Plan du cours. Signaux et systèmes continus. Notion de fréquence. Notion de fréquence (2) Rappels signaux et systèmes

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1 Plan du cours Rappels signaux et systèmes Signaux et systèmes continus Représentation fréquentielle R. Flamary 7 décembre 5 Caractérisation fréquentielle Décomposition en séries de Fourier Transformée de Fourier Définition Propriétés de la Transformée de Fourier Signaux périodiques ou à énergie infinie Réponse en fréquence des systèmes linéaires Fonction de transfert Fréquence et pulsation Représentation de la réponse en fréquence Diagramme de Black Diagramme de Nyquist Exemples, systèmes du premier et second ordre Système dérivateur/intégrateur Système du premier ordre Système du second ordre Applications Notion de fréquence Notion de fréquence () Qu est ce qu une fréquence? La fréquence est le nombre de fois qu un phénomène périodique se reproduit pendant une durée déterminée C est donc l inverse de la période f = /T La fréquence est mesurée en Hertz (= /seconde) Exemple audio Sons graves = basses fréquences Sons aigus = hautes fréquences Exemple des images Surfaces = basses fréquences Contours = hautes fréquences Exemple des couleurs Ondes limuneuses Couleur dépend de la fréquence Exemple des ondes cérébrales Ondes alpha (8- Hz) (sommeil) Ondes beta (-3 Hz) (mouvement, réflexion)

2 Caractérisation fréquentielle Pour les signaux Représenter un signal par rapport à son contenu fréquentiel. Changement de base permettant une meilleur interprétation. x(t) X(f) Rappel changement de base v Base : B = (i, j ) Projection : v, i = v, j = Pour les systèmes Représenter les transformations opérées par le système selon la fréquence. Réponse en fréquence. h(t) H(f) j j i i v = i + j = (, ) Base : B = (i, j ) ( ) i = j = Projection :, (, ) Outils Décomposition en séries de Fourier (Signaux périodiques). Transformée de Fourier (signaux à énergie finie). Transformée de Laplace. v, i = 3 v, j = v = 3 i + ( j = 3, ) Décomposition en séries de Fourier Décomposition en séries de Fourier () amplitude.5.5 frequence 3 temps Signal c k exp(πf kt) Décomposition en séries trigonométriques On peut écrire x(t) périodique de période fondamentale T = π w x(t) = a + [a k cos(kw t) + b k sin(kw t)] k= où a k et b k sont les coefficients de Fourier obtenus par les équations a k = T T x(t) cos(kw t)dt b k = T T x(t) sin(kw t)dt sous la forme Principe Exprimer un signal périodique sous la forme d une somme de sinus et cosinus. Changement de base dans l espace fonctionnel (temporel frequentiel) Exemple Fonction créneau T = T x(t) = i= Π T (t T it ) a =, a k = k > b k = π(k )

3 Décomposition en séries de Fourier (3) Décomposition complexe Un signal périodique x(t) de période fondamentale T peut etre représenté en une somme d exponentielles complexes : x(t) = k= c k e jkwt avec w = π T où les coefficients c k sont appelés les coefficients de Fourier complexes et s obtiennent comme c k = x(t)e jkwt dt = T x(t)e jkwt dt = T/ x(t)e jkwt dt T T T T T / Liens entre les décompositions Les coefficients a k et b k et les coefficients de Fourier complexes sont reliés par a = c a k = c k + c k b k = j(c k c k ) On remarque que si x(t) est un signal paire alors les termes en b k sont nulles, tandis que si x(t) est impair alors les a k =. Transformée de Fourier De la série à la transformée Séries de Fourier Expriment une fonction dans la base des exponentielles complexes de fréquences k k entier T Limitées aux signaux périodiques de période T. Transformée de Fourier Cas non périodique. Un signal peut être considéré comme un signal périodique avec T Les exponentielles complexes de la base sont séparée par des fréquences qui se resserrent infiniment. L échantillonnage fréquentiel devient continu. Somme Intégrale. Transformée de Fourier () Définition Soit x(t) une fonction à variable réelle, on appelle la transformée de Fourier de x(t), notée X(f), la fonction définie comme : X(f) = x(t)e jπft dt On notera également la paire x(t), X(f) comme x(t) X(f) Et la tranformée de Fourier s écrit sous la forme X(f) = F[x(t)] Transformée de Fourier inverse Si elle existe la transformée de Fourier inverse de X(f) est : x(t) = X(f)e jπft df Pour que la TF inverse existe x(t) doit être à énergie finie x(t) dt < Dans ce cours on supposera les conditions satisfaites pour l existence de la transformée inverse.

