Propagation des ondes électromagnétiques

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1 Ondes Électromagnétiques Propagation des ondes électromagnétiques 1 Equation d onde 1.1 Préliminaires On va ici étudier des signaux variant sinusoïdalement dans le temps, on utilisera donc la notation complexe. On considère un milieu homogène, isotrope ε,ε,µ,µ,σ 0 On a alors les équations suivantes rot E = jωµ ch rot H = jωε c E + σ E = jωεca E div D = 0 div B = 0 D = ε c E = (ε jε ) E B = µ ch = (µ jµ ) H ε ca = ε c j σ ω 1. Equation d onde On a rot E = jωµ ch donc rot( rot E ) = rot( jωµch) Or rot( rot E ) = grad div E E et div E = 0 donc E = jωµ c.jωε ca E et finalement on a : de même on montre qu on a : E + ω µ c ε ca E = 0 H + ω µ c ε ca H = Solution des équations d onde en régime homogène et dans un milieu infini Dans un milieu homogène infini on a des solutions de la forme : E (x, y, z) = A 1 (x, y, z) exp(jψ 1 (x, y, z)) A (x, y, z) exp(jψ (x, y, z)) A 3 (x, y, z) exp(jψ 3 (x, y, z)) Alors on a E (x, y, z, t) = R( E (x, y, z) exp(jωt)) et E i (x, y, z, t) = A i (x, y, z)cos(ωt + ψ i (x, y, z)) 1.4 Surface équiphase (SEP) Pour une composante E i (x, y, z, t) on définit la surface équiphase comme étant toute surface telle que, à t 0 fixé, la phase absolue de E i soit constante. Pour une SEP on a donc : ωt 0 +ψ i (x, y, z) = cst ie ψ i (x, y, z) = cst, ainsi les surfaces équiphases se propagent. 1.5 Surface équiamplitude (SEA) Pour une composante E i (x, y, z, t) on définit la surface équiamplitude comme étant toute surface telle que l amplitude A i de E i soit constante. Pour une SEP on a donc : A i (x, y, z) = cst Ondes Électromagnétiques - Chap 3: Propagation des ondes électromagnétiques TELECOM 1A (r0ro) Page 1/5

2 1.6 Quelques types d onde particuliers Onde homogène : SEA et SEP sont confondues Onde inhomogène : Il existe une composante telle que SEA et SEP soient distinctes. Onde plane : SEA et SEP sont des plans Onde cylindrique : SEA et SEP sont des cylindres Onde sphérique : SEA et SEP sont des sphères 1.7 Classification des modes de propagation En général les ondes se propagent dans une direction privilégiée (on choisit ici Oz). Cette direction est appelée direction longitudinale. On distingue alors les différents cas suivants : E z = 0 et H z = 0, l onde est alors Transverse Electromagnétique (TEM) E z = 0 et H z 0, l onde est alors Transverse Electrique (TE) E z 0 et H z = 0, l onde est alors Transverse Magnétique (TM) E z 0 et H z 0, l onde est alors Hybride Caractéristiques de la propagation.1 SEP - Vecteur d onde On considère l onde A(x, y, z)cos(ωt + ψ(x, y, z). La phase de cette onde est Φ(x, y, z, t) = ωt + ψ(x, y, z) à t 0 fixé on a la surface équiphase S 1 définie par S 1 : ωt 0 + ψ 1 (x, y, z) = Φ 1 On prend un point P 1 S 1 et on considère une autre surface équiphase S au même t 0. On prend alors P S et on note Φ = Φ 1 + dψ et dr = P 1 P. dψ = ψ x ψ ψ dx + dy + y z dz, dψ = Définition 1 : Vecteur d onde grad ψ. dr On définit alors le vecteur d onde k de la manière suivante : k = grad ψ Alors on a Φ Φ 1 = k. dr. Comme grad ψ S 1 en chaque point on a k S 1, ainsi k. dr est maximum si k // dr. Donc Φ Φ 1 est maximal si on se déplace de P 1 à P sur la normale à S 1 passant pas P 1. Si P S 1 alors Φ = Φ 1. Propagation des SEP - Vitesse de phase On considère deux SEP infiniment voisines. On prend P 1 appartenant à S 1 et P appartenant à S. A l instant t 0 on a Φ 1 = ωt 0 + ψ 1 = cst et Φ = ωt 0 + ψ = ωt 0 + ψ 1 k dr = cst. A l instant t 0 + dt on a alors : Φ 1 = ω(t 0 + dt) + ψ 1 et Φ = ω(t 0 + dt) + ψ 1 k dr Si la propagation de S est identique à celle de S 1 alors Φ = Φ 1 donc ω(t 0 + dt) + ψ 1 k. dr = ωt 0 + ψ 1 et ωt = k. dr Donc k indique le sens de propagation et ωt = k dr. On a alors la vitesse de phase (ie la vitesse de propagation des SEP) : k dépend a priori de (x, y, z) dr dt = ω k = v ϕ.3 Constante de phase - Longueur d onde Dans le cas où k est indépendant de (x, y, z), on note k = β la constante de phase. (en rad.m 1 ) Définition : Longueur d onde La longueur d onde est la distance entre deux SEP dont les phases différent de π. On note λ la longueur d onde (en m). Ondes Électromagnétiques - Chap 3: Propagation des ondes électromagnétiques TELECOM 1A (r0ro) Page /5

