Régime libre en électricité REGIME LIBRE EN ELECTRICITE

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1 GIM IB N TIIT X On considère le circuit ci-contre. A l'instant t = 0, on ferme K, le condensateur étant déchargé. es éléments,, du circuit sont tels que =. Déterminer les lois de variation avec le temps de l'intensité i' traversant et de la réponse v = di' dt, différence de potentiel aux bornes de ou. K éponse : i' = 3 e-λt sin ( 3λt); v = [cos 3λt ( ) - 3 sin ( 3λt)] e -λt avec λ =. X On se propose de mesurer la résistance, très élevée, d'un conducteur ohmique, en exploitant le phénomène d'oscillations de relaxation d'une lampe au néon. e montage e circuit comprend un générateur de tension continue de f.e.m. e (et de résistance interne négligeable), le résistor de résistance, une capacité, un interrupteur K et une lampe au néon. a lampe e K A B u ette lampe se comporte comme un résistor : - de résistance constante lorsqu'elle est allumée (donc lorsqu'un courant la traverse); - de résistance infinie lorsqu'elle ne brille pas. a tension entre ses bornes est u = u AB = V A - V B. - à partir de la valeur nulle, on fait croître u : la lampe s'allume pour u U (U valeur constante); - la lampe est allumée : en faisant décroître u, elle s'éteint pour u Uo (Uo valeur constante); - ces valeurs sont telles que : Uo U e. es mesures e condensateur est déchargé. A t = 0, on ferme l'interrupteur. Assez rapidement, la lampe se met à clignoter : soient υ la fréquence des éclairs et T l'intervalle entre deux éclairs successifs. ) tude théorique de u(t) a) Avant le premier allumage Déterminer u(t). Déterminer, littéralement, la date t de premier allumage, en fonction des données de l'énoncé. b) ntre le premier allumage et la première extinction Dans la suite du problème, et pour simplifier les calculs, on posera : λ = +. Déterminer u(t). Déterminer la date t' de première extinction (on exprimera t' en fonction de,, e, Uo, U et λ). c) ntre la première extinction et le second allumage Déterminer u(t). Déterminer la date t de second allumage (on exprimera t en fonction de,, e, Uo, U et λ) /0

2 ) Période des oscillations de relaxation a) Déduire des calculs précédents la période T de ces oscillations (on exprimera T en fonction de,, e, Uo, U et λ). b) Tracer, qualitativement, u(t) pour t [ 0, t + T ]. 3) Mesure de la résistance a) Que devient l'expression de T si «? b) alculer la valeur de la résistance (avec» ) à l'aide des données numériques suivantes : υ = 40 min - ; = 0, µf; Uo = 80 V; U = 00 V; e = 30 V. 4) emplacement de la lampe par un dispositif équivalent a lampe au néon a été choisie, dans ce problème, dans le seul but de simplifier la démarche... Décrire un dispositif, plus "moderne", susceptible d'assurer les mêmes fonctions. éponse : u = e ( - e -t/ e ); t = n ; u = ( U - λ e ) e t -t/λ e U + λe; t' = n [ λe ]; e U e U U 0 λe u = ( Uo - e ) e t' -t/ + e; t = n [ e e U 0 e U ( ) U λe ( ) U 0 λe λ ]; T = n [ e U 0 e U U λe U 0 λe λ λ ] n e U 0 e U ; = 4,68 MΩ. X On considère le circuit ci-contre composé de deux branches de même résistance comportant en outre l'une une self pure et l'autre un condensateur de capacité. lles sont alimentées par un générateur de tension continue de f.e.m. et de résistance interne négligeable. ) e condensateur étant déchargé, on ferme à l'instant t = 0 l'interrupteur K. On désignera respectivement par i et i les intensités dans la branche contenant la self et dans la branche contenant le condensateur. i a) Déterminer en fonction du temps le régime transitoire i(t) et tracer l'allure de la courbe correspondante. b) Déterminer de même le régime transitoire i(t) et tracer l'allure de la courbe correspondante. c) A quel instant aura-t-on i = i si les deux constantes de temps sont identiques? Application