Unité d'enseignement de biostatistiques

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1 Unité d'enseignement de biostatistiques Examen du 0 janvier 014 Les questions sont indépendantes et peuvent être traitées dans le désordre. Une enquête a été réalisée en 00 sur un échantillon représentatif de 653 femmes habitant une île de Polynésie Française. Cette enquête s'intéressait à différents paramètres de santé et de nutrition ainsi qu'à la morphologie des femmes. C'est ce dernier point qui fait l'objet de ce problème qui porte notamment sur la taille, le poids, l'imc (indice de corpulence égal au poids divisé par la taille au carré), et la surface corporelle. Le questionnaire permettait de calculer l'imc actuel (au moment de l'enquête) et à 18 ans. Si besoin, il était exprimé en classes selon les seuils définis par l'oms (0 : 18,5 ; 1 : [18,5 5[ ; : [5 30[ ; 3 : 30). Le niveau d'études des femmes était repéré par le niveau scolaire maximum atteint (jamais allée à l'école, école primaire, collège, bac ou plus). Enfin, la parité était notée en 3 classes (pas d'enfant, 1 enfant, enfants ou plus). Les résultats qui font l'objet de ce problème figurent dans les tableaux en fin d'énoncé. 1. Donner la moyenne et l'intervalle de confiance de l'imc : a. pour l'ensemble des femmes b. pour les femmes n'ayant jamais été à l'école. Le surpoids est défini comme un IMC supérieur ou égal à 5. a. Quel est le pourcentage observé de femmes en surpoids et son intervalle de confiance? b. Le surpoids est-il lié au niveau d'études? c. On sait que le surpoids est plus fréquent lorsque l'âge augmente. Est-ce que cela pourrait expliquer le résultat de la question.b? 3. On suppose dans cette question que l'imc a une distribution normale de moyenne µ = 7 et de variance σ = 37. a. Quel est alors le pourcentage théorique de femmes en surpoids? b. Combien de femmes en surpoids devrait-on avoir parmi les 653 femmes de l'échantillon? Donnez un intervalle associé à ce nombre précédent? Comment interprétez-vous les bornes de cet intervalle (donnez une ou deux phrases pour expliquer leur signification)? c. Est-ce que le pourcentage observé de femmes en surpoids est compatible avec l'hypothèse sur la distribution de l'imc? 4. a. Est-ce que la taille des femmes qui n'ont jamais été à l'école est différente de celles qui sont allées à l'école primaire? b. Le pourcentage de femmes de plus de 1,70 m est-il différent selon le niveau d'études? 5. On s'intéresse à la relation entre l'imc (X) et la surface corporelle (Y). On donne : x = ,71, y = 17,17, xy = 3367,53 a. Donner l'équation de la droite de régression de Y en fonction de X. Unité d'enseignement de biostatistiques - Examen du 0 janvier 014 Master de Santé Publique

2 b. De combien varie la surface corporelle lorsque l'imc varie d'une unité? Quel est l'intervalle de confiance de cette variation? Est-ce que cette variation est significativement différente de 0? c. Quelle est la part de variance de la surface corporelle expliquée par l'imc? Est-elle significativement différente de 0? 6. On s'intéresse maintenant à la variation de l'imc chez les femmes de plus de 45 ans dont l'imc est connu à 18 ans et au moment de l'enquête (les données figurent dans le tableau ). a. Y a-t-il une variation de l'imc chez ces femmes entre l'âge de 18 ans et le moment de l'enquête? b. Cette variation est-elle la même selon la parité? Unité d'enseignement de biostatistiques - Examen du 0 janvier 014 Master de Santé Publique

