Rappels sur l algèbre linéaire

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1 Rappels sur l algèbre linéaire Dans tout ce chapitre n et p sont des entiers naturels non nuls et K = R ou C, E un K-espace vectoriel, I un ensemble non vide. I- Espace vectoriel I-1 Définition et exemples Définition 1 : Soit (E,+) un groupe commutatif. on munit E d une deuxième loi externe. ; On dit que (E, +,.) est un espace vectoriel sur K ou un K-espace vectoriel si on a les propriétés suivantes : 1. x, y E, λ K : λ.(x + y) = λ.x + λ.y distributivité par raport à la somme des vecteurs 2. λ, α K, x E : (λα).x = λ.(α.x) associativité mixte 3. λ, α K, x E : (λ + α).x = λ.x + α.x distributivité par rapport à la somme des scalaires 4. x E : 1.x = x les éléments de E sont appelés vecteurs, et les éléments de K sont appelés scalaires etant donné (λ, x) K E on écrit souvent λx au lieu de λ.x dans la suite 0 E désignera l élément neutre de ( E,+).0 E est appelé le vecteur nul de E. Exemple 1 : R n est un R ev K n est un K ev C est un R-espace vectoriel, et un C- espace vectoriel Ensemble des suites, Ensemble des fonctions, ensemble des polynômes si E et F deux K-ev alors (F(E, F ), +,.) est un K ev si E et F deux K-ev alors E F est un K-ev I-2 Règles de calcul dans un K-ev Proposition 1 : Si (E, +,.) un K-espace vectoriel. alors on a : 1. x E : 0.x = 0 E 2. α K : α.0 E = 0 E 3. (α, x) K E : αx = 0 α = 0oux = 0 E 4. (α, x) K E : ( α)x = α.( x) 5. (α, β) K 2, (x, y) E 2 : (α β)x = αx βx α(x y) = αx βy II- Sous espace vectoriel Remarque 1 : Un sev de E contient toujours 0 E. II-1 Caractérisation d un sev Théorème 1 : Soit F une partie d un{ ev E. (1) : F F est un sev de E ssi (2) : (x, y) F 2, λ K : λx + y F II-2 Intersection de deux sous- espaces vectoriels Proposition 2 : Si F et G sont deux sev d un ev alors leur intersection est un sev de E Proposition 3 : l intersection d une famille de sev de E est un sev de E Proposition 4 : Soit A une partie de E, l intersection des sev de E contenant A est un sev de E, c est le plus petit (au sens de l inclusion) sev de E contenant A on le note par V ect(a) 1

2 2 II-3 Somme et somme directe de deux sev Définition 2 : Soit F et G deux sev d un ev E, on pose F + G = {x + y/x F, y G}, E + F est un sev de E, on l appelle la somme de F et G. si de plus F G = {0 E } on dit que la somme F + G est directe et on écrit E + F = F G II-4 Sous-espaces vectoriels supplémentaires Définition 3 : On dit que deux sev F et G de E sont supplémentaires si F G = E Remarque 2 : F et G sont deux sev supplémentaires de E ssi tout vecteur de E s ecrit d une maniere unique sous la forme d une somme d un vecteur de F et un vecteur de G Exemple 2 : III- III-1 Applications linéaires définitions et notations Soit E et F deux K-ev et f : E F Définition 4 : on dit que f est une application linéaire si on a : 1) (x, y) E, f(x + y) = f(x) + f(y) 2) λ K, x E, f(λx) = λf(x) on dit aussi que f est un morphisme d espaces vectoriels de E dans F. Si E=F, on dit que f est un endomorphisme linéaire Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme si E=F et f bijective, on dit que f est un automorphisme linéaire si F = K on dit que f est une forme linéaire Notation 1 : On note par : L(E, F ) ensemble des applications linéaire de E dans F,L(E) l ensemble des endomorphisme de E et par GL(E) : l ensemble des automorphisme linéaire de E Proposition 5 : f L(E, F ) (x, y) E, (α, β) K 2 : f(αx+βy) = αf(x)+βf(y) (x, y) E, α K : f(αx+y) = αf(x)+f(y) III-2 Noyau d une application linéaire Définition 5 : Soit f L(E, F ) on appelle noyau de u le sev de E : ker f = f 1 ({0}) = {x E/f(x) = 0} Soit x E x ker f f(x) = 0 Proposition 6 : Soit f L(E, F ) les propositions suivantes sont équivalentes 1. ker f = 0 E 2. f est injective 3. x E, f(x) = 0 x = 0 Proposition 7 : l image réciproque de tt sev de F est un sev de E par une application linéaire f (E, F ) Proposition 8 : l image d un sev de E est un sev de F par une application linéaire f de L(E, F )

