Modélisation de paroi pour la simulation d écoulements instationnaires non-isothermes

Transcription

1 UNIVERSITE MONTPELLIER II SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC THESE pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L UNIVERSITE MONTPELLIER II Formation Doctorale : Ecole doctorale : Directeur de thèse : Mathématiques I2S (Information, Structures, Systèmes) Franck NICOUD présentée et soutenue publiquement par M. Antoine DEVESA le 5 Décembre 2006 Modélisation de paroi pour la simulation d écoulements instationnaires non-isothermes JURY M. AUPOIX Bertrand, Directeur de recherches à l ONERA de Toulouse, Examinateur M. DEVILLE Michel, Professeur à l Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Examinateur M. DRONIOU Jérôme, Professeur à l Université de Montpellier II, Examinateur M. DUCROS Frédéric, Directeur de laboratoire - CEA Grenoble, Examinateur M. LAMBALLAIS Eric, Professeur à l Université de Poitiers, Rapporteur M. NICOUD Franck, Professeur à l Université de Montpellier II, Directeur de thèse M. QUEMERE Patrick, Ingénieur de recherches - CEA Grenoble, Membre invité M. SAGAUT Pierre, Professeur à l Université Pierre et Marie Curie Parie VI, Rapporteur

2

3 Table des matières Introduction 1 I Simulation numérique d écoulements pariétaux turbulents 5 1 Simulation numérique de la turbulence Description analytique des écoulements turbulents Equations de Navier-Stokes Le caractère turbulent des écoulements Différentes approches de la simulation numérique Simulation numérique directe Approche moyennée Simulation des grandes échelles Modélisation statistique de la turbulence Modèles algébriques Modèles avec équations de transport de quantités turbulentes Modèles à l ordre Modélisation des termes de sous-maille en LES Modèle de Smagorinsky Modèle Wale Modèle à Fonction de Structure Sélective Modélisation du flux de chaleur turbulent Couche limite pariétale turbulente Hypothèses simplificatrices dans la couche limite i

4 Table des matières 2.2 Structure de la couche limite pariétale turbulente La zone interne La zone externe Le raccordement entre zones interne et externe Contraintes numériques pour la simulation d écoulements pariétaux Evaluation du frottement et des flux thermiques à la paroi Corrélations théoriques et empiriques Régime quasi-isotherme Régime non-isotherme Concept de modèle de paroi Loi de paroi standard Autres modèles de paroi existants Modèle TBLE Objectifs II Modèles de paroi pour les écoulements à densité variable 43 4 Description des écoulements de fluides dilatables Effets de densité variable dans les écoulements turbulents Formulation de l approche Bas Mach Mise en défaut des modèles standards existants Prise en compte des effets de densité Transformation de Van Driest Etude de canal plan aux propriétés variables Développement d un modèle de paroi couplé : CWM Intégration de la transformation de Van Driest Calibration de la loi de paroi par la constante C Calcul des grandeurs turbulentes pour le modèle de paroi couplé Adaptation d un modèle de paroi pour la LES : TBLE-ρ ii

5 Table des matières Considérations sur le modèle de turbulence du TBLE Résolution numérique de TBLE-ρ Mise en œuvre des modèles de paroi couplé et TBLE-ρ Etude préliminaire sur les modèles de paroi développés Comportement global Comportement en T faible Conclusions sur cette étude préliminaire Etude de canal plan turbulent aux propriétés physiques variables Le code de calcul Trio_U Avancement en temps Schémas de discrétisation spatiale pour la convection Algorithme de résolution en Quasi-compressible Comparaison entre résultats de simulation moyennées et corrélations En régime quasi-isotherme En régime non isotherme Simulation d une lame de fluide dans un assemblage de combustible (RCG) Contexte industriel du cas test Présentation du cas test Simulation Bas-Reynolds Tests des modèles de paroi III Sur les effets instationnaires dans la modélisation de paroi 89 7 Etat de l art Caractéristiques temporelles des modèles de paroi Physique des écoulements pulsés Second problème de Stokes et épaisseur de pénétration Expérience numérique sur le transport de scalaires passifs pulsés Equations de conservation et propriétés pariétales iii

6 Table des matières 8.2 Le code de calcul AVBP L approche cell-vertex Les schémas numériques Le pas de temps Validation du code AVBP pour l étude de scalaires passifs pulsés Oscillation de la condition de paroi Oscillation par imposition du terme source Configuration d étude Propriétés dynamiques et thermiques de l écoulement Mode de forçage des espèces fictives Paramètres de forçage Résultats numériques Forçage par les conditions extérieures Forçage par la paroi Conclusions sur les résultats dans les deux configurations Réponse dynamique des modèles de paroi Mise en œuvre des modèles hors code Principe du test numérique Résultats Approfondissements relatifs au modèle TBLE Influence de l état initial Influence du pas de temps externe Discussion en termes de modélisation de paroi Vers une une loi de paroi instationnaire? Dérivation de modèles instationnaires Formulation Formulation Test hors-code iv

7 Table des matières Conclusions et perspectives 139 Références 146 Annexes a A Article de conférence n o 1 a B Article accepté pour publication dans Computers and Fluids b C Article de conférence n o 2 c D Article de conférence n o 3 d E Article soumis à International Journal of Heat and Mass Transfer e v