3 Tableau 1 : Caractéristiques morphologiques des femmes selon leur niveau d'études Niveau d'études Jamais allée à l'école Ecole primaire Collège Bac ou plus Total Effectif Age au moment de l'enquête (an) m 66,5 45,8 38,9 38,0 43, s 55,8 149, 117,1 166,9 166,1 Taille (m) m 1,60 1,63 1,6 1,6 1,6 s 0,0059 0,0047 0,0038 0,0041 0,0044 1,70 m IMC (X) (kg/m ) m 3,9 7,8 6, 4,0 6,7 s 11,1 40,7 37,7 4,0 38,5 < 18, [18,5 ; 5[ [5 ; 30[ Surface corporelle (Y) (m ) m 1,69 1,85 1,79 1,71 1,81 s 0,035 0,063 0,05 0,037 0,058 Tableau : Variation de l'imc selon la parité chez les femmes de plus de 45 ans (dont l'imc est connu à 18 ans et au moment de l'enquête) Parité Aucun enfant 1 enfant enfants Total Effectif IMC à 18 ans m=1,7 ; s =5,6 m=0,8 ; s =1,5 m=0,7 ; s =7,1 m=0,7 ; s =7,46 IMC actuel m=4,9 ; s =19,9 m=4,7 ; s =18,9 m=7,6 ; s =35,4 m=7, ; s =33,9 Accroissement du IMC depuis 18 ans m=3,16 ; s =15,7 m=3,85 ; s =16,5 m=6,84 ; s =33,8 m=6,37 ; s =3,4 Unité d'enseignement de biostatistiques - Examen du 0 janvier 014 Master de Santé Publique

4 Unité d'enseignement de biostatistiques Examen du 0 janvier Corrigé 1. Les moyennes m et m' de l'imc de l'ensemble des femmes et de celles qui ne sont jamais allées à l'école sont données dans le tableau 1. Ce tableau donne aussi les variances, ce qui permet de calculer les intervalles de confiance des moyennes vraies correspondantes. a. pour l'ensemble des femmes Puisque la taille de l'échantillon est supérieure à 30, l'intervalle de confiance de la moyenne est donné, sans autre condition d'application, par : m ± z α/ s n = 6,7 ±1,96 38,5 653 = 6, ; 7, b. pour les femmes qui ne sont jamais allées à l'école Le nombre de ces femmes étant inférieur à 30, l'intervalle de confiance de la moyenne de l'âge est donné par : m ± t n 1;α/ s n 11,1 = 3,9 ±, =,1; 5,7 L'utilisation de cette formule nécessite que la distribution de l'imc est normale chez les femmes qui ne sont jamais allées à l'école.. a. Le pourcentage observé de femmes en surpoids est : p 0 = L'intervalle de confiance est donné par : p o ± z α/ p o q o n = = 0,55. = 0,55 ±1,96 0,55 0, = 0,51; 0,59. On vérifie a posteriori que les conditions d'application sont satisfaites : np i, np s, nq i et nq s sont supérieurs à 5 (la plus petite valeur vaut 653 0,41= 67,7 ). b. Les hypothèses à tester sont : H 0 : P 1 = P = P 3 = P 4 ; et H 1 : il y a au moins une différence où P i est le pourcentage vrai de femmes en surpoids dans la catégorie i de niveau d'étude (jamais allée à l'école, école primaire...). Le tableau de χ correspondant, que l'on peut reconstituer à partir du tableau 1 de l'énoncé, est le suivant : Niveau d'études Surpoids Non Oui Jamais allée à l'école Ecole primaire Collège Bac ou plus (6,8) (160,7) (80,1) (46,4) (8,) (196,3) (97,9) (56,6) Les conditions d application du test de χ sont satisfaites puisque tous les effectifs théoriques (entre parenthèses) sont supérieurs à 5. On obtient : Master de Santé Publique Unité d'enseignement de biostatistiques - Examen du 0 janvier Corrigé

