Vibrations forcées de structures minces, élastiques, non linéaires

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1 Vibrations forcées de structures minces, élastiques, non linéaires Franck Pérignon sous la direction de Bruno Cochelin et Sergio Bellizzi 6 juillet 24 Laboratoire de Mécanique et d Acoustique - Equipes MN et SACADS p./44

2 Motivations de l étude (1/2) Vibrations non linéaires Pourquoi? vibrations à l origine de... bruits dégradations (fatigue, rupture...) Enjeux : prédiction et/ou contrôle dimensionnement, estimation de durée de vie... Non linéaire? Linéaire concepts bien maîtrisés, (modes propres, analyse modale...), outils nombreux. Non linéaire plus complexe, domaine encore très ouvert, pas d approche systématique. Pourquoi? allégement, optimisation des structures, contacts, jeux... p.1/44

3 Motivations (2/2) Quelques exemples de problèmes concrets de vibrations non linéaires... p.2/44

4 Motivations (2/2) Quelques exemples de problèmes concrets de vibrations non linéaires... Aéronautique p.2/44

5 Motivations (2/2) Quelques exemples de problèmes concrets de vibrations non linéaires... Aéronautique Nucléaire p.2/44

6 Motivations (2/2) Quelques exemples de problèmes concrets de vibrations non linéaires... Aéronautique Nucléaire Instruments de musique p.2/44

7 Motivations (2/2) Quelques exemples de problèmes concrets de vibrations non linéaires... Aéronautique Nucléaire Instruments de musique Biophysique p.2/44

8 Cadre de l étude LMA : Opération de Recherche vibrations non linéaires Structures non linéaires sous sollicitation externe Expérimental : observation du comportement dynamique non linéaire identification/validation du modèle Numérique : description du comportement dynamique méthodes et outils de simulation p.3/44

9 Cadre de l étude LMA : Opération de Recherche vibrations non linéaires Structures non linéaires sous sollicitation externe Expérimental : observation du comportement dynamique non linéaire identification/validation du modèle Principaux axes de recherche : modes non linéaires Numérique : description du comportement dynamique méthodes et outils de simulation définition et calcul utilisation (modèles réduits...) analyse des bifurcations réponse forcée à une excitation stochastique ou déterministe p.3/44

10 Objectifs de la thèse Étude de la réponse forcée : structures quelconques grands nombre de degrés de liberté non linéarités géométriques sollicitation harmonique recherche de solutions périodiques Numérique : développement d un outil de simulation, par application de la méthode de l équilibrage harmonique, intégré à un code éléments finis généraliste. Expérimental : conception et démarrage d essais sur des structures minces p.4/44

11 Plan Motivations et cadre de l étude Approche expérimentale Cadre mécanique Méthodes de résolution numérique Présentation La méthode de l Equilibrage Harmonique (EH) La Méthode Asymptotique Numérique (MAN) Exemples de simulations Étude d une poutre Recalage avec les résultats expérimentaux Conclusions et perspectives p.5/44

12 Approche expérimentale p.5/44

13 Etude expérimentale poutre droite bi-encastrée, en aluminium 6 mm y z x épaisseur: h=2mm 3mm h L = 1 3 comportement non linéaire p.6/44

14 Système d excitation Excitation ponctuelle, mono-harmonique : système bobine-aimant sans contact Structure 1mm Aimant Bobine I d=33.3mm x L=64mm Deux paramètres de contrôle : amplitude (λ) et pulsation (Ω) p.7/44

15 Démarche expérimentale Traitement des sorties... Amplitude Phase Source pilotage des paramètres p.8/44

16 Démarche expérimentale Traitement des sorties... Amplitude Phase Source pilotage des paramètres p.8/44

17 Quelques résultats (1/4) En régime linéaire : (faible amplitude d excitation :.3 N) ements déplacements/épaisseur fréquences d excitation (Hz) déphasage fréquences d excitation (Hz) p.9/44

