!!!!!!!!!! LECON N 9 : CONDENSATEUR - DIPÔLE RC!!!!!!!!!! ======================================= INTRODUCTION

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1 !!!!!!!!!! LECON N 9 : CONDENSATEUR - DIPÔLE RC!!!!!!!!!! Durée : 04 h CLASSE : T S ======================================= INTRODUCTION En classe de seconde nous avons étudié le conducteur ohmique. Nous avons alors vu que la tension UAB aux bornes A et B du conducteur ohmique et l'intensité IAB du courant traversant ce dipôle était reliées par la loi d'ohm qui s'écrit : UAB = R. IAB (1) La résistance R caractérise le conducteur ohmique. Elle s'exprime en ohm ( Ω). Dans cette leçon nous allons étudier un nouveau type de dipôle : le condensateur. Nous verrons ensuite l association entre ces deux dipôles. L étude du dipôle RC en dernier paragraphe est traité sous forme de problème résolu. Mais tout d'abord nous allons rappeler que tension et intensité d'un courant sont des grandeurs algébriques. Cette leçon comporte cinq (05) paragraphes. 1. TENSION ET INTENSITE D'UN COURANT ELECTRIQUE SONT DES GRANDEURS ALGEBRIQUES Considérons les deux circuits série suivant. On a orienté différemment les deux circuits par une flèche reliant le générateur et le conducteur ohmique de résistance R1. Cette flèche, située sur le fil de connexion, permet d'algébriser l'intensité du courant électrique. Les flèches tension sont, elles, situées à coté des dipôles. Nous calculerons quelques tensions en appliquant, notamment la loi d'ohm et la loi d'additivité des tensions. Les deux figures montrent que intensité et tension sont des grandeurs algébriques. Quelques soit le sens du courant choisi, la tension aux bornes du générateur reste la même. 2. DEFINITION ET REPRESENTATION SYMBOLIQUE D'UN CONDENSATEUR Un condensateur est constitué de deux armatures A et B conductrices séparées par un isolant. Cet isolant, encore appelé diélectrique, peut être de l air, du mica, de la céramique, du téflon, un polyester, etc. Page 1

2 Si des électrons négatifs viennent s'accumuler sur l'armature B (comme de l'eau dans un réservoir), alors ces électrons négatifs repoussent, à distance, les électrons libres de l'armature métallique A, laquelle se charge positivement. La charge globale du condensateur reste toujours nulle. Par conséquent, les charges des armatures A et B sont constamment égales mais de signe opposé : qa = - qb (en Coulomb) (2) Remarquons qu'aucun électron ne peut traverser l'isolant situé entre les armatures A et B. Par contre des électrons peuvent circuler dans les fils extérieurs connectés aux armatures. L'intensité du courant traversant ces fils de connexion peut être noté iab. Les flèches présentes sur le schéma (convention récepteur) permettent d'alléger les écritures : U = UAB (3) et i = iab (4) Remarques : - La tension UAB est égale à la différence de potentiel entre les points A et B : UAB = UA - UB - La flèche U (voir le schéma) indique "le potentiel électrique" de son sommet A moins "le potentiel électrique" de sa base B : U = UA - UB = UAB (5) - Dans les exercices, il est conseillé de garder les indices, notamment pour les tensions. L'écriture UAB est préférable à l'écriture U associée à une flèche sur le schéma. 3. RELATIONS FONDAMENTALES POUR UN CONDENSATEUR COURANT D INTENSITE CONSTANTE. On peut définir l'intensité d'un courant constant comme étant la mesure du débit de charge, c'est-à-dire la quantité de charge (exprimée en coulombs) qui traverse une section du conducteur par unité de temps (exprimée en secondes). On écrit alors : i = (6) Le sens réel du courant correspond à celui dans lequel s'écoulerait une charge q positive COURANT D INTENSITE VARIABLE. Dans le cas d'un courant d'intensité variable, la quantité de charge (exprimée en coulombs) qui traverse une section de conducteur par unité de temps (exprimée en secondes) varie. Pendant la durée dt la quantité de charge (exprimée en coulombs) qui traverse une section de conducteur est dq. On définit alors l'intensité instantanée du courant comme étant égale à la limite du rapport lorsque dt tend vers 0. Cette étude conduit alors à considérer l'intensité comme la dérivée de la quantité de charge. On écrit : i(t) = (7) Remarque : En appliquant cette relation, il faudra faire attention au signe (voir les paragraphes suivants). Selon les conventions adoptées on pourra être amené à écrire : i(t) = - (7 bis) Page 2

