Biomécanique. Chapitre 1. Vecteurs et système de vecteurs

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Biomécanique. Chapitre 1. Vecteurs et système de vecteurs"

Transcription

1 Biomécanique Chapitre 1 Vecteurs et système de vecteurs 1

2 Repère 1. Définition Un repère est défini par la donnée d'un point O, son origine et de trois axes (x, y, z). Si ces trois axes sont perpendiculaires, le repère est orthogonal. On notera le repère R (O / x, y, z). z R (O / x, y, z) x O y 2

3 2. Coordonnées Un repère R (O / x, y, z) permet de positionner un point matériel M dans l'espace. On définit alors les coordonnées (X, Y, Z) du point M dans le repère R (O / x, y, z) comme les projections du point M sur les trois axes (O, x), (O, y) et (O, z). R (O / x, y, z) z Z M (X, Y, Z) O Y y X x 3

4 Vecteur 1. Définition Un vecteur est un être mathématique défini par : Une origine ou point d'application Une direction ou droite support Un sens Un module ou norme On notera le vecteur de la manière suivante : 4

5 2. Exemple Soient deux points de l'espace A et B, on peut définir le vecteur par Son origine : A Sa direction : droite (AB) B Son sens : A B A Sa norme : longueur AB ou 5

6 3. Différents types de vecteurs Vecteur libre : Il est défini par une direction, un sens et une norme Vecteur glissant : Il est assujetti à glisser sur une droite support ( ) ( ) Vecteur lié : B Il est défini par une direction, un sens, 6 une norme et une origine A

7 4. Composantes d'un vecteur Soit R (O / x, y, z) une repère de l'espace et les vecteurs unitaires définissant les axes, un vecteur libre est défini par ses projections, et sur les axes du repère qui sont appelées les composantes du vecteur, on note alors : ou 7

8 Opérations sur les vecteurs 1. Relations de Chasles C'est une relation géométrique : 2. Addition La somme de deux vecteurs et est un vecteur qui peut se représenter géométriquement de la manière suivante : 8 On obtient pour le vecteur :

9 3. Multiplication par un scalaire Définition : Soient un vecteur libre et λ un scalaire (nombre), le produit de par λ est un vecteur noté λ λ de composantes λ λ Remarque : Si λ, on dit que les vecteurs et sont colinéaires 9

10 4. Produit scalaire Définition : Soient deux vecteurs et faisant un angle α entre eux, le produit scalaire de par est un scalaire m défini par α Propriétés : Le produit scalaire est commutatif : Si et sont perpendiculaires alors 10

11 11 Calcul : Soient les vecteurs de composantes et de composantes alors Module : On définit le module ou la norme du vecteur de composantes par la quantité notée On dit qu'un vecteur est unitaire si sa norme vaut 1.

12 5. Produit vectoriel Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs et est un vecteur perpendiculaire au plan formé par et, de norme α et de sens tel que le trièdre soit direct. On le note :. α 12

13 13 Propriétés : Si et sont colinéaires Le produit vectoriel est anticommutatif : En général, le produit vectoriel n'est pas associatif :

14 Repère : z R (O / x, y, z) y O x 14

15 15 Calcul du produit vectoriel Soient les vecteurs de composantes et On peut montrer que :

16 16 Technique de calcul du produit vectoriel

17 Moment d un vecteur 1. Définition Le moment d'un vecteur par rapport au point O est un vecteur, noté et défini par 2. Loi de transport des moments Connaissant le moment d'un vecteur en un point O, on peut le calculer en un point I par la relation de transport des moments 17

18 Définition d un système de vecteurs Soient un ensemble de vecteurs appliqués au point, on définit alors les grandeurs suivantes : La somme des vecteurs ou résultante : Le moment résultant du système de vecteurs par rapport à un point M : 18

19 On remarque que le vecteur résultante ne dépend pas du point M, c est donc un vecteur libre alors que le moment résultant est dépendant du point M. On construit alors le système de vecteurs ou torseur { } { } { } On le note { } ou [ ] 19

20 On conserve la relation de transport des moments : { } { } En conclusion, un système de vecteurs est donc défini par un vecteur libre non dépendant de M, la résultante et un vecteur dépendant du point M, le moment. { } { } { } 20

