P([N n] [U k] Mais on a l égalité [N n] [U k] [N n] [Y Y n k]. On obtient le résultat de la question grâce à l indépendance des Y i et de N. 3. Pour n N, comment peut-on trouver sans grand calcul la valeur de kp(y Y n k en fonction de n et de µ? Justifier votre réponse en citant bien la ou les propriétés utilisées. Réponse : On reconnaît dans la série E(Y Y n. En utilisant la linéarité de l espérance, on trouve que la valeur cherchée est E(Y E(Y n nµ (formule valable aussi si n En déduire que E(U n 0 µ. Réponse : Comme les sommes considérées sont à termes positifs, on peut écrire (sans préjuger au départ de la convergence de la série de droite kp(u k µ k (P(N n P(Y Y n k ( P(N n k P(Y Y n k np(n n µe(n n 0 µ, ce qui montre la convergence de la série de droite et le résultat. Exercice n o 4 : Loi exponentielle (3,5 pts On dispose d un lot d ampoules électriques, toutes de fabrication identique. On suppose que la durée de vie (exprimée en heures de chaque ampoule est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ, c est à dire admettant la densité x f(x I [0,+ [ (xλe λx. 2011/2012 Master cohabilité Nice-Toulon 2/6 IUFM Célestin Freinet

3 1. On note X (variable aléatoire la durée de vie d une ampoule. Quelle est la probabilité qu une ampoule s éteigne avant un temps T de fonctionnement? Application numérique : prendre T 200 et λ 0, 001. Réponse : Il s agit d évaluer ici la probabilité de l événement [X < T ]. Par définition de la densité, on obtient : P(X < T Application numérique : P(X < 200 0, 18. T T f(xdx f(xdx 0 [ e λx] T 0 1 e λt. 2. Montrer qu avec ce type d ampoule, il n est pas malhonnête de revendre des ampoules usagées mais en état de marche. Vous utiliserez les probabilités conditionnelles pour votre démonstration. Réponse : On reprend les notations de la question précédente : supposons que l on ait utilisé une ampoule pendant une durée T > 0 et qu elle soit toujours en état de marche, c est à dire que l événement [X T ] soit réalisé. On veut savoir qu elle est la probabilité qu elle puisse encore fonctionner pendant une durée S suplémentaire. On sait que P(X T e λt d après la question précédente. On obtient en tenant compte du fait que [X S +T ] [X T ] et d après les propriétés algébriques de la fonction exponentielle : P([X T ] [X S + T ] P [X T ] (X S + T P(X T P(X S + T P(X T e λ(t +S e λt e λs P(X S. Sachant qu elle est usagée mais en état de marche, la probabilité qu elle puisse encore fonctionner pendant une durée S est la même que si l ampoule était neuve. (C est une propriété de la loi exponentielle qui modélise les phénomènes dit «sans vieillissement». 3. On allume 2 ampoules en même temps dans une pièce à l instant 0. On note X 1 et X 2 les durées de vies - variables aléatoires supposées indépendantes - des deux ampoules. Déterminer en fonction de T > 0 et λ, la probabilité pour que la pièce ne soit pas dans le noir à l instant T. Applications numérique : prendre T 200 et λ 0, 001. Réponse : La pièce ne sera pas dans le noir à l instant T si et seulement si l une des deux ampoules au moins est en état de marche. Il s agit donc ici d évaluer la probabilité de l événement [X 1 T ] [X 2 T ] (ou non exclusif. On obtient, en tenant compte de l indépendance des deux variables aléatoires : P([X 1 T ] [X 2 T ] P([X 1 T ] + P([X 2 T ] P([X 1 T ] [X 2 T ] P([X 1 T ] + P([X 2 T ] P([X 1 T ] P([X 2 T ] 2e λt e 2λT. (On pouvait aussi calculer la probabilité de l événement complémentaire on trouve : (1 e λt 2. Applications numérique : P([X 1 200] [X 2 200] 0, 967. Exercice n o 5 : Stock de CD (3 pts 2011/2012 Master cohabilité Nice-Toulon 3/6 IUFM Célestin Freinet