8

9 Introduction Depuis que l orientation nucléaire pour la production d énergie a été prise par le gouvernement français, la production d énergie nucléaire n a cessé d augmenter. L utilisation de celle-ci doit néanmoins être la plus sécurisée possible, afin déviter que des catastrophes industrielles se produisent à la suite de problèmes matériels ou d erreurs humaines : c est ce qui constitue ce que l on appelle communément la sûreté nucléaire, dont une définition est donnée ci-dessous. «La sûreté nucléaire vise à assurer la protection des personnes et de l environnement contre l ensemble des dangers et nuisances liés à l activité nucléaire. Elle répond à trois exigences : assurer la sûreté, en fonctionnement normal, des installations nucléaires en limitant les rejets d effluents radioactifs dans l environnement ; prévenir les incidents et les accidents ; limiter les conséquences de tels évènements. Elle prend en compte l ensemble des risques inhérents aux installations de la conception au démantèlement et aux substances radioactives (utilisation, transport et transformation). Pour disposer d une installation nucléaire sûre, il est indispensable d assurer en permanence le contrôle de la réaction nucléaire, le refroidissement du combustible et le confinement de l ensemble des produits radioactifs. Ces trois fonctions, fondamentales, régissent la conception, puis la construction et enfin l exploitation d une centrale nucléaire.» 1 Plus précisément, la phase de conception est aujourd hui assistée par la simulation numérique, permettant de prévoir et analyser le comportement de systèmes a priori, pour aider à la prévention d incidents ou d accidents. Cette thèse s inscrit dans ce cadre d études préliminaires pour la prévention des incidents concernant les écoulements de fluides dans les installations nucléaires. De manière générale, les écoulements de l industrie nucléaire se caractérisent par un nombre de Reynolds élevé et une géométrie complexe. De plus, l enjeu principal repose sur la récupération d une énergie provenant de réactions à l échelle atomique, par l intermédiaire de fluides caloporteurs, dont le but est de transporter la chaleur. Ceci implique habituellement la présence de forts gradients de température dans ces écoulements. Dans ce contexte que l on peut qualifier d extrême, il est pratiquement impossible d effectuer des mesures, qu elles soient relatives à la dynamique de l écoulement (vitesse, pression), ou la thermique. En effet, l ordre de grandeur des couches limites dynamique et thermique est généralement inférieur au millimètre. De même, effectuer des mesures précises à hautes températures et souvent haute pression représente à ce jour, autant d obstacles infranchissables d un point de vue expérimental. Ceci est une des raisons pour lesquelles la simulation numérique de tels écoulements apparaît comme un complément voire même dans certains cas une alternative à l expérimentation. La simulation numérique dans ce contexte doit pouvoir conduire à la bonne évaluation des 1 Extrait de «L énergie nucléaire en 110 questions (Edition de janvier 2000), Ministère de l économie, des Finances et de l Industrie 1

10 Introduction flux thermiques aux interfaces fluides / parois, tout en représentant le plus fidèlement possible les phénomènes instationnaires en présence. En effet, la principale source d incidents dans les circuits de refroidissement d installations nucléaires réside dans la fatigue thermique à laquelle sont soumis les matériaux. Ceux-ci réagissent directement aux variations cycliques de température par contraction et dilatation. Une répétition trop nombreuse de ces cycles peut alors entraîner la génération de fissures pouvant entraîner une détérioration plus ou moins dangereuse des matériaux (une illustration sur des conséquences possibles de la fatigue thermique sur des pales de turbines est donnée par la Figure 1). Dans le cadre des écoulements de l industrie nucléaire, le cas de brèches induites dans les parois, notamment celles de la cuve primaire du réacteur (cf. Figure 2), est un des phénomènes les plus représentatifs des préoccupations en matière de prévention de rejet de produits radioactifs dans l environnement. FIG. 1 Fissures dues à la fatigue thermique à la surface d une conduite en acier au carbone Cette thèse se consacre précisément à la détermination précise en espace et en temps des flux de chaleur dans ce type d installations, au travers d une modélisation des phénomènes dynamique et thermique de proche paroi. L objectif final étant de développer, tester et mettre en exploitation un(de) nouveau(x) modèle(s) de paroi pouvant être utilisé pour la simulation d écoulements instationnaires et à densité variable, deux objectifs intermédiaires mais essentiels pour y parvenir ont été identifiés. Selon un premier axe de travail, l influence de forts gradients de température qui règnent dans les écoulements ciblés doit être analysée, afin de déterminer d abord l erreur qui est actuellement commise par l utilisation de modèles dédiés aux écoulements quasi-isothermes, et ensuite de développer des modèles adaptés à ce type d écoulements où les propriétés du fluide sont variables. Un second axe consiste à étudier l impact d instationnarités dues à des phénomènes thermiques périodiques sur la détermination du flux de chaleur au cours du temps ainsi qu à rechercher de nouvelles possibilités pour prendre en compte ces effets instationnaires dans des modèles de paroi. Afin de conférer un maximum de clarté à ce document, le plan qui a été adopté est articulé autour des trois parties suivantes : la Partie I contient des élements préliminaires et bibliographiques sur la simulation numérique d écoulements pariétaux turbulents, nécessaires à la bonne compréhension du problème et sa correcte formulation la Partie II traite de la dérivation de modèles de paroi pour les écoulements à densité variable qui a été réalisée pendant cette thèse la Partie III est basée sur la détermination des effets instationnaires dans la modélisation de paroi 2

11 Introduction FIG. 2 Schéma descriptif d un réacteur nucléaire à eau pressurisée 3

12

13 Première partie Simulation numérique d écoulements pariétaux turbulents 5

14

15 Chapitre 1 Simulation numérique de la turbulence La simulation numérique en mécanique des fluides (on parlera de CFD - Computational Fluid Dynamics - par la suite) fait aujourd hui partie intégrante de la recherche et de l industrie. Apparue au cours des dernières décennies, grâce à l avènement de l informatique et en particulier du calcul scientifique, elle constitue désormais un outil supplémentaire pour les ingénieurs et chercheurs, aux côtés de l expérimentation et de la théorie. Dans les milieux concernés par cette étude, la description analytique de la mécanique des fluides repose sur des propriétés de mécanique des milieux continus. Le nombre de Knudsen défini comme le rapport entre le libre parcours moyen l 1 et la dimension caractéristique de l écoulement du fluide D reste suffisamment faible (largement inférieur à 10 3 ) pour pouvoir considérer une particule fluide assez grande pour contenir un échantillon statistiquement représentatif de molécules, et assez petite pour pouvoir être considérée comme ponctuelle par rapport à l écoulement macroscopique. Ainsi, des propriétés de conservation (masse, énergie, quantité de mouvement) peuvent être formulées pour cette particule fluide. Le système regroupant ces propriétés est connu sous le nom des équations de Navier-Stokes, et est détaillé en Section 1.1. Les écoulements de l industrie nucléaire, brièvement décrits dans l introduction, tout comme ceux que l on retrouve dans la nature, sont majoritairement turbulents. Bien qu il n existe à ce jour aucune définition universelle de la turbulence, ses principales propriétés sont connnues. La turbulence se traduit par la présence de mouvements tourbillonnaires répartis continûment sur une large plage d échelles. Dans le domaine spatio-temporel, on caractérise la turbulence par sa dynamique tridimensionnelle non-linéaire, soumise à des mécanismes de transfert d énergie entre grandes et petites structures. La complexité de la dynamique des écoulements turbulents et sa forte non-linéarité peut conduire à envisager différentes approches de simulation, plus ou moins coûteuses en termes d opérations de calcul, qui conduisent à des modélisations dont le degré de complexité varie. Trois approches sont envisagées en Section 1.2, qui seront utilisées au cours de cette étude. 1 Distance caractéristique parcourue par une molécule de fluide entre deux collisions 7

