Ondes élastiques et ondes électromagnétiques. Champ de pesanteur

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1 Chapitre V V.1 Ondes élastiques dans un milieu homogène Les ondes élastiques se propagent dans un corps solide sous l effet des forces volumiques de densité F et des contraintes internes, décrites par le tenseur de contraintes. La forme générale de l équation est : =+, où u est le vecteur du mouvement, - la densité et t le temps. (V.1) Pour un milieu linéaire et isorope ; le vecteur u (M, t) est décrit par le tenseur de déformation ε (M, t), dont les composantes sont : = ; = = 1 2! + "; =! ; # = # = 1 2 $ &; ε '' = ' % ; (V.2) # = # = 1 2! ". Selon la loi de Hooke, le tenseur de contraintes et lié au tenseur des déformations par : =2( +)* + + ## + ; = =2( ; =2( +)* + + ## +; # = # =2( # ; (V.3) ## =2( ## +)* + + ## +; # = # =2( #. 61

2 Les coefficients ( et ) sont les coefficients de Lamé, qu on exprime en fonction du module d Young par : ( = - 2(1+) ; ) = - (1+)(1 2). (V.4) Si l on pose dans (V.3) les expressions du tenseur de déformation, alors, les composantes du tenseur de contraintes s expriment par : =2( ) ; = =μ 4! + 5 "; =2(! +) # = # =($ &; ## =2( # % +) ; # = # =( ". (V.5)! En remplaçant (V.5) dans (V.1), on obtient l équation d oscillations =grad () div )+rot(( rot )+div(2( grad), (V.6) Pour un milieu homogène et isdrope on a : d u dt =μ ρ Δu + λ+μ grad div u. ρ (V.7) Le vecteur de mouvement u peut être décomposé en partie potentielle u D et solonoidale u E, c'est-à-dire : = F + G ;HI F =0; G =0. (V.8) Les ondes du mouvement u E sont transversales alors que celles de u D sont longitudinales. Elles satisfont : G = L M ; G F = N M, F (V.9) 62

3 L =P (, N =P )+2( Elles peuvent s écrire en fonction du potentiel scalaire Q et du potentiel vectoriel A sous forme de : u D =grad Φ; u E =rot. A V.2 ondes électromagnétiques dans un milieu conducteur Le champ électromagnétique est l ensemble des vecteurs E (M, t) et B (M, t) agissant sur une charge q se déplaçant à une vitesse : =VW-(X,)+ Z(X,)[. (V.10) L ectrodynamique macroscopique se base sur le système d équations de Maxwell : ε \ c rot B= ε \- +^; div Z =0; rot - = Z ; \ div - =. (V.11) où ε \ est perméabilité diélectrique du vide, c- la vitesse de la lumière dans le vide. La densité _ du courant et la densité de charge sont liées par : +div _=0. (V.12) Dans un milieu matériel, la densité du courant est composée de la densité des courants de déplacement, de conductibilité, de magnétisation et externes : J=(ε ε \ c ) - +σe +rot$ 1 μ ε \c &B+J b4c (V.13) où est la perméabilité diélectrique du milieu, la conductivité du milieu, (- la perméabilité magnétique du milieu. La densité de la charge est : On doit satisfaire les équations de continuité : =div( \ ) -+ defg + hl ijkl b4c +div*σe+=0; +divj b4c =0. Les équations de Maxwell dans un milieu matériel sont : 63

4 m Chapitre V rot Il=ε - +σe +J b4c u s div*μil+ = 0; rot E= μ p q ; t s div *εe+=ρ defg +ρ b4c r (V.14) où H= w μ B est le champs magnétique. Pour un espace homogène, les équations de Maxwell permettent d avoir : x.- +HI HI - = ( y z{ ; (V.15) 1 pq. + 1 x.p q +rot rot l=rot I J b4c, où v = 1/ εμ- la vitesse de propagation du champ d électromagnétique dans le milieu, D = w ~μ - le coefficient de diffusion du champ électromagnétique dans le milieu conducteur. En pratique on prend :. (V.16) où L- est la dimension du domaine, T- la période d oscillations. Alors (V.15) devient : rot pq =-+y hl. rot - = ( \ pq t. (V.17) Le champ magnétique est déterminé dans ce cas par la loi de Biot-Savart pour un courant stationnaire : HI =-+^ hl ; HI - =ƒ(, (V.18) où E,H,j b4c - les transformées de Fourrer de E,H et J respectivement. -(X,)= ˆ (X,ƒ) ˆNŠL ƒ; pq (X,)= 1 2 (X,ƒ) NŠL ƒ; ˆ 64