3 3.3. RELATION ENTRE LA CHARGE D UN CONDENSATEUR ET LA TENSION A SES BORNES. On va, ici, s'appuyer sur une expérience de charge d'un condensateur à courant constant (condensateur déchargé au départ). Pour ce faire, on considère le montage suivant : Le générateur est un générateur de courant constant (I = 2,0 ma). Ce générateur possède un débit constant de charges électriques (des électrons négatifs s'accumulent sur l'armature B, des charges positives s'accumulent sur l'armature A). On peut donc écrire : qa = i AB. t soit, comme i = iab alors qa = i. t (8) Une carte d'acquisition et un logiciel permettent de tracer, avec un ordinateur, la courbe uab=f(t). Le graphe obtenu montre que la tension est une fonction linéaire du temps. On peut écrire : uab = K. t (9) Ici, le générateur est un générateur de courant constant. Ce générateur possède un débit constant de charges électriques (des électrons négatifs s'accumulent sur l'armature B, des charges positives s'accumulent sur l'armature A). On peut donc écrire : qa = i. t (10) Les relations (9) et (10) permettent d'écrire, en éliminant le temps t : = i. = = Cte (11) Dans cette expérience, K et i sont bien constants. Posons = =C donc qa = C. uab (12) Le coefficient C, positif, est appelé capacité du condensateur. Il dépend de la géométrie du condensateur et de la nature de l'isolant. On l'exprime en Farad (F) lorsque qa est en coulomb (C) et uab en volt (V). Par ailleurs il est défini par la relation C = où = (SI) est la perméabilité du vide, (SI) est la perméabilité relative du diélectrique, S(m 2 ) la surface de l armature et d(m) épaisseur (ou écartement) de l isolant. Remarque : Dans l'exemple ci-dessus, nous trouvons comme coefficient directeur de la droite uab = K. t avec K = 3 / 0,06 = 50 V/s Avec i = 2,0 ma = 0,002 A, il vient : C = i / K = 0,002 / 50 = 0, F C = 4, F = 40µF Page 3

4 3.4. RELATION iab = C. AUX BORNES D UN ONDENSATEUR. Un courant électrique quelconque, d'intensité i = iab positif fait varier la charge qa de l'armature A. D'après la relation (7) on peut écrire : iab = (13) Tenant compte de la relation qa = C. uab (12) il vient, comme la capacité C du condensateur est constante : iab = = C. (14) Remarque : Evidemment, dqa désigne à la fois la variation de la charge de l'armature A et la quantité de charge qui traverse la section S de fil de connexion pendant la durée dt ENERGIE STOCKEE DANS UN CONDENSATEUR. Un condensateur emmagasine de l'énergie lorsqu'on le charge. Cette énergie est restituée lors de la décharge de ce condensateur EXPRESSION DE LA PUISSANCE AUX BORNES DU CONDENSATEUR Par définition la puissance P=. (15) D après la relation qa = C. (Soit = ) En reportant sur la relation(15), nous avons : P= =. i = EXPRESSION DE L ENERGIE EMMAGASINEE DANS UN CONDENSATEUR Soit dw= énergie élémentaire emmagasinée pendant la durée dt dw = P(t) dt = dt = soit w= = [ q 2 ] On peut alors écrire: w = = = C Page 4

