Master SIS. Cours de Bond Graphs. A. Naamane

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1 Master SIS Cours de Bond Graphs A. Naamane

2 La Mécatronique

3 Les bond graphs Les bond graphs Pourquoi? Outil de modélisation perormant ; Permet de bien comprendre les transerts de puissance ; Peut se tracer sans écrire et résoudre des équations ; Déduction possible des schéma-blocs, des équations d état, des onctions de transert pour les cas linéaires, Graphisme identique quelque soit le domaine ; Permet les analogies entre les domaines ; Nombreux exemples traités en mécatronique ; Simulations directement possibles

4 l énergie est un (pour ne pas dire «le») concept essentiel dans la description de l évolution des systèmes technologiques. On le retrouve dans tous les domaines : il constitue le lien entre ceux-ci. Fort de cette constatation, Henry M. Paynter (93-00), a introduit le concept de «bond graph» (BG) (graphe de liaisons) en 96.

5 Père des bond graphs: Henry Paynter(MIT Boston) er ouvrage : 96 arrivée en Europe : in des 70s Pays-Bas (TwenteUniv.) France (Alsthom)

6 la méthode BG concerne tous les systèmes dans tous les domaines (linéaires, non linéaires, continus, échantillonnés, numériques, électroniques, hydrauliques, mécaniques, thermiques,...). La méthode BG permet de traiter les chaînes d énergie et d inormation. Qu est-ce qu un bond graph? C est un graphe orienté, aisant apparaître des variables dynamiques, qui traduisent les transerts d énergie entre systèmes. Ils sont basés sur les liens de puissance.

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10 Introduction Exemples pluridisciplinaires Causalité Equations d'état Schémas blocs Applications S:qi C:A C:A 0 0 h q h R:R q R:R

11 Que sont les bond graphs? Les bond graphs sont : inventés par Paynter en 959 et développés par Rosenberg et Karnopp ; des graphes de représentation du comportement dynamique des systèmes indépendamment du domaine considéré; des graphes ondés sur les lux d'énergie ; une modélisation orientée objet des systèmes ; un outil de modélisation puissant pour les ingénieurs.

12 Premier exemple : un système électrique R L U C Lois des constituants u R = RI u c = i d t C d i u L = L d t Variables de puissance Tension électrique U Intensitéélectrique I Puissance électrique P= U I

13 Premier exemple : un système électrique R L Bond graph du circuit I : L U C Variable «eort» u L i Variable «lux» U Se : U i u R i R : R u C i Les tensions sont diérentes Le courant est identique C : C Jonction

14 Deuxième exemple : un système mécanique k v Variables de puissance m F Force F Vitesse linéaire v Lois des constituants F = k v d t F a = cv r c d v F m = m d t Puissance mécanique P= F v

15 Deuxième exemple : un système mécanique Bond graph du système I : m k F m v Variable «eort» Variable «lux» c F Se : F v F a v R : c F r v Les eorts sont diérents La vitesse est identique C : /k Jonction m v F

16 Variables énergie & puissance Eort e ( t ) e P = e Flux ( t ) Lien bond graph Intégration des Variables puissances Moment généralisé ( ) ( ) p t = p + e τ τ t 0 d Déplacement généralisé ( ) ( ) q t = q + τ τ t 0 t 0 0 d t

17 Domaines physiques & variables Domaine Eort e Flux Moment généralisé p Déplacement généralisé q Electrotechnique Tension u Courant i Flux magnétique λ Charge q Mécanique de translation Force F Vitesse v Quantité de mouvement p Déplacement x Mécanique de rotation Hydraulique & pneumatique Couple C Taux de rotation ω Moment cinétique σ Angle θ Pression P Débit volumique q v Impulsion p Volume V Thermique Température T Flux d entropie q S Entropie S Chimie Potentiel chimique µ Flux molaire q m Nombre de moles N

18 Neu éléments de base du langage R: élément de modélisation d un phénomène physique liant la variable eort à la variable lux I : élément de modélisation d un phénomène physique liant la variable lux à la variable moment généralisé C : élément de modélisation d un phénomène physique liant la variable eort à la variable déplacement généralisé Se, S : source d eort et source de lux indépendante respectivement de leur variable complémentaire 0, : la jonction 0 sert à coupler des éléments soumis au même eort, la jonction sert àcoupler des éléments parcourus par le même lux TF: transormateur (exemples : transormateur électrique, train d engrenages,...) GY: gyrateur ((exemples : moteur électrique, pompe centriuge,...)

