Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Réduction d endomorphismes
|
|
- Blanche Bureau
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Cours de remise à niveau Maths 2ème année Réduction d endomorphismes C. Maugis-Rabusseau GMM Bureau 116 cathy.maugis@insa-toulouse.fr C. Maugis-Rabusseau (INSA) 1 / 27
2 Plan 1 Valeurs propres, vecteurs propres 2 Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres 3 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables 4 Applications Calcul de A m Etude des suites récurrentes Résolution de systèmes linéaires différentiels du premier ordre C. Maugis-Rabusseau (INSA) 2 / 27
3 Diagonalisable Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie n. On note E = (e 1,, e n ) une base de E. Soit f L(E). Réduire un endomorphisme f, c est chercher une base de E dans laquelle la matrice de f sera la plus simple possible, le mieux que l on puisse espérer est que la matrice soit diagonale. Définition Un endomorphisme f de E est diagonalisable s il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 3 / 27
4 Diagonalisable Supposons qu une telle base existe, notons-la V = (v 1,, v n ). Alors λ λ Mat(f, V) = λ n λ n Ainsi, pour tout i {1, 2,, n}, f (v i ) = λ i v i. Les λ i sont appelés des valeurs propres, les v i des vecteurs propres. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 4 / 27
5 Sommaire 1 Valeurs propres, vecteurs propres 2 Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres 3 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables 4 Applications Calcul de A m Etude des suites récurrentes Résolution de systèmes linéaires différentiels du premier ordre C. Maugis-Rabusseau (INSA) 5 / 27
6 Valeurs propres, vecteurs propres Définition On appelle valeur propre de f un scalaire λ de K tel qu il existe un vecteur v de E non nul tel que f (v) = λv. Le vecteur v est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre λ. On appelle spectre de f l ensemble des valeurs propres de f. On note cet ensemble Spec(f ). Remarque Cette définition reste valable même lorsque E est de dimension infinie. Exemple Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de l endomorphisme f de R 2 dont la matrice dans la base canonique est ( ) 7 12 A =. 4 7 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 6 / 27
7 Sous-espaces propres Proposition Soit λ K. On note E λ = {v E, f (v) = λv} = Ker(f λid E ). E λ est un sous-espace vectoriel de E. λ Spec(f ) alors E λ {0 E } et dans ce cas, on l appelle le sousespace propre de E associé à λ. Si λ Spec(f ) alors E λ = {0 E }. Exemple Déterminez les espaces propres de l endomorphisme f de R 2 dont la matrice est ( ) 7 12 A =. 4 7 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 7 / 27
8 Sous-espaces propres Proposition Soient f L(E) et λ Spec(f ). Alors E λ est stable par f (c est-à-dire f (E λ ) E λ ). On peut donc définir f λ, la restriction de f à E λ, dont la matrice dans une base quelconque de E λ est : λ λ λ λ C. Maugis-Rabusseau (INSA) 8 / 27
9 Théorèmes Théorème Soit f L(E) avec Spec(f ) = {λ 1, λ 2,, λ p }. f est diagonalisable une base de E formée de vecteurs propre E = E λ1 Eλ2 Eλp. Théorème Soit λ 1 et λ 2 deux valeurs propres distinctes de f. Alors E λ1 E λ2 = {0 E }, soit E λ1 Eλ2. De même, si λ 1,, λ p sont p valeurs propres distinctes deux à deux alors E λ1 Eλ2 Eλp. Conséquences immédiates : 1 f possède au maximum n valeurs propres. 2 Si f possède n valeurs propres distinctes avec n = dim(e) alors f est diagonalisable. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 9 / 27
10 Sommaire 1 Valeurs propres, vecteurs propres 2 Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres 3 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables 4 Applications Calcul de A m Etude des suites récurrentes Résolution de systèmes linéaires différentiels du premier ordre C. Maugis-Rabusseau (INSA) 10 / 27
11 Recherche des vp et vp Théorème λ Spec(f ) det(f λid E ) = 0. Exemple Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de l endomorphisme f de R 3 dont la matrice dans la base canonique est B = C. Maugis-Rabusseau (INSA) 11 / 27