18 Quelques résultats (2/4) En régime non linéaire : harmonique 1 (fondamentale) ements déplacements/épaisseur déphasage fréquences d excitation (Hz) fréquences d excitation (Hz) Amplitude de la force :.18 N p.1/44

19 Quelques résultats (3/4) harmoniques 2 et x 1 3 Harmonique 2 1 x 1 3 Harmonique 3 ements déplacements/épaisseur hasage fréquences d excitation (Hz) fréquences d excitation (Hz) p.11/44

20 Quelques résultats (4/4) En régime non linéaire : harmonique 1 (fondamentale) 2 ements déplacements/épaisseur déphasage fréquences d excitation (Hz) Amplitude de la force :.12,.18 et.35 N fréquences d excitation (Hz) p.12/44

21 Variation des fréquences propres linéaires Variations... relativement aux valeurs théoriques/simulées d un essai à l autre au cours d un même essai F orce (N) f 1 (Hz) f 2 (Hz) f 3 (Hz) réf. numérique (29.5) 78.2 (8.75) (157.5) Quelques explications... mise en place de la structure imparfaite? influence de la température? défaut de forme? précontrainte? p.13/44

22 Bilan de l approche expérimentale Essais sur la poutre : Observation du comportement non linéaire réponse hystérétique (sauts...) présence d harmoniques Aide à la conception d un nouveau banc Choix du matériel (excitation...) Mise en place d un mode opératoire Identification de problèmes (fréquences propres...) p.14/44

23 Plaque encastrée précontrainte Montage : Encastrement dans un cadre : Dispositif de précontrainte : interaction de modes p.15/44

24 Perspectives Poursuite des essais sur la poutre observation des déformées vers un changement de régime? (amplitude d excitation plus grande) Exploitation du banc plaque interaction de modes confrontation avec des simulations numériques p.16/44

25 Plan Motivations et cadre de l étude Approche expérimentale Cadre mécanique Méthodes de résolution numérique Présentation La méthode de l Equilibrage Harmonique (EH) La Méthode Asymptotique Numérique (MAN) Exemples de simulations Étude d une poutre Recalage avec les résultats expérimentaux Conclusions et perspectives p.17/44

26 Cadre mécanique p.17/44

27 Quelles non linéarités? non linéarités dans les structures matériau (contraintes fonctions non linéaires des déformations) conditions aux limites (chocs, jeux, frottements) géométriques grands déplacements, petites déformations p.18/44

28 Quelles non linéarités? non linéarités dans les structures matériau (contraintes fonctions non linéaires des déformations) conditions aux limites (chocs, jeux, frottements) géométriques grands déplacements, petites déformations non linéarités géométriques représentatives de nombreux cas forme polynomiale équations quadratiques ou cubiques Relation déformations-déplacements non linéaire : γ(u) = 1 2 ( u + t u) t u u {}}{{}}{ = γ l (u) + γ nl (u, u) u(x, t) : déplacements γ(x, t) déformations de Green-Lagrange. termes non linéaires p.18/44

29 Écriture du problème de l élastodynamique (1/2) Hypothèses Formulation 3D, Lagrangienne totale comportement élastique linéaire non linéarités géométriques pas d amortissement Inconnues déplacements, u(x, t) Discrétisation spatiale q déformations γ(x, t) de Green-Lagrange par γ contraintes S(x, t), Piola-Kirchhoff II éléments finis S Prise en compte d un défaut et/ou d une précontrainte : Etat "parfait" Etat avec défaut d Etat précontraint d* u d : défaut géométrique (d, S ) : état précontraint Etat déformé p.19/44

30 Écriture du problème de l élastodynamique (2/2) Relation déformations-déplacements : γ = (B l + B nl (d ))q Bnl (q)q δγ = (B l + B nl (d ))δq + B nl (q)δq B nl (q) opérateur linéaire en q Formulation du problème : ( t (B l + B nl (d ))S + t B nl (q)s)dv + F ext = M q V S = S + D(B L + B nl (d ))q DBnl (q)q PPV loi de comportement p.2/44