numérique : = H; = µf; = 0 3 Ω. i K ) On considère toujours le même circuit alimenté par le même générateur. K étant fermé, le régime permanent est établi. A un instant que l'on choisira comme nouvelle origine des temps, on ouvre l'interrupteur K. a) tablir les équations différentielles du second ordre relatives à la charge q du condensateur d'une part, à l'intensité i du courant d'autre part. b) Indiquer quelles sont à l'ouverture de K les expressions initiales de q et de i. c) n déduire en fonction du temps les expressions, en régime transitoire, de la charge q(t) et de l'intensité i(t). On discutera des différents cas possibles suivant les valeurs de, et mais on ne cherchera pas à déterminer les constantes d'intégration. d) Application numérique : = H; = µf; = 0 3 Ω; = 0 V. Déterminer complètement q(t) et i(t). éponse : i = q = A e -t/ cos ( q = e -t/ ( A e ( e t ) ; i = e t ; t = 0,69 ms; d q dt + dq dt t + ϕ ) si < ; q = ( A t + B ) e-t/ si = - t - + B e - t ) si > + q = 0; d i dt + ; ; q = 0-5 e -000t et i = e -000t. di dt + i = 0; /0

3 X Soit le montage suivant comportant une bobine d'auto-inductance et de résistance interne, en série avec un conducteur ohmique de résistance o = 470 Ω. Un ordinateur permet de mesurer simultanément les tensions U AB (voie ) et U BD (voie ) à intervalles de temps réguliers (ici 00 µs). es mesures ne se déclenchent que si U BD est supérieure à un seuil fixé ici à 0,5 V. e tableau ci-dessous donne les résultats des mesures obtenues après avoir abaissé l'interrupteur. Sur un même graphique on a tracé U AB = f(t) et U BD = g(t) en ayant pris t = 0 à la date de la première mesure. D o K B, A ) Que peut-on dire de la somme U AB +U BD à chaque instant? ) a trentième mesure montre que l'on atteint pratiquement un régime stationnaire. Préciser la signification de ce terme. n déduire la valeur de. 3) n utilisant une des courbes et en justifiant les calculs, déterminer la valeur de l'intensité du courant i circulant dans le circuit, à la date correspondant au point n 5. 4) Déterminer di à la même date par une méthode que l'on explicitera. dt 5) n déduire la valeur de. n U AB ( en V) 3,66 3,38 3,,88,67,47,3,5,0,88,77,68 U BD ( en V) 0,73,0,8,5,7,9,08,3,37,5,6,7 n U AB ( en V),59,5,43,36,3,5,,5,,08,05,0 U BD ( en V),79,88,95 3,0 3,07 3,3 3,8 3, 3,6 3,9 3,3 3,35 n U AB ( en V) 0,99 0,97 0,95 0,93 0,9 0,9 U BD ( en V) 3,38 3,4 3,4 3,44 3,46 3,47 4,5 4 3,5 3,5 en V,5 0, en microseconde éponse : = Ω; i = 3,66 ma; di/dt = 4,6 A/s; = 0,5 H /0

4 X Une bobine, d inductance propre = 0, H et de résistance = 0, Ω, est alimentée par un générateur de f.e.m. = 0 V et de résistance interne r = 40 Ω. On branche à ses bornes, à un instant que l on prendra comme origine des temps, un condensateur non chargé de capacité = 00 µf. ) Quelle est l équation différentielle du deuxième ordre satisfaite par i(t), intensité du courant circulant dans la bobine? ) Donner les valeurs i(0 + ) et di ( 0 + ). dt 3) Donner l expression numérique de i(t) avec t en seconde et i en ampère. On précisera la nature du régime. r, i t = 0 éponse : d i dt + + di r dt + + i = r r ; i(0+ ) = 3 A ; di dt ( 0 + ) = -,5 A.s - ; i(t) = e -5t sin(86t). X Un circuit inductif constitué d un résistor de résistance monté en parallèle sur une bobine d inductance et de résistance interne r est soumis à un échelon de courant délivré par un générateur de courant idéal : I(t) = 0 pour t < 0 et I(t) = I o = constante pour t 0. ) tablir l équation différentielle vérifiée par l intensité du courant i(t) qui traverse la bobine. ) n déduire sa solution i(t) ; on précise que toutes les intensités dans le circuit sont nulles pour t < 0. 3) n déduire les expressions de l intensité i (t) dans le résistor ainsi que de la tension u(t) aux bornes de la dérivation. 