Filtres : exercices supplémentaires. Ex-E5.12. Filtre On considère le filtre suivant

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1 Exercices Électrocinétique PTSI Filtres : exercices supplémentaires Ex-E5. Filtre On considère le filtre suivant tension de sortie v s ) : ) Prévoir le comportement haute et basse fréquence de ce filtre. De quelle famille de filtre est-il voisin? Filtre passe-bas Filtre passe-haut Filtre passe-bande 4 Filtre réjecteur de bande. ) On exprime la fonction de transfert H jω) = V s sous la forme : H V jω) = e + jτ ω a + jτ ω L expression de a est : a = + 4 a = + a = a = ) L expression de τ est : τ = + + ) C τ = ) C τ = + 4 ) C 4 τ = + ) C 4) L expression de τ est : τ = C τ = + ) C + + τ = ) + ) C 4 4 τ = + ) C 5) Dans toute la suite de l exercice, on fera l hypothèse que τ τ. Le gain en décibel du a filtre sera noté G db ω) et φ le déphasage entre la tension de sortie et la tension d entrée. Donner une valeur ou une expression) approchée du gain en décibel et du déphasage dans l intervalle de pulsation ω τ a τ : G db ω) 0 et φ 0 G db ω) 0 loga) et φ π G db ω) 0 loga) et φ 0 4 G db ω) 0 loga) et φ π 6) Donner une valeur ou une expression) approchée du gain en décibel et du déphasage dans l intervalle de pulsation τ ω a τ : G db ω) 0 et φ 0 G db ω) 0 logωτ ) 0 loga) et φ π G db ω) 0 logωτ ) + 0 loga) et φ π 4 G db ω) 0 logωτ ) 0 loga) et φ 0 7) Donner une valeur ou une expression) approchée du gain en décibel et du déphasage dans l intervalle de pulsation τ a τ ω : G db ω) 0 log τ τ et φ 0 G db ω) 0 loga) et φ 0 G db ω) 0 logωτ ) et φ 0 4 G db ω) 0 logωτ ) et φ π 8) Exprimer la relation entre la fonction de transfert H jω) = V s V e et H jω) en fonction des valeurs des éléments du circuit. H jω) = H jω) = H jω) H jω) = 4 H jω) H jω) 4 H jω) = 4 H jω) E5 jpqadri@gmail.com http ://atelierprepa.over-blog.com/ 7

2 PTSI Exercices Électrocinétique Ex-E5. Filtre à structure de auch On réalise un filtre à l aide du montage suivant. L amplificateur opérationnel est supposé idéal et en régime linéaire. ) En déterminant la tension de sortie du filtre à basses et hautes fréquences, déterminer la nature de ce filtre. ) En utilisant le théorème de Millman en et B, établir l expression de la fonction de transfert H du montage que l on mettra sous la forme : H = + m jω ) jω en déterminant H 0 + ω 0 ω 0 ainsi que les expressions de ω 0 et m en fonction de, C et C. On souhaite obtenir une fréquence f 0 = ω 0 = 5 Hz et un facteur d amortissement m =. π On choisit = 470 Ω. ) Calculer les valeurs des capacités C et C. 4) Pour les valeurs numériques précédentes, tracer le diagramme de Bode asymptotique gain et phase) ainsi que l allure des courbes réelles. et) On utilisera comme variable la pulsation réduite x = ω ω 0. Ex-E5.4 Filtre actif Ecole de l ir 004) Le montage amplificateur ci-contre comporte un amplificateur opérationnel idéal idéal en régime linéaire. La tension et) est sinusoïdale. On utilisera la notation complexe. ) Exprimer l amplitude complexe du potentiel V B en fonction de celle du potentiel en S. ) Exprimer l amplitude complexe du potentiel V en en fonction de celles des potentiel en E et S, des admittances Y i = Z i et de α. ) En déduire la fonction de transfert H = V S où E est l amplitude complexe de la force E électromotrice et) et V S celle de la tension de sortie v s ) en fonction des admittances Y i et de α. 4) On pose Y = Y = et Y = Y 4 = jcω. Montrer que H peut s écrire sous la forme : Hjω) = Donner les expressions de, m et ω 0. H 0 C + jm ω ω 0 ω ω 0 éponse partielle : H = V S E = Y Y + Y + Y ) Y ) + Y 4 Y Y + α Y 5) À quelle condition a-t-on amplification du signal? 6) Tracer l allure du diagramme de Bode pour le gain) des trois courbes correspondant aux cas suivants : m = 0,, m = 0, 707 et m =. B i - =0 i + =0 M C _ + ε=0 S v s 8 http ://atelierprepa.over-blog.com/ jpqadri@gmail.com

