Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance
|
|
- Armand Fradette
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance A- Variables aléatoires et lois de probabilités I Loi d une variable aléatoire 1) Définition d une variable aléatoire Exemple : Un jeu de hasard se déroule selon le protocole suivant : Le joueur débourse 2 euros et lance deux dés tétraédriques parfaits. Il lit les numéros sortis (entre 1 et 4) au sommet de chacun des dés. S il obtient un «double», le joueur récupère sa mise, et reçoit une somme, en euros, égale au total des points marqués ; sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise. On s intéresse au gain (algébrique), noté, du joueur. On considère l expérience aléatoire «lancer les deux dés». L univers (l ensemble des résultats possibles) de cette expérience aléatoire est l ensemble des couples d entiers(;) avec 1 4 et 1 4. L univers comporte donc 16 issues possibles. Les dés étant équilibrés, les issues obtenues sont équiprobables, de probabilité. Pour simplifier le dénombrement, on représente les gains possibles dans un tableau à double entrée : A chaque issue est associé un gain : (1 ;1) 2 (1 ; 2) -2 (1 ; 3) -2 (4 ; 3) -2 (4 ; 4) 8 On dit alors que l on a défini la variable aléatoire qui donne le gain du joueur. Remarque : est une fonction : à chaque issue, elle associe le nombre qui correspond au gain du joueur. Définition 1 : Soit E l univers associé à une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire sur E, c est associer à chaque issue de E un nombre. 2) Loi de probabilité d une variable aléatoire Reprenons l exemple : Cherchons la probabilité de «gagner 2 euros», événement noté «=2». Cet événement est réalisé pour l unique issue (1 ; 1) avec la probabilité. On écrit alors (=2)=. De même : (=4)=(=6)=(=8)=. L événement «= 2» est réalisé pour les 12 issues (;) telles que. En raison de l équiprobabilité, (= 2)= =. On regroupe ces informations dans le tableau suivant : Gain Dé Dé Ce tableau représente la loi de probabilité de. (= ) Définition 2 : Soit une variable aléatoire définie sur l univers E d une expérience aléatoire. On note (1 ) les différentes valeurs prises par. Définir la loi de probabilité de consiste à associer à chaque valeur la probabilité de l événement «=». Remarque : (= ) =1 1
2 II Paramètres d une variable aléatoire 1) Espérance, variance et écart-type est une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau suivant : Valeur Probabilité Définition 3 : L espérance mathématique de, notée (), est la moyenne des : ()= = La variance de, notée (), est la moyenne des carrés des écarts ( ()) : ()= ( ())²+ ( ())²+...+ ( ())²= ( ())² La variance est aussi la moyenne des carrés des valeurs moins le carré de l espérance : ()= ²+ ²+...+ ² () = () L écart-type de, noté (), est défini par : ()=() Exemple : Reprenons l exemple des deux dés tétraédriques. ()=.. L espérance peut s interpréter en disant que si on joue un grand nombre de fois, le gain moyen qu on peut espérer est de 0,25. ()=.. ()=.. 2) Transformation affine d une variable aléatoire Soit une variable aléatoire définie sur l univers E d une expérience aléatoire. prend les valeurs,,. Soient et deux nombres réels et considérons la variable aléatoire =+. prend alors les valeurs = +, = +,, = +. Propriété 1 : (+)=()+ (+)=²() et (+)= () Démo : (+)= ( +)+...+ ( +)=( ) (+)= + (+) (+) 2 () +( ) = () + + () =² ( ())²+...+ ² ( ())²=²()
3 B- Loi binomiale I Répétition d épreuves identiques et indépendantes 1) Étude d un exemple : tirage avec remise Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : deux bleues, deux jaunes et une noire. L expérience aléatoire consiste à tirer au hasard successivement deux boules de l urne avec remise et à noter les couleurs obtenues. Définition de l épreuve : Comme la première boule tirée est remise dans l urne avant le deuxième tirage, la composition de l urne est la même lors des deux tirages. L expérience aléatoire étudiée est donc la répétition de l épreuve «tirer au hasard une boule dans l urne et noter sa couleur». On répète deux fois cette épreuve. Le résultat de la première épreuve n a pas d influence sur le résultat de la deuxième : les deux épreuves sont donc indépendantes. (Ce qui ne serait pas le cas s il n y avait pas remise ) Construction de l arbre associé : 1 ère boule 2 e boule Issue L expérience aléatoire peut être illustrée par un arbre pondéré (par les probabilités) Probabilité d une issue de l expérience : On admettra que la probabilité d une issue s obtient en effectuant le produit des probabilités inscrites sur le chemin représentant cette issue. Exemple : (;)= = et (;)= = 2) Cas général Propriété 2 : Lors de la répétition de épreuves identiques et indépendantes, on peut utiliser un arbre pondéré. On admettra que : - la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d un même nœud vaut 1 ; - une issue est une liste ordonnée de résultats, représentée par un chemin ; - la probabilité d une issue est le produit des probabilités de chacun de ces résultats ; - la probabilité d un événement A est la somme des probabilités des issues associées aux chemins qui conduisent à la réalisation de A. Exemple : Notons l événement «le tirage est unicolore»: il est réalisé par les issues (;),(;) et (;) Ainsi, ()=(B;B)+(;)+(;)= + + = 1/5 Exercice : Notons la variable aléatoire donnant le nombre de boules bleues obtenues. Déterminer sa loi de probabilité. 3 1/5 1/5 1/5 J N B J B ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