4 Exemples de transformées de Fourier Exemples de transformées de Fourier () Signal porte Signal Π T (t) Signal exponentielle décroissante Signal x(t) /T pour t < T/ Π T (t) = /T pour t = T/ ailleurs () avec a >. x(t) = e at Γ(t) t t La tranformée de Fourier est F[Π T (t)] = avec sinc(t) = sin(t) t et sinc() = F[Π T (t)] Partie reelle Partie imaginaire 4 4 f La tranformée de Fourier est X(f) = X(f) Partie reelle Partie imaginaire 4 4 f Exemples de transformées de Fourier (3) Propriétés de de Transformée de Fourier Impulsion de dirac x(t) = δ(t) Signal δ(t) Linéarité Soit x (t) et x (t) deux signaux de TF respectives X (f) et X (f). Pour a R et b R, on a : ax (t) + bx (t) ax (f) + bx (f) Démonstration. Découle naturellement de la propriété de linéarité de l intégrale. La tranformée de Fourier est X(f) = δ(t)e jπft = δ(t) est une distribution (pas d énergie finie). δ(t) contient toutes les fréquences t Décalage temporel Soit x(t) un signal dont la transformée de Fourier est X(f). Pour t R,soit x(t t ) une translatée de x(t) alors, on a : x(t t ) e jπtf X(f) Démonstration. Changement de variable dans l intégrale.

5 Propriétés de de Transformée de Fourier () Décalage fréquentiel Soit x(t) un signal dont la transformée de Fourier est X(f), on a alors e jπft x(t) X(f f ) En multipliant un signal par un exponentielle complexe de fréquence f, on translate sa trasnformée de Fourier de f. Démonstration. Regrouper les exponentielles dans l intégrale. Changement d échelle Soit x(t) un signal dont la transformée de Fourier est X(f), on a alors, pour a x(at) a X ( ) f a Démonstration. Traiter les cas a > et a < séparément. Propriétés de de Transformée de Fourier (3) Dérivation Soit x(t) un signal dont la transformée de Fourier est X(f), on a alors dx(t) dt jπfx(f) Intégration Soit x(t) un signal dont la transformée de Fourier est X(f) avec x(t)dt = on a alors x(t)dt jπ fx(f) Signal conjugué Soit x(t) un signal dont la transformée de Fourier est X(f) et x (t) son conjugué. On a alors x (t) X ( f) Propriétés de de Transformée de Fourier (4) Parité Si un signal x(t) est un signal réel et pair alors X(f) est réelle et paire. Si un signal x(t) est un signal réel impair alors X(f) est imaginaire pure et impaire. Convolution Soit x (t) et x (t) deux signaux de tranformée de Fourier respectives X (f) et X (f). La transformée de Fourier du produit de convolution entre x (t) et x (t) est x x (t) = x (τ)x (t τ)dτ X (f)x (f) Illustration des propriétés Les propriétés vue précédemment peuvent être utilisées pour éviter de calculer l intégrale de la TF. On rappelle que F[Π T (t)] = sinc(πft ) Exemple Soit x(t) = Π (t.5) + Π 3 (t.5) En utilisant les propriétés de linéarité de de décalage temporel, on obtient X(f) = Exemple Soit x(t) = Π T (t)e jπft, par la propriété de décalage temporel, on a alors X(f) =

