Systèmes linéaires et échelonnement

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1 Systèmes linéaires et échelonnement 1 Systèmes linéaires, résolution de systèmes échelonnés Équations linéaires Systèmes linéaires Compatibilité et structure de l'ensemble des solutions Résolution des systèmes échelonnés Échelonnement et méthode du pivot Opérations élémentaires sur les lignes Échelonnement et algorithme du pivot de Gauss-Jordan Système échelonné réduit, rang Exemple de résolution d'un système avec paramètre Synthèse : méthode de résolution d'un système linéaire Dans tout ce qui suit K désigne R ou C. 1 Systèmes linéaires, résolution de systèmes échelonnés. 1.1 Équations linéaires. Dénition 1. Soient p N et a 1,..., a p, b K. On appelle équation linéaire ( à p inconnues ) de coecients a 1,..., a p et de second membre b l'équation a 1 x 1 + a 2 x a p x p = b (E) On appelle solution de l'équation tout p-uplet (x 1,..., x p ) K p satisfaisant l'égalité (E). On appelle équation homogène associée l'équation a 1 x 1 + a 2 x a p x p = 0 (H). Remarque. Le p-uplet nul (0,..., 0) est toujours solution d'une équation linéaire homogène à p inconnues : quelles que soient les valeurs de a 1,..., a p, a a p 0 = 0. Dans la suite de ce paragraphe, on examine les cas p = 2 et p = 3 (avec K = R), pour lesquels on peut représenter les solutions dans le plan ou dans l'espace : on retrouve des équations de droite ou de plan. Dans le cas p = 2, plutôt que (x 1, x 2 ), l'inconnue sera notée (x, y). Dans le cas p = 3, plutôt que (x 1, x 2, x 3 ), l'inconnue sera notée (x, y, z). 1 PCSI1 Ly c é e A l be r t S chwe i t z e r

2 Proposition 2 (Cas p = 2). Soient trois réels a, b, c. On considère l'équation ax + by = c (E) d'inconnue (x, y) R 2. On note S E l'ensemble de ses solutions. { SE = si c 0 Si (a, b) = (0, 0), alors S E = R 2 si c = 0. Si (a, b) (0, 0), alors l'équation admet une solution particulière (x 0, y 0 ) et l'ensemble des solutions s'écrit sous la forme S E = {(x 0, y 0 ) + λ( b, a), λ R} = {M 0 + λ u, λ R}, où on a noté M 0 = (x 0, y 0 ) et u = ( b, a). Cet ensemble est appelé droite ane passant par M 0 et de vecteur directeur u. L'ensemble {λ u, λ R}, appelé droite vectorielle, n'est autre que l'ensemble des solutions de l'équation homogène associée. C'est l'ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur non nul n = (a, b), appelé vecteur normal à la droite. Dénition 3. Soit u un vecteur de R 2. On peut noter Vect( u ) l'ensemble Vect( u ) = {λ u, λ R}. Remarque. Si u est non nul, Vect( u ) est la droite vectorielle dont u est un vecteur directeur. Si u = (0, 0), l'ensemble Vect( u ) est réduit au vecteur nul : Vect( u ) = {(0, 0)}. Figure. Exemple. Résoudre l'équation 2x 3y = 2 puis l'équation x = 1 dans R 2. 2

3 Proposition 4 (Cas p = 3). Soient quatre réels a, b, c, d. On considère l'équation ax + by + cz = d (E) d'inconnue (x, y, z) R 3. On note S E l'ensemble de ses solutions. { SE = si d 0 Si (a, b, c) = (0, 0, 0), alors S E = R 3 si d = 0. Si (a, b, c) (0, 0, 0), alors l'équation admet une solution particulière (x 0, y 0, z 0 ) et l'ensemble des solutions s'écrit sous la forme S E = {M 0 + λ u + µ v, λ, µ R}, où on a noté M 0 = (x 0, y 0, z 0 ) et où u et v sont deux vecteurs de R 3 non colinéaires. Cet ensemble est appelé plan ane. L'ensemble {λ u + µ v, λ, µ R}, appelé plan vectoriel, n'est autre que l'ensemble des solutions de l'équation homogène associée. C'est l'ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur non nul n = (a, b, c), appelé vecteur normal au plan. Dénition 5. Soient u et v deux vecteurs de R 3. On peut noter Vect( u, v ) l'ensemble Vect( u, v ) = {λ u + µ v, λ, µ R}. C'est l'ensemble des combinaisons linéaires de u et v. Remarque. Si u et v sont non-colinéaires, Vect( u, v ) est un plan vectoriel. Si u et v sont colinéaires u non nul, alors Vect( u, v ) est l'ensemble des multiples scalaires de u : c'est une droite vectorielle. Si u et v sont nuls, l'ensemble Vect( u, v ) est réduit au vecteur nul : Vect( u ) = {(0, 0, 0)}. Figure. Exemple. Résoudre les équations 2x y + z = 3 puis l'équation x = 1. On donnera l'ensemble des solutions sous la forme donnée dans la proposition 4. 3