5 4. DIPÔLE RC ETUDE EXPERIMENTALE CONSTANTE DE TEMPS τ = RC 4.1. ETUDE EXPERIMENTALE DE LA CHARGE D UN CONDENSATEUR PAR UN ECHELON DE TENSION. On associe en série un condensateur de capacité C et un conducteur ohmique de résistance R. L'ensemble constitue un dipôle (R, C). On étudie la charge du condensateur lorsque la tension aux bornes du dipôle (R, C) augmente brusquement de 0 à la valeur E. On dit que le dipôle (R, C) est soumis à un échelon de tension. Lorsqu on relie l interrupteur K à P le condensateur se charge en fonction du temps. Pendant le régime transitoire, la tension uab croît. Quand le régime permanent est atteint, la tension uab est constante et l intensité du courant est nulle. La constante de temps τ d un dipôle RC est le temps pour lequel la tangente à l origine coupe l asymptote horizontale. Elle caractérise la rapidité de la charge. On montrera plus loin que τ= RC (voir ci-dessous) ETUDE EXPERIMENTALE DE LA DECHARGE D UN CONDENSATEUR A TRAVERS UNE RESISTANCE R. Lorsqu on relie l interrupteur K à D le condensateur, initialement chargé, se décharge à travers la résistance en fonction du temps. Pendant le régime transitoire, la tension uab décroît. Quand le régime permanent est atteint (au bout de 4 ou 5 τ), la tension uab devient quasi constante (nulle) et l intensité du courant est, alors, quasi nulle (iab = C ). La constante de temps τ d un dipôle RC est le temps pour lequel la tangente à la date t = 0 coupe l asymptote horizontale UAB = 0. Elle caractérise la rapidité de la décharge. On montrera plus loin que τ= RC (voir ci-dessous). Page 5

6 5. DIPÔLE RC ETUDE THEORIQUE Ce dernier paragraphe est traité sous forme de problème résolu ETUDE DE LA CHARGE DU CONDENSATEUR A TRAVERS UN CONDUCTEUR OHMIQUE R. ENONCE : Le générateur PM possède une f.e.m. E. Sa résistance interne est négligeable. a) A la date t = 0 s, on relie K à P. Montrer que l équation différentielle reliant uab à t s'écrit : RC + uab = E ou encore : τ + uab = E en posant τ = RC. Montrer que, dans le système international d'unités, la constante τ s'exprime en seconde. b) Vérifier que la solution de l'équation différentielle ci-dessus est uab = E (1 - ). c) Tracer l'allure de la courbe représentant uab = E (1 - ). Déterminer littéralement les coordonnées du point d'intersection de la tangente à l'origine et de l'asymptote à la courbe. d) Calculer la constante de temps du circuit τ = RC avec R = 10 kω et C = 0,5 µf. Calculer la tension uab aux dates t1=τ, t2=5τ et lorsque t devient très grand. On donne E= 100 V. SOLUTION 5.1. : Le générateur PM possède une f.e.m. E. Sa résistance interne est négligeable. C'est donc un générateur de tension parfait. La tension UPM à ses bornes ne dépend pas de l'intensité du courant débité : UPM = E > 0. a) Etablissons l équation différentielle reliant uab à t. La loi des tensions (maille PABMP) s écrit : upa + uab + ubm + ump =0 soit 0 + uab + R ibm E =0 (1) Mais : ibm = iab = = C (2) Portons (2) dans (1) : uab + RC = E soit, en posant τ = RC : uab + τ = E (3) C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, avec second membre constant. L'équation différentielle (3) montre que τ= RC s'exprime en seconde. En effet, les deux termes du premier membre de l'équation doivent s'exprimer en volt comme le second membre de l'équation. Cela implique que τ s'exprime en seconde. Remarque : L'analyse dimensionnelle permet de retrouver ce résultat. En effet : - La loi d'ohm U = R x i montre que [R ] = [U] [I ] Page 6