5 χ 0 = (7 6,8) 6,8 La valeur de χ (33 56,6) 56,6 = 30,9 étant supérieure à la valeur seuil de la loi de χ à 3 ddl (7,81), on rejette H 0. On conclut que le pourcentage de surpoids n'est pas le même selon le niveau d'études. Le degré de signification est p < 1. c. Lorsqu'on calcule les pourcentages de surpoids selon le niveau d'études, on trouve successivement 53,3%, 6,8%, 5,8% et 3,0%. On peut commenter le résultat du test précédant en disant le pourcentage de surpoids diminue lorsque le niveau d'études augmente (le pourcentage de surpoids parmi les femmes n'ayant pas été à l'école parait contradictoire avec cette conclusion; il doit cependant être relativisé en raison de la petite taille de l'échantillon et ne remet pas en cause la tendance générale). Comme on constate que l'âge moyen est plus petit pour les niveaux d'étude plus élevés, il est possible que cela entraine un pourcentage de surpoids plus faible dans ces niveaux d'étude et explique donc la relation entre surpoids et niveau d'étude. 3. a. Le pourcentage cherché, P 1, est la probabilité que l'imc soit supérieur à 5. Si l'imc a une distribution normale de moyenne µ = 7 et de variance σ = 37, on peut calculer cette probabilité en se ramenant à la loi normale centrée réduite : 5 7 P 1 = P(IMC 5) = P Z 37 = P Z 0,33 ( ). En se référant à la table de Z, on obtient finalement : P 1 = 0,63. Le pourcentage théorique de femmes en surpoids est donc 63%. b. Le nombre attendu de femmes en surpoids est donc : N 1 = np 1 = 653 0,63 = 411,39. On peut lui associer un intervalle. Il s'agit d'un intervalle de fluctuation (d'où les majuscule pour P 1 et N 1 ) puisqu'on suppose connues les vraies valeurs dans la population (moyenne et variance du BMI d'où on déduit le pourcentage théorique de femmes en surpoids) et qu'on calcule le nombre de femmes en surpoids qu'on devrait observer dans un échantillon. L'intervalle de fluctuation est obtenu en multipliant par n l'intervalle de fluctuation de P 1. Les conditions d'application sont satisfaites puisque np 1 et nq 1 sont supérieurs à 5. On obtient : P n P 1 ± z 1 Q 1 α/ = 653 0,63 ±1,96 n 0,63 0, = 653 0,59;653 0,67 = 385,7;437,51. L'interprétation des bornes de cet intervalle est la suivante. Si la distribution de l'imc est normale de moyenne µ = 7 et de variance σ = 37, 95% des échantillons de 653 femmes auront un nombre de femmes en surpoids compris entre 385,7 et 437,51 (c'est-à-dire en pratique entre 385 et 437. c. Si que la distribution de l'imc est normale de moyenne µ = 7 et de variance σ = 37, le pourcentage de femmes en surpoids doit être égal à 0,63. Pour répondre à la question, il faut donc tester les hypothèses H 0 : P = 0,63 et H 1 : P 0,63. Le tableau de χ pour faire le test est le suivant : Surpoids Non Oui Observé Attendu 41,61 411, Master de Santé Publique Unité d'enseignement de biostatistiques - Examen du 0 janvier Corrigé

6 Les conditions d'application sont satisfaites puisque les effectifs attendus sont supérieurs à 5. On obtient : χ 0 = (94 41,61) 41,61 + ( ,39) 411,39 = 18,03 avec 1ddl. Le test est significatif avec p<1. On rejette donc H 0 et on conclut que le pourcentage observé de femmes en surpoids n'est pas compatible avec le fait que la distribution de l'imc soit normale de moyenne µ = 7 et de variance σ = 37 Remarques : On peut aussi répondre à la question en disant que l'intervalle de fluctuation de N 1 ne contient pas le nombre observé de femmes en surpoids. La conclusion est la même, mais on n'a pas le degré de signification. Le rejet de H 0 n'équivaut au rejet de l'hypothèse que la distribution de l'imc est normale de façon générale. 4. a. Il s'agit de tester les hypothèses H 0 : µ 1 = µ et H 1 : µ 1 µ, où µ 1 et µ sont les moyennes vraies de la taille des femmes selon qu'elles ne sont pas allées à l'école ou qu'elles sont allées à l'école primaire. Le nombre de femmes dans le premier groupe étant inférieur à 30, il faut utiliser le test de Student qui nécessite que les distributions de la taille soient normales et de même variances. On peut vérifier l'hypothèse d'égalité des variances en calculant F 0 = s 1 s = 0,0059 = 1,6 qu'il faut comparer 0, à la valeur seuil à,5% de F qui est comprise entre celles de F (1,89) et de F 00 (1,93). La différence entre les variances est donc non significative. D'un point de vue pratique, on peut admettre que cette condition d'application du test de Student est satisfaite. Le test de Student s'écrit : t 0 = m 1 m s ( 1 n n ). La variance commune est : s = (n 1)s + (n 1 1 1)s 14 0, ,0047 = = 0,00475 n 1 + n 370 On obtient donc : t 0 = 1,60 1,63 = 1,65. La valeur de t 0 étant inférieure à la valeur 0, seuil de la loi de Student à 370 ddl (qui est comprise entre 1,960 et 1,984), on ne rejette pas l hypothèse H 0. On ne met pas en évidence de différence de taille moyenne entre les femmes qui sont allées à l'école primaire et celles qui ne sont pas allées à l'école. b. Les hypothèses à tester sont : H 0 : P 1 = P = P 3 = P 4 ; et H 1 : il y a au moins une différence où P i est le pourcentage vrai de femmes de plus de 1,70 m dans la catégorie i de niveau d'étude (jamais allée à l'école, école primaire...). Le tableau de χ correspondant est le suivant : Master de Santé Publique Unité d'enseignement de biostatistiques - Examen du 0 janvier Corrigé