16 1. Simulation numérique de la turbulence 1.1 Description analytique des écoulements turbulents Equations de Navier-Stokes Le système d équations de départ est basé sur le principe de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l énergie [11, 47] et constitue les équations de Navier-Stokes. La thèse ayant pour cadre théorique les écoulements de fluides dilatables, nous écrivons donc ici ces équations pour représenter des fluides compressibles, c est-à-dire pour lesquels la densité n est pas considérée comme constante. Si on considère un fluide newtonien, et en suivant la convention de sommation sur les indices répétés, on peut écrire de façon générale ces équations comme suit : (ρh) t (ρu i ) t ρ t + (ρu j ) = 0 x j + x j (ρu i u j + pδ ij τ ij ) = 0 i = 1, 2, 3 (1.1) + (ρhu j + q j ) dp x j dt τ ij u i = 0 x j Le tenseur des contraintes visqueuses τ ij, l enthalpie h et le flux de chaleur q j s expriment (δ ij étant le coefficient de Kronecker et C p la capacité calorifique à pression constante) : ( ui τ ij = µ + u j x j x i h = C p T q j = λ T x j ) 2 3 µ u j x j δ ij La seconde relation est valable dans le cadre de cette étude car la capacité calorifique C p est constante. La viscosité moléculaire µ dépend de la température et peut être définie par la loi de Sutherland : µ = µ(t ) = µ 0 ( T T 0 ) 3/2 T 0 + C 0 T + C 0 (1.2) où T 0, µ 0 et C 0 sont respectivement une température, une viscosité et une constante de référence, dépendantes du gaz considéré. La conductivité thermique λ peut, quant à elle, être calculée par le biais d un nombre de Prandtl (Pr) qui peut être variable, et tel que : λ = λ(t ) = µ(t )C p Pr La loi liant la pression aux autres grandeurs thermodynamiques de l écoulement est ici celle des gaz parfaits : p = ρrt (1.3) Par la suite, nous serons amené à simplifier ce système des équations compressibles de Navier- Stokes en utilisant une approximation de fluide faiblement compressible. Ceci sera détaillé et utilisé au cours de la Partie II. 8

17 1.2. Différentes approches de la simulation numérique On peut ici noter que, bien que les équations de Navier Stokes soient déjà une modélisation de la réalité physique, celles-ci n ont pas encore été résolues analytiquement (le problème de fournir une solution à ce système mathématique reste ouvert). Afin de contourner la complexité de ce problème, on peut envisager de discrétiser ces équations sur une grille et résoudre le problème discret associé. Nous verrons selon quelle méthode il est possible d y parvenir dans la Section Le caractère turbulent des écoulements Les inconnues des équations de Navier-Stokes sont des quantités instantanées et locales : u j, ρ, p, h. Pour connaître la nature laminaire ou turbulente de l écoulement, on définit un nombre sans dimension, le nombre de Reynolds de l écoulement, en fonction d une vitesse et d une longueur carcatéristiques : Re = ul ν = ρul µ (1.4) Un faible nombre de Reynolds caractérise un écoulement laminaire. A l opposé, un grand nombre de Reynolds, dénote son caractère turbulent. Entre ces deux extrêmes se trouve une zone de transition laminaire-turbulent, qui n est pas bien connue et qui s étend autour de valeurs dépendant de la géométrie considérée (de l ordre de quelques milliers pour un écoulement entre deux plaques planes par exemple). Le nombre de Reynolds, qui peut être défini de nombreuses façons, et à de nombreuses échelles, joue un rôle important dans l approche de la résolution numérique d un écoulement (cf. Section 1.2). 1.2 Différentes approches de la simulation numérique L objectif principal d une simulation en mécanique des fluides numériques est, avant tout, d obtenir des renseignements fiables et quantitatifs sur les propriétés d un écoulement turbulent, la majeure difficulté résidant dans son caractère turbulent. C est en ce sens que l on compte beaucoup sur l évolution progressive des super-calculateurs toujours plus puissants pour résoudre les problèmes d intérêt en un temps raisonnable aussi bien pour les études amont de recherche que pour les calculs plus appliqués de l industrie. Néanmoins, la puissance informatique est aujourd hui telle que l ensemble des échelles fréquentielles de la turbulence ne peut qu être difficilement résolu numériquement. En effet, l echelle temporelle de Kolmogorov (c est-à-dire des plus petits échelles turbulentes) décroît en Re 0.5, et l échelle spatiale en Re 0.75 [47]. De plus, dans les écoulements pariétaux, l échelle de longueur caractéristique est une échelle visqueuse qui décroît en Re 0.8. On comprend ainsi que la résolution de toutes les échelles d un écoulement pariétal sera d autant plus difficile que son nombre de Reynolds sera élevé. On voit donc apparaître des difficultés, déjà au niveau de la méthodologie à employer pour remplir certains critères de «qualité d une simulation», que sont : 1- le niveau de description, 2- la précision et 3- le coût de calcul (horaire, donc financier). Le niveau de description correspond à la quantité d information à laquelle on souhaite accéder, qu elle concerne les grandes structures 9