7 - La relation iab = C montre que [C ] =. On en déduit [RC] = [T] Le produit τ = RC a bien les dimensions d'un temps. Il s'exprime en seconde (unité du système international). b) Vérifions que la solution de l'équation différentielle (3) uab + τ = E est : uab = E (1 - ) = E - E (4) avec, en dérivant par rapport au temps : = 0 + (4 bis) On le vérifie aisément en portant les expressions (4) et (4 bis) dans (3). c) L'allure de la courbe représentant uab = E (1 - ) est donnée ci-dessous (voir le tableau). - Déterminons les coordonnées du point d'intersection H de la tangente à l'origine et de l'asymptote à la courbe. La tangente à l'origine des temps a pour pente ( )0 =. Son équation est u1 = t (5). - D'après (4) uab = E (1 - ), si t tend vers l'infini alors uab tend vers E. L'asymptote est donc l'horizontale d'équation u2 = E (6). - Les coordonnées du point d'intersection H de la tangente à l'origine et de l'asymptote satisfont à : uh = ( )th (5 bis) et à uh = E (6 bis) soit : H(uH = E et th = τ= RC )(7) τ= RC s'appelle constante de temps du circuit RC. d) Calculons la constante de temps du circuit τ = RC. Avec R = 10 kω et C = 0,5 µf on calcule τ = RC = x 0, soit : τ= RC = 5 x 10-3 s (8) D'après la relation uab = E (1 - ) (4), on voit que : - Si to = 0 s alors uab = E [1 - exp (- 0)] = E ( 1-1 ) = 0 V (9) - Si t1 = τ alors uab = E [( 1 - exp (- 1)] = 0,63 E = 63 V (10) - Si t2 = 5τ alors uab = E [( 1 - exp (- 5)] = 0,993 E = 99,3 V (11) - Si t tend vers l'infini alors uab tend vers E = 100 V (12) Retenons qu au bout d un temps égal à la constante τ = RC la charge a atteint 63 % de sa valeur limite et qu'au bout d'un temps de 5 τ, la charge a dépassé 99 pour cent de sa valeur limite. Remarque : La durée T1/2 nécessaire pour que uab atteigne.e est T1/2 = τ. ln 2. Cette durée caractéristique joue un rôle semblable à celui joué par la demi-vie d'une décroissance radioactive (voir la leçon 15) ETUDE DE LA DECHARGE DU CONDENSATEUR A TRAVERS LA RESISTANCE R. Le condensateur étant chargé, on relie K à D à la date t = 0 lue sur un nouveau chronomètre. a) Etablir la nouvelle équation différentielle reliant uab à t. b) Vérifier que la solution est uab = Uo. Calculer la tension si t1 = o, si t2 = 5τ, si t tend vers l'infini. Page 7

8 SOLUTION 5.2. : a) Etablissons la nouvelle équation différentielle reliant uab à t lors de la décharge. A la nouvelle date t = o, on bascule l'interrupteur K vers D. Le condensateur initialement chargé va se décharger. La loi des tensions (maille ABMDA) s écrit : uab + R ibm = 0 (13) Mais : ibm = iab = = C. (2) Portons la relation (2) dans (13) il vient : uab + RC = 0 c'est-à-dire RC + uab = 0 Soit, en posant τ = RC : τ + uab = 0 (14) C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, sans second membre. b) Vérifions que la solution de l'équation différentielle (14) τ + uab = 0 est : uab = Uo (15) avec, en dérivant par rapport à t : = - Uo ( ) ) (15 bis) On le vérifie aisément en portant les expressions (15) et (15 bis) dans (14). D'après la relation uab = Uo. (15), on voit que : - Si t = 0 alors uab = Uo = E = 100 V (16) - Si t1 = RC = τ alors uab = Uo exp (- 1) = 100 x exp (- 1) = 36,8 V (17) - Si t2 = 5τ alors uab = Uo exp (- 5) = E x 0,0067 = 0,67 V (18) - Si t tend vers l'infini alors uab tend vers 0. (19) Remarque : Si un générateur applique au dipôle (R, C) une tension "créneaux" de demi période supérieure à la constante de temps τ = RC alors on observe une succession de charges et de décharges du condensateur. Applications : flash d un appareil photographique, Page 8