Chapitre 1 : Plus Grand Commun Diviseur ou P G C D

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1 Chapitre 1 : Plus Grand Commun Diviseur ou P G C D Le PGCD est utilisé pour simplifier des fractions et pour résoudre des problèmes de partage de deux quantités à la fois. Exemple : Pour partager bonbons entre 2 enfants, on fait la division : 2 = 4 On donne 4 bonbons à chaque enfant. On a maintenant bonbons et 6 sucettes à partager équitablement entre le plus possible d enfants : 2 = 4 et 6 2 = 3 2 enfants auront chacun 4 bonbons et 3 sucettes.

2 1) Vocabulaire : 2 = 4 donc 2 est un diviseur de. On peut faire la liste des diviseurs de et de 6 : 1, 2, 4 et sont des diviseurs de et 1, 2, 3 et 6 sont des diviseurs de 6. 1 et 2 sont donc des diviseurs communs de et de 6. 2 est le plus grand de ces diviseurs communs. On dit que 2 est le Plus Grand Commun Diviseur de et de 6. On note PGCD ( ; 6) = 2. Pour partager équitablement bonbons et 6 sucettes entre le plus possible d enfants, on divise et 6 par leur PGCD qui est 2 : 2 = 4 et 6 2 = 3 On peut donc partager les bonbons et les 6 sucettes entre 2 enfants. Ils auront chacun 4 bonbons et 3 sucettes. Le nombre maximal d enfants qu on peut récompenser est égal au PGCD. On divise les deux nombres par le PGCD et on obtient le nombre de bonbons et de sucettes à donner à chacun.

3 2) Méthode des soustractions : Il n est pas toujours pratique de faire la liste des diviseurs de deux nombres. La méthode des soustractions permet de trouver le PGCD : 1) On soustrait les deux nombres et on remplace le plus grand des deux par le résultat de la soustraction. 2) On recommence jusqu à obtenir zéro. 3) Le PGCD est le dernier résultat non nul. Exemple : calculer le PGCD ( ; 6) Le dernier résultat non nul est 2 donc PGCD ( ; 6) = 2. Remarque : on utilise les deux nombres du bas pour faire la soustraction suivante.

4 3) Méthode des divisions (ou algorithme d Euclide) : Il y a une méthode plus rapide que celle des soustractions pour trouver le PGCD de deux nombres. C est la méthode des divisions : 1) On divise les deux nombres en s arrêtant avant la virgule (division euclidienne) 2) On divise le diviseur par le reste. 3) On recommence jusqu à obtenir un reste égal à zéro. 4) Le PGCD est le dernier reste non nul. Exemple : calculer le PGCD ( ; 6) Le dernier reste non nul est 2 donc PGCD ( ; 6) = 2 Remarques : Une seule division 6 : 2 = 3 a remplacé les trois soustractions de la méthode des soustractions. Certaines calculatrices ont la touche pour la division euclidienne et donnent le quotient entier et le reste. Il y a aussi la touche PGCD.

5 4) Nombres premiers entre eux : Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Deux nombres qui ont un diviseur commun différent de 1 ne sont pas premiers entre eux. Pour montrer que deux nombres sont premiers entre eux, il faut calculer leur PGCD et trouver 1. Exemple : Montrer que 4 et 3 sont premiers entre eux. Calcul du PGCD(4 ; 3) par la méthode des divisions : est le dernier reste non nul donc PGCD(4 ; 3) = 1 4 et 3 sont donc premiers entre eux. 5) Rendre une fraction irréductible : Rappel : une fraction est irréductible lorsqu on ne peut plus la simplifier. Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Le PGCD est le diviseur commun le plus grand. Pour rendre une fraction irréductible, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD. Exemple : donner la fraction irréductible égale à 6. On calcule le PGCD( ;6) par la méthode qu on veut. PGCD( ; 6) = 2 6 = : 2 6 : 2 = 4 3 et 4 3 est irréductible. Le numérateur et le dénominateur d une fraction irréductible sont premiers entre eux. Leur PGCD est égal à 1. Remarque : Certaines calculatrices donnent directement la fraction irréductible.

6 Annexe : extrait du programme officiel : 2.1. Nombres entiers et rationnels Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. - Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux entiers (algorithme des soustractions, algorithme d Euclide). Plusieurs méthodes peuvent être envisagées. - Calculer le PGCD de deux entiers. - Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. La connaissance de relations arithmétiques entre nombres que la pratique du calcul mental a permis de développer permet d identifier des diviseurs communs de deux entiers. Le recours à une décomposition en produits de facteurs premiers est possible dans des cas simples mais ne doit pas être systématisée. Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul formel sont exploités. Fractions irréductibles. - Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. Dans le cadre du socle commun, les élèves utilisent leur calculatrice pour rendre irréductible une fraction donnée.