12 Polynôme caractéristique Théorème-Définition Soit f L(E). Soit A = (a ij ) (i,j) {1,2,...,n} 2 fonction P f (x) par = Mat(f, E). On définit la P f (x) = det(f xid E ) = det(a xi n ). Cette fonction est une fonction polynômiale de degré n (où dim(e) = n), qui s écrit : P A (x) = ( 1) n x n + ( 1) n 1 Tr(A)x n det(a). Elle s appelle le polynôme caractéristique de A. Exemple Calculez P B où B = C. Maugis-Rabusseau (INSA) 12 / 27
13 Polynôme caractéristique Théorème Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. Par conséquent, si f L(E), on définit le polynôme caractéristique de f par P f = P A, où A est la matrice de f dans une base quelconque de E. ATTENTION : La réciproque est fausse en général. En résumé, on a donc : Théorème Les valeurs propres de f sont les racines dans K de P f. Si P f est scindé sur K (= toutes ses racines sont dans K ) alors, si dim(e) = n, on a : 1 f a exactement n valeurs propres, distinctes ou non. 2 La somme des valeurs propres vaut Tr(A). 3 Le produit des valeurs propres vaut det(a). C. Maugis-Rabusseau (INSA) 13 / 27
14 Multiplicité Définition Soit λ Spec(f ). On appelle multiplicité de la valeur propre λ l ordre de multiplicité de λ en tant que racine de P f. On la note m λ. Théorème Si λ est une valeur propre de f de multiplicité m λ alors 1 dim(e λ ) m λ. Si λ est une valeur propre simple de f (i.e m λ = 1) alors dim(e λ ) = 1. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 14 / 27
15 Sommaire 1 Valeurs propres, vecteurs propres 2 Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres 3 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables 4 Applications Calcul de A m Etude des suites récurrentes Résolution de systèmes linéaires différentiels du premier ordre C. Maugis-Rabusseau (INSA) 15 / 27
16 Caractérisation des endom. diagonalisables Théorème Soit f L(E). On note m λ la multiplicité de la valeur propre λ. f est diagonalisable { Pf est scindé dans K λ Spec(f ), dim(e λ ) = m λ. Corollaire Si P f possède n racines distinctes alors f est diagonalisable. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 16 / 27
17 Exemples ( ) ( ) Soient A 1 = et A =. 1 0 Les endomorphismes f 1 et f 2 de R 2 dont les matrices dans la base canonique sont respectivement A 1 et A 2 sont-ils diagonalisables? Soient B 1 = et B 2 = Les endomorphismes f 1 et f 2 de R 3 dont les matrices dans la base canonique sont respectivement B 1 et B 2 sont-ils diagonalisables? C. Maugis-Rabusseau (INSA) 17 / 27
18 Sommaire 1 Valeurs propres, vecteurs propres 2 Recherche des valeurs propres et des vecteurs propres 3 Caractérisation des endomorphismes diagonalisables 4 Applications Calcul de A m Etude des suites récurrentes Résolution de systèmes linéaires différentiels du premier ordre C. Maugis-Rabusseau (INSA) 18 / 27
19 Soit f L(E) dont la matrice dans la base canonique est A M n (K ). On suppose que A est diagonalisable. Alors il existe P GL n (K ) et D = Diag (λ 1, λ 2,, λ n ) telles que D = P 1 AP ou A = PDP 1. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 19 / 27
20 Calcul de A m A m = (PDP 1 ) m = (PDP 1 )(PDP 1 ) (PDP 1 ) }{{} m fois = PD(P 1 P)D(P 1 P) (P 1 P)DP 1 }{{} m fois = PD m P 1, avec D m = Diag (λ m 1, λm 2,, λm n ). C. Maugis-Rabusseau (INSA) 20 / 27
21 Exemples Calculez B m où B = et m N B est diagonalisable et il existe P = telle que D = = P 1 BP avec P 1 = On a donc : B m = P 0 ( 1) m 2 m 0 P ( 1) m 2 m = ( 1) m 2 m ( 1) m+1 2 m 1 + ( 1) m+1 2 m 1 + ( 1) m+1 2 m 1 + ( 1) m 2 m ( 1) m+1 2 m ( 1) m+1 2 m 1 + ( 1) m+1 2 m 1 + ( 1) m 2 m+1 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 21 / 27
22 Etude des suites récurrentes On cherche les suites réelles (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N telles que (u 0, v 0, w 0 ) R 3 et pour tout n N, u n+1 = u n + v n + w n (S) v n+1 = u n v n + w n w n+1 = u n + v n w n Nous devons trouver pour tout entier n l expression de u n, v n et w n en fonction de n, u 0,v 0 et w 0. On définit pour tout entier n la matrice colonne X n = v n et alors : w n (S) X n+1 = BX n où B = On vérifie facilement par récurrence que n N, X n = B n X 0. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 22 / 27 u n
23 Etude des suites récurrentes D après les calculs précédents on obtient : X n = u n v n w n = ( 1) n 2 n ( 1) n+1 2 n 1 + ( 1) n+1 2 n 1 + ( 1) n+1 2 n 1 + ( 1) n 2 n ( 1) n+1 2 n ( 1) n+1 2 n 1 + ( 1) n+1 2 n 1 + ( 1) n 2 n+1 = 1 u 0 (1 + ( 1) n 2 n+1 ) + (v 0 + w 0 )(1 + ( 1) n+1 2 n ) v 0 (1 + ( 1) n 2 n+1 ) + (u 0 + w 0 )(1 + ( 1) n+1 2 n ). 3 w 0 (1 + ( 1) n 2 n+1 ) + (u 0 + v 0 )(1 + ( 1) n+1 2 n ) u 0 v 0 w 0 C. Maugis-Rabusseau (INSA) 23 / 27