7 Taille 1,70 m Non Oui Niveau d'études Jamais allée à l'école Ecole primaire Collège Bac ou plus (1,6) (300,1) (149,7) (86,6) (,4) (56,9) (8,3) (16,4) Les conditions d application du test de χ ne sont satisfaites pas puisque un des effectifs théoriques (entre parenthèses) est inférieurs à 5. Comme il s'agit d'un khi- à plus de 1 ddl, la seule possibilité est de regrouper des colonnes. C'est ici envisageable puisque les catégories de niveau d'études sont ordonnées. En groupant les deux premières colonnes qui correspondent aux niveaux d'études les plus bas, on obtient le tableau suivant : Taille 1,70 m Non Oui Ecole primaire ou moins 309 (31,7) 63 (59,3) Niveau d'études Collège 154 (149,7) 4 (8,3) Bac ou plus 86 (86,6) 17 (16,4) Les conditions d'application sont cette fois satisfaites. On obtient : χ 0 = (309 31,7) 31, (17 16,4) 16,4 = 1,08 La valeur de χ 0 étant inférieure à la valeur seuil de la loi de χ à ddl (5,99), on ne rejette pas H 0. On ne met pas en évidence de différence entre les pourcentages de femmes de plus de 1,70 m selon le niveau d'étude. 5. a. L équation de la droite de régression de Y en fonction de X s'écrit : ŷ= a + bx. Ses coefficients xy nmxmy sont obtenus grâce aux formules : b = et a = m y - b m x. (n 1) s x Les valeurs nécessaires aux calculs (m x, s x, m y et xy) sont données dans le tableau 1 et dans l énoncé. On obtient ainsi : b = et a = 1,81 0,03 6,7 = 0, , ,7 1,81 = 810, ,5 510,00 = 0,03 L équation de la droite de régression est donc : ŷ= 0,96 +0,03 x b. Lorsque l'imc varie d'une unité, la surface corporelle varie de b, c'est-à-dire de 0,03 m. Ce résultat suppose que la régression entre l'imc et la surface corporelle est effectivement linéaire. Master de Santé Publique Unité d'enseignement de biostatistiques - Examen du 0 janvier Corrigé

