Magnétisme. Nicolas Sage 2017

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1 Magnétisme Nicolas Sage 2017 Figure 1 Aurore boréale, les particules chargées du vent solaire déviées, vers les pôles, par le champ magnétique terrestre interagissent en haute atmosphère avec les molécules d air. United States Air Force, photo de Senior Airman Joshua Strang, dans le domaine publique. 1 Les aimants Tout le monde a déjà fixé un document à l aide d un aimant sur son frigo et s est demandé "Mais comment est-ce que cela peut coller?" et "pourquoi diable, lorsque je tente de le coller sur la plonge ou le robinet de l évier cela ne colle plus!". Ce type de phénomène est connu depuis l antiquité et a été constaté, pour le première fois dans la ville de Magnésie en Asie mineure (actuellement en Turquie). Une roche (composée de plusieurs minerai dont des oxydes de Fer), provenant de cette citée, avait des caractéristiques étranges, telle que l attraction de morceau de fer, cette roche fut appelée Magnétite. Hormis l attraction du fer, nous pouvons mettre en évidence quelques phénomènes : Lorsque un morceau de fer (normal) est mis en contact, de manière prolongée avec une pierre de Magnésie, il acquière les mêmes propriétés magnétiques que la pierre. Lorsqu une aiguille aimantée (magnétisée) est libre de se mouvoir alors celle-ci s oriente toujours de la même manière. La direction que pointe l aiguille est, en première approximation, celle de l étoile polaire. Deux aimants peuvent s attirer ou se repousser, suivant la manière dont on les approche l un de l autre. Les débris d un aimant brisé héritent de toutes les caractéristiques de l aimant "parents". Ces quelques observations simples nous font postuler l existence de deux pôles sur un aimant. Afin de les distinguer, il a été décidé de nommer le pôle qui pointe constamment en direction de l étoile polaire, le pôle Nord et celui, qui, par opposition, pointe au sud le pôle Sud de l aimant. La dernière constatation de la liste précédente est intéressante. En effet, si nous voulons avoir un pôle magnétique, alors nous pouvons imaginer que de casser un aimant exactement à la jonction des pôles nous permettrait de l obtenir (figure 2), mais comme nous créons deux aimants le processus peut se poursuivre 1

2 indéfiniment. Ceci nous amène à la conclusion que, contrairement aux charges électriques, il n est pas possible d isoler une "charge magnétique". Nous tenterons d expliquer ce phénomène par la suite. Figure 2 A la recherche d un pôle magnétique, illustration de la brisure d un aimant. 2 Représentation du champ magnétique Nous introduisons la notion de champ afin de décrire les effets magnétiques. Un champ correspond à l association d un certains nombre de caractéristiques en chaque point de l espace, dépendant du phénomène à décrire. Par exemple, on peut donner un champ (scalaire) pour la température autour d un radiateur en associant à tous les points de l espace la température mesurée en ce point. Concernant la définition du champ magnétique nous allons associer à chaque point de l espace, une orientation ainsi qu une intensité, c est donc un vecteur qui contiendra toutes les informations magnétiques en tous points de l espace. Nous aurons alors à faire à un champ vectoriel. Un champ magnétique est donc créé aux alentours d un aimant. Celui-ci peut être mis en évidence à l aide de limaille de fer. Les dessins que forment les morceaux de limaille représentent les lignes de champ, ce sont les directions que prendrait spontanément une boussole placée à cet endroit (figure 3). Par convention nous avons définit le sens du champ magnétique comme allant du nord au sud à l extérieur de l aimant. Nous avons schématisé un aimant à la figure 3, où nous pouvons voir l orientation que prennent des boussoles placées autour de l aimant. Nous pouvons encore deviner, concernant ce champ, que son intensité doit augmenter si on se rapproche de l aimant. Pour récapituler, en chaque point de l espace nous pouvons dessiner un vecteur B qui représente à lui seul toutes les caractéristiques du champ magnétique, sa direction, son sens et son intensité. Le vecteur champ magnétique B est toujours tangent aux lignes de champ décrites par la limaille et son intensité diminue avec l éloignement de la source du champ. L intensité du champs magnétique se mesure en Tesla [T]. Figure 3 A gauche, Lignes de champ magnétique créés par un aimant, Newton Henry Black, Harvey N. Davis (1913) Practical Physics, The MacMillan Co., USA, p. 242, fig A droite les boussoles donnant la direction du champ magnétique créé par un aimant, simulé sur le site de l université du Colorado, ( La terre possède un champ magnétique car il arrive à orienter une boussole (aiguille aimantée) exactement à la manière des aimants. Nous pouvons, dans une première description, imaginer qu au centre de la terre, il y a un aimant, comme illustré à la figure 4. Le champ magnétique au niveau du sol, à l équateur, est de l ordre de T. 2