4 II Épreuve de BERNOULLI Loi de BERNOULLI Définition 4 : Une épreuve de BERNOULLI est une expérience aléatoire qui admet exactement deux issues : (succès), de probabilité 0;1 et (échec), de probabilité =1. Exemple : on lance un dé cubique parfaitement équilibré et on s intéresse à la sortie du 6. Cette expérience est une épreuve de BERNOULLI dont l événement est «sortie du 6», = et =. Définition 5 : Dans une épreuve de BERNOULLI, notons la variable aléatoire qui prend la valeur 1 lorsque est réalisé et la valeur 0 en cas d échec. On dit que suit une loi de BERNOULLI de paramètre. 0 1 (=) 1 Conséquence : ()= et ()=(1 )= III Schéma de BERNOULLI d ordre Loi binomiale 1) Étude d un exemple On lance 3 fois de suite un dé cubique parfait et on s intéresse au nombre de sorties du numéro 6 au terme de ces 3 lancers. Cette expérience aléatoire est la répétition de l épreuve de BERNOULLI «lancer un dé cubique parfait» avec l issue «sortie du 6» de probabilité. 1 er lancer 2 e lancer 3 e lancer issue probabilité = = = = On note la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès au terme des trois lancers. peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. D après l arbre ci-dessus : (=0)= = 125, 216 (=1)=3 = (=) = = = = On dit que suit une loi binomiale de paramètres 3 et. 4
5 2) Schéma de BERNOULLI Coefficients binomiaux Définition 6 : On appelle schéma de BERNOULLI d ordre l expérience aléatoire qui consiste en la répétition de épreuves de BERNOULLI identiques et indépendantes. L exemple du paragraphe 1) est un schéma de BERNOULLI d ordre 3. Définition 7 : Le nombre de chemins de l arbre associé à un schéma de BERNOULLI d ordre conduisant à succès pour répétitions est noté et se lit «parmi». Les nombres entiers sont appelés coefficients binomiaux. Exemple : d après le 1), = =1 et = =3 Propriété 3 : On considère un schéma de BERNOULLI d ordre et de paramètre (probabilité de succès) Soit un entier naturel tel que 0. Dans ce cas : Démo : =1 =1 = = - Il n y a qu un chemin réalisant 0 succès, celui ne comportant que des échecs donc =1 - Il n y a qu un chemin réalisant succès, celui ne comportant que des succès donc =1 - Il y a chemins réalisant un seul succès car il y a positions possibles de l unique succès dans la liste des résultats donc =. - Il y a autant de chemins qui réalisent succès que échecs. Or, dire qu un chemin indique succès revient à dire que ce chemin indique échecs, d où =. Propriété 4 : Soit un entier naturel tel que =+1 +1 Cette égalité est appelée formule de PASCAL. Démo : On considère un schéma de BERNOULLI d ordre +1. Les chemins qui indiquent +1 succès sont de deux types : ceux qui se terminent par et ceux qui se terminent par. Un chemin du 1 er type indique succès lors des premières répétitions : il y en a Un chemin du 2ème type indique +1 succès lors des premières répétitions : il y en a La somme donne le nombre de chemins donnant +1 succès lors des +1 répétitions. Exemple : = + =3+3=6 Triangle de PASCAL : À compléter avec les valeurs de n k Remarques : le triangle ci-contre n est qu une partie du triangle de PASCAL - Il se complète à l aide des propriétés 3 et 4. - Attention :
6 3) Loi binomiale de paramètres et Propriété 5 : On considère un schéma de BERNOULLI d ordre dont la probabilité de succès à chaque épreuve est. La loi de probabilité de la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès au terme des épreuves est définie par : (=)= (1 ) où est un entier naturel tel que 0 On dit alors que la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres et. Exemple : dans l exemple du III 1), on a défini une loi qui suit une loi binomiale de paramètres 3 et. Propriété 6 : Si la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres et, alors : ()= ()=(1 )= ()= C- Probabilités conditionnelles Dans tout ce paragraphe, on désigne par E l ensemble des issues d une expérience aléatoire et une probabilité associée à E. I Probabilité de sachant 1) Définition Définition 8 : Soient et deux événements avec () 0. La probabilité conditionnelle de sachant est le nombre noté () et défini par : ()= ( ). () C est la probabilité que l événement soit réalisé sachant que l événement est déjà réalisé. Remarques : 1) Cette probabilité se note aussi : ( ). 2) On vient de définir une nouvelle probabilité sur l univers E, dite probabilité conditionnelle. Elle vérifie, entre autres, les propriétés suivantes : Propriété 7 : Soient et deux événements avec () 0. 1) 0 () 1 2) ()+ ()=1 2) Probabilité d une intersection Propriété 8 : Soient et deux événements avec () 0 et () 0. ( ) peut se calculer de deux façons : 1) ( )=() () 2) ( )=() () Remarque : c est une conséquence directe de la définition 8. 6