4 1.2 Systèmes linéaires. Dénition 6. On appelle système linéaire de n équations à p inconnues la donnée de n équations linéaires à solutions dans K p : a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = b 2 (S ). a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = b n Ci-dessus, pour tout i 1, n, j 1, p, a i,j K est le coecient devant la jème inconnue dans la ième équation. Les seconds membres b 1,..., b n sont aussi dans K. On pourra dire dans la suite qu'un tel système est de type (n, p). On appelle système linéaire homogène associé au système ci-dessus le même système, où tous les seconds membres sont remplacés par 0. On appelle solution de S un p-uplet (x 1,..., x p ) K p solution des n équations linéaires. Dénition 7. On appelle matrice associée au système linéaire (S ) de la dénition précédente le tableau de nombres A = (a i,j ) 1 i n : 1 j p a 1,1 a 1,2 a 1,p A =.. a n,1 a n,2 a n,p On appelle matrice augmentée associée à (S ), et on note (A B) la matrice où on a ajouté la dernière colonne B = 1 b. des seconds membres : b n (A B) = a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1... a n,1 a n,2 a n,p b n. Exemple. { x + y + z = 5 Le système (S ) a pour matrice associée A = x + 2y 3z = 1 ( ) La matrice augmentée est (A B) = ( )

5 1.3 Compatibilité et structure de l'ensemble des solutions. Dénition 8. Un système linéaire est dit compatible s'il existe (au moins) une solution à ce système. Remarque. Un système linéaire homogène est compatible : le p-uplet (0,..., 0) est solution. { x + y = 0 Exemple. Le système est compatible. Il admet (1, 1) comme unique solution. x y = 2 { x + y = 0 Le système est incompatible. x + y = 2 Dans les cas particuliers où K = R, et p = 2 ou p = 3, on s'appuie sur l'interprétation géométrique donnée dans le paragraphe précédent pour énoncer les propositions suivantes (les gures tenant lieu de preuve). Proposition 9 (Compatibilité dans le cas n = 2, p = 2). Soit le système { ax + by = c (1) (S ) a x + b y = c (2), où a, b, c, a, b, c R et où on suppose (a, b) (0, 0) et (a, b ) (0, 0). Il est compatible si et seulement si les deux droites d'équations (1) et (2) ont une intersection non vide. Plus précisément, Si n(a, b) et n (a, b ) ne sont pas colinéaires, alors le système est compatible et possède une unique solution (intersection des deux droites). Si n(a, b) et n (a, b ) sont colinéaires, alors Si les vecteurs de R 3 (a, b, c) et (a, b, c ) sont colinéaires, alors les deux droites sont confondues. Le système est compatible. Son ensemble de solutions est celui de l'équation ax + by = c. Si les vecteurs de R 3 (a, b, c) et (a, b, c ) ne sont pas colinéaires, alors les deux droites sont parallèles et non confondues. Le système est incompatible. 5

6 Proposition 10 (Compatibilité dans le cas n = 2, p = 3). Soit le système { ax + by + cz = d (1) (S ) a x + b y + c z = d (2), où a, b, c, d, a, b, c, d R et où on suppose (a, b, c) (0, 0, 0) et (a, b, c ) (0, 0, 0). Il est compatible si et seulement si les deux plans d'équations (1) et (2) ont une intersection non vide. Plus précisément, Si n(a, b, c) et n (a, b, c ) ne sont pas colinéaires, alors le système est compatible. Son ensemble de solutions correspond à une droite dans l'espace (intersection des deux plans). Si n(a, b) et n (a, b ) sont colinéaires, alors Si les vecteurs de R 4 (a, b, c, d) et (a, b, c, d ) sont colinéaires, alors les deux droites sont confondues. Le système est compatible. Son ensemble de solutions est celui de l'équation ax + by + cz = d (plan). Si les vecteurs de R 4 (a, b, c, d) et (a, b, c, d ) ne sont pas colinéaires, alors les deux plans sont parallèles et non confondus. Le système est incompatible. Proposition 11 (Lien entre S et S H, pour S compatible). Soit (S ) un système linéaire de n équations à p inconnues et (S H ) le système homogène associé. Si Z = (z 1,..., z p ) et Z = (z 1,..., z p) sont deux solutions de (S ), alors Z Z =(z 1 z 1,..., z p z p) est une solution de (S H ). Soient S et S H respectivement les ensembles de solutions de (S ) et (S H ). Supposons S compatible (i.e. S non vide) et considérons Z = (z 1,..., z p ) une solution particulière de S. Alors, S = {Z + Y, Y S H } = {(z 1,..., z p ) + (y 1,..., y p ), (y 1,..., y p ) S H }. Dans ce qui suit, on démontre que l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène a une structure de sous-espace vectoriel, concept qui nous occupera au second semestre. Proposition 12 (Structure de S H ). L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène de type (n, p) contient le p-uplet nul et est stable par combinaison linéaire. Précisons le second point : si (S H ) est l'ensemble des solutions un système linéaire homogène de type (n, p), alors pour toutes solutions X = (x 1,..., x p ) S H et Y = (y 1,..., y p ) S H, pour tous λ, µ K, λx + µy = (λx 1 + µy 1,..., λx p + µy p ) S H. 6