24 Résolution de syst. lin. diff. du 1er ordre Soit à résoudre le système différentiel suivant : x (t) = x(t) + y(t) + z(t) (S) y (t) = x(t) y(t) + z(t) z (t) = x(t) + y(t) z(t) où x, y et z sont trois fonctions dérivables définies sur R. x(t) Soit X(t) = y(t). Alors d x (t) dt X(t) = X (t) = y (t) et le système z(t) z (t) (S) s écrit X (t) = BX(t) où B = C. Maugis-Rabusseau (INSA) 24 / 27
25 Résolution de syst. lin. diff. du 1er ordre B étant diagonalisable, il existe une base V = (v 1, v 2, v 3 ) dans laquelle la matrice s écrit D = x 1 (t) Notons X 1 (t) = y 1 (t) la matrice colonne des coordonnées de z 1 (t) (x(t), y(t), z(t)) dans la base V. Nous avons d x dt X 1(t) = X 1 (t) = 1 (t) y 1 (t) et z 1 (t) X(t) = PX 1 (t), X (t) = PX 1 (t) avec P = C. Maugis-Rabusseau (INSA) 25 / 27
26 Résolution de syst. lin. diff. du 1er ordre En injectant ces relations dans le système (S) on obtient : (S) PX 1 (t) = BPX 1(t) X 1 (t) = P 1 BPX 1 (t) = DX 1 (t), où D est diagonale. Ainsi (S) X 1 (t) = P 1 BPX 1 (t) = DX 1 (t) x 1 (t) = x 1(t) y 1 (t) = 2y 1(t) z 1 (t) = 2z 1(t) x 1 (t) = x 0 e t y 1 (t) = y 0 e 2t z 1 (t) = z 0 e 2t où x 0, y 0, z 0 sont des constantes arbitraires. C. Maugis-Rabusseau (INSA) 26 / 27
27 Résolution de syst. lin. diff. du 1er ordre Les fonctions x, y et z solutions de (S) sont données par x(t) X(t) = y(t) = z(t) = x 0 e t y 0 e 2t z 0 e 2t x 0 e t + y 0 e 2t x 0 e t + z 0 e 2t. x 0 e t (y 0 + z 0 )e 2t C. Maugis-Rabusseau (INSA) 27 / 27
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailThéorie et codage de l information
Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailCircuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance
Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailExercices et corrigés Mathématique générale Version β
Université libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailÉquations d amorçage d intégrales premières formelles
Équations d amorçage d intégrales premières formelles D Boularas, A Chouikrat 30 novembre 2005 Résumé Grâce à une analyse matricielle et combinatoire des conditions d intégrabilité, on établit des équations
Plus en détailVI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE
VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailMarkov processes and applications to queueing/risk/storage theory and mathematical biology
Markov processes and applications to queueing/risk/storage theory and mathematical biology Florin Avram Contents 1 Introduction aux processus stochastiques/aléatoires 3 2 Marches aléatoires et récurrences
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailC algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent.
Université Paul Verlaine - METZ LMAM 6 décembre 2011 1 2 3 4 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. G un groupe de Lie, Ĝ l ensemble
Plus en détailCatalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands.
Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Pourquoi un autre catalogue en Suisse romande Historique En 1990, la CRUS (Conférences des
Plus en détailRO04/TI07 - Optimisation non-linéaire
RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003 I Motivations et notions fondamentales 4 I1 Motivations 5 I2 Formes quadratiques 13 I3 Rappels
Plus en détailFiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas
Fiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas Cette fiche destinée aux élèves des classes de Terminale requiert un premier niveau de connaissance du logiciel Xcas. Définition d une fonction Fonctions
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailCorrection du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014
Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailPlus courts chemins, programmation dynamique
1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailAOT 13. et Application au Contrôle Géométrique
AOT 13 Géométrie Différentielle et Application au Contrôle Géométrique Frédéric Jean Notes de cours Édition 2011/2012 ii Table des matières 1 Variétés différentiables 1 1.1 Variétés différentiables............................
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détail