31 Écriture du problème de l élastodynamique (2/2) Relation déformations-déplacements : γ = (B l + B nl (d ))q Bnl (q)q δγ = (B l + B nl (d ))δq + B nl (q)δq B nl (q) opérateur linéaire en q Formulation du problème : ( t (B l + B nl (d ))S + t B nl (q)s)dv + F ext = M q V S = S + D(B L + B nl (d ))q DBnl (q)q PPV loi de comportement M q + (L + L 1 (S ) + L 2 (d ))q + Q(q, q) + Q 1 (d, q, q) + C(q, q, q) = F ext L : linéaire Q : quadratique C : cubique p.2/44

32 Écriture du problème de l élastodynamique (2/2) Relation déformations-déplacements : γ = (B l + B nl (d ))q Bnl (q)q δγ = (B l + B nl (d ))δq + B nl (q)δq B nl (q) opérateur linéaire en q Formulation du problème : ( t (B l + B nl (d ))S + t B nl (q)s)dv + F ext = M q V S = S + D(B L + B nl (d ))q DBnl (q)q PPV loi de comportement M q + (L + L 1 (S ) + L 2 (d ))q + Q(q, q) + Q 1 (d, q, q) + C(q, q, q) = F ext L : linéaire Q : quadratique décalage des ajout d un C : cubique fréquences propres terme quadratique p.2/44

33 Méthodes et outils numériques de résolution p.2/44

34 Méthodes de résolution Objectif : calcul de la réponse forcée résolution d un système d équations différentielles non linéaires. Combinaison de deux méthodes : EH : Equilibre Harmonique, recherche de solutions périodiques sous forme de séries harmoniques. MAN : Méthode Asymptotique Numérique, recherche de solutions sous forme de séries entières. Méthode de perturbation-continuation. Élastodynamique, EDPNL inconnues : q, S paramètres : λ,ω EH Eq. algébriques non linéaires MAN q(λ, Ω) S(λ, Ω) implémentation dans un code éléments finis maison, eve (Fortran 9). p.21/44

35 Application de l Équilibrage Harmonique pour F ext = λ k=h 1 k= F k cos kωt, q(t) = k=h 1 k= q k cos kωt S(t) = k=h 1 k= s k cos kωt Développements des inconnues en séries harmoniques pas de sinus, tous les termes, pairs et impairs, paramètres de contrôle : λ et Ω. p.22/44

36 Application de l Équilibrage Harmonique pour F ext = λ k=h 1 k= F k cos kωt, q(t) = k=h 1 k= q k cos kωt S(t) = k=h 1 k= s k cos kωt V n EDNL n inconnues +2 paramètres }{{} t (B L + B nl (q) + B nl (d ))SdV + F ext = M q S = S + D(B L Bnl (q) + B nl (d ))q p.22/44

37 Application de l Équilibrage Harmonique pour F ext = λ k=h 1 k= F k cos kωt, q(t) = k=h 1 k= q k cos kωt S(t) = k=h 1 k= s k cos kωt V n EDNL n inconnues +2 paramètres }{{} t (B L + B nl (q) + B nl (d ))SdV + F ext = M q S = S + D(B L Bnl (q) + B nl (d ))q Q = {q k } k=..h 1 S = {s k } k=..h 1 p.22/44

38 Application de l Équilibrage Harmonique pour F ext = λ k=h 1 k= F k cos kωt, q(t) = k=h 1 k= q k cos kωt S(t) = k=h 1 k= s k cos kωt V n EDNL n inconnues +2 paramètres }{{} t (B L + B nl (q) + B nl (d ))SdV + F ext = M q S = S + D(B L Bnl (q) + B nl (d ))q n H EANL Q = {q k } k=..h 1 n H inconnues même S = {s k } k=..h 1 +2 paramètres forme }{{} V T (B l + B nl (Q) + B nl (d ))SdV Ω 2 MQ = λf S = S + D(B l Bnl (Q) + B nl (d ))Q p.22/44