3 Figure 4 A gauche, analogie de la terre avec un aimant. La définition du nord d un aimant, nous donne l orientation de "l aimant" terrestre ; le nord magnétique correspond approximativement au sud géographique. A droite le déplacement du pôle magnétique nord de 1945 à 2000, image dans le droit publique, provenant du "National Atlas of the United States". 3 Électro-magnétisme 3.1 Oersted En 1819, le physicien Danois Oersted, effectue une expérience où circulait un courant électrique. De manière tout-à-fait fortuite, une boussole était située à proximité et M. Oersted observe que celle-ci change d orientation lors de la circulation du courant. Le résultat bouleverse la physique de l époque car l aiguille de la boussole déviée par la proximité d un courant électrique relie les deux phénomènes de manière pour le moins surprenante. C est ce jour-là que l homme compris que l électricité et le magnétisme ne sont en fait que deux aspects d un même phénomène. 3.2 Champ magnétique et courant électrique Le fil rectiligne Lorsque dans un fil rectiligne, un courant électrique est établit, alors il s installe un champ magnétique aux alentours du fil. En approchant du courant une boussole orientable dans les trois dimensions, nous observons que les lignes de champ sont telles que dessinées à la figure 5. Les lignes de champ forment des cercles concentriques autour du fil, le sens du champ est donné par la règle de la main droite. Figure 5 Champ magnétique créé par un courant électrique et règle de la main droite. Illustration wikipedia. L intensité est donnée (dans le vide) par la formule : B = µ 0 I 2π r Où µ 0 est la constante de perméabilité du vide et vaut : (1) µ 0 = 4π 10 7 [T m A 1 ] (2) Le champs magnétique est donc proportionnel à l intensité du courant I circulant dans le fil et inversement proportionnel à la distance r séparant le fil du point considéré. 3

4 3.2.2 La "composition" des champs Nous nous posons la question suivante : "Comment se composent deux champs magnétiques qui seraient créés dans l espace par deux objets différents?". En effet, la question est légitime, un champ de vecteur est par définition l association, d un seul vecteur à chaque point de l espace, alors si deux objets créant deux champs magnétique sont simultanément présent, que se passe-t-il? Nous pouvons donner deux vecteurs champ à chaque point de l espace. Le champ magnétique résultant de ces deux champs doit être un champ unique car une boussole posée en ce point n indiquerai d une seule direction. Nous obtenons cette direction simplement en additionnant vectoriellement les deux champs créés par chaque objet, comme on peut le voir à la figure 6. Figure 6 Le champ résultant de la superposition des champs créés par l aimant 1 ( B 1 ) et l aimants 2 ( B 2 ) La spire Nous allons chercher à déterminer comment se transforme le champ magnétique, si nous disposons, sous la forme d un cercle, un fil parcouru par un courant d intensité I. Comme nous pouvons le voir à la figure 7, chaque élément de courant qui créait un petit champ circulaire précédemment, s additionne à l intérieur de la spire afin de créer un champ qui entre dans la feuille, se renforçant les uns les autres. Dans le même ordre d idée le champ à l extérieur de la spire va dans l autre sens et se dilue. Nous pouvons utiliser la règle de la main droite pour montrer cela. De même pour donner l orientation du champs résultant. Figure 7 Champ magnétique créé par une spire de courant et règle de la main droite. L intensité du champ magnétique au centre de la spire peut être calculé : B = µ 0I 2R Où le nouveau paramètre R est le rayon de la spire. (3) Le solénoïde Avant de discuter de ce qu est un solénoïde, nous pouvons noter que, après la discussion précédente, si nous mettons plusieurs spires, de mêmes caractéristiques, les unes à cotés des autres (serrées), le champ magnétique au centre du cylindre ainsi créé est simplement la somme des champs dû à chaque spire. Déf : Un solénoïde est un fil enroulé sur lui-même de manière cylindrique dont le rayon est beaucoup plus petit que la longueur. Le solénoïde est définit par sa longueur L, son rayon R (R << L) ainsi que le nombre de boucles N qui le compose. Nous voyons à la figure 8 le schéma d un solénoïde avec le champ magnétique qu il crée. 4