6 La dualité de la Transformée de Fourier Soit x(t) un signal dont la transformée de Fourier est X(f). En utilisant la définition de la TF inverse, on peut écrire x( t) = X(f)e jπf( t) df = X(f)e jπft df Le dernier terme de l égalité correspond à la transformée de Fourier de la fonction X(f). En intervertissant les variables temporelles t et les variables fréquentielles f, on a donc si x(t) X(f) alors Example Pour la fonction porte Π T (t) : X(t) x( f) Π T (t) sinc(πft ) sinc(πt t) Signaux périodiques ou à énergie infinie Signaux périodiques x(t) = cos(πf t) avec f > Signaux d énergie infinie. Comportent clairement des composante fréquentielles (f pour le cosinus) Utilisation de la théorie des distributions (pas l objet de ce cours). TF de l impulsion de dirac δ(t) La propriété de dualité nous donne δ(f) e jπft df = Signaux périodiques ou à énergie infinie () TF de l impulsion de dirac (suite) La propriété de décalage fréquentielle permet de trouver que e jπft δ(f f ) Ainsi, grâce à la linéarité de la transformée de Fourier, on a : x(t) = k e jπf kt k δ(f f k ) Interprétation de la transformée de Fourier Représentation fréquentielle La TF représente le contenu fréquentiel d un signal. X(f) représente l amplitude d un signal sinusoïdal. Arg(X(f)) représente la phase d un signal sinusoïdal. Si le signal x(t) est réel, alors X(f) = X( f) TF du cosinus cos(πf t) = ejπft + e jπft TF d un signal périodique δ(f f ) + δ(f + f ) x(t) = = X() + X(f)e jπft df = + X(f) e jπ(ft+arg(x(f))) df () X(f) cos(jπ(ft + Arg(X(f)))) (3) Le module et l argument de la TF permettent d identifier à la foi le contenu fréquentiel du signal et de déphasage correspondant. x(t) = k c k e jπ k T t k c k δ(f k T )

7 Exemples de TF D Exemples de TF D () Réponse en fréquence des systèmes linéaires Fonction de transfert x(t) h(t) y(t) Définition Réponse d un système à un signal d entrée contenant une fréquence unique. Fonction de transfert Pour un SLIT tel que y(t) = (x h)(t), la TF d une convolution donne Y (f) = H(f)X(f) (4) il est donc facile de déduire que la transformation est de la forme : H(f) = Y (f) X(f) et H(f) s appelle la fonction de transfert du système. (5) Réponse à une entrée mono-fréquence Système linéaire de réponse impulsionnelle h(t). Signal en entrée de la forme x(t) = e jπft. Signal de sortie : y(t) = h(τ)e jπfh(t τ) dτ = e jπft h(τ)e jπfhτ dτ = e jπft H(f ) = x(t)h(f ) Un signal contenant une unique fréquence f est donc multiplié par H(f ). En pratique il est multiplie par H(f ) et déphasé de Arg(H(f )) = (H(f ))

8 Fonction de transfert () Fréquence et pulsations Gain statique (fréquence nulle) Gain complexe qui est appliqué a un signal constant lorsqu il traverse le système. Il s obtient soit à partir de la fonction de transfert du système K = H() soit à partir de sa réponse impulsionnelle K = h(t)dt qui correspond en effet à la transformée de Fourier pour une fréquence f nulle. La Transforme de Fourier est une fonction de la fréquence f. Représentation classique permettant de connaître la réponse à une fréquence en Hz. On utilise également une autre représentation proportionelle à la fréquence, la pulsation w exprimée en rad/s. La pulsation est liée à la fréquence par la relation w = πf f = w π Le passage de H(f) à H(w) se fait de manière évidente par changement de variable. Fonction de transfert d une EDO Equation différentielle ordinaire Soit le système décrit par l équation suivante : a y(t) + a dy(t) dt + + a n d n y(t) dt n = b x(t) + b dx(t) dt + + b m d m x(t) dt m En utilisant les propriétés de le TF on peut obtenif la TF d une dérivée nième [ d (n) ] x(t) F dt n = (iπf) n X(f) = (iw) n X(w) Ce qui nous donne la forme suivant pour un système définit par une EDO H(w) = Y (w) X(w) = b + b jw + + b m (jw) m a + a jw + + a n (jw) n (6) Représentation de la réponse en fréquence Interprétation de la fonction de transfert La fonction de transfert (FT) d un système donne des informations sur les transformations dues à la traversée du système. Grandeurs pouvant être étudiées : H(w) = Re(H(w)) + jim(h(w)) = H(w) e jarg(h(w)) H(w) module de la fonction de ( transfert. ) Arg(H(w)) = H(w) = tan Im(H(w) phase en radian. Re(H(w) Méthodes de représentations. Diagramme de Black. Diagramme de Nyquist.