39 EH : construction des nouveaux opérateurs Exemple pour H = 3... termes constants en cos Ωt en cos 2Ωt B nl (q)s = ( ) + ( ) cos Ωt + ( ) cos 2Ωt B nl (q 1 ) 2 Bnl (q 1 1 ) 2 Bnl (q 2 ) (B nl (q)s) (B nl (q)s) 1 = B nl (q 1 ) B nl (q q2 ) 1 2 Bnl (q 1 ) (B nl (q)s) 2 B nl (q 2 1 ) 2 Bnl (q 1 ) B nl (q ) S 2 }{{} B nl (Q)S Écriture généralisable H construction automatique S S 1 Autres opérateurs...(matrices diagonales par blocs)... D... B l... M... D = D. Bl = B l.... M =. 4M.... 9M... p.23/44

40 MAN : principe général? R(U, η) = U(η) U R n (n + 1) inconnues η R n équations Problème algébrique non linéaire p.24/44

41 MAN : principe général? R(U, η) = U(η) U R n (n + 1) inconnues η R n équations Développements en séries entières U = U + a k U k (U, η ) : point solution η = η + k=1 a k η k k=1 a : paramètre de chemin Problème algébrique non linéaire p.24/44

42 MAN : principe général? R(U, η) = U(η) U R n (n + 1) inconnues η R n équations Développements en séries entières U = U + a k U k (U, η ) : point solution η = η + k=1 a k η k k=1 a : paramètre de chemin R(U, η) = ar 1 + a 2 R 2 + = ie R p = R U U p + R η η p Fp nl = K t() [ U p η p ] = F nl p Problème algébrique non linéaire U Succession de problèmes linéaires PSfrag replacements Morceaux de branche η p.24/44

43 MAN (2) Application au problème de vibrations forcées : T (B l + B nl (Q) + B nl (d ))SdV Ω 2 MQ = λf V S = S + D(B l Bnl (Q) + B nl (d ))Q surfaces (2 paramètres), adaptation de la MAN η = N a k η k = k=1 λ = λ + N k=1 ak λ k Ω fixé ou Ω 2 = Ω 2 + N k=1 ak ν k λ fixé et Q = Q + N k=1 ak Q k S = S + N k=1 ak S k lacements U η q Ω PSfrag replacements U η q λ Ω 4 6 p.25/44

44 MAN (3) Problèmes linéarisés à chaque ordre Ordre 1 : { [ ] Ordre p : { [ ] K t () Ω 2 M Q 1 = η 1 F man Q 1 P Q 1 + αη1 2 = 1 K t () Ω 2 M Q p = η p F man + Fp nl Q 1 P Q p + αη 1 η p = K t() = T B (Q )DB (Q )dω K σ Ω fp nl = Ω ( T B (Q )Sp nl + p 1 r=1 T B nl (Q p r )S r )dω Continuation... en force en pulsation η k =... λ k ν k F man =... F MQ p 1 Fp nl =... f p nl fp nl + ν r MQ p r r=1 p.26/44

45 Intégration de la méthode à Eve Eve : code éléments finis, généraliste, en Fortran 9 Apports : Equilibrage Harmonique : Élément existant (DKT, DKQ...) Assemblage des matrices blocs Élément EH MAN : adaptation au problème en dynamique solveur non linéaire Autres : défaut et précontrainte nouveau type de stockage solveur linéaire pour des matrices non symétriques post-traitement (interface Matlab) p.27/44