5 Figure 8 Solénoïde. On peut constater que l intensité du champ à l extérieur du solénoïde est très faible (lignes de champ peu dense), alors qu à l intérieur elle est quasiment uniforme (partout la même) et on en calcul l intensité à l aide de la formule : B = µ 0NI L À nouveau le sens du champ est donné par la règle de la main droite. (4) Note sur la formule exact du champ au centre d un solénoïde. Dans certains ouvrages vous trouverez une expression différente pour la valeur de l intensité du champ au centre d un solénoïde. En effet, l intensité du champ magnétique au centre (du cylindre et à la moitié de la longueur) d un solénoïde de rayon R, de longueur L, contenant N spires, lorsqu il est parcouru par un courant I est donné, de manière exact, par la relation suivante : B = µ 0 NI 2 4R2 + L 2 Or, si le rayon R est beaucoup plus petit que la longueur L du solénoïde nous pouvons approximer 2 4R2 + L 2 par 2 L 2 = L et la relation précédente devient : B = µ 0 NI 2 4R2 + L = µ 0NI 2 L 3.3 Des électrons et des aimants La première remarque que l on puisse faire est que le champ créé par un solénoïde est en tout point identique à celui créé par un aimant droit. Il est impossible de les distinguer. La similitude est telle que l on a postulé que l aimantation des aimants était, en réalité, due à la circulation des électrons autour du noyau, comme illustré à la figure 9, (ajouter encore la "rotation" de l électron sur lui-même). Figure 9 Des aimants fait de courants. Remarque : Nous allons donc pouvoir, à l aide de courant, donner des formes aux lignes de champ que nous ne pouvions pas obtenir précédemment. Par exemple, il n est pas possible de créer des aimants dont le champ serait similaire à celui d un fil rectiligne. 5

6 3.3.1 Expériences d Ampère Voyons ce que nous obtenons lorsque deux courants circule dans des fils électriques parallèles. Figure 10 Expérience avec des fils électriques Nous constatons que les fils s attirent entre eux ou se repoussent, suivant le sens relatif des courants. Si l on dispose un aimant à proximité d un fil où circule un courant alors le fil est dévié, l aimant aussi subit une force (loi de l action/réaction). Comme le courant est en réalité fait de la circulation d électrons dans le conducteur cela nous amène à une nouvelle expérience. La question que nous nous posons est la suivante : Qu arrive-t-il à une charge électrique en présence d un champ magnétique? Force de Lorentz Pré-requis : Notion de MCU et de produit vectoriel. Afin de répondre à la question précédente nous allons, à nouveau, passer par l expérience. Nous constatons qu une charge électrique immobile dans un champ magnétique ne subit aucune force, mais ce n est plus le cas si la charge commence à se déplacer. Expérience : Nous allons envoyer un faisceau d électrons (donc de charges électriques) à travers un champ magnétique dont nous connaissons l orientation. Qu observons-nous? Figure 11 Expérience mettant en évidence la force de Lorenz. La force qui est appliquée aux charges en mouvement est telle qu elle dévie les charges de manière à faire sortir celles-ci du plan définit par les vecteurs vitesses et champ magnétique. Nous pouvons observer que la trajectoire est maintenant circulaire. Nous en déduisons que la force est perpendiculaire au vecteur vitesse (MCU) ainsi qu au vecteur champ magnétique. Nous pouvons faire cette expérience en variant les paramètres. Nous trouvons que cette force est proportionnelle à la charge, de même qu à sa vitesse, ainsi qu à l intensité du champs magnétique. Nous obtenons finalement à l aide de cette expérience, que l expression de la force que subit une charge q en mouvement v, dans un champ magnétique B est nommée force de Lorentz et s exprime par : 6