3 3 III-3 Image d une application linéaire Définition 6 : Soit f L(E, F ), on appelle l image de f le sev de F : Imf = f(e) = {f(x)/x E} Soit y F Proposition 9 : f surjective Imf = F y Imf x E/f(x) = y Proposition 10 : Si f : Eev K forme linéaire non nulle alors Imf = K III-4 Projections et Symétries Soit E 1 et E 2 deux sev supplémentaire du K ev E : E = E 1 E2, Soit x E on sait que!(x 1, x 2 ) E 1 E 2 tel que x = x 1 + x 2 On pose p(x) = x 1 et s(x) = x 1 x 2 E = E p : 1 E2 E x = x 1 + x 2 x 1 s : E = E 1 E2 E x = x 1 + x 2 x 1 x 2 p et s sont deux applications linéaires de E dans E p s appelle la projection de E sur E 1 parallélement à E 2, s s appelle la symétrie vectorielle par rapport à E 1 parallèlement à E 2 Proposition 11 : Soit p la projection sur E 1 parallélement à E 2 et s la symétrie vectorielle par rapport à E 1 parallèlement à E 2 on a : 1. ker p = E 2, Im(p) = E 1 et p est surjective 2. p 2 = p, s 2 = IdE, s = 2p IdE et p = 1 2 IdE s 3. Im(s) = E 4. ker s = 0 E s est bijective 5. ker(s IdE) = E 1 et ker(s + IdE) = E 2 Proposition 12 : tout endomorphisme p de E qui vérifie p 2 = p est un projecteur Proposition 13 : tout endomorphisme s de E involutif ie s 2 = IdE est une symétrie vectorielle IV- Famille de vecteurs IV-1 Combinaison linéaire de p vecteurs Définition 7 : Une famille de p vecteurs de E est une une application d une partie I N dans E tq cardi = p, qu on peut noter par (u i ) i I avec i I, u i E On dit que I est l ensemble des indices, Si I = [1, p], on note la famille (u i ) i I par (u i ) 1 i p Si J I on dit que (u i ) i J est une sous-famille de I et (u i ) i I est une sur-famille de J Définition 8 : Soit (u 1, u 2,..., u p ) une famille de p vecteurs de E, et u un vecteur de E i=p on dit que u est combinaison linéaire des vecteurs u 1, u 2..., u p si (λ 1, λ 2..., λ p ) K p telle que u = λ i u i Proposition 14 : Soit (u i ) 1 i p une famille de E, 1. l image de tout combinaison linéaire de (u i ) 1 i p par une application linéaire f de E dans un ev F est une combinaison linéaire de (f(u i )) 1 i p

4 l ensemble des combinaisons linéaires de (u i ) 1 i p : {λ 1 u 1 + λ 2 u λ p u p /(λ 1, λ 2..., λ p ) K p }est un sev de E noté par V ect{u 1, u 2,..u p } ou par V ect(u i ) 1 i p, est le plus petit sev de E ( au sens de l inclusion) contenant u 1, u 2,..u p IV-2 Famille génératrice V ect{u 1, u 2,..u p } = F k sev dee u 1, u 2,..u p F k Définition 9 : Soit (u i ) 1 i p une famille d éléments de E, on dit que (u i ) 1 i p est génératrice de E si V ect{u 1, u 2,..u p } = E ie tout vecteur de E s écrit comme combinaison linéaire de u 1, u 2,..u p i=p u E, (λ 1, λ 2..., λ p ) K p telle que u = λ i u i Dans ce cas on dit aussi que les vecteurs u 1, u 2..., u p engendrent E Proposition 15 : sur-famille d une famille génératrice est une famille génératrice Exercice 1 : Soit (u i ) 1 i p et (v i ) 1 i p deux famille d éléments de E telle que E = V ect(u i ) 1 i p E = V ect(v i ) 1 i n ssi les vecteurs u i sont des combinaisons linéaire des v i IV-3 Famille libre - Famille liée Définition 10 : (u i ) 1 i p une famille de vecteurs de E On dit que (u i ) 1 i p est libre ou les vecteurs u 1, u 2,...u p sont linéairement indépendants i=p si pour tout (λ i ) 1 i p K p,on a : λ i u i = 0 E λ 1 = λ 2 =... = λ p = 0 On dit que (u i ) 1 i p est liée ou les vecteurs u 1, u 2,...u p sont linéairement dépendants si (u i ) 1 i p est n est pas libre Proposition 16 : F k (u i ) 1 i p est liée i=p il existe une famille (λ 1, λ 2,..., λ p ) K p non tous nuls telle que λ i u i = 0 l un des vecteurs de la famille (u i ) 1 i p est combinaison linéaires des autres Remarque 3 : (p q) (p ouq) et (p q) (petq) Exemple 3 : Deux vecteurs de E sont colinéaires ssi ils sont linéairement dépendantes Proposition 17 : 1. toute famille qui contient 0 E est liée 2. toute sur-famille d une famille liée est liée 3. toute sous-famille d une famille libre est libre 4. Soit (u i ) 1 i p une famille libre de E