7 1.4 Résolution des systèmes échelonnés. Dans ce qui suit, on appelle ligne nulle, dans un système ou dans une matrice, une ligne où tous les coecients sont nuls ; elle correspond alors à l'équation linéaire 0 = 0. Dénition 13. Dans un système linéaire ou une matrice, on appelle pivot d'une ligne non nulle le premier coecient non nul. Exemple. Dans les systèmes linéaires suivants, on a encadré les pivots. 1 x + y + z = 0 1 x y + z = 2 2 y + z = 2 (S 0 ) (S 1 ) 3 y z = 2 4 y z = 1 1 z = 1 0 = 5 Dénition 14. On dit d'un système linéaire qu'il est échelonné si les lignes sous une ligne nulle sont toutes nulles et qu'à chaque ligne (non nulle), le pivot de la ligne se trouve strictement à droite du pivot de la ligne au dessus. Exemple. Le système (S 1 ) ci-dessus est échelonné, contrairement au système (S 0 ) qui ne l'est pas. Remarque. Un système échelonné a une structure en escalier. On résout dans la suite les quatre exemples de systèmes linéaires échelonnés suivants (les pivots sont encadrés dans les matrices augmentées associées). L'objectif est de comprendre sur ces exemples la remontée d'un système échelonné et de donner des exemples d'écriture paramétrique des ensembles de solutions. x y + z = 2 (S 1 ) 3y z = 2 z = 1 { x y + z = 2 (S 2 ) z = 1 (S 3 ) (S 4 ) x y + z + t = 0 2z t = 2 0 = 0 x y + z + t = 0 2z t = 2 0 = ( )

8 Dénition 15. Dans un système échelonné, on dit qu'une inconnue est principale si sur une des lignes du système, son coecient est un pivot. Elle est dite secondaire sinon. Exemple. Dans (S 3 ), x et z sont principales, et y et t sont secondaires. Proposition 16 (Existence de solutions pour un système échelonné). Un système linéaire échelonné est compatible si et seulement si il ne comporte pas de pivot sur la colonne des seconds membres. Proposition 17 (Unicité). Un système échelonné compatible a une unique solution si et seulement si il n'a que des inconnues principales. Proposition 18 (Représentation paramétrique des solutions). Lorsqu'un système échelonné a des inconnues secondaires, on peut donner une représentation paramétrique de l'ensemble des solutions : en prenant les inconnues secondaires comme des paramètres prenant des valeurs quelconques dans K, et en exprimant les inconnues principales en fonction des ces paramètres. 2 Échelonnement et méthode du pivot. 2.1 Opérations élémentaires sur les lignes. Dénition 19. On appelle opération élémentaire sur les lignes d'un système ou d'une matrice l'une des opérations suivantes : 1. Échange des ièmes et jèmes lignes. On note L i L j. 2. Multiplication d'une ligne par un scalaire λ non nul. On note L i λl i. 3. Ajout à la ligne L i d'une ligne L j (i j) multipliée par un scalaire λ. On note L i L i +λl j. Exemples d'opérations élémentaires sur les lignes un système linéaire. Remarque. On peut annuler l'eet d'une opération élémentaire à l'aide d'une autre opération élémentaire : pour deux systèmes (S ) et (S ) 1. si (S ) se déduit de (S ) par L i L j, alors (S ) se déduit de (S ) par L i L j ; 8

