Biomécanique. Chapitre 1. Vecteurs et système de vecteurs

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1 Biomécanique Chapitre 1 Vecteurs et système de vecteurs 1

2 Repère 1. Définition Un repère est défini par la donnée d'un point O, son origine et de trois axes (x, y, z). Si ces trois axes sont perpendiculaires, le repère est orthogonal. On notera le repère R (O / x, y, z). z R (O / x, y, z) x O y 2

3 2. Coordonnées Un repère R (O / x, y, z) permet de positionner un point matériel M dans l'espace. On définit alors les coordonnées (X, Y, Z) du point M dans le repère R (O / x, y, z) comme les projections du point M sur les trois axes (O, x), (O, y) et (O, z). R (O / x, y, z) z Z M (X, Y, Z) O Y y X x 3

4 Vecteur 1. Définition Un vecteur est un être mathématique défini par : Une origine ou point d'application Une direction ou droite support Un sens Un module ou norme On notera le vecteur de la manière suivante : 4

5 2. Exemple Soient deux points de l'espace A et B, on peut définir le vecteur par Son origine : A Sa direction : droite (AB) B Son sens : A B A Sa norme : longueur AB ou 5

6 3. Différents types de vecteurs Vecteur libre : Il est défini par une direction, un sens et une norme Vecteur glissant : Il est assujetti à glisser sur une droite support ( ) ( ) Vecteur lié : B Il est défini par une direction, un sens, 6 une norme et une origine A

7 4. Composantes d'un vecteur Soit R (O / x, y, z) une repère de l'espace et les vecteurs unitaires définissant les axes, un vecteur libre est défini par ses projections, et sur les axes du repère qui sont appelées les composantes du vecteur, on note alors : ou 7

8 Opérations sur les vecteurs 1. Relations de Chasles C'est une relation géométrique : 2. Addition La somme de deux vecteurs et est un vecteur qui peut se représenter géométriquement de la manière suivante : 8 On obtient pour le vecteur :

9 3. Multiplication par un scalaire Définition : Soient un vecteur libre et λ un scalaire (nombre), le produit de par λ est un vecteur noté λ λ de composantes λ λ Remarque : Si λ, on dit que les vecteurs et sont colinéaires 9

10 4. Produit scalaire Définition : Soient deux vecteurs et faisant un angle α entre eux, le produit scalaire de par est un scalaire m défini par α Propriétés : Le produit scalaire est commutatif : Si et sont perpendiculaires alors 10

11 11 Calcul : Soient les vecteurs de composantes et de composantes alors Module : On définit le module ou la norme du vecteur de composantes par la quantité notée On dit qu'un vecteur est unitaire si sa norme vaut 1.

12 5. Produit vectoriel Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs et est un vecteur perpendiculaire au plan formé par et, de norme α et de sens tel que le trièdre soit direct. On le note :. α 12

13 13 Propriétés : Si et sont colinéaires Le produit vectoriel est anticommutatif : En général, le produit vectoriel n'est pas associatif :

14 Repère : z R (O / x, y, z) y O x 14

15 15 Calcul du produit vectoriel Soient les vecteurs de composantes et On peut montrer que :

16 16 Technique de calcul du produit vectoriel

17 Moment d un vecteur 1. Définition Le moment d'un vecteur par rapport au point O est un vecteur, noté et défini par 2. Loi de transport des moments Connaissant le moment d'un vecteur en un point O, on peut le calculer en un point I par la relation de transport des moments 17

18 Définition d un système de vecteurs Soient un ensemble de vecteurs appliqués au point, on définit alors les grandeurs suivantes : La somme des vecteurs ou résultante : Le moment résultant du système de vecteurs par rapport à un point M : 18

19 On remarque que le vecteur résultante ne dépend pas du point M, c est donc un vecteur libre alors que le moment résultant est dépendant du point M. On construit alors le système de vecteurs ou torseur { } { } { } On le note { } ou [ ] 19

20 On conserve la relation de transport des moments : { } { } En conclusion, un système de vecteurs est donc défini par un vecteur libre non dépendant de M, la résultante et un vecteur dépendant du point M, le moment. { } { } { } 20

21 21 Exemple appliqué au point appliqué au point On peut calculer le système de vecteurs résultants au point A 1 { } { } { }

22 22 Donc { } Et { } Finalement : { } { } { }

23 23 Systèmes de vecteurs particuliers On distingue : Glisseur { } { } { } Couple { } { } { }

24 Opérations sur les systèmes de vecteurs 1. Système de vecteurs nul { } { } s'il existe un point M tel que : { } { } { } 2. Egalité { } { } s'il existe un point M tel que : { } { } { } { } 24

25 25 3. Somme On peut réaliser la somme de deux torseurs si ces deux torseurs sont exprimés au même point M, on a alors : { } { } { } { } { } { } { } { } { } 4. Multiplication par un scalaire Soient un scalaire λ et un torseur { }, on définit la multiplication par un scalaire par : { } { } { } { } { } { } λ λ λ

26 5. Produit scalaire Le produit scalaire de deux torseurs { } et { } que si les deux torseurs sont exprimés au même point M : est un scalaire et ne peut se calculer { } { } { } { } { } { } 6. Invariant scalaire On définit l'invariant scalaire du torseur { } par la quantité : { } { } 26

27 Invariants Ce sont des quantités vectorielles ou scalaires qui ne dépendent pas du point de calcul du torseur. 1. Résultante Par définition la résultante du torseur { } ne dépend pas du point de calcul du torseur. 2. Invariant scalaire La quantité scalaire { } { } ne dépend pas du point M. 3. Produit scalaire { } { } { } { } { } { } ne dépend pas de M. 27

28 Internet 28