5 5 (a) Soit (α i ) 1 1 p et (β i ) 1 1 p deux familles dek p,on a : i=p i=p α i u i = β i u i i [ 1, p ], α i = β i IV-4 (b) Si x E telle que la famille (u 1, u 2,...u i,..u p, x) est liée Alors x est combinaison linéaire de (u i ) 1 i p d une manière unique Base Définition 11 : On dit qu une famille (u i ) 1 i p de E est une base de E si (u i ) 1 i p est libre et génératrice de E Proposition 18 :(et définition) (u i ) 1 i p est une base de E ssi tout élément de E est une combinaison linéaire de (u i ) 1 i p d une manière unique c est à dire : x E,!(λ 1, λ 2,..., λ p ) K p telle que : x = λ i u i 1 i p (λ 1, λ 2,..., λ p )s appelle les coordonnées de x ou les composantes de) x dans la base (u i ) 1 i p Exemple 4 : les bases canoniques de R n, C, K n, K n [X] Proposition 19 : soit B=(u i ) 1 i p une famille de vecteurs de E, on a B est une base de E ssi B est libre maximale ( elle n existe pas de sur-famille stricte de B libre) ssi B est génératrice minimale de E ( elle n existe pas de sous -famille stricte de B génératrice de E Théorème 2 : si G une famille de n vecteurs de E, toute famille de n+1 vecteurs dont tous les vecteurs sont combinaisons linéaires de G est liée IV-5 Caractérisation d une application linéaire par l image d une base Proposition 20 : étant données une base B = e i1 i p de E et une famille (f i ) 1 i p d éléments d un ev F, il existe une unique f L(E, F ) telle que f(e i ) = f i V- Dimension d un ev V-1 Définition d un ev de dimension finie Définition 12 : On dit qu ev E est de dimension finie s il possède une famille génératrice finie V-2 Théorème de la base incomplète Théorème 3 : Soit E un ev non réduit à = {0},G une famille génératrice finie de E et L une sous- famille de G libre On peut compléter L avec des éléments de G pour que L soit une une base E Corollaire 1 : Tout ev E non nul de dimension finie admet une base Proposition 21 :(définition et notation ) dans un espace vectoriel E non réduit a {0} de dimension finie, toutes les bases ont même nombre de vecteurs n, ce nombre n est appelé la dimension de E, on la note par dim K (E) ou dim(e) Remarque 4 : par convention on pose dim{0} = 0 Exemple 5 :R d, C Exemple 6 : y ay = 0, y + ay + by = 0