9 () Définition Le diagramme de Bode d un système H(w) est composé de deux tracés : le gain (ou amplitude) en décibels (db). la phase en degré, donnée par G(w) = log ( H(w) ) Φ(w) = Arg(H(w) ) = H(w) L échelle des pulsations est logarithmique et permet un tracé très lisible, car composé majoritairement de tronçons linéaires. Tracé du Module. Calcul de la fonction de transfert H(w).. Calcul du module H(w). 3. Expression du gain G(w) = log ( H(w) ) 4. Droite caractéristique basse fréquence : lim w G(w) 5. Droite caractéristique haute fréquence : lim w G(w) 6. Calcul du gain pour les points importants du système. Exemples : passe haut, passe bas, passe bande. (3) Propriétés du diagramme de Bode L utilisation du logarithme et de l argument permet d obtenir simplement le diagramme pour des combinaisons de systèmes. Multiplication Si deux SLITS H (w) eth (w) sont mis en série, alors le système équivalent est H(w) = H (w)h (w) et G(w) = G (w) + G (w) Φ(w) = Φ (w) + Φ (w) Tracé de la phase. Calcul de la fonction de transfert H(w).. Calcul de la phase Φ(w) = arg(h(w)). 3. Droite caractéristique basse fréquence : lim w Φ(w) 4. Droite caractéristique haute fréquence : lim w Φ(w) 5. Calcul de la phase pour les points importants du système. Division Si un SLIT peut être mis sous la forme H(w) = H (w) H (w) alors G(w) = G (w) G (w) Φ(w) = Φ (w) Φ (w) Ceci peut être utilisé pour tracer le diagramme d un système EDO.

10 Diagramme de Black Diagramme de Nyquist Définition Le diagramme de Black (ou de Nichols) est une représentation paramétrée de H(w) dans un repère comprenant le Gain log H(w) et la phase Φ(w). Condensé des deux courbes du diagramme de Bode. On trace le Module en fonction de la phase. Se trace en suivant le diagramme de Bode le long de la variation de w. Définition Le diagramme de Nyquist est une représentation paramétrée de H(w) dans un repère comprenant sa partie réelle Re(H(w)) et sa partie imaginaire Im(H(w)). On trace la partie imaginaire en fonction de la partie réelle de H(w). S obtient en traçant une courbe le long de la pointe du vecteur d amplitude H(w) faisant un angle Φ(w) avec l axe des réels. Utilisé pour étudier la stabilité des systèmes. Exemples de systèmes Système dérivateur () Étapes. Description du système. Calcul de la fonction de transfert 3. Système Fonction de transfert y(t) = dx(t) dt H(f) = iπf Systèmes étudiés Système dérivateur Système intégrateur Système du premier ordre Système du second ordre Cas général Module. H(w) =. H(w) = 3. G(w) = 4. lim w G(w) = 5. lim w G(w) = 6. En w =, G(w) = Argument. H(w) =. Φ(w) = 3. lim w Φ(w) = 4. lim w Φ(w) =

11 Système dérivateur () Système dérivateur (3) Diagramme de Black Bode Diagram Nichols Chart Phase (deg) Magnitude (db) Open Loop Gain (db) Frequency (rad/sec) Open Loop Phase (deg) Système dérivateur (4) Diagramme de Nyquist Imaginary Axis Nyquist Diagram db 4 db db db 4 db 6 db 6 db 5 5 Real Axis Système intégrateur () Système Fonction de transfert Module. H(w) =. H(w) = 3. G(w) = 4. En w =, G(w) = y(t) = t x(u)du H(f) = iπf Argument. H(w) =. Φ(w) = 3. lim w Φ(w) = 4. lim w Φ(w) =