18 1. Simulation numérique de la turbulence de l écoulement, les plus petites, ou l ensemble. La précision sera, elle, fonction des outils numériques qui serviront à la simulation et qui peuvent donner des résultats plus ou moins justes. Enfin, le coût de calcul peut être vu comme le temps de restitution du calcul, celui-ci devant rester acceptable par rapport aux échelles de temps des projets par exemple. La simulation numérique est ainsi, avant tout, un problème de compromis entre ces trois aspects. Selon ce qui semble être le plus important dans l objectif final d un calcul (et qui bien sûr varie fortement selon le contexte académique ou industriel), on privilégiera des approches différentes pour sa réalisation. Les trois principales approches sont décrites dans les paragraphes suivants Simulation numérique directe La résolution directe des équations de Navier Stokes est l approche numérique la plus instinctive pour la simulation numérique. Elle constitue le fondement de la simulation numérique directe (SND ou DNS : Direct Numerical Simulation en anglais). Dans une DNS, aucun modèle de turbulence n est utilisé. En revanche, cette méthode nécessite des schémas de haute précision et des maillages de haute résolution, afin de capturer l ensemble des échelles turbulentes en jeu et d obtenir ainsi le niveau de description le plus élevé. La Figure 1.1 donne une représentation très schématique du spectre de la turbulence dans cette situation-là (tout est résolu, aucune modélisation n est utilisée). E(κ) E(κ) κ + κ FIG. 1.1 Schéma du spectre d énergie d une simulation numérique directe, résolu (gauche) et modélisé (droite) Néanmoins, l emploi de la simulation numérique directe repose sur les estimations de résolution spatiale et temporelle précédemment citées, à savoir que les échelles caractéristiques diminuent fortement lorsque le nombre de Reynolds augmente. Ceci limite donc l application de la DNS à des écoulements à faible nombre de Reynolds. Il n en reste pas moins que des calculs DNS représentent une base de données fiable, que ce soit pour la comparaison avec des calculs moins précis, pour la vérification d hypothèses employées dans la dérivation de modèles ou bien encore pour la compréhension des phénomènes en jeu dans une configuration étudiée. De nombreuses simulations directes ont, par exemple, été effectuées pour des écoulements de canaux plans, à faible nombre de Reynolds au cours des dernières décen- 10

19 1.2. Différentes approches de la simulation numérique nies. Le nombre de Reynolds pertinent pour cette configuration est basé sur la vitesse de frottement U τ 2 et la demi-hauteur du canal h : Re τ = U τ h ν w (1.5) Ainsi, les écoulements à faibles Re τ sont accessibles par la simulation directe. C est le cas par exemple de Kim et al. [34] qui furent les premiers à réaliser une DNS de canal plan turbulent à un nombre de Reynolds Re τ de 180. Cette valeur est une valeur limite car juste supérieure au nombre de Reynolds de transition laminaire-turbulent. Les données de cette simulation font encore aujourd hui office de référence et seront utilisées au cours de cette étude. Plus récemment, des DNS à nombre de Reynolds plus importants (Re τ = 2000) ont été effectuées par Hoyas et al. [25]. Ceci est le calcul DNS de canal plan turbulent à Re τ le plus élevé que l on puisse trouver dans la littérature à ce jour. Et pour cause, ce calcul a pris environ 120 jours pleins sur 2048 processeurs 3 pour pouvoir converger et être moyenné afin d en tirer des statistiques satisfaisantes. Afin de diminuer le coût de calcul extrêmement élevé des simulations directes turbulentes, plusieurs solutions ont été envisagées en ne prenant en compte que les faibles longueurs d ondes ou à l inverse les grandes longueurs d ondes. C est le cas de la simulation des grandes échelles dont le principe est détaillé plus loin. Aux antipodes de la simulation numérique directe, on peut tenter de modéliser toutes les échelles de l écoulement en se basant sur les propriétés de la turbulence, et en ne résolvant les équations de Navier-Stokes que pour les quantitées moyennées : c est l approche RANS, évoquée ci-après Approche moyennée Afin de diminuer considérablement le coût d une simulation, il est possible d envisager de modéliser tout ou partie des structures turbulentes présentes dans l écoulement. L approche RANS (acronyme pour Reynolds Averaged Navier-Stokes) a pour principe de résoudre les équations de Navier-Stokes pour les quantités moyennes, de telle sorte que le seul mouvement moyen est calculé. L ensemble des structures de la turbulence est modélisé (ceci est schématisé par la Figure 1.2). Les grandeurs mises en jeu dans ces équations sont des grandeurs locales et instantanées. Afin de considérer la partie moyenne et fluctuante de chacune d elles, nous allons appliquer un opérateur de séparation d échelles tel que : f = f + f Cet opérateur est défini comme la moyenne d ensemble ou moyenne stochastique sur N réalisations d un même écoulement d une grandeur f, fonction aléatoire en espace et en temps, prenant la valeur f k pour la réalisation k : f(x i, t) = lim N + 1 N N f k (x i, t) (1.6) 2 Cette échelle de vitesse caractéristique de la turbulence pariétale sera définie formellement en Section Au centre de calcul de Barcelone : MareNostrum, qui est le 8 ème centre de calcul le plus puissant au monde actuellement 11 k=1

20 1. Simulation numérique de la turbulence E(κ) E(κ) κ + κ FIG. 1.2 Schéma du spectre d énergie d une simulation moyennée, résolu (gauche) et modélisé (droite) Cependant, cette définition nécessite la mise à disposition d un nombre élevé de réalisations (en théorie, ce nombre devrait être infini). En pratique, une seule réalisation peut être difficile à obtenir, ce qui conduit à définir d autres types de moyenne. La moyenne temporelle définie par : f(x i, t) = 1 t+t lim f(τ)dτ (1.7) T + T t est ainsi généralement confondue avec la moyenne d ensemble, Eq. (1.6). La correspondance de ces deux types de moyenne (statistique et temporelle) implique la validité du principe d ergodicité, c est-à-dire lorsque l écoulement est statistiquement stationnaire. Ainsi, l utilisation d un opérateur de moyenne temporelle implique la stationnarité de l écoulement. Il devient alors difficile d utiliser cette moyenne temporelle dans le cas d écoulements instationnaires : en effet, la durée d intégration en temps doit être suffisamment petite devant les échelles de temps macroscopiques, et assez grande devant les échelles de la turbulence. C est pour cela que le concept de moyenne d ensemble est celui utilisé par la suite. Si l on considère en détail cet opérateur de moyenne, on s aperçoit qu il a les propriétés suivantes : 1. conservation des constantes : 2. linéarité : a = a af + g = af + g 3. commutation avec les dérivées partielles spatiales et temporelles : f = f t t f = f x i x i Une dernière propriété est respectée dans le cas d un opérateur de moyenne statistique, qui s écrit : 12