21 21 Exemple appliqué au point appliqué au point On peut calculer le système de vecteurs résultants au point A 1 { } { } { }

22 22 Donc { } Et { } Finalement : { } { } { }

23 23 Systèmes de vecteurs particuliers On distingue : Glisseur { } { } { } Couple { } { } { }

24 Opérations sur les systèmes de vecteurs 1. Système de vecteurs nul { } { } s'il existe un point M tel que : { } { } { } 2. Egalité { } { } s'il existe un point M tel que : { } { } { } { } 24

25 25 3. Somme On peut réaliser la somme de deux torseurs si ces deux torseurs sont exprimés au même point M, on a alors : { } { } { } { } { } { } { } { } { } 4. Multiplication par un scalaire Soient un scalaire λ et un torseur { }, on définit la multiplication par un scalaire par : { } { } { } { } { } { } λ λ λ

26 5. Produit scalaire Le produit scalaire de deux torseurs { } et { } que si les deux torseurs sont exprimés au même point M : est un scalaire et ne peut se calculer { } { } { } { } { } { } 6. Invariant scalaire On définit l'invariant scalaire du torseur { } par la quantité : { } { } 26

27 Invariants Ce sont des quantités vectorielles ou scalaires qui ne dépendent pas du point de calcul du torseur. 1. Résultante Par définition la résultante du torseur { } ne dépend pas du point de calcul du torseur. 2. Invariant scalaire La quantité scalaire { } { } ne dépend pas du point M. 3. Produit scalaire { } { } { } { } { } { } ne dépend pas de M. 27

28 Internet 28

Plan du cours : électricité 1

Plan du cours : électricité 1 Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)

Plus en détail

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme

Plus en détail

Bref, c'est difficile, mais tout le monde doit y arriver.

Bref, c'est difficile, mais tout le monde doit y arriver. Bonjour à tous, les colles de mardi m'ont permis de vérifier que les notions de base du chapitre espaces vectoriels sont loin d'être acquises. Comme je vous le disais, il est essentiel d'apprendre régulièrement

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

1. Montrer que B est une base de. 2. Donner la dimension de f ( 3 ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure?

1. Montrer que B est une base de. 2. Donner la dimension de f ( 3 ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure? Chapitre Applications linéaires Testez vos connaissances Pourquoi s intéresse-t-on au applications linéaires en économie? Qu est-ce qu un noyau, un rang et une image d une application linéaire? Donner

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Nom Formule Espaces vectoriels Famille libre On dit que la famille est libre si Famille liée On dit que la famille est liée si Théorème de la base

Plus en détail

C) Fiche : Espaces vectoriels.

C) Fiche : Espaces vectoriels. C) Fiche : Espaces vectoriels. 1) Définition d'un espace vectoriel. K= I ou est le corps des scalaires. E est un K-espace I vectoriel si et seulement si : C'est un ensemble non vide muni de deux opérations,

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2 22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul

Plus en détail

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé et tangente Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative

Plus en détail

E3A PC 2009 Math A. questions de cours. t C). On véri e que

E3A PC 2009 Math A. questions de cours. t C). On véri e que E3A PC 29 Math A questions de cours. Soit C 2 M 3 (R) Analyse : Si C = S + A, S 2 S 3 (R) et A 2 A 3 (R) alors t C = t S + t A = S A d où S = 2 (C +t C) et A = 2 (C t C). L analyse assure l unicité (sous

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Chapitre 6 Méthodes de Krylov 611 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Dans le cas où la matrice A n est pas symétrique, comment peut-on retrouver une matrice de corrélation

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

Vecteurs. I Translation. 1. Définition : Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même

Plus en détail

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni

Plus en détail

Equations cartésiennes d une droite

Equations cartésiennes d une droite Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la

Plus en détail

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures Chapitre 2 Anneaux, algèbres 2.1 Structures Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations internes + et et d éléments 0 A et 1 A qui vérifient : associativité de l addition : commutativité de l addition

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 5/6 Outils Mathématiques 4 Intégrales de surfaces résumé 1 Surfaces paramétrées éfinition 1.1 Une surface paramétrée dans l espace, est la donnée de trois fonctions de classes