6 6 V-3 Vocabulaire si dim E =1, E est dit droite vectorielle si dim E =2, E est dit un plan vectoriel V-4 Propriétés Proposition 22 : toute famille libre d un ev de dimension finie peut être complétée en une base de E Proposition 23 : Soit E un ev de dimension n, 1. toute famille génératrice de E ayant n vecteurs est une base de E 2. toute famille libre de E ayant n vecteurs est une base de E 3. E est isomorphe à K n 4. Si F est ev de dimension finie, alors F et E sont isomorphes ssi dim(e)=dim(f) Proposition 24 :(Expression des coordonnées de y=u(x)) Soit E et F deux ev de dimensions finies menus respectivement des bases B = (e i ) 1 i p et C = (f i ) 1 i n et u L(E, F ), on poseu(e j ) = a ij f i si x = x i e i alors y = u(x) = y i f i avec y i = a ij x i Proposition 25 : dim(e F ) = dim E + dim F V-5 Dimension d un sev Définition 13 : un sev est dite de dimension finie s il est de dimension finie vu comme étant un ev Proposition 26 : Tout sev d un ev de dimension finie est de dimension finie,si dim E = n et dim F =p alors p n on a de plus E = F n = p Exercice 2 : Donner un exemple de sev de dimension finie d un ev de dimension infinie V-6 Dimension de la somme Théorème 4 : Soit F et G deux sev d un ev de dimension finie alors : dim(f + G) = dimf + dimg dim(f G) V-7 Rang d une famille Définition 14 : On appelle rang d une famille de p vecteurs la dimension du sev engendré par cette famille rang(u 1, u 2,...u p ) = dimv ect(u 1, u 2,...u p ) Remarque 5 : rang(u 1, u 2,...u p )est le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants qu on peut extraire de a famille rang(u 1, u 2,...u p ) ( d après théorème de la base incomplète) Proposition 27 :Deux Kev de dimension finie de même dimension sont isomorphes (c est à dire il existe une application linéaire bijective définie de l un sur l autre) V-8 Sev supplémentaires en dimension finie Proposition 28 : Soit F et G deux sev d un ev de dimension finie, les propriétés suivantes sont équivalentes 1. E = F G 2. dime = dim F + dim G et F G = {0} 3. E = F + G et dim F + dim G = dim E Proposition 29 : Tout sev d un ev de dimension finie admet un supplémentaire

7 7 V-9 Sev supplémentaires en dimension finie Proposition 30 : Soit F et G deux sev d un ev de dimension finie, les propriétés suivantes sont équivalentes 1. E = F G 2. dime = dim F + dim G et F G = {0} 3. E = F + G et dim F + dim G = dim E Proposition 31 : Tout sev d un ev de dimension finie admet un supplémentaire VI- Rang d une application linéaire VI-1 Théorème du rang Proposition 32 : Soit E et F deux Kev, u L(E, F ) et S un supplémentaire de ker u dans E S Imu l application v : est un isomorphisme x u(x) Théorème 5 :(formule du rang) Soit E et F deux Kev, u L(E, F ) si dim E est finie alors : dim E = dim ker u + dim Imu Proposition 33 : Si u L(E) et dime < alors ker u et Im u sont supplémentaires ssi ker u Im u = {0} ou E = ker u + Im u VI-1.1 Définition du rang Définition 15 : Soit E et F deux Kev, u L(E, F ), on appelle rang de u la dimension de Im u Notation 2 : rg u = dim(im(u)) VI-1.2 Propriétés du rang Proposition 34 :(formule du rang) Soit E et F deux K ev, u L(E, F ) si dim E est finie alors : dim E = dim ker u + rg u Proposition 35 : Si (e 1, e 2,..., e n ) est une base de E et u L(E, F )alors rg u = dim V ect(u(e 1 ), u(e 2 ),..., u(e 2 )) Exercice 3 : Soit f L(E), tq rg f = 1, mq il existe un unique α K tq f 2 = αf Proposition 36 : Proposition 37 : Soit E,F et G trois ev de dimension finie, et u : E F et v : F G deux applications linéaires Ona alors : rg(v u) rg u et rg(v u) rg v VII- Caractérisation des isomorphismes en dimension finie Théorème 6 : Soit E et F deux ev de dimension finie n et u L(E, F ), les propositions suivantes sont équivalentes : 1. f bijective 2. f injective 3. f surjective

8 8 Corollaire 2 : Soit E un ev de dimension finie et u L(E) u bijective u injective u surjective v L(E), u v = IdE v L(E), v u = IdE Proposition 38 : Soit E,F et G trois ev de dimension finie, et u : E F et v : F G deux applications linéaires Ona : 1. rg(v u) Min(rg u, rg v) ( c est la proposition 21) 2. si u est isomorphisme alors rg(v u) = rg v 3. si v est un isomorphisme alors rg v u = rg u Proposition 39 :Soit E un ev de dimension n et H un sev de E, On a les propositions suivantes sont équivalentes : 1. dim H = n 1 2. il existe une droite vectorielle D tqh D = E 3. il existe une forme linéaire φ non nulle sur E tq ker(φ) = H VIII- Matrices VIII-1 Produit matriciel Définition 16 Soit A = (a i,j ) 1 i n M n,q (K) et :B = (b i,j ) 1 i q M q,p (K) 1 j q 1 j p On définit la matrice C = (c i,j ) 1 i n M n,p (K) le produit de A et B (dans cet ordre) qu on note par C = A B 1 j p par : c i,j = a i,k b k,j VIII-2 1 k q Inverse d une matrice Définition 17 Soit A M n (K), On dit que A est inversible s elle existe B M n (K), AB = BA = I n, on note B = A 1 on note l ensemble des matrices inversible de M n (K) par GL n (K) Exemple 7 : pour n=2,si ad bc 0 alors la matrice ( d a b c d) est inversible et son inverse A 1 = ad bc c ad bc Proposition 40 : SiA, B GL n (K) alors AB GL n (K) et (AB) 1 = B 1 A 1 VIII-3 Transposée d une matrice b ad bc a ad bc Définition 18 Soit A = (a i,j ) 1 i n M n,p (K). On appelle transposée de la matrice A, la matrice qu on note 1 j p par t A = (b i,j ) 1 i p M p,n (K). telle que i [1, p], j [1, n] : b i,j = a j,i 1 j n Proposition 41 : Soit A, B M n,p (K) et λ K On t (A + B) = Proposition 42 Si A M n,q (K) et B M q,p (K) Alors t (AB) = Si A Gl n (K) alors t A Gl n (K) et on a ( t A) 1 = t A 1 t A + t B et t (λa) = λ. t A t B. t A VIII-4 Matrices particuliers Soit A = (a i,j ) 1 i,j n M n (K)

