Exos. résolus. Maths. Claudine RENARD Geneviève ROCHE

Transcription

1 Exos résolus 1 re ES/L Maths Claudine RENARD Geneviève ROCHE

2 CONCEPTION GRAPHIQUE Couverture : Mélissa Chalot Intérieur : Karine Nayé COMPOSITION, MISE EN PAGES ET SCHÉMAS ScienTech Livre HACHETTE Livre 2015, 58, rue Jean Bleuzen, VANVES CEDEX ISBN : Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays. Le code de la propriété intellectuelle, n autorisant, aux termes des articles L et L.122.5, d une part, que les «copies ou reproductions strictement réservées à l usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective», et d autre part, que «les analyses et courtes citations» dans un but d exemple et d illustration, «toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l auteur ou de ses ayants droits ou ayant cause, est illicite». Cette représentation ou reproduction par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l éditeur ou du Centre français de l exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

3 PRÉFACE Ce livre d exercices traite l ensemble du nouveau programme de mathématiques de 1 re ES (enseignement spécifique) et de 1 re L (enseignement obligatoire). Le livre est organisé en 12 chapitres 11 chapitres proposent l essentiel du cours, puis des exercices et des interrogations écrites corrigés intégralement dans un langage simple et rigoureux ; 1 chapitre est réservé à la résolution de problèmes, leurs corrections étant entièrement détaillées. Les exercices Après un QCM d introduction, qui permet de faire un tour d horizon rapide du chapitre, les exercices sont regroupés par thème et rangés par ordre de difficulté croissante. La difficulté des exercices est signalée par des pictogrammes : exercice de base, exercice nécessitant davantage de méthode et de réflexion, exercice difficile destiné à ceux qui souhaitent approfondir des notions du chapitre. Une durée indicative de résolution figure avant chaque exercice ; ce temps a été estimé pour un bon élève. L utilisation de logiciels, d outils de visualisation et de simulation, qui favorise les démarches d investigation, est fréquente et largement commentée. L algorithmique et la programmation prennent une place naturelle dans tous les chapitres. Les corrigés des exercices sont détaillés, enrichis d un rappel du cours (sur fond jaune) chaque fois que nécessaire et de commentaires (en bleu) pour faciliter la compréhension du raisonnement à tenir. Nous sommes persuadées que cet ouvrage vous apportera une aide précieuse dans votre travail, vous inculquera des méthodes durant cette année scolaire et vous préparera efficacement à la classe de terminale. Il nous reste à vous souhaiter bon courage! Les auteures 3

4 Sommaire 4 Préface... 3 Index des mots clés Mise au point sur les fonctions Cours... 9 Exercices Vrai ou faux? Ensemble de définition Courbe représentative et lecture graphique 13 Parité, imparité Sens de variation Minimum, maximum d une fonction Avec un logiciel de géométrie dynamique 18 Les interrogations écrites Corrigés des exercices Fonctions polynômes. Fonctions polynômes du second degré Cours Exercices Vrai ou faux? Fonctions polynômes Sens de variation et courbe d une fonction polynôme du second degré Équations du second degré Algorithme de résolution d une équation du second degré Signe d un polynôme du second degré Résolution d équations Les interrogations écrites Corrigés des exercices Fonctions usuelles, fonctions associées Cours Exercices Vrai ou faux? Sens de variation des fonctions usuelles Équations Encadrements Sens de variation de fonctions associées Courbes de fonctions associées Résolution graphique...65 Les interrogations écrites...65 Corrigés des exercices Dérivation Cours...80 Exercices...83 Vrai ou faux?...83 Nombre dérivé et tangente...83 Calculs de dérivées...85 Les interrogations écrites...86 Corrigés des exercices Applications de la dérivation Cours...97 Exercices...98 Vrai ou faux?...98 Sens de variation...98 Minimum, maximum, extremum Comparaison de fonctions Les interrogations écrites Corrigés des exercices Fonctions et problèmes Exercices Etude de fonctions Optimisation Résolution d équations Économie Les interrogations écrites Corrigés des exercices Pourcentages Cours Exercices Vrai ou faux? Notions de pourcentage Coefficient multiplicateur Fonctions linéaires Évolutions successives...142

5 Pourcentage d évolution Indices Les interrogations écrites Corrigés des exercices Mode de génération d une suite Cours Exercices Vrai ou faux? Calculs de termes Représentation graphique Sens de variation, majorant, minorant Les interrogations écrites Corrigés des exercices Suites arithmétiques Suites géométriques Cours Exercices Vrai ou faux? Suites arithmétiques Suites géométriques Calcul de sommes Quelques problèmes concrets Les interrogations écrites Corrigés des exercices Statistiques Cours Exercices Vrai ou faux? Mode, moyenne, médiane Quartiles Utilisation de la calculatrice Utilisation du tableur Transformation affine de données Boîte-à-moustaches Lissage par moyennes mobiles Les interrogations écrites Corrigés des exercices Probabilités Cours Exercices Vrai ou faux? Loi de probabilité Simulation d expériences aléatoires Probabilité d un événement Variables aléatoires L interrogation écrite Corrigés des exercices Loi binomiale Cours Exercices Vrai ou faux? Variables aléatoires de Bernoulli Coefficients binomiaux Variables aléatoires binomiales Échantillonnage L interrogation écrite Corrigés des exercices

