UE4 Évaluation des méthodes d analyses appliquées aux sciences de la vie et de la santé

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1 31/10/013 UE4 Évaluation des méthodes d analyses appliquées aux sciences de la vie et de la santé Liaison entre deux variables quantitatives - corrélation linéaire Frédéric Mauny 31 octobre 013 F Mauny - UFR SMP Université de Franche-Comté 1 Plan du cours 1. Position du problème. La covariance 3. La corrélation linéaire 4. Conditions de validité F Mauny - UFR SMP Université de Franche-Comté 1

2 31/10/013 Relation entre variables quantitatives Rappel V. quantitatives Age, poids, taille d une tumeur, dosage d un paramètre biologique, durée d exposition, concentration sérique d un médicament Question posée Etudier la relation entre deux variables quantitatives Mesurer l intensité avec laquelle deux variables évoluent ensemble Tester l hypothèse d un lien entre 3 Représentation graphique : Le nuage de points Principe : - Soient X 1 et X deux v. quantitatives - A chaque sujet i est associé une valeur observée pour X 1 et une valeur observée pour X - A chaque sujet i est associé un couple de valeurs (x 1, x ) - On représente chaque sujet par un point de coordonnées (x 1, x ) X X X a b d c e X 1 4

3 31/10/013 Relation entre variables quantitatives 6000 Poids du NN (en g) Age de la mère (en années) 5 Plan du cours 1. Position du problème. La covariance 3. La corrélation linéaire 4. Conditions de validité F Mauny - UFR SMP Université de Franche-Comté 6 3

4 31/10/013 La Covariance de X et Y Notée Cov(X, Y) ou σ XY Cov(X, Y)=E[(X-µ X )(Y- µ Y )] Valeur moyenne des écarts de X et Y à leur moyenne Cov(X, X)=var(X) Covariance observée sur un échantillon : cov( X, Y ) = ( x x)( y y) n 1 = xy ΣxΣy n n 1 7 Y xi x Numérateur de covariance et sens de la liaison entre X et Y yi y x G G, le centre de gravité du nuage xi M I (x i, y i ) yi y X - + G Signe du produit ( xi x)( yi y) 3 - G G G

5 31/10/013 Plan du cours 1. Position du problème. La covariance 3. La corrélation linéaire Principe Test d hypothèse Applications numériques 4. Conditions de validité F Mauny - UFR SMP Université de Franche-Comté 9 Corrélation linéaire entre X et Y Quantifiée par le coefficient de corrélation linéaire, noté ρ(x, Y) cov( X, Y ) σ XY ρ ( X, Y ) = = var( X ) var( Y ) σ σ X Y -1 ρ 1 Si X et Y sont indépendantes, alors ρ = 0 Si ρ = 0, et si X et Y sont distribuées normalement, alors X et Y sont indépendantes. 10 5

6 31/10/013 Test d hypothèse Principe : le coefficient de corrélation diffère-t-il significativement de 0? Hypothèses H 0 : ρ(x, Y) = 0 H 1 : ρ(x, Y) 0 Seuil de rejet de H 0 = table statistique Calcul du coefficient estimé à partir des données de l échantillon Interprétation 11 Coefficient de corrélation estimé Coefficient de corrélation estimé, noté r : ( x x)( y y) r = ( x x) ( y y) r [-1 ;+1] r = ( x xy ΣxΣy n ( Σx) ( Σy) )( Σy n n ) TESTS Table prob. que r dépasse une valeur seuil déterminée en fonction du nombre de degrés de liberté (ν = n- ddl) r tn ddl = n Sous H 0, la quantité 1 r suit une loi de Student à n- ddl 1 6

7 31/10/013 Règle de décision Table de coefficient de corrélation assez précise (ν = n- ddl), on compare r à la valeur seuil lue dans la table du coefficient de corrélation linéaire r dépasse la valeur seuil pour α = 0,05 on rejette H 0, on accepte H 1 r ne dépasse pas la valeur seuil pour α = 0,05 on ne rejette pas H 0 Table de coefficient de corrélation pas assez précise, r tn ddl = n on compare 1 r à la valeur seuil lue dans la table du t de Student t n-dd dépasse la valeur seuil on rejette H 0, on accepte H 1 t n-dd ne dépasse pas la valeur seuil on ne rejette pas H 0 Exemple 1 Pour répondre à la question : «Existe-il un lien entre l âge et le cholestérol plasmatique?», on effectue chez 47 sujets le dosage plasmatique du cholestérol total et on note l âge de ces patients. 1. Hypothèses H 0 :ρ(age, Cholestérol total) = 0 H 1 :ρ(age, Cholestérol total) 0. On calcul le coefficient de corrélation linéaire : r=0,31 3. Que peut-on en conclure? 7

8 31/10/013 Exemple 1 ν = n- ddl, ν = 45 ddl r = 0,31 0,05 > p > 0,0 15 Poids du NN (en g) Nuage de points Exemple Age de la mère (en années) n=00 couples (X=âge mère, Y=poids de naissance) Age de la mère Σx=5 98 Σx²=147 73, x = 6,5 ans Poids du NN Σy= Σy²= , y = 3309 g Σxy= r = * (661800) (598) ( )( ) = 0,4 16 8

9 31/10/013 Exemple ν = n- ddl, ν = 198 ddl r = 0,4? 17 t = 0,4 1 0,4 198 = 3,5 ν = n- ddl, ν = 198 ddl p<0,

10 31/10/013 Plan du cours 1. Position du problème. La covariance 3. La corrélation linaire 4. Conditions de validité Normalité des distributions Homoscédasticité Relation linéaire entre les deux variables F Mauny - UFR SMP Université de Franche-Comté 19 Distribution des variables selon une loi normale Pour chaque valeur de X 1, les valeurs de X sont normalement distribuées et vice versa. r = 0 r = 0,8 0 10

11 31/10/013 Homoscédasticité La variance de X est constante pour toute valeur de X 1 X X Homoscédasticité Hétéroscédasticité X 1 X 1 1 Linéarité de la relation La relation entre X 1 et X est linéaire. Linéaire 11

12 31/10/013 Conditions d application non respectées La relation entre les variables X 1 et X semble non-linéaire X 40 La variance de X semble augmenter quand X 1 augmente X solutions Transformer les données (ex: Log) L(X) 1.6 Test de corrélation nonparamétrique L(X 1 ).0 4 1

13 31/10/013 Conclusion Identifier le problème statistique Question posée Nature des variables Représentation graphique de données Réalisation des différents phases du test Respect des conditions d application 5 Merci de votre attention F. MAUNY - UFR SMP Université de Franche-Comté 6 13