:"moins de 7" ; E 2. :"de 7 à 10" ; E 3 E 3

Transcription

1 1.1 Rappels événements : gain X( ) : objets : expérience : 1. Lois discrètes deux dés les lancer, puis noter le total univers : Ω= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} partition de Ω: E 1 :"moins de 7" ; E 2 :"de 7 à 10" ; E 3 :"11 ou 12" E 1 E 2 E p i : Loi de probabilité de X gain X( ) : /36 18/36 3/36 Plus le nombre de parties est élevé, plus les fréquences des gains tendent vers les probabilités annoncées : perdre 3 15 fois sur 36, gagner fois sur 36 et 5 3 fois sur 36. Pour 36 parties jouées, le gain moyen vaut -12 E(X) ) = -12/36-0,33 /partie D une partie à une autre, la variabilité moyenne des gains est : σ(x) 2,494

2 1. Lois discrètes 1.2 Loi hypergéométrique TD1 objet : expérience : ensemble initial : partition de l objet : l alphabet (20 consonnes, 6 voyelles) piocher une lettre Ω= {A, E, I, O, U, Y, B, C, D, F, G, } A (succès):"voyelle" ; A (échec):"consonne" L objet est partitionné en un événement et son contraire (succès et échec) L expérience est menée huit fois de suite : n = 8 On interdit la répétition Au bout des huit essais, la variable X comptabilise le nombre de succès obtenus La loi de Xest donc H(8 ; 6 ; 26)

3 p 1. Lois discrètes 1.2 Loi hypergéométrique TD1 La loi de Xest H(8 ; 6 ; 26). n= = 8 ; a= = 6 ; N = 26 C C C C k n k k 8 k a N a ( X = k) = = ( X = ) =, C C n 8 N 26 X =8 est impossible 0 8 C C p C C6 C20 p( X = 3) = 01985, C 8 26 Combinaisons : entrer n touche OPTN choix écran : PROB choix : ncr entrer k entrer n touche MATH colonne : PRB choix : ncr ou Combinaisons entrer k

4 1. Lois discrètes 1.2 Loi hypergéométrique TD1 La loi de Xest H(8 ; 6 ; 26). n= = 8 ; a= = 6 ; N = 26 espérance : a 6 E( X) = n = , succès N 26 Le plus probable est d obtenir 2 succès, en 8 essais. écart type : σ ( ) ( ) a N a N n X = n = 8 = 10225, 1011, succès 2 2 N N Obtenir 1 succès est également assez probable, et aussi 3 succès, dans une moindre mesure.

5 1. Lois discrètes 1.2 Loi hypergéométrique List1 List ,0806 0,2977 0,3741 0,1985 0,0465 0,0044 0,0001 ## ## TD1 probabilités 0,3 0, X : nombre de succès Formule : =6CList1*20C(8-List1) / 26C8 Combinaisons : entrer n touche OPTN choix écran : PROB choix : ncr entrer k entrer n touche MATH colonne : PRB choix : ncr ou Combinaisons entrer k

6 1. Lois discrètes 1.2 Loi binomiale objet : expérience : univers : partition de Ω: TD2 une roue divisée en 26 secteurs, 6 blancs et 20 rouges la faire tourner, puis noter la couleur obtenue Ω = {blanc1, blanc2,, blanc6, rouge1, rouge2,, rouge20} A (succès):"blanc"; A (échec):"rouge" L univers est partitionné en un événement et son contraire (succès et échec) La probabilité de succès est p = 6/26 L expérience est menée huit fois de suite : n = 8 A chaque fois, la probabilité de succès, p, est invariable Au bout des huit essais, la variable X comptabilise le nombre de succès obtenus La loi de Xest donc B (8 ; 6/26)

7 1.2 Loi binomiale List1 List ,1226 0,2942 0,3089 0,1854 0,0695 0,0167 0,0025 0,0002 0, Lois discrètes TD2 probabilités 0,3 0, X : nombre de succès Formule : =8CList1*(6/26)^List1*(20/26)^(8-List1) Combinaisons : entrer n touche OPTN choix écran : PROB choix : ncr entrer k entrer n touche MATH colonne : PRB choix : ncr ou Combinaisons entrer k

8 1. Lois discrètes 1.2 Loi binomiale TD2 espérance : La loi de Xest B (8 ; 6/26). n = 8 ; p = 6/26 6 E( X ) = np = 8 1, 846 succès 26 Le plus probable est d obtenir 2 succès, en 8 essais succès écart type : σ ( X ) = npq =, Obtenir 1 succès est également assez probable, et aussi 3 succès, dans une moindre mesure.