Plus en détail

LE CHAMP MAGNETIQUE Table des matières

LE CHAMP MAGNETIQUE Table des matières LE CHAMP MAGNETQUE Table des matières NTRODUCTON :...2 MSE EN EVDENCE DU CHAMP MAGNETQUE :...2.1 Détection du champ magnétique avec une boussole :...2.2 Le champ magnétique :...3.2.1 Le vecteur champ magnétique

Plus en détail

Espace vectoriel de dimensions finies MPSI

Espace vectoriel de dimensions finies MPSI Espace vectoriel de dimensions finies MPSI 22 juin 2008 Table des matières 1 Partie libre - Partie liée - Partie génératrice 2 1.1 Partie finie liée.......................... 2 1.1.1 Vecteurs colinéaires....................

Plus en détail

INTÉGRATION SUR LES SURFACES. Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type

INTÉGRATION SUR LES SURFACES. Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type INTÉGRATION SUR LES SURFACES Le but de ce texte est d expliquer comment définir et calculer des expressions du type φ(x)dσ(x) Σ où Σ est une surface de classe C 1 de R 3 ou plus généralement une hypersurface

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

3. Calcul vectoriel. 3.1. Les vecteurs CALCUL VECTORIEL

3. Calcul vectoriel. 3.1. Les vecteurs CALCUL VECTORIEL CALCUL VECTORIEL 1 3. Calcul vectoriel 3.1. Les vecteurs L'Irlandais Sir William Hamilton (1805-1865) fut l'un des premiers à utiliser les vecteurs et il est probablement l'inventeur du mot (mot venant

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Algèbre linéaire et géométrie pour le CAPES 1. Olivier DEBARRE. 1 Version très préliminaire

Algèbre linéaire et géométrie pour le CAPES 1. Olivier DEBARRE. 1 Version très préliminaire Algèbre linéaire et géométrie pour le CAPES 1 Olivier DEBARRE 1 Version très préliminaire Table des matières Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires 5 1. Définitions 5 2. Applications

Plus en détail

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

Contrôle de mathématiques

Contrôle de mathématiques Contrôle de mathématiques Correction du Lundi 18 octobre 2010 Exercice 1 Diviseurs (5 points) 1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810. D 810 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 81; 90;

Plus en détail

Michel Henry Nicolas Delorme

Michel Henry Nicolas Delorme Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université

Plus en détail

Inégalités. c a + b 3 2,

Inégalités. c a + b 3 2, DOMAINE : Géométrie AUTEUR : Margaret BILU NIVEAU : Avancé STAGE : Montpellier 03 CONTENU : Eercices Inégalités - Quelques inégalités secondaires, mais utiles - Proposition. (Inégalité de Nesbitt) Soient

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

LE MODELE CONCEPTUEL DE DONNEES

LE MODELE CONCEPTUEL DE DONNEES LE MODELE CONCEPTUEL DE DONNEES Principe : A partir d'un cahier des charges, concevoir de manière visuelle les différents liens qui existent entre les différentes données. Les différentes étapes de réalisation.

Plus en détail

133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie

133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie 133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie Pierre Lissy March 8, 2010 On considère un espace vectoriel euclidien de dimension nie n, le produit scalaire sera noté

Plus en détail

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

point On obtient ainsi le ou les points d inter- entre deux objets».

point On obtient ainsi le ou les points d inter- entre deux objets». Déplacer un objet Cliquer sur le bouton «Déplacer». On peut ainsi rendre la figure dynamique. Attraper l objet à déplacer avec la souris. Ici, on veut déplacer le point A du triangle point ABC. A du triangle

Plus en détail

Mathématiques autour de la cryptographie.