5 m Chapitre V y(x,)= 1 2 ^ hl (X,ƒ) ˆNŠL ƒ. ˆ Les équations (V.18) décrivent le cas quasi stationnaire. En général, on prend à la place de la conductibilité électrique, la conductibilité complexe - iƒ. Pour le cas d un milieu hétérogène, il faut considérer les conditions aux limites au niveau des surfaces de séparation. Alors : W- [ G =0; W [ G =0; - =*Œ -+ Œ; =*Œ + Œ, Ž (V.19) où n est la normale à la surface de séparation des paramètres du milieu, -, - vecteur tangentiels à la surface S. Pour une distribution locale arbitraire des paramètres électromagnétiques dans un domaine V, le champ se transforme en champ d ondes sphériques dans lequel : lim - "= ( ; lim $E &= μ H ε. (V.20) où E,E,H,H - sont les composantes des champs électrique et magnétique en coordonnées sphériques. Soit une distribution initiale de la conductibilité électrique σ D et de la perméabilité magnétique μ D. les champs initiaux sont E D et H D. Ils satisfont : HI F = F - F +^ hl ; HI - F =ƒ( F F. Les champs recherchés seront les champs secondaires : E E =E E D ; H E =H H D, (V.21) Qui satisfont : HI G =- G +* F +- F ; (V.22) HI - G =ƒ( G +ƒ*( ( F + F et qui sont crées par les champs initiaux. On prend en général ( =( \ =4.10ˆš / pour la terre et : 65

6 H= 1 μ \ rot A; E=iωA+grad φ. (V.23) Le potentiel scalaire est calculé par le jouge de Lorentz : Le potentiel vectoriel satisfait l équation de Helmoltz : = 1 ( \. (V.24) + =( \^ hl. (V.25) V.3 La force d attraction entre deux masses m 1 et m 2 situées à une distance r est : = w H, où G = 6, (N. m²) kg² est la constante de gravitation Si l accélération de la pesanteur g est connue, alors : F=mGg. (V.26) La force exercée sur un corps de densité ρ (M) est : F=G ρ (M)g(M)dV. (V.27) Le champ gravitationnel satisfait le système d équation : HI g =0, g = 4 (X), m (V.28) c'est-à-dire : g(m)=grad U (M). (V.29) Le potentiel de gravitation satisfait l équation de Poisson «(X)= 4 (X), (V.30) où (X) 0 est la distribution des densités des masses en attraction. En pratique, on calcule l anomalie du champ en considérant U = U n + U a, où U n est le potentiel normal pour une répartition moyenne de la densité, et U a est l anomalie de gravitation qui satisfait l équation : «(X)= 4 (X), 66

7 où est la variation de la densité du milieu par rapport à la densité moyenne. La solution de l équation de Poisson est un potentiel Newtonien : U (M)= δρ(m \) dv ². R ² (V.31) Les surfaces pour lesquelles le potentiel Newtonien est constant s appellent surfaces équipotentielles. L énergie du champ gravitationnel est exprimée par : ³ = 2 «(X)(X)µ ; (V.32) ³ = 8 $«& ˆ +$ «! & +$ µ % & µ. (V.33) La variation de l énergie gravitationnelle permet de résoudre le problème de Gauss sur la distribution des masses pour une surface donnée et qui satisfait : «(X) (X)µ =0; (X)µ =0, (V.34) où est la variation de la densité. Bibliographie 1- Coulomb J, Jobert G. Traité de géophysique interne. Masson et Cie, Paris Landau L. Lifchitz.E. Théorie des champs. Mir, Moscou Smirnov V. Cours de mathématiques supérieures, T2. Mir, Moscou