Analyse des structures mécaniques par la

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1 Analyse des structures mécaniques par la méthode des éléments finis c PSA Peugeot Citroën Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

2 Retour sur amphi 2 : représentation locale des déplacements Maillage : Eléments et noeuds Représentation paramétrique et élément de référence ; Conformité aux interfaces entre éléments Jacobien de signe constant Interpolation isoparamétrique : représentation des déplacements à l aide des mêmes fonctions de forme que la géométrie : n e x = N k (a)x (k) k=1 n e v h (x) = N k (a)v (k) k=1 (a ) a ( ) a 1 x (4) x (1) x (8) x (7) x (5) (E) x (3) x (2) x (6) Notations (commode pour la programmation) : v h (x) = [N(a)]{V e } ε[v h ](x) = [B(a)]{V e } {V e } = {v (1) 1, v (1) 2,..., v (ne) D }T {ε} = {ε 11 ε 22 ε 33 2ε 12 2ε 13 2ε 23 } T Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

3 Plan du cours Concepts fondamentaux et leur application en élasticité linéaire statique Amphi 1 Résolution approchée de problèmes d équilibre en élasticité Amphi 2 La notion d élément fini isoparamétrique Amphi 3 La méthode des éléments finis en élasticité linéaire Amphi 4 Application à la mécanique linéaire de la rupture Régime non-linéaire quasistatique, application aux solides élastoplastiques Amphi 5 Calcul de solides à comportement non-linéaire Amphi 6 Calcul de solides élastoplastiques : aspects locaux Amphi 7 Calcul de solides élastoplastiques : aspects globaux Régime linéaire, avec évolution temporelle Amphi 8 Evolution thermique et thermoélasticité linéaire quasistatique Amphi 9 Analyse dynamique des structures élastiques Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

4 Amphi 3 La méthode des éléments finis en élasticité linéaire 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

5 Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

6 Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques Principe : méthode de Galerkin. Base de fonctions construite par éléments finis (amphi 2) appliquée à la formulation faible (amphi 1). Interpolation globale du déplacement inconnu u C h (S u ) (amphi 2) : u h (x) = Ñ n (x)u (n) j e j + Ñ n (x)uj D (x (n) ) e j = } [Ñ(x)]{U} +u (D) h (x) {{} dof(n,j)>0 Champs virtuels associés w C h (0) : w(x) = dof(n,j)>0 dof(n,j) 0 u (0) h (x) Ñ n (x)w (n) j e j = [Ñ(x)]{W} Ω (n) x_ (n) 1 _ x (n) Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

7 Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques Principe : méthode de Galerkin. Base de fonctions construite par éléments finis (amphi 2) appliquée à la formulation faible (amphi 1). Interpolation globale du déplacement inconnu u C h (S u ) (amphi 2) : u h (x) = Champs virtuels associés w C h (0) : [Ñ(x)]{U} + u(d) h (x) w(x) = [Ñ(x)]{W} Insertion dans la formulation faible : {F int } + {F ext } = {0} (amphi 1) {W} T {F ext } = ρf.w dv + T D.w ds Ω h S T,h {W} T {F int } = ε [ u (0) h + u (D) ] ( h :A:ε[w](x) dv = {W} T [K]{U} + {F }) u Ω h Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

8 Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques En pratique, fonctions de forme globales Ñn non utilisées explicitement : Traitement élément par élément, assemblage Repose sur l additivité par rapport aux éléments des composants de l écriture matricielle du problème approché : [K]{U} = {F u } + {F ext } N E {W} T [K]{U} = ε [ u (0) ] h :A:ε[w](x) dv E e e=1 N E {W} T {F u } = ε [ u (D) ] h :A:ε[w](x) dv e=1 E e N E { } {W} T {F ext } = ρf.w dv + T D.w ds E e e=1 Γ e T (Γ e T = S T E e ) Calcul d intégrales sur chaque élément fini ; Assemblage des contributions de chaque élément dans [K] et {F} Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