12 Système intégrateur () Système intégrateur (3) Diagramme de Black Bode Diagram Nichols Chart Phase (deg) Magnitude (db) Open Loop Gain (db) db 9 Frequency (rad/sec) Open Loop Phase (deg) Système intégrateur (4) Diagramme de Nyquist Imaginary Axis Nyquist Diagram db 4 db db db 4 db 6 db 6 db 5 5 Real Axis Système dérivateur haute fréquence () Système Fonction de transfert Module. H(w) =. H(w) = 3. G(w) = 4. lim w G(w) = 5. lim w G(w) = 6. En w =, G(w) = y(t) = x(t) + dx(t) dt H(f) = + iπf Argument. H(w) =. Φ(w) = 3. lim w Φ(w) = 4. lim w Φ(w) 5. Φ() =

13 Système dérivateur haute fréquence () Système dérivateur haute fréquence (3) Diagramme de Black 4 Bode Diagram 5 Nichols Chart Phase (deg) Magnitude (db) Open Loop Gain (db) db.5 db db 3 db 6 db db db 3 db 6 db db Frequency (rad/sec) Open Loop Phase (deg) Système dérivateur haute fréquence (4) Diagramme de Nyquist Nyquist Diagram db 5 Fonction de transfert des circuits électroniques Principe de calcul La loi d Ohm peut simplement être étendue à d autres composants que la résistance en utilisant les impédances complexes. Système linéaire i(t) u(t) donne U(w) = H(w)I(w) = Z(w)I(w) Imaginary Axis db db 4 db 4 db Real Axis Résistance u(t) = Ri(t) U(w) = RI(w) Z R = R Condensateur u(t) = t C i(u)du U(w) = jcw I(w) Z R = jcw Bobine u(t) = L di(t) dt U(w) = jlwi(w) Z L = jlw Le calcul de fonction de transfert de système électroniques complexes peut donc se faire en utilisant les méthodes de calculs classiques.

14 Système du premier ordre () Système x(t) = Ri(t) + y(t) y(t) = C t i(v)dv x(t) = RCy (t) + y(t) Fonction de transfert H(f) = Y (f) X(f) = A partir des impédances complexes Y (w) = Z c I(w) et X(w) = H(w) = Y (w) X(w) = Système du premier ordre () Système normalisé On reformule souvent le système sous la forme suivante : H(w) = avec pour le système précédent w = τ = RC. Module. H(w) =. H(w) = 3. G(w) = 4. lim w G(w) = 5. lim w G(w) = 6. En w = w, G(w) = + j w w (7) Système du premier ordre (3) Système du premier ordre (4) Argument. H(w) =. Φ(w) = 3. lim w Φ(w) = 4. lim w Φ(w) = 5. En w = w, Φ(w) = en w = w, Φ(w) = en w =.w Φ(w) = Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram 9 Frequency (rad/sec)

15 Système du premier ordre (5) Système du premier ordre (6) Diagramme de Black Nichols Chart Diagramme de Nyquist Open Loop Gain (db) db 6 db 3 db 6 db db db 4 db Imaginary Axis.5.5 Nyquist Diagram db6 db4 db db db db 4 db db 6 db db db.5.5 Real Axis Open Loop Phase (deg) Système du second ordre () Impédance complexe Y (w) = Z c I(w) X(w) = (Z L + Z R + Z C )I(w) L Système du second ordre () Système EDO Le système du second ordre est associé à un système EDO de la forme d y(t) dt + zw n dy(t) dt + w ny(t) = kw nx(t) (8) Fonction de transfert H(w) = Y (w) X(w) = Expression normalisée H(w) = Z C Z L + Z R + Z C = jcw jcw + R + jlw + RCjw + LC(jw) = kw n w n + zw n (jw) + (jw) k gain statique du système : k = z coefficient d amortissement du système : z = wn pulsation propre (ou naturelle) du système : w n = Forme factorisée Un système du second ordre peut être factorisé sous la forme avec H(w) = kw n (jw c )(jw c ) (9) c = () c = () les valeurs c et c sont appelées les pôles de la fonction de transfert