46 Bilan Eléments Harmoniques construction automatique des opérateurs, H procédure indépendante de l élément de base taille des systèmes fonction de H augmentation du temps de calcul MAN simplicité d utilisation et de pilotage solutions analytiques : séries riches en informations une seule inversion de matrice par morceau de branche traitement des bifurcations Outil Intégré à un code éléments finis capable de traiter une large classe de structures Validé sur des exemples issus de la littérature Améliorations possibles : ajout de nouveaux éléments optimisation (solveur, stockage...) p.28/44

47 Exemples de simulations p.28/44

48 Introduction Réponse forcée d une poutre mince, bi-encastrée 1.5 cm h=2mm 6 cm Cas traités : excitation mode non linéaire excitation, fixée réponse forcée 4 éléments DKQ-EH E =.7e11P a ν =.33 ρ = 2762kg.m 3 Rappel : q(t, Ω) = H 1 k= q k cos jωt q (Ω) = q(, Ω) = H 1 k= q k en un point déformées de la structure à Ω fixé p.29/44

49 Premier mode q/h D E ts 1.5 C Ω/ω 1 p.3/44

50 Premier mode q/h D E ts 1.5 C Ω/ω 1 p.3/44

51 Premier mode : harmoniques H = Harmonique Harmonique 3.5 ts C E Ω/ω 1 p.31/44

52 Premier mode : bifurcation B q/h.6.4 A F Ω ω 3 5, résonance interne 1 : 5 entre les modes 1 et 3..2 ts G Ω/ω p.32/44

53 Premier mode : bifurcation B q/h.6.4 A F.2 ts G Ω/ω p.32/44

54 Premier mode : bifurcation B q/h.6.4 A F.2 ts G Ω/ω p.32/44

55 Premier mode : bifurcation B q/h.6.4 A F.2 ts G Ω/ω p.32/44

56 Premier mode : bifurcation B.5.4 Harmonique 1 q/h.6 A q k /h.3.4 F.2 Harmonique ts G Ω/ω Ω/ω 1 p.32/44

57 Premier mode : bifurcation B q/h.6.4 A F.2 ts G Ω/ω PSfrag replacements Ω/ω 1 p.32/44

58 Premier mode : bifurcation.7.6 q/h mode 1 branche de liaison mode3 Sfrag replacements.2.1 Ω = ω 1 5Ω = ω Ω/ω 1 p.32/44

59 Premier mode : bifurcation.7.6 q/h mode 1 branche de liaison mode3 Sfrag replacements.2.1 Ω = ω 1 5Ω = ω Ω/ω 1 5Ω = ω 3 Ω = ω 1 p.32/44

60 Mode C q/h.1.2 A B Ω ω 4 3, résonance interne 1 : 3 entre les modes 2 et 4..3 ts.4.5 ω Ω/ω 1 p.33/44

61 Mode C q/h.1.2 A B.3 ts.4.5 ω Ω/ω 1 p.33/44

62 Mode C q/h.1.2 A B.3 ts.4.5 ω Ω/ω 1 p.33/44

63 Mode C q/h.1.2 A B.3 ts.4.5 ω Ω/ω 1 p.33/44

64 Mode C.3.2 Harmonique 3.1 q/h.1.2 A B.1 ts PSfrag replacements Harmonique Ω/ω ω 1 Ω/ω 1 1 p.33/44

65 Mode C q/h A B Ω ω 6 2, résonance interne 1 : 2 entre les modes 3 et 6..1 ts Ω/ω 1 p.34/44

66 Mode C.15 B q/h.1.5 A.5.1 ts Ω/ω 1 p.34/44

67 Mode C.15 B q/h.1.5 A.5.1 ts Ω/ω 1 p.34/44

68 Mode C.15 B q/h.1.5 A.5.1 ts Ω/ω 1 p.34/44

69 Réponse forcée Réponse forcée, excitation d amplitude 1 N résonances autour des modes résonances secondaires 1.5 Mode 1 Mode 2 Mode q /h Ω/ω 1 p.35/44