6

7 INDEX DES MOTS CLÉS A E M Augmentation 138 B Bernoulli (épreuve de) 281 Bernoulli (loi de) 281 Boîte médiane 216 Boîte moyenne 216 Boîte-à-moustaches 216 Bornée (suite) 161 Écart interquartile 215 Écart type 215, 251 Ensemble de définition d une fonction 9 Espérance mathématique 250 Étendue 214 Événement 249 Évolution138 Évolution exponentielle 188 Évolution linéaire 187 Expérience aléatoire 250 Majorant 10 Majorée (suite) 161 Maximum 10 Médiane 214 Minimum 10 Minorant 10 Minorée (suite) 161 Mode 212 Modéliser une expérience aléatoire 251 Monotone (suite) 161 Moyenne 213 C Coefficient multiplicateur 137 Coefficients binomiaux 282 Constante (fonction) 97 Contraire (événement) 249 Courbe représentative d une fonction 9 Croissante (fonction) 10, 97 Croissante (suite) 161 D Décroissante (fonction) 10, 97 Décroissante (suite) 161 Fonction affine 57 Fonction carré 37 Fonction cube 58 Fonction inverse 58 Fonction racine carrée 58 Formule de Pascal 282 Impaire (fonction) 10 Incompatibles (événements) 249 Indice 138 F I Intervalle de fluctuation 283 Nombre dérivé 80 Paire (fonction) 9 Parabole 32 Polynôme 31 Pourcentage 137 Proportionnalité 137 Quartile 214 N P Q Dérivée 81 Diminution 138 Discriminant 31 Distribution de proportionnalité 249 L Loi binomiale 281 Loi de probabilité 250 R Racine 32 Raison 186, 187 7

8 S T V Strictement croissante (fonction) 10 Suite arithmétique 186 suite géométrique 187 Tangente 80 Taux 138 Triangle de Pascal 282 Variance 215, 250 8

9 CHAPITRE 1 Mise au point sur les fonctions LE COURS Ensemble de définition Définition L ensemble de définition d une fonction f de dans est l ensemble des réels qui admettent une image par f ; on note usuellement f cet ensemble. Exemples L ensemble de définition de la fonction x x 3 est (car tout nombre réel admet un cube). L ensemble de définition de la fonction x x est + (car les seuls réels qui admettent une racine carrée sont les réels positifs ou nuls). Courbe représentative Définition Le plan étant rapporté à un repère, la courbe représentative d une fonction f est la courbe d équation : y= f( x), c est-à-dire l ensemble des points de coordonnées ( x, f( x) ), x décrivant l ensemble de définition de f. Propriété Si est la courbe représentative d une fonction, alors toute droite parallèle à l axe des ordonnées coupe en au plus un point. Parité, imparité Définitions Soit f une fonction dont l ensemble de définition f est symétrique par rapport à O. f est paire si, et seulement si, pour tout x de f : f( x) = f( x) 9

10 f est impaire si, et seulement si, pour tout x de f : f( x) = f ( x) Propriétés Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d une fonction paire est symétrique par rapport à l axe des ordonnées et la courbe représentative d une fonction impaire est symétrique par rapport à l origine du repère. Sens de variation Définitions Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est croissante sur I si, et seulement si, pour tous x et x de I : si x x, alors f( x) f( x ) (f conserve les inégalités larges). f est décroissante sur I si, et seulement si, pour tous x et x de I : si x x, alors f( x) f( x ) (f renverse les inégalités larges). f est strictement croissante sur I si, et seulement si, pour tous x et x de I : si x x, alors f( x) f( x ) (f conserve les inégalités strictes). f est strictement décroissante sur I si, et seulement si, pour tous x et x de I : si x x, alors f( x) f( x ) (f renverse les inégalités strictes). Minorant, majorant, minimum, maximum d une fonction Soient f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 un élément de I. Définitions Un réel m est un minorant de f sur I si, et seulement si, pour tout x de I : m On dit alors que f est minorée par m sur I. f( x) Un réel M est un majorant de f sur I si, et seulement si, pour tout x de I : f( x) M On dit alors que f est majorée par M sur I. f( x 0 ) est le minimum de f sur I si, et seulement si, pour tout x de I : f( x) f( x 0 ) f( x 0 ) est le maximum de f sur I si, et seulement si, pour tout x de I : f( x) f( x 0 ) 10