16 Système du second ordre (3) Système du second ordre (4) Réponses du système pour z > On a des coeficients c et c réels. La TF peut se décomposer sous la forme suivante avec M = wn, z H(w) = La réponse impulsionelle du système est M M () jw c jw c h(t) = M(e ct e ct )Γ(t) Et la réponse indicielle sous la forme suivante ( ( e c t )) e(t) = + M ect Γ(t) c c Réponses du système pour z = La TF devient : H(w) = kw n (jw + w n ) (3) ce qui est une multiplication de deux systèmes du premier ordres. La réponse impulsionelle de ce type de système se met sous la forme et la réponse indicielle est de la forme h(t) = w nte wnt Γ(t) e(t) = ( e wnt w n te wnt )Γ(t) Système du second ordre (5) Système du second ordre (6) Réponses impulsionnelles et indicielles Réponses du système pour z < Dans ce cas là, l atténuation est plus faible et des oscillations apparaissent. Ces oscillations viennent du fait que pour z < les coefficients c et c sont complexes. h(t) = M(e ct e ct )Γ(t) La réponse indicielle est de la forme h(t) = w ne zwnt z sin ( w n t z ) Γ(t) Qui est un sinus ayant une amplitude décroissante exponentiellement RÃ ponse impulsionnelle d un systeme du second ordre z=.5 z= z= RÃ ponse indiciele d un systeme du second ordre z=.5 z= z=

17 Système du second ordre (7) Pour tracer le diagramme de bode, on utilise une normalisation Module. H(w) =. H(w) = k ( ) jw +z ( jw )+. wn wn k H(w) = ( ) ( ) jw w n + z jw w n + k ( ( ) ) wwn. +4z ( ) w wn 3. G(w) = ( log ( H(w) ) = ( ( ) ) ( w log w n + 4z 4. lim w G(w) = log(k) ) w w n ) + log(k) 5. lim w G(w) = log ( w4 w 4 n ) = 4 log (w) + 4 log (w n) 6. En w = w, G(w) = log (z) + log(k). (4) Système du second ordre (8) Module () Le module de la fonction de transfert pour z < ()/ a un maximum qui se situe à la pulsation w max = w n z La valeur du module à cette pulsation est k H(w max ) = z z La pulsation de coupure à -3dB est égale à w 3 = w n + z + 4z + 4z 4 Système du second ordre (9) Système du second ordre () Argument. H(w) = H(w) = k ( jw wn ) +z( jw wn )+. ( ) ( ). Φ(w) = arg(h(w)) = arg( jw w n + z jw w n 3. lim w Φ(w) = 4. lim w Φ(w) = π( 8 ) 5. En w = w, Φ(w) = tan () = 9, ( ) + ) = tan z w wn. w w n Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram z=. z= z= Frequency (rad/sec)

18 Système du second ordre () Diagramme de Black Système du second ordre () Diagramme de Nyquist Nichols Chart Nyquist Diagram Open Loop Gain (db) db.5 db.5 db 3 db 6 db db z=. z= z= db 3 db 6 db db db 4 db 6 db Imaginary Axis 6 4 db db 4 db 4 db 6 db 6 db db db db z=. z= z= 8 8 db db 4 db Open Loop Phase (deg) Real Axis Cas général Pour tout système linéaire mis sous la forme suivante jw ( + w ) ().( jw w ) ().( + zjw ω n G(w) = K (). ( + w w ) (5).( + zjw ω n + (jw) ) ωn (3).( zjw ω n + (jw) ) ωn (6) Le diagramme de Bode peut être obtenu en utilisant le tableau terme module en db argument () cf. cours cf. cours (5) cf. cours cf. cours (6) cf. cours cf. cours () = - module de (5) = - phase de (5) (3) = - module de (6) = - phase de (6) () = module de () = - phase de () (4) = module de (3) = - phase de (3) + (jw) ) ωn (4) La forme factorisée s obtient en effectuant une factorisation polynomiale (voir cours de J.P. Folcher)