9 Matrices élémentaires Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

10 Matrices élémentaires Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

11 Matrices élémentaires Matrice de rigidité élémentaire Contribution d un élément fini aux efforts intérieurs généralisés : {W e } T {F int e } = ε[u h ]:A:ε[w] dv E e Passage sur l élément de référence : x E e a e, Densité de puissance des efforts intérieurs (amphi 2) dv = J(a) dv (a) ε[u h ]:A:ε[w] = {ε[w]} T [A] {ε[u h ]} = {W e } T [B(a)] T [A] [B(a)]{U e } Matrice de rigidité élémentaire : { } ε[u h ]:A:ε[w] dv = {W e } T [B e (a)] T [A][B e (a)] J e (a) dv (a) {U e } E e e soit ε[u h ]:A:ε[w] dv = {W e } T [K e ]{U e } i.e. {F int e } = [K e ]{U e } E e [K e ] = [B e (a)] T [A][B e (a)] J e (a) dv (a) e A ce stade, déplacements imposés sur E e non pris en compte (à suivre) Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

12 Matrices élémentaires Forces nodales élémentaires associées aux efforts extérieurs f.w dv + E e Γ e T T D.w ds = {W e } T {F vol e + F surf e } = {W e } T {F ext e } Prise en compte de forces imposées dans le volume {F vol e } { f.w dv = {W e } T [N(a)] T{ f (x(a)) } } J e (a) dv (a) = {W e } T {F vol e } E e e Prise en compte de forces imposées sur la frontière Voir détails dans livre, section {F surf e } Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

13 Matrices élémentaires Intégrales élémentaires : récapitulation Matrice de rigidité élémentaire [K e ]= [B e (a)] T [A][B e (a)] J e (a) dv (a) e Forces nodales élémentaires associées aux efforts extérieurs { {F vol e }= [N(a)] T{ f (x(a)) } } J e (a) dv (a) e { {F surf e } = [N(b)] T{ T D (x(b)) } } Ĵ(b) db 1 db 2 (cf. livre, section 3.2.2) Σ e Intégrales élémentaires systématiquement écrites sous forme «normalisée», sur l élément de référence ou sa frontière ; Nécessité d une méthode systématique pour leur calcul numérique. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

14 Matrices élémentaires Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

15 Matrices élémentaires Intégration numérique par points de Gauss (a) Intégrales unidimensionnelles 1 1 f (a) da G w g f (a g ) (a g : «points de Gauss», w g : «poids») g=1 Formule à G points de Gauss : exacte pour f (a) polynôme qq. de degré 2G 1 < a g < 1 (1 g G) pour toute formule à G points ; Symétrie : si (a g, w g ) est point de Gauss, alors ( a g, w g ) aussi. Exemple (G = 2, degré 3) : 1 Exemple (G = 3, degré 5) : ( f (a) da f 1 ) ( 1 + f 3 ) f (a) da 5 3 ) ( 9 f f (0) + 5 ( 9 f 3 ) a a Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

16 Matrices élémentaires Intégration numérique par points de Gauss (a) Intégrales unidimensionnelles (b) Intégrales sur des carrés ou des cubes Produit cartésien de formules 1D C 2 f (a 1, a 2 ) da 1 da 2 C 3 f (a 1, a 2, a 3 ) da 1 da 2 da 3 G g 1=1 g 2=1 G G w g1 w g2 f (a g1, a g2 ) G g 1=1 g 2=1 g 3=1 G w g1 w g2 w g3 f (a g1, a g2, a g3 ) a 2 a 2 a 1 a 1 G = 2 G = 3 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

17 Matrices élémentaires Intégration numérique par points de Gauss (a) Intégrales unidimensionnelles (b) Intégrales sur des carrés ou des cubes (c) Intégrales sur des triangles ou tétraèdres Formules spécifiques, non construites à partir de formules 1D : Exemple (triangle, G = 3) : T 2 f (a) da 1 da 2 G w g f (a g ) g=1 1 a 2 T 2 f (a) da 1 da [ ( 1 f 6, 1 ( 1 + f 6) 6, 2 ( 2 + f 3) 3, 1 6)] 0 1 a 1 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