7 II Probabilités totales 1) Partition Définition 9 : Soit un entier naturel non nul. On dit que les événements,,, de probabilités non nulles forment une partition de l univers E s ils sont incompatibles deux à deux et si leur réunion est égale à l univers E. Cas particulier : Deux événements contraires et de probabilités non nulles forment une partition de l univers E. Exemple : Dans l exemple du paragraphe B, III, 1, les événements =0,=1,=2,=3 forment une partition de l univers E. 2) Arbres pondérés Pour plus de clarté, on peut représenter les probabilités conditionnelles à l aide d un arbre pondéré. Le premier nœud correspond aux événements d une partition (en général deux ou trois événements, rarement plus). Le deuxième nœud est complété par les probabilités conditionnelles dont les conditions sont les événements de la partition. On retrouve rapidement les probabilités des intersections en multipliant les probabilités du chemin reliant les deux événements concernés. Exemple d arbre simple constitué de deux événements à chaque nœud : () ( )=() () () () ( )=() () ( ) () ( )=( ) () () ( )=( ) () 3) Formule des probabilités totales Propriété 9 : Soient événements,,, constituant une partition de l univers E. Pour tout événement, on a : ()=( )+( )+ +( )=( ) Ou encore : 7 ()=( ) ()+( ) ()+ +( ) ()=( ) ()
8 Cas particulier : Dans le cas où la partition choisie est constituée de deux événements contraires et, on obtient les formules : ()=( )+( ) Ou encore : ()=() ()+( ) () D- Indépendance Dans tout ce paragraphe, on désigne par Ω l ensemble des issues d une expérience aléatoire et une probabilité associée à E. I Indépendance de deux événements 1) Définition Définition 10 : On dit que les événements et sont indépendants lorsque : ( )=() () Remarque : L indépendance de deux événements traduit l idée suivante : «La réalisation (ou non) de l un n influence pas la réalisation (ou non) de l autre». On ne sera donc pas surpris par la propriété 10 du paragraphe suivant. 2) Propriétés Propriété 10 : Soient et deux événements avec () 0 et () 0. 1) Les événements et sont indépendants si et seulement si ()=() 2) Les événements et sont indépendants si et seulement si ()=() Propriété 11 : Si et sont deux événements indépendants alors et le sont aussi. Il en est d ailleurs de même pour et ainsi que pour et. II Indépendance de deux variables aléatoires Soient et deux variables aléatoires discrètes définies sur Ω avec : (Ω)=,1 et (Ω)=,1 Définition 11 : On dit que les variables aléatoires et sont indépendants lorsque, pour tout entier tel que 1 et pour tout entier tel que 1 : (= ) = =(= ) (= ) Exercice : On lance deux dés cubiques parfaitement équilibrés. On désigne respectivement par et les deux variables aléatoires égales à la somme et au produit des deux dés. Les variables et sont-elles indépendantes? 8
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détailLoi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Plus en détailCalculs de probabilités conditionelles
Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détailProbabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2
Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard
Plus en détailExercices sur le chapitre «Probabilités»
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de
Plus en détailLois de probabilité. Anita Burgun
Lois de probabilité Anita Burgun Problème posé Le problème posé en statistique: On s intéresse à une population On extrait un échantillon On se demande quelle sera la composition de l échantillon (pourcentage
Plus en détailExercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010
Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010 Exercices fortement conseillés : 6, 10 et 14 1) Un groupe d étudiants est formé de 20 étudiants de première année
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détail4. Exercices et corrigés
4. Exercices et corrigés. N 28p.304 Dans une classe de 3 élèves, le club théâtre (T) compte 0 élèves et la chorale (C) 2 élèves. Dix-huit élèves ne participent à aucune de ces activités. On interroge au
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailProbabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110
Plus en détailCouples de variables aléatoires discrètes
Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailPROBABILITÉS CONDITIONNELLES
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES A.FORMONS DES COUPLES Pour la fête de l école, les élèves de CE 2 ont préparé une danse qui s exécute par couples : un garçon, une fille. La maîtresse doit faire des essais
Plus en détailNOTIONS DE PROBABILITÉS
NOTIONS DE PROBABILITÉS Sommaire 1. Expérience aléatoire... 1 2. Espace échantillonnal... 2 3. Événement... 2 4. Calcul des probabilités... 3 4.1. Ensemble fondamental... 3 4.2. Calcul de la probabilité...