Mathématiques autour de la cryptographie. Mathématiques autour de la cryptographie. Index Codage par division Codage série Code cyclique Code dual Code linéaire Corps de Galois Elément primitif m séquence Matrice génératrice Matrice de contrôle

Plus en détail

Le monde vectoriel dans Photoshop

Le monde vectoriel dans Photoshop Le monde vectoriel dans Flèche noire : Sélection de tracé Plume Forme Personnalisée (derrière le rectangle) Objectif Créer des montages avec une netteté exemplaire. Forme / Plume : Que choisir Pour créer

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

\documentclass[a4paper,12pt]{book}\usepackage{setspace}\usepackage{amsmath}

\documentclass[a4paper,12pt]{book}\usepackage{setspace}\usepackage{amsmath} \documentclass[a4paper,12pt]{book}\usepackage{setspace}\usepackage{amsmath} \usepackage{amstext}\usepackage{amsthm}\usepackage{mfpic}\usepackage{graphics} \usepackage{rotating}\input{macro}\definecolor{yellowgreen}{rgb}{0.68,1,0.15}

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

ELECTROSTATIQUE - 2. 1. Rappels. 2. Outils mathématiques. 3. Distribution de charges. 4. Exemples de calculs de champ électrique

ELECTROSTATIQUE - 2. 1. Rappels. 2. Outils mathématiques. 3. Distribution de charges. 4. Exemples de calculs de champ électrique ELECTROTATIQUE - 2 1. Rappels 2. Outils mathématiques 2.1. ystèmes classiques de coordonnées 2.2. Volume élémentaire dans chaque système de coordonnées 2.3. Intégrales des fonctions de points 2.4. Circulation

Plus en détail

GOUTTE. Analyse Statistique des Données Cours 4. Master 2 EID. LUISS, Libera Università Internazionale degli Studi Sociali

GOUTTE. Analyse Statistique des Données Cours 4. Master 2 EID. LUISS, Libera Università Internazionale degli Studi Sociali LUISS, Libera Università Internazionale degli Studi Sociali Université Paris 13 Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications UMR 7539 GOUTTE Analyse Statistique des Données Cours 4 Master 2 EID goutte@math.univ-paris13.fr

Plus en détail

B - LE CHAMP ELECTRIQUE

B - LE CHAMP ELECTRIQUE B - L CHAP LCTRIQU B - 1 - L VCTUR CHAP LCTRIQU L'orientation du vecteur champ électrique dépend de la nature (positive ou négative) de la charge qui le produit. L effet de ce champ (attraction ou répulsion)

Plus en détail

CHAPITRE 8 LE CHAMP MAGNETIQUE

CHAPITRE 8 LE CHAMP MAGNETIQUE CHAPTRE 8 LE CHAMP MAGETQUE ) Champ magnétique 1) Magnétisme Phénomène connu depuis l'antiquité. Les corps possédant des propriétés magnétiques sont appelés des aimants naturel (fer, oxyde magnétique de

Plus en détail

TABLE DES MATIERES #! #! # $ #!!

TABLE DES MATIERES #! #! # $ #!! MECANIQUE 1 2 TABLE DES MATIERES! "!! $!! 3 ! $!!!!! "! 4 $% % & ' % % %! $ %!! 5 $ ' $ $ %! % $!!! " ( "! ( $ ) " 6 $ $* $ $ " " % 7 8 UTILISATION DU COURS Il est conseillé aux utilisateurs de ce cours

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C. 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie 14.1.1 Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension

Plus en détail

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3. 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 4

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3. 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 4 SOAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3 2.1 Définition 3 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 4 2.1.2 Prouit ou comoment e eux torseurs 4 2.2 Torseurs élémentaires 4 2.2.1 Torseur couple 4 2.2.2 Torseur

Plus en détail

Analyse des données et algèbre linéaire

Analyse des données et algèbre linéaire Analyse des données et algèbre linéaire Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 1/15 Machine-Learning : Une donnée x i = un ensemble de features (caractères) d un individu i x i = (x i,1,...,

Plus en détail

Devoir commun de seconde, mars 2006

Devoir commun de seconde, mars 2006 Devoir commun de seconde, mars 006 calculatrices autorisées On rappelle que le soin et la qualité de rédaction entrent pour une part non négligeable dans l appréciation de la copie. Eercice (7 points).

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Table des matières. Applications linéaires.