70 Résonances secondaires B A Ω/ω 1 Résonances super-harmoniques : A : Ω = ω 3 3 B : Ω = ω 5 6 p.36/44

71 Résonances secondaires B A Ω/ω 1 Résonances super-harmoniques : A : Ω = ω 3 3 B : Ω = ω 5 6 p.36/44

72 Résonances secondaires B A Ω/ω 1 Résonances super-harmoniques : A : Ω = ω 3 3 B : Ω = ω 5 6 p.36/44

73 Résonances secondaires B Harmonique 7.4 A Ω/ω 1 Résonances super-harmoniques : A : Ω = ω 3 3 B : Ω = ω Harmonique 3 Harmonique Ω/ω 1 p.36/44

74 Réponse forcée autour du mode q/h.1 ts.2.3 ω Ω/ω 1 p.37/44

75 Réponse forcée autour du mode q /h.2 ts ω Ω/ω 1 p.37/44

76 Réponse forcée autour du mode q /h.2 q /h.3.2 ts.2.1 PSfrag replacements ω 1 Ω/ω Ω/ω 1 Ω/ω 1 1 p.37/44

77 Réponse forcée autour du mode A B q/h q.2 ts ts.2.4 C ω 1 Ω/ω 1 p.37/44

78 Résonances autour des modes 1 et /h.5 q /h ts Ω/ω Ω/ω 1 p.38/44

79 Comparaison avec les résultats expérimentaux Force :.3 N f 1 (Hz) f 2 (Hz) f 3 (Hz) num Exp Harmonique x 1 3 Harmonique Simulation Essai Simulation Essai q 1 /h.3 q 3 /h Ω/ω Ω/ω 1 p.39/44

80 Recalage du modèle... Défaut géométrique d amplitude maximale η correction de la courbure augmentation des fréquences propres z/h d1 d2 d x.8 Harmonique 1 Harmonique η= Essai η=1.6mm η=.6 mm.6.5 η= η=.5 η=.4 Essai.5.4 q 1 /h.4.3 Défaut 1 q 1 /h.3 Défaut Ω/ω Ω/ω 1 p.4/44

81 Recalage du modèle... Défaut géométrique d amplitude maximale η correction de la courbure augmentation des fréquences propres z/h d1 d2 d Harmonique 2 6 x Harmonique Essai d1, η=.6 mm d2, η=.4 mm 5 Cas parfait x q 2 /h.8 q 3 /h Ω/ω Ω/ω 1 p.4/44

82 Recalage (2) Précontrainte seule (compression) recalage des fréquences propres, pas ou peu d effet sur la réponse forcée. Précontrainte (compression, d x =4.6e-3mm) + défaut géométrique, amplitude max :.4mm (mode 1).16 Harmonique Cas parfait Essai 3 Recalage q 2 /h q 1 /h Ω/ω 1 x Harmonique Cas parfait Essai Recalage q 3 /h Ω/ω Ω/ω 1 p.41/44

83 Conclusion des simulations Observation de phénomènes non linéaires : scenari de bifurcation compliqués résonances internes et secondaires MNL : support de la réponse forcée Recalage du modèle sur les résultats expérimentaux Limites : Pas d amortissement Pas d étude de stabilité p.42/44

84 Conclusion générale p.42/44

85 Bilan Réalisation d un banc d essai Outil numérique pour le calcul de la réponse forcée, en non linéaire éléménts finis EH+MAN Observation/simulation de phénomènes non linéaires expérimentale et numérique bifurcations (résonances internes, secondaires...) intérêt des modes non linéaires p.43/44

86 Perspectives Améliorations du code amortissement stabilité optimisation (stockage, solveurs...) Poursuite des études... expérimentale (plaque...) numérique : traitement de structures complexes Comparaison avec d autres méthodes intégration temporelle d orbites périodiques sous-espaces invariants Autres types d excitation multi-périodique aléatoire Reflexion sur l utilisation des modes non linéaires p.44/44

87 Fin p.44/44