19 Eléments passis -port symboles Élément BG Résistance e Frottement luide Amortisseur e Frottement luide Amortisseur R : élément dissipateur d énergie R R Élément R Loi = e R e = R Schéma-bloc e /R R e

20 Eléments passis -port Élément I symboles Élément BG Loi Schéma-bloc Inductance Masse e I = p I ( ) ( ) p t = p + e τ τ 0 d t t 0 p /I e Inertie I : élément de stockage pour l eort généralisé

21 Eléments passis -port Élément C symboles Élément BG Loi Schéma-bloc Capacité Ressort linéaire e C e = q C ( ) ( ) q t = q + τ τ 0 d t t 0 q /C e Ressort de torsion C : élément de stockage pour le déplacement généralisé

22 Eléments actis -port symboles Élément BG Loi Source de tension Se e e = e 0 Force Moment Source de courant S e = 0 Vitesse Vitesse angulaire Éléments Se & S Schéma-bloc e 0 e 0 e

23 Eléments de jonction Élément TF symboles Élément BG Loi Schéma-bloc Transormateur e TF e e = me = m e m e m e Levier TF e e = = m e m e /m e /m Engrenage

24 Eléments de jonction Élément GY symboles Élément BG Loi Schéma-bloc u, i C, ω Moteur générateur e GY e e = r e = r e r r e C, ω p, q v Pompe Turbine e GY e = = e r e r e /r /r e

25 Eléments de jonction Jonction 0 e symboles Élément BG Lois i i e P, q i 3 e 3 e e i i 0 e n n e e i i... e n n = 0 Conservation de la puissance e = e =... = e i n i... n = 0 P, q P 3, q 3 Le sens des lèches donne le signe du lux

26 Eléments de jonction Jonction e symboles Élément BG Lois i i i e v i i 3 i 3 F F F 3 e 3 e e i i e n n e e i i... e n n = 0 Conservation de la puissance = =... = i n e e i... e n = 0 Le sens des lèches donne le signe de l eort

27 Mécanique de translation variable notation translation Eort orce Flux vitesse Moment impulsion Déplacement distance Puissance e ( t ) ( t ) p ( t ) = e ( t )d t q ( t ) = ( t )d t ( ) ( ) ( ) P t = e t t F v p x F ( t ) v ( t ) Energie E ( p ) = d p ; E ( q ) = e d q E v d p c = E p = F d x

28 Mécanique de translation k v c v k m m I : m C : /k I : m C : /k 0 Se : F R : c F

29 Mécanique de translation m v k c m v k c v I : m Se : m g C : /k 0 R : c Se : m g I : m C : /k S : v 0 R : c

30 Mécanique de translation variable notation rotation Eort couple Flux vitesse angulaire Moment moment cinétique Déplacement angle Puissance e ( t ) ( t ) p ( t ) = e ( t )d t q ( t ) = ( t )d t ( ) ( ) ( ) P t = e t t Γ θ Γ ( t ) ω ( t ) ω σ Energie E ( p ) = d p ; E ( q ) = e d q E c = ω d σ E p = Γ d θ

31 Mécanique de rotation I ω ω ω I c k c k Γ C : /k I : I C : /k I : I S : ω 0 0 Se : Γ R : c R : c

32 Mécanique de rotation I : I S : Γ R : c TF I : I R : c Γ I ω c c ω I Γ

33 Electricité variable notation électricité Eort tension Flux intensité Moment lux magnétique Déplacement charge Puissance e ( t ) ( t ) p ( t ) = e ( t )d t q ( t ) = ( t )d t ( ) ( ) ( ) P t = e t t U i q U ( t ) i ( t ) λ Energie E ( p ) = d p ; E ( q ) = e d q E el = U q E m = id λ d

34 Electricité R R e u R 4 R 3 Se : e R : R 0 R : R S 0 0 R : R 4 0 R : R 3

35 Electricité R V e R i U - Se : V e :i R : R A V s Lien d inormation 0 : U :i R : R Source modulée MSe : -A 0 : V s

36 Hydraulique variable notation électricité Eort pression Flux débit volumique Moment impulsion Déplacement volume Puissance e ( t ) ( t ) p ( t ) = e ( t )d t q ( t ) = ( t )d t ( ) ( ) ( ) P t = e t t V P p ( ) ( ) P t q v t q v Energie E ( p ) = d p ; E ( q ) = e d q = E p = P d V E c q v d p