4) Tracer l allure des courbes i(t) et u(t). I(t) i, r i' u éponse : di dt + + r i = I o ; i(t) = I o r + /τ ( e t ) avec τ = r + o ; i' (t) = I /τ r + e t r + ( ) ; u(t) = I o /τ ( r + e t ). r + X aractéristiques d un bobinage inductif. ) tude théorique On envisage un circuit inductif représenté par la mise en série d une bobine idéale d inductance et d un résistor pur de résistance. ensemble est relié à un générateur de tension supposé i(t) idéal, de fém, par l intermédiaire d un interrupteur K. K est ouvert à t < 0, et fermé à partir de l instant t = 0. u. Prévoir sans calcul différentiel la valeur initiale, (t) à l instant t = 0, et la valeur finale de l intensité i traversant le circuit. Prévoir de même les valeurs initiales et finales concernant la tension u(t) aux K bornes de la bobine idéale.. tablir l équation différentielle du circuit, puis en déduire l expression i(t) décrivant l évolution du courant électrique traversant la bobine. Donner l expression de la constante de temps τ du circuit en fonction de et. Tirer l expression de u(t) à partir de celle de i(t)..3 Tracer l allure des graphes i(t) et u(t). tablir l expression de la durée t nécessaire pour que l intensité i(t) atteigne 95 % de sa valeur finale. On considèrera pour toute la suite que e -3 = 0,05..5 alculer l énergie gén fournie par le générateur de tension entre les instants t = 0 et t = 3τ, en fonction de, et, ainsi que l énergie magnétique mag présente dans la bobine à l instant t = 3τ. crire le bilan énergétique du phénomène et en déduire la quantité d énergie W rés dissipée dans le résistor. Application numérique pour = 0 V, = 0,50 H et =,0 Ω /0

5 ) Détermination expérimentale On souhaite déterminer les caractéristiques (, r) d un bobinage réel représenté par l association série d une inductance et d une résistance interne r. On applique une tension créneau u g (t), de période T, évoluant entre 0 et 0 V, aux bornes d un circuit constitué de la bobine réelle associée en série avec un résistor de résistance o. On relève la tension u o (t) aux bornes de o. e générateur délivrant u g (t) est doté d une résistance de sortie S =,0 Ω. expérience est réalisée avec deux valeurs de o, respectivement o = 5,0 Ω et o =,0 Ω.. On suppose a priori que pour le bobinage étudié est de l ordre de H et que r est de l ordre de Ω. Quelle valeur de fréquence peut-on conseiller pour le générateur? (Justifier la réponse).. n exploitant les relevés expérimentaux ci-dessous, présentant la tension u o en fonction du temps, déterminer les durées caractéristiques (constantes de temps) τ et τ relatives à l évolution de l intensité i(t) traversant le bobinage, obtenues respectivement pour o = 5,0 Ω et o =,0 Ω. es graphes fournis correspondent à une acquisition de u o (t) réalisée sur une demi-période du générateur pour deux valeurs différentes de o. es courbes sont proposées à deux échelles différentes. 6 5 o = 5,0 Ohm 4 3 o =,0 Ohm échelle verticale en volt (V) ; échelle horizontale en secondes (s) , 0,4 0,6 0,8, 5 4,5 4 3,5 3,5,5 0,5 0 o = 5,0 Ohm o =,0 Ohm 0 0,0 0,04 0,06 0,08 0, 0, échelle verticale en volt (V) ; échelle horizontale en secondes (s)..3 tablir une expression littérale de r en fonction des grandeurs τ, τ, S, o et o /0