4 À l occasion d un concert de musique organisé dans une salle de spectacle, on décide de fabriquer en direct un CD des chansons des artistes qui participent à la manifestation. Le CD sera vendu à l issu du concert (et uniquement à ce moment là. On estime que chaque personne présente à la manifestation a 30% de chance d acheter ce CD. Le nombre de personnes qui seront présentes à la manifestation est de Pour la suite, on donnera des résultats approchés grâce au tableau de la loi normale donné en annexe. On veillera à bien traduire les énoncés grâce au formalisme des probabilités. 1. Pour i {1,..., 4000}, décrire la variable aléatoire X i qui caractérise le choix de la i-ème personne d acheter ou pas le CD. 2. Quelle est la probabilité que les organisateurs vendent au moins 1100 CD? 3. Quel est le nombre maximum de CD que les organisateurs doivent fabriquer pour être sûrs à 95% d écouler la totalité du stock? Réponse : 1. Pour chaque entier i {1,..., 4000} on définit la variable aléatoire X i qui vaut 1 si la i ème personne présente au concert achète le CD et qui vaut 0 sinon. D après l énoncé, on a E(X i 0.3. Comme X i est une variable alétoire de Bernouilli, on déduit aussi V(X i 0.3( On suppose de plus que les variables aléatoires X i sont indépendantes. 2. La probabilité cherchée est ( 4000 ( 4000 P X i 1100 P X i 4000 E(X i V(Xi ( 4000 P X i 4000 E(X i V(Xi Comme les variables aléatoires X i sont indépendantes et indentiquement distribuées et comme de plus n , np et n(1 p , on peut estimer cette probabilité en utilisant le théorème de la limite centrale et en remplaçant loi normale U centrée réduite. On a donc ( 4000 P X i 1100 P(U 3.45 P(U , 97% X i 4000 E(X i 4000V(Xi par la ( On cherche le plus grand N N tel que P X i N 95%, c est à dire le plus grand N N tel que ( 4000 P X i 4000 E(X i N % V(Xi En approximant 4000 X i 4000 E(X i 4000 V(Xi par U comme précédemment, on est amené à chercher le plus grand N tel que, avec π la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, ( ( N , 3 N , 3 1 π 0, 95 π 0, 05, , , 21 Grâce au tableau de la loi normale on a π(1, 65 0, 95 et donc on obtient, compte tenu de la parité de la fonction densité, π( 1, 65 0, 05. On cherche donc le plus grand N tel que et donc N N , , , 2011/2012 Master cohabilité Nice-Toulon 4/6 IUFM Célestin Freinet

5 Exercice n o 6 : Durée de vie d un appareil (4 pts La durée de vie d un certain type d appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale d espérance µ et d écart-type inconnus. Les spécifications impliquent que 5 % de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours et que 80 % de la production des appareils ait une durée de vie entre 120 et 200 jours. 1. En vous servant de la table de la loi normale donnée en annexe, donner une valeur approchée à l unité près de µ et de. Explicitez votre démarche. 2. Quelle est la probabilité d avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours et 230 jours? Réponse : 1. Soit X la variable aléatoire qui modélise la durée de vie du type d appareil considéré. On sait d après l énoncé que X suit une loi normale de paramètres µ et, i.e, X N (µ,. On sait alors que (X µ/ suit une loi normale centrée réduite dont on peut lire certaines valeurs de la fonction de répartition, que nous noterons π, à l aide de la table de la loi normale donnée en annexe. D après l énoncé on a aussi les deux propriétés suivantes : P(X < 120 0, 05 et P(120 X 200 0, 8. On en déduit alors que P(X 200 P (X < 120 0, 8 soit P(X 200 0, 85. Comme X µ N (0, 1, on a les résultats suivants (avec π fonction de répartition de N (0, 1 : ( ( 120 µ 200 µ π 0, 05 et π 0, 85. La lecture de la table de la loi normale et la prise en compte de la parité de la densité, nous donne alors approximativement 120 µ 1, 64, 200 µ 1, 03 La résolution de ce système donne finalement 29, 96 et µ 169, 14 que l on arrondi respectivement à 30 et à On a, en notant U (X µ/, ( P(200 < X < 230 P < X µ < P(U < 2, 03 P(U < 1, 03 0, , , /2012 Master cohabilité Nice-Toulon 5/6 IUFM Célestin Freinet

6 Annexes Ne pas oublier d insérer cette feuille dans votre copie. Annexe 1 Mettre des croix dans les cases appropriées pour indiquer dans quel ensemble appartiennent les objets mathématiques en début de ligne. S il y a plusieurs choix possibles prendre le plus petit ensemble. R [0, 1] A F(A, [0, 1] F(R; R C(R; R F(Ω; [0, 1] F(Ω; R X(ω X f [X a] x P([X x] P [X a] ( ou P(. [X a] 1 Table de la variable aléatoire Normale réduite Annexe 2 : Table de la variable aléatoire Normale centrée, réduite Fournit la probabilité P(X x pour X N(0,1 P(X! x x x , , , , , , , , , , /2012 Master cohabilité Nice-Toulon 6/6 IUFM Célestin Freinet