18 Assemblage Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

19 Assemblage Assemblage Formellement, l assemblage de [K] et {F} revient à exploiter la relation {W} T( [K]{U} {F u } {F ext } ) = {W e } T( [K e ]{U e } {F ext e } ) N E e=1 [K e ], {F ext e }, {U e }, {W e } : numérotation locale [K], {F ext }, {U}, {W} : numérotation globale Procédure d assemblage de [K] et {F} : Calcul de matrices et forces généralisées élémentaires [K e ], {F ext e } ; Distinction sur chaque élément entre déplacements donnés et inconnus = contributions de [K e ] à [K] et {F u } ; Affectation des coefficients dans [K], {F u } et {F ext } : utilise correspondance entre numérotations locale et globale (connectivité) Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

20 Assemblage Distinction sur chaque élément entre DDLs donnés et inconnus Partition des degrés de liberté sur l élément : { } { } U (0) e W (0) e {U e } = U (D), {W e } =, [K e ] = e 0 [ K (00) e K (D0) e K (0D) e K (DD) e ] [K (00) [K (0D) e e ] : contribution de l élément à [K] ; ]{U (D) e } : contribution de l élément à {F u } ; Exemple : S T S u 3 n e noeuds (1) (2) Element 1 : [K (00) e ] = [K e ] ; Element 2 : [K (00) e ] = K e (L (0), L (0) ), [K (0D) e ] = K e (L (0), L (D) ) avec L (0) = {1, 4, 5, 7, 8} L (D) = {2, 3, 6} Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

21 Assemblage Assemblage de [K] et {F u } Initialisation : [K] = [0] (matrice N N), {F u } = {0} (N-vecteur). Boucle sur les éléments : pour 1 e N E : Nombre de nœuds de E e ; n e = connec(e, 0) Liste des numéros globaux des nœuds de E e : nodes(k) = connec(e, k) (1 k n e ) Coordonnées des nœuds : x (k) = coor(nodes(k), :) (1 k n e ) ; Restriction à E e de la table des inconnues : dofe = {dof(n, j)}, j = 1,..., D et n nodes (la liste dofe est 1D, dof étant parcourue ligne à ligne) ; Calcul de [K e ] ; Contribution de [K e ] à [K] et {F u } : pour 1 p, q Dn e : K IJ = K IJ + K e,pq I = dofe(p) > 0, J = dofe(q) > 0 F u I = F u I K e,pq U (D) e,q I = dofe(p) > 0, dofe(q) < 0 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

22 Assemblage Exemple Problème scalaire (une inconnue par nœud) Maillage Matrice de rigidité [K] Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

23 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

24 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

25 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] [K] est symétrique et définie positive : [K] = [K] T, {U} T [K]{U} > 0 si mouvement rigide impossible [K] est creuse : K IJ = ε[ñm(x)e i ]:A:ε[Ñn(x)e j ] dv (x) Ω (m) Ω (n) (I=dof(m, i) > 0, J=dof(n, j) > 0) (m) Ω x _ (m) Ω (m) U Ω (n) x_ (n) (n) Ω Structure «bande» de [K] et largeur de bande L B : I J > L B K IJ = 0 avec L B /N 0 (N ) Structure «profil» de [K] : la largeur de bande n est pas uniforme. L(J) = min{i K IJ 0} (Profil de [K]) Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

26 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Exemple J L(J) Terme diagonal Terme non diagonal L B = 4 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

27 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

28 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Résolution directe par factorisation de [K] Factorisation [K]=[L][D][L] T [D] : matrice diagonale définie positive (DII > 0 pour tout I) ; [L] : matrice triangulaire inférieure à diagonale unité (LII = 1 pour tout I). Résolution du système linéaire : [L][D][L] T {U} = {F} = [L] {Z} = {F} [L] T {U} = [D] 1 {Z} Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