Table des matières. Applications linéaires. Table des matières Introduction...2 I- s et exemples...3 1-...3 2- Exemples...4 II- Noyaux et images...5 1- Rappels : images directes et images réciproques...5 a- s...5 b- Quelques exemples...5 2- Ker

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

FORMULAIRE DE DÉCLARATION

FORMULAIRE DE DÉCLARATION - 1-1. DÉNOMINATION SOCIALE DE LA SOCIETE : 5. DATE DE L OPÉRATION : 12/03/2013 7. PRIX UNITAIRE : 11,74 8. MONTANT DE L OPÉRATION : 3.298,94 actions ordinaires 1. DÉNOMINATION SOCIALE DE LA SOCIETE :

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Aide mémoire d analyse de données

Aide mémoire d analyse de données Aide mémoire d analyse de données B. Rousselet et J.P. Labrousse 21 novembre 2007 Laboratoire de Mathématiques, Parc Valrose, F 06108 Nice, Cédex 2, email : br@math.unice.fr 1 Table des matières 1 Orientation

Plus en détail

Exercice 2. Exercice 3

Exercice 2. Exercice 3 Feuille d eercices n 10 Eercice 1 Une voiture parcours 150 km. Elle effectue une première partie du trajet à la vitesse moyenne de 80 km/h. On notera la longueur de cette partie, eprimée en km Suite à

Plus en détail

Analyse en Composantes Principales

Analyse en Composantes Principales Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 2e année

Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 2e année Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 2e année Courbes et surfaces Boris Thibert Les courbes et les surfaces interviennent

Plus en détail

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016 LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 015-016 Pourquoi ce livret? Afin de mieux préparer cette rentrée, ce livret reprend un ensemble de notions

Plus en détail

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES. 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES. 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF Durée : 4 heures Les quatre exercices sont indépendants Les calculatrices sont autorisées L énoncé comporte trois pages Exercice

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Séance de TP 4 Lentilles minces. Romain BEL 3 janvier 2002

Séance de TP 4 Lentilles minces. Romain BEL 3 janvier 2002 Séance de TP 4 Lentilles minces Romain BEL 3 janvier 2002 1 Table des matières 1 Lentilles minces, stigmatisme, relations de conjugaison 3 1.1 Lentilles minces............................. 3 1.2 L'approximation

Plus en détail

GEOGEBRA : Les indispensables

GEOGEBRA : Les indispensables Préambule GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique dans le plan qui permet de créer des figures dans lesquelles il sera possible de déplacer des objets afin de vérifier si certaines conjectures

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

Second degré : Résumé de cours et méthodes

Second degré : Résumé de cours et méthodes Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITIN n appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f () = a + b + c (a,b et c réels avec a 0). Remarque : Par abus

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Version default Titre : Opérateur DEFI_GROUP Date : 09/10/2012 Page : 1/24 Responsable : Jacques PELLET Clé : U4.22.

Version default Titre : Opérateur DEFI_GROUP Date : 09/10/2012 Page : 1/24 Responsable : Jacques PELLET Clé : U4.22. Titre : Opérateur DEFI_GROUP Date : 09/10/2012 Page : 1/24 Opérateur DEFI_GROUP 1 But Définir dans un maillage existant, de nouveaux groupes de nœuds ou de mailles. Ceci peut faciliter la définition de

Plus en détail

EXAMEN D ADMISSION POUR CANDIDATS SANS MATURITE FEDERALE

EXAMEN D ADMISSION POUR CANDIDATS SANS MATURITE FEDERALE EXAMEN D ADMISSION POUR CANDIDATS SANS MATURITE FEDERALE 1 1 Conformément à l article 43 du Règlement de la Faculté des Hautes Etudes Commerciales, les personnes qui sont de nationalité suisse ou domiciliées

Plus en détail

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne :

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne : Résumé de cours : Espaces vectoriels Partie I : Généralités. : Source disponible sur : c Dans tout le chapitre K désigne un sous corps de C, et en général sauf mention du contraire, Q ou R ou bien C et

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Exercices. Sirius 1 ère S - Livre du professeur Chapitre 15. Champs et forces. Exercices d application. 5 minutes chrono!

Exercices. Sirius 1 ère S - Livre du professeur Chapitre 15. Champs et forces. Exercices d application. 5 minutes chrono! Exercices Exercices d application 5 minutes chrono 1. Mots manquants a. scalaire b. aimants/courants c. aiguille aimantée d. électrostatique. e. uniforme/ parallèles. f. la verticale/la Terre g. gravitation/la

Plus en détail