37 Hydraulique Élément R Dissipation de l énergie dans une restriction Pour un écoulement laminaire, Re<000 ( ) q v = k P P P q v P q v P :q v P -P q v P q v Pour un écoulement turbulent, Re>3000 R : /k ( ) q v = P P La onction étant àdéterminer pour chaque cas

38 Hydraulique Élément I Relation entre pression et dérivée du débit d q d v v q v = Av = A L d t d t F d v = ( P P ) A = ρ AL d t P P = I = ρ L d A d t ρ L A q v P q v P q v P :q v P -P q v I : L A ρ P q v

39 Hydraulique Élément C Relation entre pression et volume réservoir P = ρ gh = A C = ρg ρ gv A q v h C : A ρg luide compressible B d V = V d P V P C SLB SLB = = Module de compressibilité

40 Hydraulique Jonction TF transormateur pompe C, ω p, q v TF Γ ω V 0 P q v Cylindrée V 0 vérin, v p q ampliicateur de pression F, v F, v F, v F F v TF A P q v Section A v v m TF A m = A v F v

41 Hydraulique Distributeur hydraulique P P b vers bâche A A 3 A 4 A P P Circuit hydraulique x R : R (x) R : R 4 (x) 0 P Se : P P R : R 3 (x) R : R (x) Circuit hydraulique Se : P b

42 Causalité i F v u Dans les deux cas, il y a une cause et un eet L eort appliquésur le piston de la seringue génère une vitesse de sortie du liquide de la seringue et non l inverse. La source de tension impose le courant dans le circuit électrique et non l inverse. R

43 Causalité Soient deux systèmes A & B couplés et échangeant une puissance P(t) e A B P ( t ) = e ( t ) ( t ) Deux cas possibles ( ) A applique un eort e(t) àb qui réagit en retournant àa un lux ( ) ( ) e A B e A B t = Ψ B e t ( ) A applique un lux (t) àb qui réagit en retournant àa un eort ( ) ( ) e A B e A B e t = Φ B t Convention: : le trait causal est placédu coté de l élément sur lequel l eort l est imposé.

44 Causalité Aectation de la causalité Causalité nécessaire Se S TF ou TF GY ou GY Causalité restrictive ou ou ou ou

45 Causalité Aectation de la causalité Causalité intégrale I C Causalité dérivée I C Causalité arbitraire (cas linéaire) R ou R Procédure d aectation de la causalité Aecter les causalités nécessaires aux sources et répercuter ; Mettre les I et les C en causalitéintégrale préérentielle et répercuter ; 3 Aecter la causalité aux éléments R en respectant les restrictions aux jonctions ; 4 En cas de conlit àune jonction rechercher l élément I ou C qui en est la cause et le mettre en causalité dérivée ; reprendre en 3.

46 Causalité Exemple S C R S C R 5 I S I 4 C R 5 I S I 4 C R 3 4

47 v Bond Graphs Bond Graphs Causalité mixte F v m m Se : F a b I : m k Se : F aectations possibles I : m Pour supprimer la causalité dérivée, on pourrait introduire la lexibilité du bras de levier. 3 TF 4 5 C : /k b/a 6 I : m 3 TF 4 5 C : /k b/a 6 I : m Causalités dérivées

48 Équations d état A partir d un modèle BG, il est possible de déduire les équations d état du système Les variables d état sont les variables d énergie associées aux éléments I et C = [ p I ] Vecteur d état X [ q C ] [ e I ] X & [ C ] = Si tous les éléments sont en causalité intégrale, la dimension du vecteur d état vaut le nombre d éléments I et C. Si parmi les n éléments I et C, il existe n d en causalité dérivée, alors la dimension du vecteur d état est n-n d

49 Équations d état Cas où tous les éléments I et C sont en causalité intégrale X & = AX + BU Y = CX + DU Uvecteur d entrée et Yvecteur de sortie Procédure Écrire les lois de structure aux jonctions en tenant compte de lacausalité; Écrire les lois associées aux éléments en prenant en compte leur causalité; Expliciter les dérivés des variables d état en onction des variables d état et des entrées. k x m x m k