29 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Calcul de la décomposition [K]=[L][D][L] T : méthode de Choleski Les coefficients de [K] (connus) sont reliés à ceux de [D], [L] (inconnus) par J 1 K JJ = D JJ + L 2 JKD KK (1 J N) (a) K=1 I 1 K IJ = L JI D II + L IK L JK D KK (1 I J 1, 2 J N) (b) K=1 J = 1 (initialisation) : la relation (a) donne D 11 explicitement : D 11 = K 11 J = 2,... N : la relation (b) écrite pour chaque I (1 I J 1) donne L JI : L JI = 1 I 1 ] [K IJ L IK L JK D KK (1 I J 1) D II K=1 La relation (a) donne ensuite D JJ en fonction de quantités connues : J 1 D JJ = K JJ K=1 L 2 JKD KK Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

30 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Calcul de la décomposition [K]=[L][D][L] T : méthode de Choleski Les coefficients de [K] (connus) sont reliés à ceux de [D], [L] (inconnus) par J 1 K JJ = D JJ + L 2 JKD KK (1 J N) (a) K=1 I 1 K IJ = L JI D II + L IK L JK D KK (1 I J 1, 2 J N) (b) J K=1 I Note : Factorisation LDL T invisible dans programmes Matlab (cachée dans opérateur «\») Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

31 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Stockage en mémoire de [K] Préservation par Choleski des structures «bande» et «profil» : Si [K] a un profil défini par L(J), alors [L] T l a aussi ; Si [K] a une demi-largeur de bande L B, alors [L] T l a aussi. En revanche, K IJ = 0 (L(J) I J) L IJ = 0. Stockage intégral en mémoire de [K] R N N : inutile et à éviter Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

32 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Stockage en mémoire de la matrice de rigidité Stockage intégral en mémoire de [K] R N N : inutile et à éviter [K] est symétrique : N(N + 1)/2 coefficients indépendants au maximum ; [K] est bande : N(L B + 1) coefficients, L B N en général ; [K] est profil : ne stocker K IJ que pour J L B L(J) I J (partie de la bande située à l intérieur du profil) ; Si utilisation de solveur direct (type [L][D][L] T ) : stockage minimal = profil (y compris zéros situés en-dessous), écraser [K] par [L], [D]. Si utilisation de solveur itératif (voir infra) : ne stocker que les K IJ 0 «Stockage Morse» (du triangle inférieur) [activé par la déclaration Matlab sparse]. Réduction de la largeur de bande de [K] : renumérotation des noeuds par l algorithme de Cuthill-McKee (Matlab : symrcm) ( ) max max connec(e, :) min connec(e, :) min e Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

33 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Exemple de réduction de largeur de bande Renumérotation des noeuds du maillage par l algorithme de Cuthill-McKee éléments T noeuds. Avant Après (L B /N = ) Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

34 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

35 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Alternative : résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Si N grand : stockage de [K] problématique, même sous forme «profil» ; Alternative : méthode itérative de résolution : {U (k) } (k 0), lim k {U(k) } = {U} Stockage de [K] remplacé par évaluation de la suite des résidus {R (k) } = {F} [K]{U (k) } (k 0) Point de vue de la minimisation de l énergie potentielle : algorithme du gradient conjugué pour le problème de minimisation {U} = arg min P ({V}), {V} P ({V}) = 1 2 {V}[K]{V} {V}T {F} + Cste (voir chapitre 3 pour détails algorithme) Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

36 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

37 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Post-traitement de la solution en déplacement Calcul des déformations et contraintes aux points de Gauss de chaque élément ε[u h ](x g ) = [B e (a g )]{U e } σ(x g ) = [A][B e (a g )]{U e } aux points de Gauss de l élément E e (Réutilisation des valeurs [B e (a g )] précédemment utilisées pour calculer [K e ]) Pour tracés graphiques (cartes d isovaleurs,...) : Eprouvette entaillée sous traction simple : carte de σ xx. Recherche du champ ε h ou σ h défini par interpolation de valeurs nodales «le plus proche» des valeurs de ε[u h ] ou σ aux points de Gauss ; Tracé de cartes à l aide de ε h ou σ h. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

