Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé

Transcription

1 Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé L2 d économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Nom : Prénom : Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L utilisation de documents, calculatrices, téléphones portables ou tout autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées et justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions. L énoncé doit impérativement être rendu avec la copie. Exercice 1 (6 points) On propose à Lee de jouer à un nouveau jeu de hasard. Dans ce jeu, il lance 3 fois un dé non-pipé à 6 faces. S il obtient un nombre pair, Lee gagne 2e, alors que s il obtient un nombre impair, il perd 1e. Soit X la variable aléatoire donnant la valeur du gain total de Lee à la fin du jeu. Question 1 Donner l univers Ω de l expérience aléatoire. On a Ω = {(d 1,d 2,d 3 ), avec d i {1,2,3,4,5,6}}. Le cardinal de Ω est 6 3. Question 2 Donner la loi de X. X peut prendre 4 valeurs : 3 les 3 dés sont impairs. 0 si un dé est pair et les deux autres sont impairs. 3 si 2 dés sont pairs et un est impair. 6 si les 3 dés sont pairs. On a donc X(Ω) = { 3,0,3,6}. La loi des tirages est une loi uniforme, la probabilité d un événement est P(ω) = La probabilité d obtenir : Un dé pair est P(d = pair) = 1 2 Une dé impair est P (d = impair) = 1 2 La loi de X est : ( ) 1 3 P(X = 3) = = 1 2 ( ) 1 2 P(X = 0) = A = 3 ( ) 1 2 P(X = 3) = A = 3 ( ) 1 3 P(X = 6) = = 1 2 A 1 3 est A2 3 correspondent au nombre possible d ordre pour le dé pair. Question 3 Donner l espérance de X. Page 1 sur 5

2 E(X) = 3 P(X = 3) + 0 P(X = 0) + 3 P(X = 3) + 6P(X = 6) = = = 3 2 = 1,5 L espérance de gain dans ce jeu est de 1,5e. Question 4 Donner la fonction de répartition de X, que l on notera F X. La fonction de répartition F X est donnée par F X (t) = P(X t), t R. On obtient donc : P(X t) = 0 si t < 3 P(X = 3) = 1 si 3 t < 0 F X (t) = P(X = 3) + P(X = 0) = 3+1 = 1 2 si 0 t < 3 P(X = 3) + P(X = 0) + P(X = 3) = = 7 si 3 t < 6 P(X = 3) + P(X = 0) + P(X = 3) + P(X = 6) = 1 si t 6 Exercice 2 (10 points) Zahra est fleuriste, sa spécialité est la vente de bouquets de roses. Soit R la variable aléatoire représentant le nombre de roses par bouquet. On suppose que R(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5}. La loi de R est donnée par le tableau suivant : r P(R = r) a b 0,3 0,2 0,1 Question 1 Que doivent vérifier les variables a et b pour que P soit une loi de probabilité? Pour que P soit une probabilité, il faut que la probabilité de l univers soit égale à 1, soit : 1 = P(R = 1) + P(R = 2) + P(R = 3) + P(R = 4) + P(R = 5) 1 = a + b + 0,3 + 0,2 + 0,1 0,4 = a + b (1) Par ailleurs, chaque probabilité doit être positive, on a donc a 0 et b 0. Question 2 Les bouquets que Zahra vend comptent en moyenne 2,7 roses. Quelles sont les valeurs de a et b correspondantes? Les bouquets vendus par Zahra comptent en moyenne 2,7 roses, cela nous donne une condition sur l espérance de la variable aléatoire R. On calcule donc cette espérance et on l égalise à 2,7 : 2,7 = E(R) 2,7 = 1 P(R = 1) + 2 P(R = 2) + 3 P(R = 3) + 4 P(R = 4) + 5 P(R = 5) 2,7 = 1 a + 2 b + 3 0, , ,1 2,7 = a + 2b + 0,9 + 0, + 0,5 0,5 = a + 2b (2) Les conditions 1 et 2 nous donne un système que doivent vérifier a et b : 0,5 = a + 2b b = 0,1 0,4 = a + b a = 0,3 Page 2 sur 5

3 Question 3 Calculer la variance de cette variable aléatoire. On a V (R) = E(R 2 ) E(R) 2. On connaît déjà E(R) = 2,7, on peut donc calculer son carré : 7,29 (en utilisant des fractions). Il reste à calculer E(R 2 ) : E(R 2 ) = 1 2 P(R = 1) P(R = 2) P(R = 3) P(R = 4) P(R = 5) = 1 0, , , , ,1 = 0,3 + 0,4 + 2,7 + 3,6 + 2,5 = 9,1 On obtient alors V (C) = 9,1 7,29 = 1,1. La variance de cette variable aléatoire est de 1,1. Zahra vend ses bouquets aux prix suivants : Nombre de rose Prix du bouquet 2 4 5,5 7 Question 4 Sachant que chaque rose coûte 1e à Zahra, donner la variable aléatoire des gains de Zahra, que l on notera G. Donner la loi de G. Les gains de Zahra en fonction de nombre de roses dans le bouquet sont les suivants : 1 rose : 2 1 = 1e 2 roses : 4 2 = 2e 3 roses : 5,5 3 = 2,5e 4 roses : 7 4 = 3e 5 roses : 5 = 3e On a donc G(Ω) = {1; 2; 2,5; 3}. La loi des gains G est données par : P(G = 1) = P(R = 1) = 0,3 P(G = 2) = P(R = 2) = 0,1 P(G = 2,5) = P(R = 3) = 0,3 P(G = 3) = P(R = 4) + P(R = 5) = 0,3 Question 5 Combien Zahra gagne-t-elle par bouquet en moyenne? On calcule l espérance des gains de Zahra, soit l espérance de G : E(G) = 1 P(G = 1) + 2 P(G = 2) + 2,5 P(G = 2,5) + 3 P(G = 3) = 1 0, ,1 + 2,5 0, ,3 = 0,3 + 0,2 + 0,75 + 0,9 = 2,15 Zahra gagne en moyenne 2,15e par bouquet vendu. Zahra peut acheter des bouquets tout fait avec un nombre pair de roses, qui lui reviennent moins cher : le bouquet à 2 roses lui coûte 1,5e et le bouquet à 4 roses, 3e. Question 6 Quels sont les nouveaux gains moyens de Zahra? Notons H la variable aléatoire représentant les gains de Zahra dans ce nouveaux cas. Les gains de Zahra en fonction de nombre de roses dans le bouquet sont les suivants : 1 rose : 2 1 = 1e 2 roses : 4 1,5 = 2,5e Page 3 sur 5