9 2. si (S ) se déduit de (S ) par L i λl i (λ K ), alors (S ) se déduit de (S ) par L i 1 λ L i ; 3. si (S ) se déduit de (S ) par L i L i + λl j (λ K), alors (S ) se déduit de (S ) par L i L i λl j. Dénition 20. On dit que deux systèmes sont équivalents si l'on peut passer de l'un à l'autre par un nombre ni d'opérations élémentaires sur les lignes. On parlera de la même façon de matrices équivalentes par lignes. Notation. Si deux matrices A et A sont équivalentes par lignes, on note A A. On peut montrer que la L relation est une relation d'équivalence sur l'ensemble des matrices (voir cours Applications). L Proposition 21. Deux systèmes linéaires équivalents ont le même ensemble de solutions. Cette dernière proposition conduit naturellement au paragraphe suivant. Puisque d'une part l'ensemble des solutions est invariant par opérations élémentaires, et que d'autre part on sait résoudre les systèmes échelonnés, on va décrire une méthode qui permet à l'aide d'opérations élémentaires, de passer d'un système quelconque à un système échelonné. 2.2 Échelonnement et algorithme du pivot de Gauss-Jordan. On part d'un système linéaire quelconque, dont la matrice associée est ainsi représentée : Algorithme du pivot Étape 1. Si le système n'a pas d'équations où seulement des équations 0 = 0, l'algorithme est terminé. Sinon, on cherche un pivot dans la première colonne. S'il n'y en a pas, on cherche dans la colonne suivante, etc. À l'aide d'un échange de ligne, on place le pivot en haut à gauche du système. Après l'étape 1, on a un système de type α avec α 0. Le système peut commencer par des colonnes de 0 (cas où le pivot n'est pas trouvé sur la première colonne). La matrice correspondante est alors du type 0 0 α

10 Étape 2. égal à 1. (optionnelle : simple commodité) À l'aide d'une opération de type 2. on se ramène à un pivot Sur l'exemple, il s'agit de L 1 1 α L 1. Après l'étape 2, la matrice associée est 1 β γ Étape 3. À l'aide d'opérations de type 3. on annule les coecients sous le pivot. Sur l'exemple, il s'agit de faire les opérations L 2 L 2 βl 1 et L 3 L 3 γl 1. Après l'étape 2, la matrice associée est Étape 4. l'étape 3. On applique l'algorithme au système obtenu en ôtant sa première ligne au système obtenu après Proposition 22. L'algorithme du pivot transforme un système linéaire en système linéaire échelonné. x + y z = 3 Exemple. On applique l'algorithme du pivot au système 2x + 6y = 5 x y + 2z = 3, puis on le résout. 2.3 Système échelonné réduit, rang. Dénition 23. On dit d'un système linéaire (ou de la matrice associée) qu'il (elle) est échelonné(e) réduit(e) si tous ses pivots sont égaux à 1, et si sur sa colonne, le pivot est le seul coecient non nul. Par exemple, la matrice suivante est échelonnée réduite : Théorème Toute matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite. 10

11 L'unicité est admise... c'est pourtant elle qui nous permet de poser la dénition suivante. Dénition 25. Soit (S ) un système linéaire et A la matrice du système linéaire homogène associé. On appelle rang de (S ) le nombre de pivots de la réduite échelonnée équivalente par lignes à A. On admet, à nouveau, la proposition suivante. Proposition 26. Le rang d'un système linéaire (S ) s'obtient comme le nombre de pivots dans n'importe quel système (S ) échelonné équivalent à (S ). Dans l'écriture paramétrique des solutions de (S ), le nombre de paramètres est égal à la diérence du nombre d'inconnues et du rang. Notamment, dans la représentation paramétrique des solutions d'un système linéaire, le nombre de paramètres est égal à la diérence du nombre d'inconnues et du rang. 2.4 Exemple de résolution d'un système avec paramètre. Dans le système ci-dessous, d'inconnue (x, y, z), λ, a, b, c désignent des nombres réels (on dit que ce sont des paramètres). On discute, selon les valeurs de λ, a, b, c, la compatibilité du système ci-dessous et le cas échéant, on donne son ensemble de solutions. (S ) x + 2y + λz = a x + λy + (λ 1)z = 1 x + (λ + 1)y + λ 2 z = 1 11

12 2.5 Synthèse : méthode de résolution d'un système linéaire. Méthode (Conseils pour la résolution d'un système linéaire (S )). Échelonner le système à l'aide de la méthode du pivot de Gauss. Discuter la compatibilité du système (pivot à droite?) Pour un système homogène, la question ne se pose pas : on a au moins le p-uplet nul comme solution. Où sont les pivots? La réponse permet de donner le rang du système et de détecter les inconnues principales, les inconnues secondaires. Attention! Si on est dans un système avec paramètres, la détection des pivots peut dépendre de la valeur des paramètres étude de cas. Faire la remontée du système en exprimant les inconnues principales à l'aide des inconnues secondaires prises comme paramètres. Écrire un ensemble de solutions sous la forme S = {Z + α 1 Y 1 + α 2 Y 2 + α p Y k, α 1,..., α k K} où Z K p est une solution particulière de (S ) et où Y 1,..., Y k sont des p-uplets solutions de (S H ). On prend soin de vérier que k, le nombre de paramètres est égal au nombre d'inconnues moins le rang. 12

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