21 1.2. Différentes approches de la simulation numérique 4. idempotence : f.g = f.g f = f f = 0 La vérification de cette 4 ème propriété différencie l opérateur de moyenne statistique, des opérateurs de filtrage, comme nous le verrons au paragraphe L application de cet opérateur aux équations de conservation précédemment écrites conduit à l obtention de termes non directement calculables, dus à la non-linéarité des dites équations. Afin de simplifier leur écriture, on utilise souvent le formalisme de Favre fondé sur une pondération des quantités en jeu par la masse volumique. Cette notation, couramment appelée moyenne de Favre par abus de langage, s écrit : f = f + f avec : f = ρf ρ Remarque : cette pondération par la masse volumique s applique à toutes les variables, sauf la pression et la masse volumique elle-même. Nous obtenons les équations suivantes : ρ t (ρũ i ) t ( ) ρ h t + x j (ρũ j ) = 0 + x j ( ρũ i ũ j + ρũ i u j + pδ ij τ ij ) = 0 i = 1, 2, 3 (1.8) + ( ) ρ hũ j + ρ h x u j + q j τ ij ũ i dp j dt + τ ij ũ i = 0 x j Les expressions respectives des contraintes visqueuses et du flux de chaleur moyennées peuvent se simplifier [60] en : ( ũi τ ij = µ + ũ ) j 2 x j x i 3 µ ũ j δ ij x j q j = λ T x j En effet, on peut supposer que les corrélations faisant intervenir les fluctuations des coefficients de transfert moléculaire (µ et λ) sont négligeables et considérer les relations suivantes : µ = µ( T ) λ = λ( T ) La loi d état (1.3) pour les grandeurs moyennées s écrit simplement : p = ρr T (1.9) Le système formé par les équations de Navier-Stokes moyennées (1.8) fait apparaître de nouveaux termes (ρũ i u j et ρ h u j ). Le premier est connu comme le tenseur des contraintes de Reynolds, le second est son pendant pour l équation de l enthalpie. Ces deux termes ne sont pas calculables directement, et posent donc un problème de fermeture de ces équations. Une modélisation de ces termes s impose donc et sera présentée au cours de la Section

22 1. Simulation numérique de la turbulence Simulation des grandes échelles Afin de se baser sur une sorte de compromis entre d une part la simulation numérique directe et d autre part la simulation de l écoulement moyen seulement, une troisième approche consiste à ne simuler que les grandes échelles de l écoulement. Les plus petites structures sont alors modélisées en utilisant leurs propriétés pseudo-universelles (isotropie, dissipation). La répartition dans l espace spectral entre modélisation et résolution est ainsi telle que le montre la Figure 1.3. On parle alors de Simulation des Grandes échelles ou Large Eddy Simulation (LES). E(κ) E(κ) κ c κ + FIG. 1.3 Schéma du spectre d énergie d une simulation moyennée, résolu (gauche) et modélisé (droite) La séparation entre les grandes et les petites structures se fait par un opérateur de séparation d échelles. Un filtre passe-bas est appliqué sur les grandeurs instantanées, de taille caractéristique. Dans l espace spectral, le filtrage permet de faire la distinction entre les nombres d onde résolus, et ceux qui sont filtrés, ceci de part et d autre d un nombre d onde de coupure, κ c, tel que : κ c κ κ c = π (1.10) De la même façon que pour l établissement des équations moyennées (paragraphe 1.2.2), cet opérateur vérifie les propriétés de linéarité, conservation des constantes et commutation avec les dérivées spatiales et temporelles (même si ces deux dernières ne sont pas directement respectées par le filtre lui-même, on les suppose vraies). Seule la propriété d idempotence, suivie par l opérateur de moyenne, n est pas vérifiée ici : c est elle qui différencie l opérateur de filtrage, d un opérateur de moyenne. Par conséquent, les inégalités suivantes sont vraies : fg fg f f f 0 L application de l opérateur de filtrage aux équations de Navier-Stokes aboutit au même système que précédemment, à ceci près que le tenseur des contraintes turbulentes ou tenseur de sous-maille (subgrid scale en anglais) s écrit : τ L ij = ρ (ũ iu j ũ i ũ j ) (1.11) 14

23 1.3. Modélisation statistique de la turbulence L exposant L, par opposition à l exposant R, est relatif à l approche LES. Les termes de sous-maille peuvent être réécrits comme la somme de trois contributions : Ces trois termes correspondent à l écriture suivante : ) L L ij = ρ (ũ i ũ j ũ i ũ j ) C ij L = ρ (ũ i ũ j ũ i u j τ L ij = L L ij + C L ij + R L ij (1.12) R L ij = ρũ i u j qui désignent respectivement le tenseur de Léonard, le tenseur des corrélations croisées et le tenseur de Reynolds. Cette décomposition montre que le tenseur de sous-maille représente les interactions entre les échelles non-résolues d une part, résolues d autre part, et enfin les interactions croisées entre parties résolues et non-résolues. Comme dans l approche moyennée, le terme τ ij L pose le problème de la fermeture des équations filtrées, et doit donc être modélisé. Une brève description de la modélisation des termes de sousmaille sera fournie en Section 1.4. Ceci clôt la présentation des approches les plus répandues que sont la simulation numérique directe, la simulation moyennée et la simulation des grandes échelles, ainsi que le problème de la fermeture des systèmes d équations obtenus pour ces deux dernières. Remarque : on peut aussi mentionner d autres méthodes mettant en œuvre des fonctions à densité de probabilité (acronyme anglais : PDF) par exemple. Une description complète des autres approches existantes peut être lue dans l ouvrage de Pope [47]. 1.3 Modélisation statistique de la turbulence Modèles algébriques L approche la plus simple consiste à utiliser le concept de viscosité turbulente. Dans cette optique, on suppose que le tenseur de Reynolds est directement lié aux gradients de vitesse et, de plus, que la partie anisotropique a ij de ce tenseur s écrit : a ij = ũ i u j 2 ( 3 kδ ui ij = ν t + u ) j = 2ν t S ij (1.13) x j x i Cette relation est analogue à celle liant les contraintes visqueuses aux gradients de vitesse (S ij étant le tenseur de taux de déformation) : τ ij + P δ ij = 2µS ij (1.14) Ceci permet d introduire la notion de viscosité turbulente, qui sera donc la grandeur à évaluer pour parvenir à la modélisation des tensions de Reynolds. L analyse dimensionnelle montre que 15

