1 Construction par couche d un matériau élastique

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1 GEFDYN - Tests de construction par couches 1D d un sol bi-phasique saturé 1 Tests de construction par couches 1D d un sol bi-phasique saturé 12 avril 6 Fernando Lopez-Caballero & Arezou Modaressi Version de Gefdyn : Dyn7223-PC Tests associés : cccel_dp_q44p cccnl_mc2_q88p cccnl_mc_q84p cccnl_mc_dt_q88p Modèle élastique linéaire éléments à 4 noeuds Modèle élastique non linéaire éléments à 8 noeuds Modèle élastique non linéaire éléments à 8 noeuds Modèle élastique non linéaire éléments à 8 noeuds maillage raffiné 1 Construction par couche d un matériau élastique Afin d étudier le problème de construction par couches 1D et de la consolidation unidimensionnelle du matériau, nous proposons d étudier la réponse de la construction d une colonne de sol (Figure 1). L équation d équilibre statique se réduit à: σ zz u z + ρ g = où σ zz est la contrainte totale verticale, u z le déplacement vertical, g l accélération de la pesanteur et ρ la densité du sol donnée par: ρ = ρ s (1 n) + ρ w n où ρ s désigne la densité des grains, ρ w la densité de l eau et n la porosité du sol. L intégration de l équation d équilibre et l application des conditions aux limites (σ zz = à z = H) donnent : σ zz = ρ g (H z) où H est la hauteur de la couche. En condition hydrostatique on a : p w z ρ w g = qui après l intégration et l application des conditions aux limites (p w = à z = H) donne: p w = ρ w g (H z) En appliquant le principe des contraintes effectives de Terzaghi (σ zz = σ zz p w ), on obtient: où ρ est la densité du sol déjaugé donnée par: σ zz u z + ρ g = ρ = (ρ s ρ w ) (1 n) En supposant un comportement élastique isotrope pour le milieu, en conditions 1D et en déformations planes, on peut écrire: σ zz = E u z z E (1 ν) E = (1 2ν)(1 + ν)

2 GEFDYN - Tests de construction par couches 1D d un sol bi-phasique saturé 2 où E et ν sont le module de Young et le coefficient de Poisson. Si l on considère une élasticité non linéaire en exprimant le module d Young E en fonction du module initial E ref sous la pression de référence p ref : E = E ref ( p p ref ) nel où p = T r(σ )/3 et n el est le paramètre de non linéarité. Lorsque l on a un comportement élastique, on suppose: σ zz ε zz = E En injectant cette relation dans l équation d équilibre, et en appliquant les conditions aux limites, on obtient le profil de déplacements donné par la relation suivante pour un matériau isotrope élastique linéaire: u z (z) = ρ g E ) (H z z2 2 Dans le cas d un matériau élastique non linéaire, avec n el égal à., la solution analytique des déplacements générés, est donnée par : u z (z) = 12ρ g p ref 3E ref [(H z) 1. H 1. ] 1.1 Géométrie On utilise un modèle bidimensionnel en déformations planes. Le profil du sol est composé de 11 couches horizontales. L épaisseur de chaque couche est de 2m et la hauteur totale du profil est de 22m. Dans tous les cas étudiés, la première couche du sol (i.e. élément 1 de la figure 1) est supposée construite avant la première étape de calcul et la nappe phréatique se trouve au niveau de la surface de cette couche (i.e. 2m). 2 m 22 m 1 Fig. 1 Maillage utilisé.