6 .4 valuer numériquement r..5 Déduire la valeur de des mesures précédentes. 3) tincelle de rupture. Un bobinage d inductance = 0,60 H et de résistance interne r =,8 Ω est connecté à un générateur électrique, représenté par une source de tension de résistance interne S =,0 Ω et de fém = 0 V. 3. e régime permanent étant installé, déterminer l intensité i o circulant alors dans le bobinage. 3. e circuit est coupé à partir de l instant t = 0, par l ouverture d un interrupteur. On observe la formation d une étincelle entre ses contacts. xpliquer qualitativement le phénomène. 3.3 On modélise l interrupteur et l espace d air situé entre ses contacts par un condensateur pur de capacité =,0.0-9 F ; ce condensateur est considéré comme initialement déchargé. e rôle joué par les résistances du circuit étant négligeable, le problème est alors modélisé selon le schéma ci-dessous. (e rôle de r et S ne pourra pas être négligé dans les conditions initiales). i(t) tablir l équation régissant u c (t) : = d u dt + u puis montrer que u c (t) s écrit sous la forme : u c (t) = α ( - cos(ω o t)) + β.sin(ω o t) 3.4 Déterminer les constantes ω o, α, et β en fonction de,,, r, et S. 3.5 Montrer numériquement que α << β. 3.6 On suppose que l étincelle se produit à partir de l instant t e où la tension u c atteint la valeur U e = 000 V. valuer numériquement t e. éponse : i(0) = 0 ; u(0) = ; i( ) = / ; u( ) = 0 ; di dt + i = avec τ = / ; i(t) = e t /τ ; u(t) = e t /τ ; Δt = 3 τ ; gén =,05 ; mag = 0,45 ; W rés =,60 = 0J ; Hz ; τ = 0,068s et τ = 0,04s ; r =,7 Ω et = 0,59 H ; i 0 = s + r =,6A ; ω 0 = ; α = ; β = s + r ; t e = 0,38µs. u c (t) X Mesures de capacités Partie : Détermination graphique Un dipôle comporte entre ses bornes un résistor de résistance et un condensateur de capacité placés en série. On le relie aux bornes d'un générateur de force électromotrice et de résistance interne g en série avec un interrupteur K. Initialement, le circuit est ouvert et le condensateur déchargé. Soit u c la tension aux bornes du condensateur. À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K... Déterminer les valeurs u c (0+) et i(0+) en fonction de, g, ou en les justifiant... Établir l'équation différentielle à laquelle obéit u c (t)..3. Déterminer la constante de temps τ du circuit, et donner son interprétation physique..4. Établir l'expression de u c (t)..5. Déterminer l'expression de t pour que u c (t) = 0,90.. Dans l'étude expérimentale du circuit, on observe l oscillogramme suivant, en utilisant un générateur délivrant des signaux en créneaux. e générateur impose donc alternativement une tension et au circuit /0

7 g e(t) voie A voie B e(t) t - On suppose que le régime permanent est pratiquement atteint en fin de chaque alternance. es sensibilités sont : V/carreau vertical ; 0, ms/carreau horizontal. masse On néglige les caractéristiques de l'oscilloscope, au sens où l on suppose que le branchement de l oscilloscope ne perturbe aucunement le fonctionnement du circuit. es conditions initiales sont différentes de celles de la partie précédente..6. Identifier les courbes () et () aux voies A et B en justifiant votre choix, notamment en discutant les valeurs prises par les tensions u A et u B respectivement observées en voie A et B au voisinage de l instant t o où est déclenché un régime transitoire..7. Préciser l'expression de la tension au point P en fonction de, et g. Sachant que = 00 Ω, déterminer la valeur de g..8. Déduire des graphes fournis les valeurs de et..9. stimer une majoration de la fréquence du signal créneaux utilisé..0. omment pourrait-on observer l'intensité? Partie On étudie la réponse u(t) à un échelon de tension e(t) produit à l aide d un signal créneau d amplitude =,5 V dans le circuit ci-contre... Déterminer la valeur u( ) vers laquelle tend u(t) lorsque la valeur de e(t) est, en dessinant un schéma en régime permanent. On donne =,5 V, =,0 kω et = 4,0 kω... tablir l équation différentielle régissant l évolution de la tension u(t) aux bornes du condensateur : d u(t) + λ du(t) + ω dt 0 u(t) = ω 0 u( ) dt et exprimer λ et ω 0 en fonction de,, et /0