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailCours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailActuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.
Actuariat I ACT2121 septième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 En analysant le temps d attente X avant un certain événement
Plus en détailP1 : Corrigés des exercices
P1 : Corrigés des exercices I Exercices du I I.2.a. Poker : Ω est ( l ensemble ) des parties à 5 éléments de l ensemble E des 52 cartes. Cardinal : 5 I.2.b. Bridge : Ω est ( l ensemble ) des parties à
Plus en détailDistribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités
Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements
Plus en détailI. Cas de l équiprobabilité
I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus
Plus en détailExemple On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Calculer la probabilité d obtenir exactement deux fois pile.
Probabilités Définition intuitive Exemple On lance un dé. Quelle est la probabilité d obtenir un multiple de 3? Comme il y a deux multiples de 3 parmi les six issues possibles, on a chances sur 6 d obtenir
Plus en détailCalcul élémentaire des probabilités
Myriam Maumy-Bertrand 1 et Thomas Delzant 1 1 IRMA, Université Louis Pasteur Strasbourg, France Licence 1ère Année 16-02-2006 Sommaire La loi de Poisson. Définition. Exemple. 1 La loi de Poisson. 2 3 4
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailUniversité Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité
Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient
Plus en détailGEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau
GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision Lionel Darondeau Table des matières Énoncés 4 Corrigés 10 TD 1. Analyse combinatoire 11 TD 2. Probabilités élémentaires 16 TD 3. Probabilités conditionnelles
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailFluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités
Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille
Plus en détailLEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.
LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,
Plus en détailChaînes de Markov au lycée
Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat
Plus en détailVariables Aléatoires. Chapitre 2
Chapitre 2 Variables Aléatoires Après avoir réalisé une expérience, on ne s intéresse bien souvent à une certaine fonction du résultat et non au résultat en lui-même. Lorsqu on regarde une portion d ADN,
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailQu est-ce qu une probabilité?
Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont
Plus en détailSeconde et première Exercices de révision sur les probabilités Corrigé
I_ L'univers. _ On lance simultanément deux dés indiscernables donc il n'y a pas d'ordre. Il y a répétition, les dbles. On note une issue en écrivant le plus grand chiffre puis le plus petit. 32 signifie
Plus en détail9 5 2 5 Espaces probabilisés
BCPST2 9 5 2 5 Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire
Plus en détailLes probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances
Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce
Plus en détail4 Distributions particulières de probabilités
4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli
Plus en détailDENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES
BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE EXERCICE RECAPITULATIF (DE SYNTHESE) CORRIGE Le jeu au poker fermé DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES On joue
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailLe modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Plus en détailEstimation et tests statistiques, TD 5. Solutions
ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détaildénombrement, loi binomiale
dénombrement, loi binomiale Table des matières I) Introduction au dénombrement 1 1. Problème ouvert....................................... 2 2. Jeux et dénombrements...................................
Plus en détailACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5
ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #4-5 ARTHUR CHARPENTIER 1 Un certain test médical révèle correctement, avec probabilité 0.85, qu une personne a le sida lorsqu elle l a vraiment et révèle incorrectement,
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailTESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple
TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple Un examinateur doit faire passer une épreuve type QCM à des étudiants. Ce QCM est constitué de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a trois réponses
Plus en détailExercices de dénombrement
Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.