38 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

39 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Autre formulation, permettant le calcul des réactions Formulation faible : forme faisant intervenir les réactions (cf. amphi 1) trouver (u, T ) C C (S u ) tel que ε[u]:a:ε[w] dv T.w ds = ρf.w dv + T D.w ds w C Ω S u Ω S T u.t ds = u D.T ds T C (S u ) S u S u Utile par ex. en mécanique du contact (formulation loi de frottement), cf. amphi 5 Construction du système linéaire d équations. Interpoler u et w sans distinguer DDLs libres et imposés : N N u h (x) = Ñ n (x)u (n) n=1 = [Ñ(x)]{U} N N w(x) = Ñ n (x)w (n) n=1 = [Ñ(x)]{W} Ici, {U}, {W} définis par rapport à tous les noeuds du maillage, Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

40 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Autre formulation, permettant le calcul des réactions Formulation faible : forme faisant intervenir les réactions (cf. amphi 1) trouver (u, T ) C C (S u ) tel que ε[u]:a:ε[w] dv T.w ds = ρf.w dv + T D.w ds w C Ω S u Ω S T u.t ds = u D.T ds T C (S u ) S u S u Construction du système linéaire d équations. Champs inconnu et virtuel interpolés sans distinguer DDLs libres et imposés : Intégrales sur S u : définition de {T} et {T } par dualité : T.w ds = {W} T [A]{T} S u u.t ds = {T } T [A] T {U}, u D.T ds = {T } T {U d } S u S u où [A] T {U} est la restriction de {U} aux nœuds de S u et T K = Ñ m (x)t i (x) ds x T K = Ñ m (x)t i (x) ds x S u S u (K = dof(m, i)) Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

41 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Autre formulation, permettant le calcul des réactions Système linéaire : trouver {U}, {T} tels que {W} T [K]{U} {W} T [A]{T} = {W} T {F} {W} {T } T [A] T {U} = {T } T {U d } {T } soit [ ] { } { } K A U F A T = 0 T U d [ ] K A La matrice A T est inversible mais pas définie positive 0 Point de vue de la minimisation de P(v) sous contraintes : lagrangien L(v, T ) : L(v, T ) = P(v) + (v u D ).T ds (v C, T C (S u )) S u Réaction T : multiplicateurs de Lagrange. Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

42 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Plan 1. Problème d élasticité approché par éléments isoparamétriques 2. Matrices élémentaires Définition et calcul des matrices élémentaires Intégration numérique : points de Gauss 3. Assemblage 4. Système d équations [K]{U} ={F} et sa résolution numérique Propriétés de [K] Résolution directe de [K]{U} ={F} par factorisation de [K] Résolution de [K]{U} ={F} par méthode itérative Post-traitement de la solution en déplacement Autre formulation, permettant le calcul des réactions Convergence Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

43 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Convergence Heuristiquement : si les éléments finis représentent exactement tout déplacement polynômial de degré p, alors sur chaque élément : u(x) = u(x 0 ) + u(x 0 ).[x x 0 ] + u(x 0 ): [ (x x 0 ) (x x 0 ) ] Erreurs commises : u(x) u h (x) = O(h p+1 ) O( x x 0 p+1 ) (x, x 0 E e ) ε[u](x) ε[u h ](x) = O(h p ), σ(x) σ(x) = O(h p ) Rigoureusement, il est prouvé (notamment!) que Si u E <+, alors u u h E 0 (h 0) (convergence) ; Si u H p+1 (Ω) < + avec p +1>D/2 et si l interpolation peut représenter sur chaque E e tout polynôme de degré p on a u u h E Ch p u H p+1 (Ω) Semi-normes : u 2 E = Ω ε[u]:a:ε[u] dv u H k (Ω) = Ω (k) u 2 dv (x E e ) Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44

44 Système d équations [K]{U}={F} et sa résolution numérique Conclusion Intégration numérique locale sur chaque élément Passage E e (e) ; intégrales sur des domaines paramétriques simples ; Intégration numérique par points de Gauss. Assemblage : contributions locales incorporées dans la formulation globale Structure de [K] : symétrie, population (bande/profil), caractère creux Résolution : choix entre méthodes directes (LDL T ) et itératives Post-traitement : points de Gauss comme support naturel du calcul de ε, σ Convergence par rapport à la taille d élément Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, janvier / 44