8 es sensibilités sont : V/carreau vertical ; 0, ms/carreau horizontal..3. On observe sur un oscilloscope la courbe u(t) qui précède. Déterminer la valeur numérique de la pseudo-période T..4. Déterminer à l aide de la courbe enregistrée la valeur numérique du décrément logarithmique δ défini par : δ = n ln u(t) u( ) u(t + nt ) u( ) où les instants t et t+nt sont séparés d un nombre entier n de pseudo périodes T, l instant t pouvant être choisi à la convenance..5. xprimer la forme mathématique de u(t) en fonction de λ, ω 0, u( ) et t. On ne cherchera pas à déterminer les constantes d'intégration..6. Déterminer la relation existant entre les quantités δ, λ et T. n déduire la valeur numérique de λ..7. Sachant que =,0 kω, = 4,0 kω, = 00 mh, déterminer la valeur numérique de. Partie 3 : réalisation d un capacimètre électronique 3.. Source de courant commandée en tension On envisage le circuit ci-contre. Hormis les deux résistors de résistances et ch et le générateur de tension de fem U o, le dispositif comporte un circuit intégré nommé Amplificateur Opérationnel. Aucune connaissance préalable n est nécessaire sur ce composant pour traiter ce sujet. Dans les conditions de fonctionnement envisagé, ce composant présente une différence de potentiel nulle entre ses deux bornes d entrées (notée + et sur le schéma) et n admet aucun courant sur ses entrées. Il délivre un courant de sortie i SAO. On note i le courant électrique traversant la résistance ch, de valeur opposé à i SAO. Dans un montage électronique, les potentiels électriques sont référés par rapport à la masse, de potentiel nul par convention, et se confondent donc avec la différence de potentiel entre le point considéré et la masse. a) Montrer que l intensité i circulant dans le résistor ch est indépendante de sa résistance et exprimer i en fonction de et U o. b) e fonctionnement effectif de l Amplificateur Opérationnel impose des limitations sur les valeurs : de sa tension de sortie : V S < Vsat = 5 V ; de l intensité i SAO débitée à sa sortie : i SAO < Isat = 5 ma. Quelles sont les valeurs acceptables pour si U o =,0 V? Quelles valeurs de ch peut-on envisager pour que le système fonctionne correctement si l on a U o =,0 V et =,0 kω? 3.. On remplace ch dans le dispositif précédent par un condensateur de capacité que l on souhaite mesurer. interrupteur K est initialement fermé. Que vaut alors la tension V S? Que dire de la charge portée alors par le condensateur? 3.3 intensité i est imposée à une valeur invariante Io reliée à et U o (question 3.). e circuit est donc équivalent à la structure ci-contre. I o ouverture de K déclenche le compteur, piloté par une horloge délivrant des impulsions créneaux à une fréquence d horloge f H = 3768 Hz ( unité est décomptée à chaque V S impulsion). arrêt du compteur est commandé par le fait que la tension V S atteigne la valeur V sat. a liaison au compteur ne perturbe en rien le fonctionnement du montage à amplificateur /0

9 opérationnel (intensité du courant nulle à l entrée du compteur). xpliciter la tension V S (t) en fonction de I o, et t puis de U o,, et t pour t > U o =,0 V. Quelle valeur donner à pour que le nombre N affiché par le compteur en fin de mesure corresponde à la valeur de la capacité exprimée en nanofarad ( nf = 0-9 F)? Quelle sera la durée de la mesure pour =,0 μf =, F? éponse : u (0 + ) = 0 et i( 0 + ) = ; u (t) = e + g t /τ ( ) avec τ = + g ( ) ; t =,3 τ ; () = (B) et () = (A) ; V P = g ; + g g = / ; = 3,0 V et =, µf avec t = 0,43 ms ; f < 500 Hz ; ω 0 = + et λ = + ; T = 0,6 ms ; δ =,4 : u(t) = Ae λt cos ω 0 λ t +ϕ + u( ) ; δ = λt ; λ =,3.0 3 s - ; = 0, µf ; i = U 0 / ; > 40 Ω ; ch < 5 kω ; V S (t) = U 0 t ; =,0.0 3 Ω ; 3,.0 - s. X Alimentation stabilisée. Un circuit série (figure ) est attaqué à partir de l instant t = 0 où l on ferme l interrupteur par une alimentation stabilisée dont on rappelle la caractéristique (figure ). e condensateur est initialement déchargé. Alim Stab u i u u U 0 i 0 I 0 Figure Figure ) Fonctionnement en