Plan de la séance du 18 septembre 2015 (1) Cours de gestion financière (M1) Diversification (partie 3) Objectif pédagogiques de la séance.

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1 Cours de gestion financière (M1) Séance du 18 septembre 2015 Diversification CAC 40 GR (gross return / dividendes réinvestis XAR/quotes Variance du taux de rentabilité d un portefeuille de deux titres, 1 lan de la séance du 18 septembre 2015 (1) Rentabilité Définition du taux de rentabilité Rentabilité historique et espérée Rentabilité d un portefeuille Risque écart-type (volatilité) du taux de rentabilité Diversification des risques Coefficient de Diversification du risque Dossier complémentaire : hedge funds et probabilités Exercice : Actifs risqués parfaitement corrélés 2 Objectif pédagogiques de la séance Savoir calculer un taux de rentabilité d un titre ou d un portefeuille de titres Comprendre les notions de rentabilité historique et espérée et leurs limites Savoir calculer ces rentabilités historiques et espérées Comprendre les notions de risque de marché liés à l investissement en actions Savoir calculer un écart type d un taux de rentabilité Comprendre la notion de diversification des risques Savoir manipuler un coefficient de corrélation Diversification (partie 3) Risque d un portefeuille formé de deux actifs Expression en fonction de l allocation Coefficient de Définition llustrations numériques ortefeuilles dans le plan écart-type / rentabilité attendue références moyenne variance Comparaison entre portefeuille et titres individuels Bénéfices de diversification mpact du coefficient de corrélation Augmentation du nombre du titres Limites de la diversification 3 4

2 Théorie du portefeuille et diversification Ne pas mettre tous ses œufs dans le même panier Le concept de corrélation La compagnie verte vend des parapluies, la compagnie rouge des crèmes solaires. Résultats anticorrélés, le résultat de l ensemble est moins volatile 5 6 Le concept de corrélation Exercice corrélation positive parfaite Corrélation négative parfaite as de corrélation La théorie du portefeuille : écart-type du taux de rentabilité Considérons maintenant la variance de la rentabilité Ou l écart-type en prenant la racine carrée de la variance, On pourra noter comme dans le livre Un résultat classique de probabilités permet d écrire est le coefficient de entre et dépend de qui mesure le degré de liaison entre Source, Columbia premba finance 7 et 8

3 Coefficient de entre les rentabilités (aléatoires) et Définition Au numérateur, covariance entre les rentabilités des titres 1 et 2 : et Au dénominateur, produit des écart-types des rentabilités, et Si, les prix des actions et tendent à varier dans le même sens Si, les prix des actions et tendent à varier dans des sens opposés Si les prix des actions varient de manière indépendante, alors Corrélation positive Corrélation négative llustrations numériques On reprend le premier exemple Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % robabilités assignées à chacune de ces quatre journées On rappelle que %, % ci On introduit un titre Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % robabilités assignées à chacune de ces quatre journées On remarque que 9 Le coefficient de entre et,, est une mesure de la tendance des rentabilités à varier dans le même sens ou en sens inverse Les propriétés de la covariance, sont rappelées dans les transparents suivants On peut aussi écrire le coefficient de comme : rentabilité centrée réduite du titre On rappelle que, Le coefficient de a une valeur comprise entre et : Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % llustrations numériques Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : Ces valeurs normalisées sont identiques à celle du titre 2 dans le transparent précédent Le calcul du coefficient de corrélation est identique

4 Rentabilité du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % llustrations numériques Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : Ces valeurs normalisées sont identiques à celle du titre 2 dans le transparent précédent Le calcul du coefficient de corrélation est identique Rentabilités du titre les 4 dernier jours : llustrations numériques %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, % On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : Le calcul du coefficient de corrélation donne : Rentabilités du titre les 4 dernier jours : llustrations numériques %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, % On vérifie que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : Le calcul du coefficient de corrélation donne Dernier exemple Rentabilités du titre les 6 dernier jours : %, %, %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, %, %, % On vérifie que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : Le calcul du coefficient de corrélation donne On peut obtenir différentes valeurs du coefficient de corrélation alors même que,,, sont identiques, ci, les rentabilités des titres 1 et 2 sont identiques 4 jours sur 6, et opposées les deux autres jours