50 Équations d état C : /k 8 Se : m g 6 7 I : m C : /k 3 Se : m g I : m x x m m k k

51 Lois aux jonctions e + e e = = 0 e 6 e 5 e 7 e 8 = 0 = = 3 e 3 = e 4 = e 5 5 = 6 = 7 = 8 Lois aux éléments q & 4 = 4 q & 8 = 8 p & = e = p m Éléments I p & 7 = e 7 = p m 7 7 Vecteur d état X p p 7 = q 4 q 8 e 4 = k q 4 Éléments C Équations d état p & = k x 4 + m g p & = k x k x + m g q & = p + p 4 7 m m q & = p 8 7 m e 8 = k q 8

52 Équations d état Cas de la causalité mixte i Se : u C : C R u v C C R : R C : C Jonction 0 Jonction q & 5 = 3 4 q & = e R 5 4 & C q + = 5 q 5 U C R C q = q C C 4 5 Système d équations algébro-diérentiel Utilisation d un logiciel adapté

53 Schémas-blocs Le passage du BG au schéma-bloc est direct en écrivant les lois aux jonctions Démarche sur un exemple I : L C : C R L u C L Se : u R : R I : L

54 Schémas-blocs I Se 0 R C L u e /L e e 3 + e 4 3 R 4 /C e 5 e /L

55 Schémas-blocs u + R /L - ou u + - R - - /L s /L /C /L s /Cs

56 Applications R L u u u 3 u K u 0 Se:u J r ω ω J R:R I:J I:J GY K ω TF r ω I:L I :I I :I 0 C ω C : k R : µ

57 ω b ω Bond Graphs Bond Graphs Applications I r Γ r ω 3 k I 4 I 3 r 4 c r 3 I b Γ 4 ω 4 I : I I : I 3 0 r /r TF R : c,3,b TF : r 3 /r 4 0 I : I 4 R : c C : k I : I b Réducteur de vitesses

58 Applications x Se : P s 0 Pertes dans les oriices du distributeur A P Fe m A P R : R(y) R : R(y) I : m P s P r =0 v re 0 : P 0 : P TF : A TF : /A Distributeur R : R(y) R : R(y) 0 y: positon du tiroir du distributeur Vérin hydraulique Se : 0 R : Vérin

59 Applications y 3 y R I I C M 3 k M Câble 0 0 TF 0 Câble Absorbeur d énergie k θ Piste d atterissage Avion MTF C k M k M 3 C MTF 0 0 TF 0 R I I C D après l article de Granda & Montgomery «Automated Modeling and simulation Using the Bond Graph Method or the Aerospace Industry» Système d arrêt d un avion sur porte-avions I

60 z Bond Graphs Bond Graphs Applications z 0 C C O D ϕ θ ψ A u Se MTF : transormateur modulé En vert : liens d inormation MGY : gyrateur modulé I. θ MGY MGY Se MGY cos θ Se sin θ I. ψ. 0 MTF MTF ϕ I I I Gyroscope

61 Applications T T 3 T 5 L L L 3 V V V 3 T 4 T 6 T D après Jean Buisson & HervéCormerais : Systèmes électroniques et électrotechniques in Les bonds graphs, hermès Nouvel élément BG : interrupteur idéal T Lorsque T est ermé, il est équivalent àune source d eort nul ; Lorsque T est ouvert, il est équivalent àune source de lux nul. E R L I : L Se : V T : T 5 T : T 0 Se : V T : T 6 T : T Se : E 3 I : L R : R Se : V 3 T : T T : T 5 I : L 3 I : L 4 0 Redresseur triphasé double alternance

62 T Bond Graphs Bond Graphs Applications T 4 T T q& Se : T 0 : T 3 0 : T Se : T 4 T q& 3 T q& 3 T q& T q& 3 T q& 4 3 T 3 R : R 3 C : C 3 R : R 3 C : C R : R relations q T T R T T T T & = q & q & 3 = = 3 3 R R Il s agit d un pseudo bond graph (PBG) : les variables eort et lux ne sont pas les variables classiques de la puissance ; le choix du PBG correspond à un choix de capteurs possibles. Chauage d un liquide