4 3 roses : 5,5 3 = 2,5e 4 roses : 7 3 = 4e 5 roses : 5 = 3e On a donc G(Ω) = {1; 2,5; 3; 4}. La loi des gains H est données par : P(H = 1) = P(R = 1) = 0,3 P(H = 2,5) = P(R = 2) + P(R = 3) = 0,4 P(H = 3) = P(R = 5) = 0,1P(H = 4) = P(R = 4) = 0,2 On calcule l espérance des gains de Zahra, soit l espérance de H : E(H) = 1 P(H = 1) + 2,5 P(H = 2,5) + 3 P(H = 3) + 4 P(H = 4) = 1 0,3 + 2,5 0, , ,2 = 0, ,3 + 0, = 2,4 Zahra gagne en moyenne 2,4e par bouquet vendu, soit 25 centimes de plus. Exercice 3 (14 points) Une administration cherche à évaluer sa performance dans le traitement des dossiers. Chaque jour l administration traite un dossier. On note p la probabilité que l administration perde un dossier chaque jour sachant que la perte d un dossier au jour k est indépendante d une perte de dossier au jour k + 1. On note p la probabilité que l administration perde un dossier chaque jour. De même, on note X la variable aléatoire «le nombre de dossiers perdus par l administration sur 30 jours». Question 1 Quelle loi suit la variable aléatoire X? La rupture de stock suit une loi de Bernoulli de paramètre p. Les jours sont indépendants les uns des autres. Dans le cas présent, il s agit donc d une répétition sur 50 jours d une expérience de Bernoulli avec indépendance. Donc notre variable va suivre une loi Binomiale de paramètres p et n. Donc : X B(30, p) avec P(X = k) = C k n p k (1 p) n k, pour tout k N. Question 2 Donner la probabilité que l administration perde 3 dossiers. P(X = k) = C k n.p k.(1 p) n k où k = 3 : P(X = 3) = C 3 30 p 3 (1 p) 27 Question 3 Donner l espérance et la variance de X. E(X) = np = 30p V (X) = np(1 p) = 30p(1 p) Un dossier traité en temps normal coûte 100 e à l administration. En cas de perte d un dossier, le coût de la journée est majoré de 25 e, l administration va devoir mobiliser d avantage de personnels pour remettre en ordre le dossier. Le président du conseil départemental nouvellement élu propose d embaucher une personne de plus spécialement chargée d archiver les dossiers et ainsi faire disparaître le problème de perte de dossiers. L embauche de cette personne entraînerait une majoration de 10 e du coût du traitement habituel des dossiers. Page 4 sur 5

5 Question 4 Donner Y (Ω) et la loi de Y (dans sa formulation générale, i.e, sans explicitation numérique). Y pourra être exprimé en fonction de X. Ici, Y = X ; donc Y (Ω) = { i, avec i { }}. Avec P(Y = y) = P(X = x) avec x = y Alors : 25 P(Y = y) = C y p y 3000 y (1 p) 25 Question 5 A partir de quel niveau p sera t-il préférable d embaucher une personne de plus? En embauchant une personne supplémentaire, le coût de 30 jours sera de = Le coût moyen sans assurance est de E(Y ) = E(X) = p 30 (par linéarité de l espérance). Il sera préférable de s assurer si p 30. Donc : p 2 5 p Il faut que la probabilité que les dossiers se perdent soit supérieure à 40% pour qu il soit intéressant d embaucher une personne supplémentaire. Une autre administration traite affaires par an avec un taux de perte de 1 pour En utilisant une approximation poissonnienne (en justifiant son utilisation) : Question 6 Déterminez la probabilité que le nombre de dossiers perdus soit égal à 3. Dans cette situation, comme n = est grand et p = est petit, on peut approximer la variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(100000, 1/10000) par une loi de poisson de paramètre λ = n p = 10. Donc (cf table pour la valeur numérique) : P(X = 3) = e ! 0,00 La probabilité d avoir exactement 4 produits défectueux est d environ 1%. Question 7 Déterminez la probabilité que le nombre de dossiers perdus soit au moins égal à 4. P(X 4) = 1 P(X < 4) = 1 P(X = 3) P(X = 2) P(X = 1) P(X = 0) ( = 1 exp( 10) ) 3 ( = ) exp( 10) 3 0,99 La probabilité d avoir quatre produits défectueux ou plus est de 99%. Question Quelle est l espérance et la variance de cette variable? D après la formule pour une loi de Poisson : E(X) = V (X) = λ = 10 Page 5 sur 5