Plus en détailACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12
ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ARTHUR CHARPENTIER 1 Une compagnie d assurance modélise le montant de la perte lors d un accident par la variable aléatoire continue X uniforme sur l intervalle
Plus en détailVous incarnez un surdoué en informatique qui utilise son ordinateur afin de pirater des comptes bancaires un peu partout dans le monde et s en mettre
Vous incarnez un surdoué en informatique qui utilise son ordinateur afin de pirater des comptes bancaires un peu partout dans le monde et s en mettre plein les poches. Problème : vous n êtes pas seul!
Plus en détailCorrection du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014
Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé
Plus en détailIndépendance Probabilité conditionnelle. Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles
Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles Indépendance Indépendance Probabilité conditionnelle Definition Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A).P(B) Attention
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailFeuille d exercices 2 : Espaces probabilisés
Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un
Plus en détailBureau N301 (Nautile) benjamin@leroy-beaulieu.ch
Pre-MBA Statistics Seances #1 à #5 : Benjamin Leroy-Beaulieu Bureau N301 (Nautile) benjamin@leroy-beaulieu.ch Mise à niveau statistique Seance #1 : 11 octobre Dénombrement et calculs de sommes 2 QUESTIONS
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailRéseau SCEREN. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la. Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.
Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Campagne 2013 Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté, adapté
Plus en détailThéorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailArbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement
Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement Exercice 1 Donner l univers Ω de l expérience aléatoire consistant à tirer deux boules simultanément d une urne qui en contient 10 numérotés puis à lancer
Plus en détailIntroduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices
CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti
Plus en détailOLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES. 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF
OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF Durée : 4 heures Les quatre exercices sont indépendants Les calculatrices sont autorisées L énoncé comporte trois pages Exercice
Plus en détailExo7. Probabilité conditionnelle. Exercices : Martine Quinio
Exercices : Martine Quinio Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 Dans la salle des profs 60% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailProbabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Plus en détailLa valeur présente (ou actuelle) d une annuité, si elle est constante, est donc aussi calculable par cette fonction : VA = A [(1-1/(1+k) T )/k]
Evaluation de la rentabilité d un projet d investissement La décision d investir dans un quelconque projet se base principalement sur l évaluation de son intérêt économique et par conséquent, du calcul
Plus en détailLes probabilités. Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée Les probabilités produite par TFO.
Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée produite par TFO. Le guide Édition 1988 Rédacteur (version anglaise) : Ron Carr Traduction : Translatec Conseil Ltée
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailIntroduction au Calcul des Probabilités
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq Cedex Introduction au Calcul des Probabilités Probabilités à Bac+2 et plus
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailRessources pour le lycée général et technologique
éduscol Ressources pour le lycée général et technologique Ressources pour la classe de terminale générale et technologique Exercices de mathématiques Classes de terminale S, ES, STI2D, STMG Ces documents
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détailPROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits
Plus en détailL E Ç O N. Marches aléatoires. Niveau : Terminale S Prérequis : aucun
9 L E Ç O N Marches aléatoires Niveau : Terminale S Prérequis : aucun 1 Chaînes de Markov Définition 9.1 Chaîne de Markov I Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (X n, n N) qui permet
Plus en détailObjets Combinatoires élementaires
Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que
Plus en détailINF 162 Probabilités pour l informatique
Guy Melançon INF 162 Probabilités pour l informatique Licence Informatique 20 octobre 2010 Département informatique UFR Mathématiques Informatique Université Bordeaux I Année académique 2010-2011 Table
Plus en détailArithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailReprésentation d une distribution
5 Représentation d une distribution VARIABLE DISCRÈTE : FRÉQUENCES RELATIVES DES CLASSES Si dans un graphique représentant une distribution, on place en ordonnées le rapport des effectifs n i de chaque
Plus en détailCALCUL DES PROBABILITES
CALCUL DES PROBABILITES Exemple On lance une pièce de monnaie une fois. Ensemble des événements élémentaires: E = pile, face. La chance pour obtenir pile vaut 50 %, pour obtenir face vaut aussi 50 %. Les
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailPlan général du cours
BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE PROBABILITES Plan général du cours 1. Dénombrement et combinatoire (permutations, arrangements, combinaisons). 2. Les probabilités
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailLicence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7
Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Fiche BAC ES 05 Terminale ES Probabilités conditionnelles Loi binomiale Cette fiche sera complétée au fur et à mesure Exercice n 1. BAC ES. Centres étrangers 2012. [RÉSOLU] Un sondage a été effectué auprès
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détail