3 GEFDYN - Tests de construction par couches 1D d un sol bi-phasique saturé 3 Le maillage comprend 11 éléments solides 2D de type quadrangle isoparamétrique de 4 à 8 noeuds (NPAR(1)=2) avec 4 points d intégration. Selon le cas étudié, 4 ou 8 noeuds sont utilisés pour les degrés de liberté en pression de chaque élément. Dans ce qui suit, les résultats des calculs sont donnés avec la convention suivante NuMp où N représente le nombre total de noeuds utilisés par élément et M le nombre de noeuds utilisés pour le degré de liberté en pression (e.g. 4u4p, 8u4p et 8u8p). Tous les noeuds (N) sont utilisés pour décrire les déplacements. Deux modèles de comportement sont considérés pour simuler le comportement du sol, modèle élastoplastique de (ou Mohr-Coulomb) (MODEL=NPAR(1)=1) pour l élasticité linéaire ainsi que celui de Mohr-Coulomb (MODEL=NPAR(1)=8) pour l élasticité non-linéaire. 1.2 Conditions aux limites et chargements Conditions aux limites Les déplacements sur les frontières latérales du modèle sont considérés bloqués latéralement et l on permet uniquement le déplacement vertical. Les noeuds à la base sont bloqués en déplacement. Pour les conditions hydrauliques, tous les noeuds ont le degré de liberté libre sauf ceux qui se trouvent à la surface du maillage (i.e. 22m) afin de simuler la condition de drainage Chargements mécaniques Une courbe de construction est donné pour les éléments se trouvant au-dessus de 2m. Cette courbe correspond à une vitesse de construction de 2 6 m/s ( 17cm/jour) et elle va de 2 à 22m en étapes. Le milieu est donc considéré pesant (MODEL=NPAR(8)=1) selon la courbe de construction et les masses du sol et de l eau seront appliquées Propriétés du fluide La masse volumique du fluide interstitiel DENW (ρ w ) est égale à kg/m 3 et sa compressibilité COMPRW ( ) est égale à P a Conditions initiales Les contraintes initiales sont calculées dans les éléments existants au début du calcul en fonction de la hauteur déjà construite (i.e. 2.m) en utilisant l option NCOUCH. Pour ce qui est les contraintes initiales dans les couches que l on construit on a choisi différentes options selon le modèle de comportement. Pour MODEL=NPAR(1)=1, les contraintes effectives initiales dans ces éléments sont nulles. Dans d autres modèles, la contrainte effective initiale correspond au poids d une couche de.m constituée du même matériau. Cette initialisation est indispensable pour les matériaux dont les propriétés dépendent de l état initial et son choix peut avoir des conséquences sur la réponse finale. 1.4 Paramètres numériques L intégration numérique est effectuée par la méthode de Gauss en utilisant 4 points d intégration par élément. La tolérance sur les déplacements est égale à.1 et la tolérance sur le déséquilibre est égal à.1. L algorithme de Newton modifié est utilisé. 1. Résultats en élasticité linéaire - CCCEL Afin de modéliser le comportement élastique linéaire du sol, nous utilisons le modèle de comportement élastoplastique de (MODEL=NPAR(1)=1). Pour assurer le compor-

4 GEFDYN - Tests de construction par couches 1D d un sol bi-phasique saturé 4 tement élastique linéaire, des valeurs de cohésion très élevées sont utilisées. Les caractéristiques mécaniques du matériau utilisé sont données dans le tableau 1. Module de Young E (MP a) Coef. de Poisson ν.3 Angle de frottement φ ( o ) 3 Angle de dilatance ψ ( o ) Cohésion C (P a) 1 Coef.de poussée des terres initial ko. Perméabilité saturée à la porosité initiale k w (m/s) 1 Masse volumique ρ s (kg/m 3 ) 27 Porosité initiale n.3 Tab. 1 Caractéristiques mécaniques utilisées pour le modèle. La variation de la contrainte effective verticale (σ v) avec la hauteur obtenue au début et à la fin de la construction sur chaque point d intégration est montrée dans la figure 2. On constate que la distribution de σ v à la fin de la construction est en accord avec la distribution obtenue en utilisant la relation σ v = ρ g z, où ρ correspond à la masse volumique du matériau déjaugé (ρ = (ρ s ρ w ) (1 n)). 2 2 = Pa 1 t = 1 6 s = Pa 1 t = 1 6 s 1 quad4 4u4p Vertical stress, σ v [kpa] 2 1 Vertical stress, σ v [kpa] Fig. 2 Variation de la contrainte effective verticale avec la hauteur de la colonne : éléments quad4, b) éléments quad8. Si l on compare les réponses obtenues en utilisant des éléments à 4 et à 8 noeuds (Figure 2), on observe une meilleur approximation de la réponse lorsque l on utilise des éléments à 8 noeuds (quad8). En ce qui concerne la variation de la pression interstitielle avec la hauteur de la colonne, l effet de la variation du type d élément sur la réponse à la fin de la construction est négligeable (Figure 3). ement, la distribution du tassement avec la hauteur de la colonne à la fin de la construction est montrée sur la figure 4. Cette distribution est indépendante du type d élément utilisé. 1.6 Résultats en élasticité non linéaire - CCCNL Afin de modéliser le comportement élastique non linéaire du sol, nous utilisons le modèle de comportement élastoplastique de Mohr-Coulomb (MODEL=NPAR(1)=8). Pour assurer le com-