9 1. Lois discrètes 1.3 Loi de Poisson TD3 List1 List ,0453 0,1447 0,2262 0,2311 0,1733 0,1018 0,0487 0,0195 0,0067 0,0020 0,0005 probabilités 0,2 0,1 B(50 ; 0,06) X : nombre de succès Formule : =50CList1*0,06^List1*0,94^(50-List1)

10 1. Lois discrètes 1.3 Loi de Poisson TD3 La loi de Xest B (50 ; 0,06). n = 50 ; p = 0,06 conditions de passage à une loi de Poisson : n > 30? OUI (n = 50) p < 0,1? OUI (p = 0,06) npq< 10? OUI (npq= 2,82) Donc il existe bien une loi de Poisson suffisamment fidèle à cette loi binomiale. de cette loi de Poisson : λ= E(X) = np= 3 paramètre λde cette loi de Poisson conclusion : La loi B (50 ; 0,06) peut être approchée par la loi P (3).

11 1. Lois discrètes 1.3 Loi de Poisson TD3 Formulaire : loi de Poisson k λ

12 1. Lois discrètes 1.3 Loi de Poisson TD3 List1 List2 List ,0453 0,1447 0,2262 0,2311 0,1733 0,1018 0,0487 0,0195 0,0067 0,0020 0,0005 0,0498 0,1494 0,2240 0,2240 0,1680 0,1008 0,0504 0,0216 0,0081 0,0027 0,0008 probabilités 0,2 0,1 B(50 ; 0,06) P(3) X : nombre de succès Formule : =e^(-3)*3^list1 List1!

13 2. Loi normale 2.2 V.a. continue TD4 masse (kg) [3,5 [3,5; ; 3,7[ [3,7 ; 3,77[ [3,77 ; 3,8[ [3,8 ; 3,83[ [3,83 ; 3,9[ [3,9 ; 4,1[ effectifs 9 27 fréquences 0,045 concentr. 0, ,045 0,135 0,315 0,3 0,145 0,06 0,225 1,93 10,5 10 2,07 0,3 concentrations de fréquences % 2 4,5 % 31,5 % 30 % 13,5 % 14,5 % 6 % 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 masse (kg)

14 2. Loi normale 2.2 V.a. continue TD4 concentrations de fréquences % 2 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 masse (kg)

15 2. Loi normale 2.2 V.a. continue TD4 densité de probabilité % 2 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 X : masse (kg) 3, 7 ( X ) ( ) 3, 9 < = ( ) ( ) p 3, 7 f x. dx 0 p 3, 7 < X < 3, 9 = f x. dx 3, 7

16 2. Loi normale 2.3 La loi normale N(µ, σ) σ = 10 σ = 10 µ = 25

17 2. Loi normale 2.3 La loi normale centrée réduite N(0, 1) U U U a b a -a a p(a < U < b) = p(u < b) p(u < a) p(u > a) = 1 -p(u < a) p(u < -a) = p(u > a) valables pour toute loi N(µ, σ) valable uniquement pour la loi N(0, 1)

18 2. Loi normale 2.3 La loi normale centrée réduite N(0, 1) Le formulaire 0 Exemple : u= 1,26 p(u< 1,26) = 0,8962 0,8962

19 2. Loi normale 2.3 La loi normale : règles de transformation Avec une loi N(µ, σ), et donc, entre autres N(0, 1), on peut se passer de schéma : < ou> p(..) ; 1 -p(..) aou a p ou1-p Si on doit transformer une écriture (pour utilisation du formulaire), alors parmi les 3 transformations possibles, il faut en choisir 2. Exemples : p(u> 2) =? p(u> -2) =? p(u< -2) =? = 1 -p(u<2) = p(u< 2) = 1 -p(u< 2) Le formulaire donne : p(u< +)

20 2. Loi normale 2.3 Le changement de variable Avec la loi N(25, 10), on veut p(x< 30). Avec la loi N(0, 1), cette probabilité vaut p(u<?) 30 X? U p(x< 30)= p(u< ) 10 = p(u< 0,5)? U = 30 X µ σ µ 2σ 5 µ σ 15 µ µ+σ µ+2σ X

21 2. Loi normale 2.3 Le changement de variable Loi : N(50, 10) p(x< 60)= p(u< ) 10 = p(u< 1)= 0,8413 TD5 U X µ σ Changement de variable :, donc ici : u= = x p(x< 43)= p(u< ) 10 = p(u< -0,7) = 1 -p(u< 0,7)= 0, p(45 < X< 55)= p( < U< ) = p(-0,5< U< 0,5)= p(u< 0,5) -p(u<-0,5) = 2.p(U< 0,5) -1= 0,3830 µ 2σ 30 µ σ 40 u µ µ+σ µ+2σ x U X