9 9 VIII-4.1 Matrices diagonales, triangulaires supérieures, inférieures Définition 19 On dit que A est diagonale ssi : i, j [1, n], i j a i,j = 0 a 1, a.. 2,2 0. A = an 1,n a n,n On dit que A est triangulaire supérieure ssi : i, j [[1, n]], i > j a i,j = 0 a 1,1 a 1,2... a 1,i... a 1,n. 0 a.. 2,2 a2,i... a 2,p. A = ai,i.. ai,n a n,n On dit que A est triangulaire inférieure ssi : i, j [1, n], i < j a i,j = 0 a 1, a 2,1 a.. 2, A = a i,1 a i,2... a.. i,i a n,1 a n,2... a n,i... a n,n Exercice 4 : les ensembles suivants sont des ev et déterminer la dimension dans chaque cas D n (K) l ensemble des matrices carrées d ordre n diagonales T s n (K) l ensemble des matrices carrées d ordre n triangulaire supérieures T i n (K) l ensemble des matrices carrées d ordre n triangulaire inférieures VIII-4.2 Matrices symétriques, antisymétriques Définition 20 On dit que A est symétrique si A = t A ( i, j [1, n], a i,j = a j,i ) on dit que A est antisymétrique si A = t A ( i, j [1, n], a i,j = a j,i ) On désigne par S n (K) l ensemble des matrices symétriques, et par A n (K) l ensemble des matrices antisymétriques Proposition 43 S n (K) et A n (K) sont deux sv supplémentaires de M n (K), A M n (K), A = 1 2 (A +t A) (A t A) (E ij + E i,j ) 1 i<j n (E i,i ) 1 i n est une base de S n (K) (E ij E i,j ) 1 i<j n est une base de S n (K) n(n + 1) dims n (K) = 2 n(n 1) dima n (K) = 2 VIII-5 Matrices échelonnée A = (a ij ) 1 i n est dit échelonnée si il existe r min(n, p) et des coefficients : 1 j p a 1j1, a 2j2,..., a rjr non nuls où 1 j 1 < j 2 <... < j r p