5 GEFDYN - Tests de construction par couches 1D d un sol bi-phasique saturé 2 2 = Pa 1 t = 1 6 s = Pa 1 t = 1 6 s 1 quad4 4u4p pw [kpa] 1 2 pw [kpa] Fig. 3 Variation de la pression interstitielle avec la hauteur de la colonne : a) éléments quad4, b) éléments quad = Pa 1 t = 1 6 s Settlement [cm] Fig. 4 Distribution du tassement à la fin de la construction. portement élastique non linéaire, des valeurs de cohésion très élevées sont utilisées. Les caractéristiques mécaniques du matériau utilisé sont données dans le tableau 2. Module de Young sous la pression de référence E ref (MP a) Coef. de Poisson ν.3 Exposant de la loi élastique n el.2 ou. Angle de frottement φ ( o ) 3 Angle de dilatance ψ ( o ) Cohésion C (P a) 1 Pression de référence p ref (MP a) 1 Coef.de poussée des terres initial ko. Perméabilité saturée à la porosité initiale k w (m/s) 1 Masse volumique ρ s (kg/m 3 ) 27 Porosité initiale n.3 Tab. 2 Caractéristiques mécaniques utilisées pour le modèle Mohr-Coulomb.

6 GEFDYN - Tests de construction par couches 1D d un sol bi-phasique saturé 6 La variation de la contrainte effective verticale avec la hauteur obtenue au début et à la fin de la construction sur chaque point d intégration est montrée dans la figure. On constate que la distribution de σ v à la fin de la construction est en accord avec la distribution analytique sur les derniers mètres. Par contre à la base du modèle on obtient des valeurs un peu plus élevées. Cette différence est plus importante lorsque la non linéarité du sol augmente, c est-à-dire, pour des valeurs de n el plus grandes. Ceci veut dire qu il est nécessaire de raffiner le maillage afin d améliorer la réponse du modèle. 2 2 = Pa 1 t = 1 6 s = Pa 1 t = 1 6 s 1 =.2 1 =. 2 1 Vertical stress, σ [kpa] v Vertical stress, σ [kpa] v Fig. Variation de la contrainte effective verticale avec la hauteur de la colonne, éléments quad8 : a) n el =.2, b) n el =.. Dans la figure 6 on montre la variation de l erreur sur la contrainte effective verticale obtenue avec la hauteur en utilisant un modèle plus raffiné. Dans ce modèle on utilise des éléments quad8 8u8p avec une épaisseur de 1m, ce qui permet aussi de réduire la valeur de t utilisé dans le modèle, c est-à-dire, on passe de t = 1 6 s à t = s. 2 =.2 2 =. 1 1 t = 1 6 s t = s Vertical stress error, (σ v σ v theo )/σ v theo [%] t = 1 6 s t = s Vertical stress error, (σ v σ v theo )/σ v theo [%] Fig. 6 Variation de l erreur sur la contrainte effective verticale avec la hauteur de la colonne, effet du choix de t : a) t = 1 6 s, b) t = s. On constate que ce raffinement du maillage réduit la valeur de l erreur obtenue sur la contrainte verticale et que cette réduction est d autant plus importante que le sol sera plus non linéaire. Pour plus de matière sur le sujet voir les références.

7 GEFDYN - Tests de construction par couches 1D d un sol bi-phasique saturé 7 Références [1] Aubry, D. and Modaressi A. A rational approach to the analysis of construction filling or excavation. Proceedings of Numerical Models in Geomechanics, NUMOG III, Niagara Falls, Pietruszczak and Pande eds. Elsevier Applied Science, 4 462,1989. [2] Modaressi, H. and Roux F. Critical look on new approach for geometrically evolving domains in geomechanics. Communications in Numerical Methods in Engineering, :469 48, [3] Modaressi-Farahmand Razavi, A. Modélisation des milieux poreux sous chargements complexes. Diplôme d Habilitation à Diriger des Recherches, Institut National Polytechnique de Grenoble, Grenoble, France, 3. [4] Picollet E. Contribution aux algorithmes de résolution non linéaire des problèmes couplés en géomécanique. Thèse de Docteur, Ecole Centrale Paris, Châtenay Malabry, France, 1997.