24 1. Simulation numérique de la turbulence cette viscosité peut s exprimer sous la forme d un produit d une vitesse caractéristique u par une longueur caractéristique l : ν t = u l (1.15) Dans le cas d un écoulement cisaillé, après avoir fait l ensemble des simplifications qui s imposent (on reviendra sur les hypothèses qui sont faites pour la représentation des lois de paroi), on obtient une équation monodimensionnelle (en y, direction normale à la paroi) de la forme : ũ v = ν t dũ dy (1.16) Une vitesse représentative de l écoulement est : u = ũ v 1/2. La recombinaison des trois précédentes relations aboutit à l expression suivante pour la vitesse u : u = l dũ dy (1.17) On peut donc écrire au final la viscosité turbulente sous la forme : dũ ν t = l 2 dy (1.18) Comme nous le verrons plus tard, la longueur caractéristique l peut s exprimer de façon très simple en utilisant l hypothèse de longueur de mélange de Prandtl. La formulation (1.18) correspond alors au modèle de turbulence appelé «modèle de longueur de mélange». Le modèle de longueur de mélange est de loin le plus simple des modèles de turbulence. En effet, on ne résout pas d équation de transport supplémentaire pour une quelconque quantité turbulente, et l expression pour ν t est facilement calculable, à ceci près que la longueur de mélange doit être spécifiée analytiquement. D un autre côté, ces modèles particulièrement accessible, tout comme le sont les modèles de Cebeci-Smith ou encore Wilcox [63], peuvent rapidement montrer leurs limites selon le type de configuration d écoulement. Ceci est principalement dû au fait que la définition de la longueur caractéristique de la turbulence n est pas universelle, mais se trouve étroitement liée à la géométrie traitée. Une conséquence importante est que le domaine de validité du modèle de longueur de mélange est restreint au peu de cas qui ont été étudiés de manière extensive. De plus, par les relations utilisées précédemment, il se base sur des propriétés d écoulements pleinement turbulents, et peut donc s avérer imprécis pour le traitement des écoulements décollés. D autres types de modèles de turbulence existent, comme les modèles pour lesquels on résout une ou plusieurs équations de transport Modèles avec équations de transport de quantités turbulentes D autres modèles de turbulence reposent sur la résolution d une ou plusieurs équations de transport pour des quantités turbulentes. Ces équations viennent s ajouter au système d équations de Navier-Stokes moyennées détaillées précédemment, ce qui amène donc un surcoût non négligeable, notamment par rapport à un modèle de turbulence algébrique. 16

25 1.3. Modélisation statistique de la turbulence Le modèle le plus répandu, dans les codes industriels en particulier, est le modèle à 2 équations k ɛ. La première équation est propre à l énergie cinétique turbulente k définie par : k = 1 2ũ i u i (1.19) La seconde correspond à l équation de transport pour la dissipation ɛ de cette énergie. La résolution de ces deux équations supplémentaires permettra d obtenir une longueur et une vitesse caractéristiques de la turbulencek, nécessaires au calcul d une viscosité turbulente. Cette approche, apparue au cours des années 70, est principalement due à Jones et Launder [30]. Dans le modèle k ɛ, la viscosité turbulente est définie par la relation suivante : où C µ est une constante du modèle. µ t = C µ (ρk) 2 ρɛ (1.20) L équation exacte pour l énergie cinétique turbulente k s écrit en multipliant l équation de la quantité de mouvement par la vitesse : ρk t + u ρk i = x ρũ i + p i u j u i ũ i ρk u i + ρ u i x j x i ρ x i x i Le dernier terme représente le taux de dissipation ρɛ : p x i ( 1 2 ρu j u j u i + p u i τ iju j ) τ ij u i x j (1.21) ρɛ = τ ij u i x j (1.22) Plusieurs simplifications peuvent être faites à ce stade. Les fluctuations de masse volumique sont négligées et le champs des fluctuations de vitesse est supposé solénoïdal, ce qui revient donc à considérer l équation suivante : ρk t + ũ ρk i x i = ρũ x i ũ i i u j ρk ũ i x j x i ( ) 1 2 ρu j u j u i + p u i τ iju j ρɛ (1.23) Le membre de droite fait intervenir le tenseur de Reynolds, pour lequel l hypothèse de viscosité turbulente (Equation (1.13)) est appliquée. On modélise les autres termes par : τ ij u j = µ k x i 1 2 ρu j u j u i + p u i = µ t k (1.24) α k x i Au final, et en utilisant une formulation conservative pour ρk, on obtient : ρk t + ρkũ i ũ i = x ρũ i u j [( µ + µ ) ] t k ρɛ (1.25) i x j x i α k x i 17