22 2. Loi normale 2.4 Passage à une loi normale * On choisit une entreprise : elle exporte (succès, p= 0,3) ou non (échec, q= 0,7). * pest invariable d une entreprise à une autre, car * X est le nombre d entreprises qui exportent, sur un choix aléatoire de 80 entreprises. La loi de Xest : B(80, 0,3) * n> 30? OUI, n= 80 * npq > 5? OUI, npq = 16,8 Donc : B(80, 0,3) N(24 ; 4,1) TD p(x> 30)= p(u> )= p(u> 1,46) 4,1 = 1 -p(u< 1,46)= 0,0721 µ 2σ µ σ u µ µ+σ µ+2σ U p(x= 30) 15,8 19, ,1 32,2 x X

23 2. Loi normale 2.4 Passage à une loi normale TD7.2 La loi de Xest : P(25) * λ> 20? OUI, λ= 25 Donc : P(25) N(25 ; 5) p(x< 20)= p(u< )= p(u< -1) = 1 -p(u< 1)= 0, µ 2σ 15 u µ σ µ µ+σ µ+2σ U X

24 TC Mathématiques S3 3.1 Introduction population 3. Echantillonnage masse (kg (kg) [3,5; ; 3,7[ [3,7 ; 3,77[ [3,77 ; 3,8[ [3,8 ; 3,83[ [3,83 ; 3,9[ [3,9 ; 4,1[ effectifs 9 27 pièces usinées N = 200 pièces µ 3,8034 kg σ 0,07423 kg π = 0,18 échantillon 1 échantillon 2 échantillon 3 masse (kg (kg) [3,5; ; 3,7[ [3,7 ; 3,77[ [3,77 ; 3,8[ [3,8 ; 3,83[ [3,83 ; 3,9[ [3,9 ; 4,1[ effectifs n = 20 pièces x 3,7853 kg s 0,05474 kg p = 0,2 effectifs n = 20 pièces x 3,8225 kg s 0,06853 kg p = 0,1 effectifs n = 20 pièces x 3,8015 kg s 0,07071 kg p = 0,15

25 TC Mathématiques S3 3.1 Introduction 3. Echantillonnage deux types d échantillonnage aléatoire : EAS échantillonnage aléatoire simple avec remise, avec ordre échantillonnage exhaustif sans remise, sans ordre population : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} : N = 6 échantillons de taille 2 : n = 2 (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) {0;1} {0;2} {0;3} {0;4} {0;5} {1;2} {1;3} {1;4} {1;5} {2;3} {2;4} {2;5} {3;4} {3;5} {4;5}

26 TC Mathématiques S3 3. Echantillonnage 3.2 Distribution d échantillonnage des moyennes EAS population : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} : N = 6 ; µ = 2,5 ; σ 1,7078 liste des moyennes x des échantillons de taille 2 (n = 2) : nombre d échantillons (0,0)0 (0,1)0,5 (0,2)1 (0,3)1,5 (0,4)2 (0,5)2,5 On voit se dessiner une répartition «normale» (1,0)0,5 (1,1)1 (1,2)1,5 (1,3)2 (1,4)2,5 (1,5)3 liste des moyennes x : variable X (2,0)1 (2,1)1,5 (2,2)2 (2,3)2,5 (2,4)3 (2,5)3,5 (3,0)1,5 (3,1)2 (3,2)2,5 (3,3)3 (3,4)3,5 (3,5)4 (4,0)2 (4,1)2,5 (4,2)3 (4,3)3,5 (4,4)4 (4,5)4,5 Moyenne de X : 2,5 Ecart type de X : 1,2076 (5,0)2,5 (5,1)3 (5,2)3,5 (5,3)4 (5,4)4,5 (5,5)5 = µ = σ n

27 TC Mathématiques S3 3. Echantillonnage 3.2 Distribution d échantillonnage des moyennes population : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} : N = 6 ; µ = 2,5 ; σ 1,7078 E. exhaustif liste des moyennes x des échantillons de taille 2 (n = 2) : nombre d échantillons {0;1}0,5 {0;2}1 {0;3}1,5 {0;4}2 {0;5}2,5 On voit se dessiner une répartition «normale» {1;2}1,5 {1;3}2 {1;4}2,5 {1;5}3 liste des moyennes x : variable X {2;3}2,5 {2;4}3 {2;5}3,5 {3;4}3,5 {3;5}4 {4;5}4,5 Moyenne de X : 2,5 Ecart type de X : 1,0801 = µ = σ N-n n N-1