10 10 tel que a ij = 0 si i r, j < j i (( i 2 si j 1 = 1 ))(c est-à-dire que les a i,ji sont les premiers coefficients non nuls des r premières lignes). et a ij = 0 si pour i > r (c est-à-dire que toutes les lignes après les r premières sont nulles) les a 1j1, a 2j2,..., a rjr s appellent les pivots 0... a 1j a 1p. 0 a 2j2... a 2p a rjr Définition 21 : Une matrice échelonnée A est dite échelonnée réduite par les lignes si les pivots de A sont chacun égal à 1 et sont les seuls coefficients non nul dans leur colonnes respectives Exemple 8 : A = IX- Opérations élémentaires Soit A M n, p(k), on désignera par L i la ième ligne de A, C i la ième colonne de A, On appelle opération élémentaire sur les lignes de A, toute opération qui consiste à 1. Échanger la ligne L i et L j pour i j,on note cette opération : L i L j 2. Multiplier la ligne L i par un scalaire α non nul,qu on la note : L i αl i 3. Ajouter la ligne L i multipliée par α à la ligne L j pour i j :qu on la note : L j L j + αl i de la même facon on définit les opérations sur les colonnes de A : C i C j,c i αc i et C j C j + αc i Toute opération élémentaire sur les lignes d une matrice A M n,p (K) est équivalente à la multiplication à gauche par une matrice P inversible de M n (K) Opération élémentaire Matrice associée L i L j P i,j = I n E i,i E j,j + E i,j + E j,i L i αl i α 0 D i (α) = I n + (α 1)E i,i L i L i + αl j T ij (α) = I n + αe i,j Toute opération élémentaire sur les colonnes d une matrice A M n,p (K) est équivalente à la multiplication à droite par une matrice P inversible de M p (K) Opération élémentaire Matrice associée C i C j P i,j = I n E i,i E j,j + E i,j + E j,i C i αc i α 0 D i (α) = I n + (α 1)E i,i C i C i + αc j T ji (α) = I n + αe j,i Proposition D i (λ)d i (µ) = D i (λµ) 1. la matrice P ij est inversible et d inverse elle même 3. D i (λ) est inversible et son inverse est D i ( 1 λ ) 4. T ij (λ)t ij (µ) = T ij (λ + µ) 5. T ij (λ) est inversible et son inverse est T ij ( λ) 6. Toute opération élémentaire conserve le rang 7. si A Gl n (K), il existe un nombre fini de matrices élémentaires de( transvections ou dilatations) E 1, E 2, E 3,..., E m telle que A 1 = E m E m 1 E 2 E 1 X- Matrice associée à une application linéaire Définition 22 Soient E et F deux ev, de dimensions finies respectivement p et n. B = (e 1, e 2,..., e p ) une base de E et B = (f 1, f 2,..., f n ) une base de F

11 11 Soit u L(E, F ), tels que i=n j [1, p], u(e j ) = a i,j f i On appelle matrice de u par rapport aux bases B et B notée par M B,B (u) la matrice M B,B (u) = (a i,j ) 1 i n 1 j p u(e 1 ) u(e 2 ) u(e j ) u(e p ) X-1 Rang d une matrice a 1,1 a 1,2... a 1,j... a 1,p a 2,1 a 2,2... a 2,j... a 2,p A =.... a i,1 a i,2... a i,j... a i,p.... a n,1 a n,2... a n,j... a n,p f 1 f 2 Définition 23 :Soit A M n,p (K) on appelle rang de A le rang de l application linéaire u canoniquement associée a A on le note par rg(a) = rg(u) Remarque 6 : le rg d une matrice A est le rang de la famille constituée par ses colonnes ( car dim Im(u) = dimvect(u(e 1 ), u(e 2 ),..., u(e p )où(ei)est la base canonique dek p ),c est aussi le rang de la famille constituée par ses lignes. c est le nombre maximum des vecteurs libres qu on peut extraire, le rg ne change pas par les opérations élémentaires sur les lignes ou sur les colonnes de la matrices Proposition 45 si A M n (K) alors rga = n ssi A inversible Proposition 46 rga = rg A Remarque 7 : le rg ne change pas par les opération élémentaires... f i f n Proposition 47 : Soit A M n (K), A est inversible ssi il existe B M n (K) telle que AB = I n ou BA = I n Proposition 48 : A M n (K), A est inversible ssi X M n,1 (K), AX = 0 X = 0 X-2 Matrice de passage Soient B, B 2 bases de E. P = Mat B (B ). P est la matrice de passage de la base B à la base B Proposition 49 : (i) P = Mat B,B(Id) (ii) P GL n (K) (iii) P 1 = Mat B (B) (iv) Mat B (B ) Mat B (B ) = Mat B (B ) Proposition 50 : f L(E, F ), F K ev B 1 base de E B 2 base de F x E, X = Mat MathcalB1 (x) Y = Mat MathcalB2 (y) et A = Mat MathcalB1,MathcalB 2 (f) y = f(x) Y = AX Proposition 51 : f L(E, F ), g L(F, G) B 1 base de E B 2 base de F B 3 base de G Mat B1,B 3 (g f) = Mat B2,B 3 (g) Mat B1,B 2 (f)

12 12 X-3 Formule du binôme de Newton A, B M n (K) tq AB = BA n N, (A + B) n = n ( n k k=0 ) A k B n k Proposition 52 A = Mat B (f) avec f L(E) A inversible f automorphisme Proposition 53 : A = Mat B (S) avec S = (u 1,, u n ) X-4 Formule de changement de base x E, X = Mat B (x), X = Mat B (x) P = Mat B (B ) A inversible S base de E f L(E), A = Mat B (f), A = Mat B (f) X = P X A = P A P 1 (B1) (B2)