26 1. Simulation numérique de la turbulence C µ α k α ɛ C ɛ1 C ɛ TAB. 1.1 Valeurs des constantes du modèle k ɛ En ce qui concerne la dissipation, l établissement de l équation de transport est calqué sur celui de l énergie cinétique turbulente en s assurant de l homogénéïté des termes mis en jeu. Seule la forme finale de cette équation est donnée ici : ρɛ t + ρɛũ i x i = C ɛ1 ɛ k ρũ i u j ũ i x j x i [( µ + µ ) ] t ɛ C ɛ2 ρ ɛ2 α ɛ x i k (1.26) Les équations du modèle k ɛ font apparaître différentes constantes qui ont été déterminées empiriquement sur des écoulements fondamentaux. Leurs valeurs sont généralement prises autour de celles de Jones et Launder [30]. Dans cette étude, leurs valeurs sont celles consignées dans le Tableau 1.1. Malheureusement, la modélisation des termes des équations pour l énergie cinétique turbulente et la dissipation n est valable que pour les zones où la turbulence est pleinement établie. De fait, elle est invalide pour les écoulements pariétaux et nécessite l ajout de termes de correction, dits termes Bas Reynolds 4. Une formulation Bas-Reynolds [30] du modèle k ɛ s écrit : ρk t + ρkũ i ũ i = x ρũ i u j i x j x i ( ) k k 2µ x i x i ρɛ t + ρɛũ i x i = C ɛ1 f 1 ɛ k ρũ i u j ( 2ũ i +2µµ t n 2 i µ t = (ρk) 2 C µ f 3 ρɛ [( µ + µ ) ] t k ρɛ α k x i ũ i x j x i ) [( µ + µ ) ] t ɛ C ɛ2 f 2 ρ ɛ2 α ɛ x i k (1.27) (1.28) (1.29) où n est le vecteur normal à la paroi, et les fonctions f 1, f 2 et f 3 sont des fonctions d amortissement telles que : f 1 = 1 f 2 = ( ) 1 0.3e R2 t f 3 = e R t /50 (1.30) Remarque : l ajout du terme Bas-Reynolds dans l équation pour ɛ tend à annuler le taux de dissipation au voisinage de la paroi, ce qui ne correspond pas au comportement de la dissipation réelle, mais plutôt à celui d une pseudo-dissipation. Cependant, partout excepté au voisinage très proche de la paroi, ces deux quantités sont identiques. 4 On parle ici d un nombre de Reynolds local turbulent R t = k 2 /νɛ, qui tend vers 0 à mesure que l on s approche d une paroi 18

27 1.4. Modélisation des termes de sous-maille en LES Dans la suite de cette étude, le modèle k ɛ sera le seul modèle utilisé pour la réalisation de calculs numériques selon une approche RANS. Néanmoins, on trouve dans la littérature d autres modèles de turbulence à deux équations de transport, mettant en jeu des quantités turbulentes différentes. C est le cas par exemple du modèle k ω de Wilcox [63] où la quantité ω = k/ɛ remplace la dissipation ɛ Modèles à l ordre 2 On notera ici, sans rentrer dans les détails, qu il existe des modélisations au second ordre, prenant en compte non pas une équation de transport pour une quantité turbulente choisie de façon arbitraire, mais directement l équation de transport des tensions de Reynolds. Ce genre d approche est qualifié de Reynolds Stress Model (modélisation du tenseur de Reynolds). Mais le simple fait de résoudre cette équation ne constitue pas en lui-même une fermeture au problème turbulent, puisque des corrélations triples u i u j u k apparaissent, qui devront à leur tour être modélisées. De plus, le surcoût lié à la résolution de 6 équations de transports supplémentaires est significatif. Maintenant que la modélisation pour l approche moyennée a été décrite, nous allons détailler la modélisation des termes de sous-maille qui apparaissent en simulation numérique aux grandes échelles. 1.4 Modélisation des termes de sous-maille en LES De façon analogue à la viscosité turbulente pour l approche moyennée, on introduit le concept de viscosité de sous-maille par la définition suivante : τ L ij 1 3 δ ijτ L kk = 2ν ts ij (1.31) Par abus de langage, la notion de viscosité turbulente peut être associée à la viscosité de sousmaille en LES. Comme pour l approche moyennée, une expression pour µ t doit être fournie qui constituera le modèle de sous-maille. Dans l éventail des modèles de sous-maille pour la LES, on peut distinguer ceux qui font appel à une modélisation structurelle de ceux qui mettent en œuvre une modélisation fonctionnelle [48]. C est à cette dernière famille seulement que nous nous intéresseront, et deux modèles en particulier seront décrits ici : le modèle de Smagorinsky, et le modèle à fonction de structure selective Modèle de Smagorinsky Smagorinsky [55], pionnier de la simulation des grandes échelles, proposa le premier modèle de sous-maille en Dans le modèle de Smagorinsky, la viscosité de sous-maille est définie par : µ t = ρl 2 s S (1.32) 19

28 1. Simulation numérique de la turbulence où l s est l échelle de longueur dite de Smagorinsky, et S est la norme du tenseur du gradient de vitesse : S = 2 S ij Sij (1.33) Afin que la longueur l s soit proportionnelle à la taille du filtre, on définit la constante C s du modèle de Smagorinsky, telle que : l s = C s (1.34) On trouve dans la littérature des valeurs assez différentes pour C s, une valeur théorique fondée sur la turbulence homogène isotrope étant La formulation de µ t en fonction des grandeurs résolues implique que seul le tranfert d énergie depuis les échelles résolues vers les échelles de sous-maille est pris en compte : aucune information liée au tranfert d énergie des petites structures elles-mêmes n est incluse dans la modélisation. Outre le fait que la constante C s n est pas universelle car elle a été basée sur une valeur théorique en turbulence homogène isotrope (alors que la plupart des écoulements industriels sont anisotropes), le modèle de Smagorinsky présente l inconvénient majeur de ne pas avoir le comportement adéquat au voisinage de la paroi. Concrètement, les zones de cisaillement, même bien résolues présenteront une viscosité de sous-maille largement surestimée, et le modèle deviendra alors trop dissipatif. Pour pallier à ce problème, des fonctions d amortissement peuvent être mises en œuvre dans la définition de la viscosité de sous-maille, afin d obtenir le bon comportement de µ t près des parois. Afin de contourner les inconvénients du modèle de Smagorinsky, d autres modèles ont été développés. Nous proposons ici d en présenter deux, le modèle Wale et et le modèle à Fonction de Structure Sélective. Ces modèles ont été utilisés dans les calculs de canaux plans en LES réalisés au cours de cette thèse Modèle Wale Le modèle Wale (acronyme pour Wall Adapting Local Eddy-viscosity) [41] a été développé afin d obtenir la bonne décroissance de la viscosité de sous-maille à la paroi. En effet, par des considérations sur l énergie cinétique turbulente et la dissipation, on peut déduire que la viscosité de sous-maille au voisinage de la paroi doit avoir un comportement asymptotique en y 3. Or, le modèle de Smagorinsky a un comportement en y. Ainsi, le modèle Wale définit ainsi deux opérateurs basés sur le tenseur des gradients de vitesse résolue g ij : de telle sorte que : g ij = ũ i x j (1.35) ν t = (C w ) 2 ÕP 1 ÕP 2 (1.36) 20