générateur de tension. On suppose dans un premier temps que l alimentation stabilisée fonctionne en générateur de tension, c est à dire que le circuit est dans des conditions telles la tension u(t) qu il délivre vaut U o à tout instant. a) tablir l équation différentielle décrivant l évolution de u (t). b) Déterminer u (t), le condensateur étant initialement déchargé à t = 0. c) n déduire l expression de l intensité i(t) circulant dans le circuit dans ces conditions. d) Montrer que les expressions obtenues en -b) et -c) ne sont valides à tout instant que sous réserve d une condition reliant, I o et U o. e) Tracer les graphes i(t), u c (t), u(t) ainsi que le graphe u(i) montrant l évolution du point de fonctionnement de l alimentation stabilisée au cours du temps. ) as d un changement de régime de fonctionnement. On note o = U o /I o. On considère le cas où la résistance est inférieure à o. a) e condensateur étant initialement déchargé, déterminer sans calcul différentiel les valeurs initiales u (0), i(0) et u(0). b) Déterminer l expression de u (t) et de u(t) si i(t) = I o, cette condition étant vérifiée à partir de t = 0. c) xprimer l instant t o à partir duquel le fonctionnement de l alimentation stabilisée va être modifié. d) tudier l évolution u (t) pour t > t o. e) n déduire l expression i(t) pour t > t o /0

10 f) On suppose que = o /. Tracer une allure des graphes des fonctions i(t), u(t) et u (t) pour t compris entre 0 et 3t o. On fera apparaître les valeurs caractéristiques (valeurs initiales, valeurs limites...) sur les graphes. Tracer également le graphe u(i) présentant l évolution du point de fonctionnement de l alimentation stabilisée au cours du temps. t /τ ( ) avec τ = ; i(t) = U 0 éponse : u + u = U 0 ; u (t) = U 0 e e t /τ ; > U 0 ; u (0) = 0 ; i(0) = I 0 ; u(0) = I 0 ; I 0 u (t) = I 0 t ; u(t) = I 0 + t ; t 0 = 0 τ τ ; u (t) = U 0 I 0 e (t t 0 )/τ ; i(t) = I 0 e (t t 0 )/τ. X Mesure d une résistance par la méthode de perte de charge Pour mesurer une résistance élevée de plusieurs MΩ, on réalise le montage électrique ci-contre avec un condensateur réel modélisé par un condensateur idéal ondensateur de capacité en dérivation avec une résistance de fuite f. V f U On donne = 0,0 μf. On bascule le commutateur en position ; U lorsque le condensateur est chargé, le voltmètre 0 numérique V (supposé idéal donc de résistance infinie) indique la tension U 0 = 6,00 V. On ouvre le commutateur (position intermédiaire) ce qui a pour effet de provoquer la décharge du condensateur idéal dans sa résistance de fuite; au bout du temps t = 0,0 s, le voltmètre V indique U = 5,0 V. ommutateur On charge de nouveau le condensateur sous la tension U 0 (commutateur dans la position ) puis on le bascule brusquement dans la position ce qui provoque à nouveau la décharge du condensateur mais cette fois-ci avec la présence simultanée de et de f ; au bout du temps t = 0,0 s, le voltmètre indique U = 4,60 V. ) n déduire les valeurs de la résistance de fuite f du condensateur et de la résistance. On détaillera soigneusement les différentes étapes, de l établissement de l équation différentielle jusqu à la réponse. ) Dans la dernière expérience, à quel instant le condensateur est-il déchargé de la moitié de son énergie initiale? 3) On enregistre à l aide d une carte d acquisition la charge du condensateur (commutateur en position ) en enregistrant la tension U à ses bornes. On obtient le graphe suivant : U (en volt) harge du consensateur t (en microseconde) On interprète son allure par l existence d une résistance interne pour le générateur : représentation de Thévenin de f.e.m. U 0 et de résistance interne r 0. Déduire de la courbe la valeur de r 0 (on prendra f infinie pour cette question). éponse : f =,3 MΩ ; = 9,4 MΩ ; 6, s ; r o = 5 Ω /0