3 On a alors k. dr = π, βλ = π donc β = π λ.4 Vecteur d affaiblissement On considère la composante d une onde E i (x, y, z) = A i (x, y, z) exp(jψ i (x, y, z)) = exp(a i (x, y, z)) exp(jψ i (x, y, z)) Pour une surface équiamplitude (SEA) on a : A i (x, y, z) = cst (a i (x, y, z) = cst). Définition 3 : Vecteur d affaiblissement Le vecteur d affaiblissement est donné par la relation : k indique la direction d affaiblissement de l onde. k = grad(a(x, y, z)).5 Constante de perte Définition 4 : Constante de perte Si le vecteur d affaiblissement est indépendant de (x, y, z) alors on note k = α la constante de perte (en np.m 1 ) (np = neper, unité sans grandeur comme le radian).6 Vecteur d onde complexe On considère deux points de l espace P 1 et P, on a alors : E i (P 1 ) = exp(a i (P 1 )) exp(jψ 1 (P 1 )) et E i (P ) = exp(a i (P 1 ) k. P 1 P ) exp(j(ψ 1 (P 1 ) k. P 1 P )) Donc E i (P ) = E i (P 1 ) exp( k. P 1 P j k. P 1 P ). On peut alors définir le vecteur d onde complexe k c tel que : On a alors E i (P ) = E i (P 1 ) exp( k c. P 1 P ). 3 Groupes d onde j k c = k + j k 3.1 Distorsions introduites par la propagation Vitesse de phase constante : milieu sans affaiblissement Dans ce cas de figure le courant de transmission est idéal, il n y a donc pas de déformation des signaux, quelque soit le signal considéré Vitesse de phase variable, milieu sans affaiblissement Dans ce cas les signaux vont se propager à des vitesses différentes en fonction de leur fréquence, on va donc avoir une distorsion de phase Vitesse de phase variable, affaiblissement variable Dans ce cas le milieu est encore dispersif donc on aura encore une distorsion de phase mais en plus on aura une distorsion d amplitude. 3. Battement de deux ondes de fréquences voisines On considère ici deux ondes : { ω1 et β 1 onde n 1 ω et β onde n On introduit ω 0 = ω 1 + ω, ω = ω 1 ω ω 0 alors ω 1 = ω 0 + ω et ω = ω 0 ω De même on a : β 1 = β 0 + β et β = β 0 β On considère que ces ondes ont la même amplitude donc E 1 = E 0 cos(ω 1 t β 1 z) et E 1 = E 0 cos(ω t β z) Ondes Électromagnétiques - Chap 3: Propagation des ondes électromagnétiques TELECOM 1A (r0ro) Page 3/5

4 D après le théorème de superposition on aura l onde totale E = E 1 + E, donc E = E 0 (cos((ω 0 + ω )t (β 0 + β )z) + cos((ω 0 ω )t (β 0 β )z)) E = E 0 cos(ω 0 t β 0 z) cos( ω t β z) Comme ω ω 0 le terme E 0 cos( ω t β z) est lentement variable devant cos(ω 0t β 0 z) On a donc un phénomène de battements : A l instant t 1 et en z 1 on a cos( ω t 1 β z 1) et à l instant t en z on a cos( ω t β z ). Donc si le déplacement se fait à la même vitesse que l amplitude on a : ω t 1 β z 1 = ω t β z, ω(t t 1 ) = β(z z 1 ), on définit alors la vitesse de groupe (en m.s 1 ) : v g = z z 1 t t 1 = ω β Pour un paquet d ondes on a v g = dω dβ 3.3 Diagramme de dispersion Une relation de dispersion est un relation liant β à ω. Le diagramme de dispersion représente la variation de β en fonction de ω ou de ω en fonction de β Milieu non dispersif Pour un milieu non dispersif on a : v ϕ = ω = cst = a donc ω = aβ β v g = dω dβ = a = v ϕ On a donc le diagramme de dispersion suivant : Ondes Électromagnétiques - Chap 3: Propagation des ondes électromagnétiques TELECOM 1A (r0ro) Page 4/5

5 3.3. Milieu dispersif à dispersion normale Pour un milieu dispersif on a v ϕ cst On a alors le diagramme de dispersion suivant : Dans le domaine 0 < ω < ω c il n y a pas de propagation possible, avec ω c la pulsation de coupure Milieu dispersif à dispersion anormale On a alors le diagramme de dispersion suivant : Dans le domaine 0 < ω < ω c il n y a pas de propagation possible. Dans le domaine ω c < ω < ω c on a -Pour 0 < β < β c on a une dispersion anormale -Pour β c < β on a une dispersion normale Dans le domaine ω c < ω on a une dispersion normale Ondes Électromagnétiques - Chap 3: Propagation des ondes électromagnétiques TELECOM 1A (r0ro) Page 5/5