28 TC Mathématiques S3 3. Echantillonnage 3.2 Distribution d échantillonnage des moyennes Soit une population de taille N, sur chaque individu de laquelle a été relevée une valeur x. La variable X a pour moyenne µ et pour écart type σ. On envisage tous les échantillons de taille n, dont les moyennes x forment la variable aléatoire notée X. Alors : La moyenne de X est µ. Si N > 30, alors la loi de X est considérée comme normale. σ n σ n Si N > 20n, alors la loi de X est N(µ, ) N-n N-1 Si N < 20n, alors la loi de X est N(µ, ) E. exhaustif EAS

29 TC Mathématiques S3 3. Echantillonnage 3.3 Distribution d échantillonnage des proportions population : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} : N = 6 ; pairs : π = 1/3 EAS liste des proportions p des échantillons de taille 2 (n = 2) : nombre d échantillons (0,0)0 (0,1)0 (0,2)0,5 (0,3)0 (0,4)0,5 (0,5)0 (1,0)0 (1,1)0 (1,2)0,5 (1,3)0 (1,4)0,5 (1,5)0 (2,0)0,5 (2,1)0,5 (2,2)1 (2,3)0,5 (2,4)1 (2,5)0,5 (3,0)0 (3,1)0 (3,2)0,5 (3,3)0 (3,4)0,5 (3,5)0 (4,0)0,5 (4,1)0,5 (4,2)1 (4,3)0,5 (4,4)1 (4,5)0,5 (5,0)0 (5,1)0 (5,2)0,5 (5,3)0 (5,4)0,5 (5,5) ,5 1 On voit se dessiner une répartition «normale» liste des proportions p : variable P Moyenne de P : 1/3 = π Ecart type de P : 1/3 π(1 (1 π) = n

30 4. Estimation 4.1 Estimation ponctuelle population masse (kg pièces usinées (kg) [3,5; ; 3,7[ [3,7 ; 3,77[ [3,77 ; 3,8[ [3,8 ; 3,83[ [3,83 ; 3,9[ [3,9 ; 4,1[ effectifs?????? N = 200 pièces µ=? kg σ =? kg π =? échantillon masse (kg (kg) [3,5; ; 3,7[ [3,7 ; 3,77[ [3,77 ; 3,8[ [3,8 ; 3,83[ [3,83 ; 3,9[ [3,9 ; 4,1[ effectifs n = 20 pièces x 3,7853 kg s 0,05474 kg p =0,2 estimation de µ µ= ^ x 3,7853 kg estimation de σ ^ n σ = s n-1 0,05616 kg estimations ponctuelles estimation de π π= ^ p= 0,2

31 4. Estimation 4.2 Estimation de µ par intervalle de confiance cas où σ est connu (ou estimé) Si on connaissait µ, on pourrait déterminer autour de µun intervalle central contenant 95% des moyennes des échantillons d une taille donnée. En retour, connaissant la moyenne xd un échantillon, on peut déterminer autour de xun intervalle central qui a 95% de chances de contenir µ. 2,5% 95% 2,5% U: N(0, 1) 2,5% 95% 2,5% U: N(0, 1) µ X: N(µ, ) σ n x N(x, σ ) n

32 4. Estimation 4.2 Estimation de µ par intervalle de confiance cas où σ est inconnu Cette fois, autour de µinconnu, la distribution d échantillonnage des moyennes a un écart type inconnu. Connaissant la moyenne xd un échantillon, on peut toujours déterminer autour de xun intervalle central qui a 95% de chances de contenir µ., mais cette fois, on ne peut plus utiliser N(0, 1). 95% 2,5% 2,5% µ U: N(0, 1) X: N(µ,?) n 2,5% 95% x 2,5% ^σ n T: St(n-1) N(x, ^ σ ) n = s n-1

33 a. b. 4. Estimation TD8 : Estimations ponctuelles et intervalles de confiance chiffre d'affaires (M ) [0; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[ [5; 7[ effectifs n = 50 ^ ^ n estimation de µ : µ = x 3,41 M estimation de σ : σ = s 1,358 M n-1 σ est supposé inconnu loi de Student ddl: n-1= 49 ; confiance : 95%, soit risque α= 0,05 coefficient t = 2,010 s s Iα = x t ; x + t n n 1 1 1, , 3442 = 3, 41 2, 01 ; 3, 41+ 2, = [3,024 M ; 3,796 M ] 2,5% 95% x 2,5% ^σ n T: St(n-1) N(x, ^ σ ) n = s n-1