3 Exercices Électrocinétique PTSI Solution Ex-E5. ) ; ) 4 ; ) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) 4 : ppliquer Millman en. Solution Ex-E5. ) Puisqu un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert à basses fréquences Cω si ω 0), alors V = V B car parcourue par i = 0. Comme B est une masse virtuelle pour un O idéal : V B = V E = V E+ = V M = 0), on en déduit que V = 0. La loi des nœuds en termes de potentiels en donne : E V d où : V S = E v S t) = et) Hω = 0) =. + V S V + V B V + 0 = 0, Puisqu un condensateur se comporte comme un interrupteur fermé à hautes fréquences Cω 0 si ω ), on a v s t) = u BM = 0 Hω ) = 0. Cl : Le filtre se comporte comme un filtre passe-bas. ) Le théorème de Millman appliqué au nœud donne : E + V B + V S + jc ωv M E + V V = V = B + V S + jcω + jc ω Le théorème de Millman appliqué au nœud B donne : V + jc ωv S + 0 V + jc ωv S + jc ω V B = V B = + jcω Comme B est une masse virtuelle cf ), on a V B = 0 et et conduisent à la relation : E + V S + jc ω + jc ωv S = 0 E + V S + + jc ω)jc ωv S = 0 H = V S E = + C jω) + C C jω) ) Par comparaison avec la forme canonique d un filtre passe-bas d ordre, on obtient : H H 0 = 0 H = + m jω ) jω ω 0 = + m = C C C ω 0 = C C ω 0 ω 0 ) De ce qui précède on tire deux relations liant C et C : ω 0 = C C = C C ω0 et m = C C = 4 C C 9 m 4. On en tire : C = m = μf et C = 9 πf 0 4m C = 4) La fonction de transfert peut s écrire : H 0 H = x + jmx = j mx + jx ) = Hejφ en posant x = ω. ω 0 On en déduit : H = et φ = π [ x ) + 4m x arctan m car φ = arg H = arg j arg [mx + jx )] = π arctan x mx 4mπf 0 = 44 μf La gain en décibels est : G db ω) = 0 log H = 0 log[x ) + 4m x ] symptote basses fréquences : pour ω ω 0 x, on a : G db G db BF ) = 0 db et φ φ0) = π ) x )] x jpqadri@gmail.com http ://atelierprepa.over-blog.com/ 9

4 PTSI Exercices Électrocinétique On en déduit que pour x, la courbe de réponse en gain en décibels présente une asymptote horizontale de valeur 0 db et que la courbe de réponse en phase présente une asymptote horizontale de valeur 80. symptote hautes fréquences : pour ω ω 0 x, on a : G db G db HF ) = 40 log x db et φ φ ) = 0 On en déduit que pour x, la courbe de réponse en gain en décibels présente une asymptote de pente 40 db/dc passant par l origine et que la courbe de réponse en phase présente une asymptote horizontale de valeur 0. Pour ω = ω 0 x =, on a H = jh 0 m = j. D où G db ω 0 ) = 0 log =, 0 db et φ = 90. q : le fait que G db ω 0 ) G db max) =, 0 db indique que ω 0 représente la pulsation de coupure du filtre y a) G db logx)) y b) φlogx)) Solution Ex-E5.4 ) Pour un.o. idéal en régime linéaire, V B = V + = V = V C. lors, la Loi des nœuds en termes de potentiels en C donne : V M V C r + V S V C αr + 0 = 0 soit : V B = V C = V S + α. ) La L.N.T.P. appliquée au point s écrit : E V + V S V + V B V = 0 Y Z Z Z + Y + Y ) V = Y E + Y V S + Y V B Y E + Y + Y ) V + α S Soit, grâce à : V = Y + Y + Y ) Comme i + = 0, la L.N.T.P. appliquée en B s écrit : V V B + V M V B + 0 = 0 V Z Z = Y + Y 4 4 Y + Y 4 Y Y V E + S + α = Y + Y + α Y + Y + Y V Y B V = Y + Y 4 Y ) V S H = V S E = Y Y + Y + Y ) Y ) + Y 4 Y Y + α Y 4 V S + α 0 http ://atelierprepa.over-blog.com/ jpqadri@gmail.com