7 F L = q v B (5) C est cette force qui est à l origine des attractions/répulsions dans les fils électriques des expériences d Ampère. Notons que cette force est incapable d augmenter ou de diminuer la vitesse d une charge, son seul impact est de rediriger le "projectile". Dernière remarque ; c est à l aide de cette formule que nous avons étalonné le champ magnétique. Nous avons dit que si une charge de 1 Coulomb se déplaçant à une vitesse de 1 m/s perpendiculairement à un champ magnétique, subit une force de 1 Newton, alors c est que l intensité du champ magnétique est de 1 Tesla Mouvement d une charge dans un champ magnétique homogène Nous nous restreindrons au cas particulier où la vitesse de la charge est perpendiculaire au champ magnétique (le cas général contient seulement un sinus de plus). En combinant le mouvement circulaire uniforme de rayon R avec la force de Lorentz nous pouvons alors écrire : F L = m v2 R = q v B = qvb (6) m est la masse de la charge q se déplaçant à la vitesse v perpendiculairement à un champ magnétique B. Nous en tirons le rayon de la trajectoire : Et enfin la période rotation de la charge avec : R = mv qb (7) Où encore la fréquence : v = 2πR T mv 2π = qb T T = 2πm qb (8) ν = 1 T = B q (9) 2π m Notons que le rapport q/m détermine la trajectoire de la charge, la vitesse des particules ainsi que le champ magnétique sont les paramètres de l expérience). 7

8 3.4 Exercices 1. Est-ce qu une boussole, sur terre, donne toujours le nord indépendamment de sa situation par rapport à l équateur? 2. Est-ce que, sur terre, une boussole peut faire "n import quoi" et ne plus indiquer une direction unique, dans des conditions normales d utilisations? Si oui, où? Si non, pourquoi? 3. Dans quel sens s oriente spontanément deux aimants, l un en présence de l autre? 4. Déterminer et expliquer où sont les pôles magnétiques de la terre en sachant que le Nord de la boussole indique l étoile polaire, située dans la constellation de la petite ours. 5. Trois aimants identiques se trouvent sur les sommets d un triangle équilatérale. Schématiser le champ magnétique au centre du triangle dans les cas suivants : (a) les aimants se montrent leur Nord (b) les aimants se montrent leur Sud (c) l un des aimant montrent son sud au deux autres (d) deux des aimants montrent leur sud au troizième 6. Ligne de tension du trolley à 10 m du sol. Le courant est de 100 A dans la direction de l est. Décrire le champ magnétqiue et calculer son intensité au niveau du sol. Comparer avec le champs magnétique terrestre. 7. Des électrons se déplacent dans un tube cathodique en ligne droite à raison de e /s. Décrire le champ magnétique et calculer son intensité à 50 cm du tube. Comparer avec le champs magnétique terrestre. 8. Si un électron n est pas dévié en traversant une certaine portion de l espace, peut-on affirmer qu il n existe pas de champ magnétique dans cette région? 9. Calculer l intensité du champ magnétique régnant à mi-chemin (distance entre les fils 3 cm) entre deux fils où circulent dans le même sens un courant d une intensité I = 2 A. même question lorsque l un des courants circule en sens inverse. Dessiner le champ magnétique dans les deux cas précédent. 10. Dessiner les lignes de champ magnétique créé par une boucle de courant. 11. Un proton se déplace à la vitesse de m/s dans une région de l espace où règne un champ magnétique B = T. La vitesse fait un angle de 134 avec le champ magnétique. (a) Dessiner, en perspective et à main levée, les vecteurs vitesse, champ magnétique et force. (b) Déterminer l intensité de la force de Lorentz. (c) Répondre aux questions a) et b) pour un électron se déplaçant à la même vitesse que le proton. 12. Les particules 1, 2, 3 et 4 suivent les trajectoires indiquées dans le champ magnétique pénétrant dans la page. Leurs vitesses ont la même intensité. (a) Déterminer le signe de la charge q de chaque particule. (b) Comparer les valeurs des rapports q m (charge/masse) de ces particules. 13. Une particule α (noyau d hélium) se déplace dans un plan perpendiculaire à un champ magnétique vertical de 0.55 T dirigé vers le haut. Déterminer le sens de rotation de la particule. 8

9 14. Une particule de masse m et de charge q suit un mouvement circulaire de 93 mm de rayon à la vitesse de m/s. Ce mouvement s inscrit dans un plan perpendiculaire à un champ magnétique uniforme de 1.3 T. Quel est le rapport q m de la particule? 15. Spectromètre de masse Des atomes de chlore porteurs d une charge négative se déplaçant à la vitesse de m/s pénètrent perpendiculairement dans un champ magnétique uniforme de 0.5 T. Après une trajectoire circulaire d un demi-tour, ils heurtent une pellicule photographique. Le chlore naturel est constitué d environ 75% de 35 Cl et d environ 25% de 37 Cl. Quelle distance sépare les taches provoquées par les deux isotopes sur la pellicule photographique? 9