8 L'intervalle de confiance de cette variation est l'intervalle de confiance de b : b ± t n,α/ s b avec s y s b s b = x. Les conditions d'application de la formule de l'intervalle de confiance sont d'une part n que la régression de Y en fonction de X soit linéaire et d'autre part que la distribution de Y à X fixé normale et de variance constante. On a s b = 0,058 38,5 0, = 0, = 7, On obtient donc l'intervalle de confiance de b : 0,03 ±1,96 7, = 0,030 ; 0,034. Comme l'intervalle de confiance ne contient pas la valeur 0, on peut conclure que b est significativement de 0 et donc que la variation de la surface corporelle lorsque l'imc varie d'une unité est significativement différente de 0. Si on veut le degré de signification, il faut faire explicitement de test de comparaison de b à 0 dont les conditions d'application sont les mêmes que ci-dessus. Les hypothèses testées sont H 0 : β = 0 et H 1 : β 0. Le test s écrit : t 0 = b s b = 0,03 7, = 37,. La table de la loi de Student à 651 ddl (c'est-à-dire en pratique la table de Z) donne p < c. La part de variance de surface corporelle (Y) expliquée par l'imc (X) est égale à r à condition que la régression entre X et Y soit linéaire. On a r = b s x s y = 0,03 38,5 0,058 = 0,8 d'où on déduit : r = 0,67. Dire que r est significativement différent de 0 est équivalent à dire que r est significativement différent de 0 ou que b l'est. D'après la question précédente, c'est bien le cas puisque les test de ρ et de β sont équivalents et le degré de signification est p<10-6. Remarque : on peut aussi répondre à cette question de façon équivalente avec le test de r. Les hypothèses sont H 0 : ρ=0 et H 1 : ρ 0, où ρ est le vrai coefficient de corrélation entre X et Y. Le test consiste à calculer t 0 = r n 0,8 651 = = 36,6. Le résultat numérique est un peu différent de celui 1 r 1 0,8 du t 0 de la question précédente, mais ce n'est que pour des raisons d'arrondis. La conclusion est bien sûr la même. 6. a. On veut comparer les IMC moyens des femmes entre 18 ans et l âge actuel. Les hypothèses à tester s écrivent : H 0 : µ 1 = µ et H 1 : µ 1 µ, où µ 1 et µ sont les vraies moyennes de l'imc des femmes, respectivement à 18 ans et actuellement. Les données sont appariées car les IMC sont mesurés chez les mêmes femmes aux deux périodes. Les hypothèses à tester doivent donc être réécrites de manière suivante : H 0 : µ d = 0 et H 1 : µ d 0 où d est la moyenne vraie de la différence entre l'imc à 18 ans et l'imc actuel. Le nombre de femmes étant supérieur à 30, le test est (en utilisant les données du tableau ) : z 0 = m d s d n = 6,37 3,4 3 = 16,71 Master de Santé Publique Unité d'enseignement de biostatistiques - Examen du 0 janvier Corrigé

9 Cette valeur est supérieur à la valeur au seuil de Z à 5% (1,96). On rejette l hypothèse nulle et on conclut que l IMC moyen 18 ans et l IMC moyen actuel sont différents. Le degré de signification est p < On observe que l'imc actuel est plus important qu'à 18 ans. b. Les hypothèses testées sont : H 0 : µ 1 = µ = µ 3 et H 1 : il y a au moins une différence, où les µ i sont les moyennes de la variation de l'imc entre 18 ans et le moment de l'enquête selon la parité. Il faut recourir à l analyse de la variance dont les conditions d application sont : distributions de la variation de l'imc dans les 3 classes de parité normales et de même variance. La normalité ne peut pas être vérifiée avec les données de l'énoncé, mais on peut constater que les variances qui figurent dans le tableau ne paraissent pas très différentes (il y a moins d'un facteur entre la plus grande et la plus petite). Les éléments de calcul nécessaires pour établir le tableau d analyse de la variance sont les suivants : n m = i m i 1 3,16+0 3, ,84 = = 6,374 n 3 n j m j = 1 3, , ,84 = 935,37 (n i 1)s i = 11 15, , ,8 = 6908,0 On en déduit le tableau d analyse de la variance : Source de variation Somme des carrés des écarts ddl Variance F Entre parité SCE A = 935,37-3 6,374 = 9,31 s A = 9,31 = 146,16 F 0 = 146,16 31,40 = 4,65 Résiduelle SCE R = 6908,0 0 s R = 6908,0 0 = 31,40 Totale SCE T = SCE A +SCE R = F 0 doit être comparé à la valeur seuil lue pour 5% dans la table F 0. Cette valeur seuil est comprise entre celles de F 00 (3,04) et de F 500 (3,01). On rejette donc H 0. On met en évidence une différence entre les variations moyennes d'imc selon la parité. Le degré de signification est p <,5%. On observe que la variation de l'imc est d'autant plus grande que la parité est élevée. Master de Santé Publique Unité d'enseignement de biostatistiques - Examen du 0 janvier Corrigé

10 Histogramme des notes Examen du 0 janvier 014 moyenne = 9, Notes nombre de copies : 139 moyenne : 9,7 notes supérieures à 10 : 50% Master de Santé Publique Unité d'enseignement de biostatistiques - Examen du 0 janvier Corrigé

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