29 1.4. Modélisation des termes de sous-maille en LES avec : s d ij = 1 2 ( g ij 2 + g ji 2 ) 1 3 δ ij g kk 2 (1.37) ÕP 1 = (s d ij sd ij )3/2 (1.38) ÕP 2 = ( S ij Sij ) 5/2 + (s d ij sd ij )5/4 (1.39) La constante du modèle C w = 0.5, est déterminée sur une configuration de turbulence homogène isotrope. En plus de fournir la bonne décroissance de ν t aux parois sans nécessiter d information sur la distance du point de calcul par rapport à celle-ci, il permet de mieux reproduire la transition laminaire-turbulent Modèle à Fonction de Structure Sélective Ce modèle, développé par David à partir de la formulation du modèle à fonction de structure de Lesieur et Métais (pour une revue, le lecteur pourra se reporter à [36]), se base sur une formulation spectrale de la viscosité de sous-maille : ν t = 2 3 C 3/2 k ( ) E(κc ) 1/2 (1.40) où κ c est le nombre d onde de coupure du filtre LES, et E(κ c ) l énergie spectrale locale, exprimée grâce à une fonction de structure d ordre 2 : κ c F 2 ( x, x) = ũ( x, t) ũ( x + r, t) 2 r = x (1.41) F 2 peut être interprétée comme la moyenne statistique locale du carré des différences de vitesse sur la surface de la sphère de centre x et de rayon x. Le calcul de F 2 au point x dépend donc des nœuds voisins. Une formulation à 6 points paraît la plus naturelle, mais on peut adopter une formulation à 4 points lorsque l on souhaite réaliser cette moyenne statistique dans un plan d homogénéïté (comme c est le cas dans un canal plan où l on souhaite prendre en compte une moyenne sur les plans parallèles aux parois). Grâce à l expression de la fonction de structure F 2, l équation (1.40) devient : ν t ( x, x) = C 3/2 k x (F 2 ( x, x)) 1/2 (1.42) On remarque que la valeur de la viscosité de sous-maille sera d autant plus faible que la turbulence aux faibles échelles de longueur ne sera pas assez développée localement. Afin d améliorer la prise en compte de l intermittence de la turbulence, un terme multiplicatif caractérisant la tridimensionalité de l écoulement est rajouté à l expression de ν t. Celui-ci est tel que la viscosité de sous-maille tend vers 0 lorsque l écoulement n est pas pleinement turbulent, et vers son expression précédente (1.42) dans la situation contraire. L interprétation quantitative de ce critère se base sur la valeur des fluctuations locales de vorticité : lorsque l angle entre le vecteur vorticité local et la moyenne de la vorticité calculée aux points de maillage voisins est supérieur à la valeur la plus probable (déterminée selon sa fonction de densité de probabilité), la viscosité sous-maille est active, sinon, seule la viscosité moléculaire joue son rôle dissipatif. 21

30 1. Simulation numérique de la turbulence 1.5 Modélisation du flux de chaleur turbulent L équation de l énergie moyennée contient le terme ρ h u j qui représente un flux de chaleur turbulent. De même nature que le terme du tenseur de Reynolds, il ne peut être calculé directement et doit donc être approximé. Il en est de même pour la simulation des grandes échelles dont le système d équations filtrées fait intervenir la même corrélation. La modélisation du flux de chaleur turbulent est souvent basée sur une formulation fickienne, de la même façon que l hypothèse de Boussinesq est utilisée pour l approximation de τ ij. On introduit donc une diffusivité turbulente α t, telle que : h u j = α d T t (1.43) dx j On peut de la même manière définir une diffusivité de sous-maille, qui est le coefficient de proportionalité entre la corrélation vitesse-enthalpie et le gradient de température résolu. Plusieurs modèles sont alors envisageables pour l expression de la diffusivité turbulente. Généralement, on fait l hypothèse que le champ de température est fortement corrélé à la dynamique de l écoulement, de sorte que la diffusivité turbulente est directement liée à la viscosité turbulente par l intermédiaire d un nombre de Prandtl turbulent : α t = ν t P r t (1.44) Ainsi, on utilise généralement un modèle de turbulence à nombre de Prandtl turbulent constant, qui comme son nom l indique, affecte une valeur fixe à ce nombre. La valeur en question a été estimée proche de 1. Cependant, l hypothèse qu il reste constant dans un écoulement est totalement fausse [24]. Il n en reste pas moins que ce modèle s avère extrêment simple, et qu il donne des résultats plutôt satisfaisants, lorsque P r t est choisi autour de l unité. De plus les données expérimentales (décrites dans [24]) prouvent que, à part au voisinage proche de la paroi (zone visqueuse typiquement), le nombre de Prandtl turbulent est quasi-constant et selon les expériences et les configurations, sa valeur se situe entre 0.5 et 1. La valeur communément utilisée pour l approche moyennée est 0.9. Ceci vient principalement de constations faites en utilisant le modèle de turbulence k ɛ, qui tendent à montrer que les résultats étaient les plus fiables pour P r t = 0.9. Mais, des valeurs plus faibles (typiquement autour de 0.5) ont été adoptées dans de nombreux codes de simulation des grandes échelles. Au final, personne n a de garantie quant à la justesse des flux thermiques turbulents ou de sous-maille calculés. Néanmoins, il semble que la valeur du nombre de Prandtl turbulent joue finalement un rôle assez limité quant aux résultats [24] pour les fluides d intérêt dans les applications visées, à savoir, l air, l eau... Quelques remarques peuvent être faites ici concernant les autres modèles de turbulence pour la thermique disponibles dans la littérature. Certains modèles proposent une approche non-fickienne, comme c est le cas pour le modèle de similarité d échelles [48]. Celui-ci implique un second filtrage des grandeurs déjà filtrées (LES) et relie ensuite le flux de chaleur turbulent aux seules grandeurs résolues (vitesse et température). Enfin, d autres modèles mettent en œuvre une partie fickienne et une autre non-fickienne, ou bien une détermination dynamique du modèle. 22