5 Exercices Électrocinétique PTSI 4) En utilisant Y = Y = et Y = Y 4 = jcω, la fonction de transfert devient : H = V S E = + α + j α)cω C ω qu on peut écrire sous la forme : Hjω) = en posant = + α, m = α + jm ω ω 0 ω ω 0 et ω 0 = C. 5) La forme canonique de la fonction de transfert est celle d un filtre passe-bas. Mais un filtre passe-bas donc le facteur d amortissement est paramétré par la valeur de α qui, sur un certain intervalle, permet au module Hω) de la fonction de transfert de passer par un maximum. En effet Hω) = Hjω) = =, fx) ω ω0 ) + 4m ω ω0 en posant fx) X) + 4m X = X + m )X + et X ω. Hω) passe par un maximum H max ) lorsque fx) passe par un minimum, c est-à-dire lorsque, pour w = w m : df dx X m) = X m + m ) = 0 X m = m > 0 ω m = ω 0 m < ω 0 avec : 0 < m < Dans ce cas m < ), le filtre se comporte comme un amplificateur de tension. 6) La courbe de réponse en gain revient à tracer l évolution du gain en décibels : G db = 0 log H en fonction de log x = log ω ω 0 : G db = 0 log 0 log x ) + 4m x ) Les asymptotes à basses fréquences et à hautes fréquences à cette courbes de réponses en gain ont les équations suivantes : ω ω 0 G db G db BF ) = 0 log : droite horizontale passant par 0, 0 log). ω ω 0 G db G db BF ) = 0 log 40 log x : droite de pente 40 db/dec passant par 0, 0 log). 5 ω y y c) G db pour m = 0,, m = 0, 707 et m = d) G db 0 log pour m = 0,, m = 0, 707 et m = jpqadri@gmail.com http ://atelierprepa.over-blog.com/

6 PTSI Exercices Électrocinétique Sources : [P] Dominique Meier dir.), Toute la Physique Chimie MPSI PTSI, Ellipses, 00. [P] Jérôme Perez, Physique MPSI PCSI PTSI, Cap Prépa, Pearson Education, 009. [P] Olivier Fiat, Toute la physique de Sup MPSI PCSI PTSI, Belin, 004. [P4] Pierre Grécias, Jean-Pierre Migeon, Physique MPSI PCSI, Méthodes et nnales, Tec&Doc, Lavoisier, 009. [P5] Laurent Desmottes, La physique simplement MPSI PCSI PTSI BCPST, Nathan, 009. [P6] Julien Barthes, Physique MPSI PCSI PTSI, Les recettes de Sup, Ellipses, 008. [P7] Cyriaque Cholet, Physique-Chimie MPSI PCSI PTSI, Interros des prépas, Nathan, 005. [P8] Thibaut Cousin, Hervé Perodeau, Physique Cours compagnon PCSI, J intègre, Dunod, 009. [PE] Bernard Gendreau, Christophe Gripon, Électrocinétique PCSI MPSI PTSI, Classe Prépa, Nathan, 006. [PE] Nicolas Lescure, Bruno Mombelli, Électrocinétique avec Maple et Pspice MP PC, J intègre, Dunod, 998. http ://atelierprepa.over-blog.com/ jpqadri@gmail.com