34 4. Estimation TD8 : Estimations ponctuelles et intervalles de confiance chiffre d'affaires (M ) [0; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[ [5; 7[ effectifs n = c. Dans l échantillon, 10 entreprises ont un CA compris entre 4,5 M et 7 M. ^ p = 10/50 = 0,2 = 20% π = p = 0,2 d. ( 1 ) ( 1 ) p p p p Iα = p u ; p+ u n n loi N(0, 1) ; confiance : 99%, soit risque α= 0,01 et donc 1 α/2 = 0,995 coefficient u = 2,58 ( ) ( ) 0, 2 1 0, 2 0, 2 1 0, 2 I α = 0, 2 2, 58 ; 0, 2+ 2, = [0,054 ; 0,3459] = [5,4% ; 34,59%]

35 deux types de tests 5. Tests statistiques test d adéquation du χ² A quel degré la réalité observée est-elle conforme à ce qu annonce une loi théorique donnée? test de conformité A quel degré la moyenne inconnue d une population peut-elle être supposée égale à une valeur donnée?

36 5.1 Test du χ² d adéquation 5. Tests statistiques problématique et développements Exemple : on joue 10 fois de suite à pile ou face (hyp. : pièce non truquée) Résultats observés : 2 fois pile et 8 fois face En théorie : 5 fois pile et 5 fois face Les différences entre valeurs observées et valeurs théoriquement attendues sont normales. Elles sont prévisibles (en probabilité) et quantifiables. A partir d un tableau comparatifs de résultats et de valeurs théoriques, on calcule un nombre, l écart entre les deux, le χ² de l expérience. Calculer un χ² : Σ [(obs th)² / th] Exemple : pile : (2-5)² / 5 = 1,8 face : (8-5)² / 5 = 1,8 χ calc ² = 3,6

37 5.1 Test du χ² d adéquation 5. Tests statistiques problématique et développements La loi du χ² Quelle que soit l expérience et sous l hypothèse nulle «H 0» («pièce non truquée», etc.), on sait donner la probabilité que telle valeur du χ² soit (ou ne soit pas) dépassée. densité de probabilité 94,212% 5,788% 0 3,6 Valeur obtenue dans notre exemple valeurs possibles du χ² pour une pièce non truquée

38 5. Tests statistiques 5.1 Test du χ² d adéquation méthodologie 1. Ce qui est testé est l hypothèse nulle «H 0»: l adéquation entre observation et théorie. Objectif final : se permettre (ou non) de la rejeter 2. Le χ² de l expérience décrite est calculé : χ² calc. Objectif : le situer par rapport aux autres χ²possibles conformes à H 0 3. Un paramètre est indispensable pour pouvoir situer χ² calc en probabilité : le nombre de ddl. Objectif : choisir la bonne loi sur le formulaire densité de probabilité Nombre de ddl : Test d adéquation à n mesures : ddl= n -1?? 4. Selon le seuil de risque α choisi, une décision est prise (rejet ou non-rejet de H 0 ). 0 3,6 2,71 3,84 χ² calc 10% 5% 5,41 valeurs du formulaire 2% 6,64 1%

39 5. Tests statistiques 5.1 Test du χ² d adéquation TD10 nombre obtenu effectif observé effectif théorique χ² calc χ² ² partiels : (obs - th)² / th 1,8 1,25 1,8 0,8 1,25 0,8 7,7 calc 7,7 1. Hypothèse nulle «H 0» : le dé n est pas truqué. 2. χ² calc = 7,7 3. nombre de ddl : 6 1 = 5 seuil de risque : α= 2% densité de probabilité?? χ² th = 13,39 4. Au seuil de 2%, on ne peut rejeter H ,7 χ² calc 9,236 11,07 10% 5% 13,39 valeurs du formulaire 2% 15,09 1%

40 5. Tests statistiques 5.2 Tests de conformité TD11-1,645 0 u lim = -1,645 car p(u < 1,645) = 0,95 implique p(u < -1,645) = 0,05 9,24 10 u obs x 10 9, 5 10 = = 1, 09 0, 46 0, 46

41 5. Tests statistiques 5.2 Tests de conformité TD12 α = 1% 0,5% -3,25 0 3,25 0,5% ±t lim = ±3,25 par lecture directe sur la table de Student pour 1-p = 0,01 268, ,65 t obs x , = = 2, 526 9, 74 9, 74