5 coefficient de corrélation linéaire rix non synchrones : perturbations dans les calculs Ajustements statistiques à prévoir pour estimations non biaisées La théorie du portefeuille : évolution de l espérance et de l écart type Représentation des portefeuilles constitués des titres 1 et 2 dans un plan : où l écart-type de la rentabilité du portefeuille est en abscisse «Mesure de risque» X VarR X 2 X 1 X 1 X et l espérance de rentabilité en ordonnée E R E X ER X ER ER Composition de portefeuille : valeur de Chaque portefeuille est représenté par un point dans le plan (écart-type des rentabilités, espérance des rentabilités) L ensemble de ces points forme une «courbe paramétrée» par (composition du portefeuille) La théorie du portefeuille : évolution de l espérance et de l écart type La théorie du portefeuille Représentation des portefeuilles constitués des titres 1 et 2 dans le plan espérance écart-type En abscisse l écart-type du taux de rentabilité du portefeuille Écart-type : standard deviation En ordonnée l espérance du taux de rentabilité du portefeuille «Expected return» À chaque point bleu correspond une valeur particulière de proportion de la richesse investie dans le titre 1 proportion de la richesse investie dans le titre 2 our ce portefeuille, le risque est plus faible que pour chacun des titres pris isolément 0 X

6 Ensembles des portefeuilles composés des titres 1 et 2 (différents niveaux de corrélation) Ensembles des portefeuilles composés des titres 1 et 2 (différents niveaux de corrélation) proportion de la richesse investie dans le titre 1 proportion de la richesse investie dans le titre 2 Chaque courbe représente l ensemble des portefeuilles combinant les titres 1 et 2 pour un niveau de corrélation, donné mpact du coefficient de corrélation sur le niveau de risque d un portefeuille Exemple :,, -100% -50% 0% 50% 100% 5% 11% 15% 18% 20% 15% 15% 15% 15% 15% Ensembles des portefeuilles composés des titres 1 et 2 (différents niveaux de corrélation) Le concept de diversification Actions Michelin (1), Carrefour (2) Une diminution du coefficient de corrélation, fait diminuer l écart type de la rentabilité sans en changer l espérance (flèche rouge), 23 35%, 42% 1 2 Coefficient de corrélation : 12 0,32 X1 X2 50% 30%, le risque d un portefeuille équipondéré n est que de 24

7 Réduction du risque avec le nombre de titres dans le portefeuille Variance du portefeuille Réduction du risque avec le nombre de titres dans le portefeuille décroit avec le nombre de titres variance d un titre, : coefficient de corrélation Risque incompressible risque pouvant être éliminé par la diversification : risque incompressible Réduction rapide du risque en fonction du nombre de titres Avec 20 titres, 98% du risque diversifiable est éliminé Démonstration du résultat précédent Rappel Xi i ijxix j i j i1 i1 j1, ji Titres symétriques ij, i, j 1,, n : Nombre de titres i, i 1,, ortefeuille équipondéré Comme i1 i1 j1, ji 1 ( 1) 27 Théorie du portefeuille : diversification Risques non «diversifiables»? Le tableau ci-contre montre qu une «mauvaise année» Comme 2008 Les performances des actifs risqués peuvent être fortement négatives Uniformément négative ar taille ar zone géographique ar secteur d activité Ceci ne remet pas en cause le principe de diversification 28

8 Théorie du portefeuille : diversification En période de crise financière, les corrélations tendent à être plus élevées 120 plus grandes entreprises européennes Corrélations en 2008 et en 2013 Théorie du portefeuille : diversification Risques non diversifiables? À droite une mauvaise diversification des risques Facteurs économiques communs Sources de risque affectant simultanément tous les secteurs de l économie hénomènes de contagion ropagation d une difficulté locale à l ensemble de l économie Théorie du portefeuille : diversification La diversification des portefeuilles permet de réduire le risque Sans diminution de l espérance de rentabilité Elle a des limites : risque incompressible La tendance à la diversification internationale et l interconnexion des économies rendent les krachs financiers globaux 31 Théorie du portefeuille : diversification, illustration numérique Reprenons un de nos exemples précédents avec deux titres Rentabilités du titre les 4 dernier jours égales à : %, %, %, %, %, % Rentabilités du titre les 4 dernier jours égales à : %, %, %, %, %, % Considérons un portefeuille équipondéré Les rentabilités sont données par %, %, %, % L espérance de rentabilité est % La variance du taux de rentabilité est égale à L écart-type est égal à, % Diminution du risque sans diminution de l espérance de rentabilité Cette diminution du risque n est effective que les 2 dernières journées 32