Calculs de certains paramètres de position. Centre de la classe xi = a + b 2

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1 Calculs de certains paramètres de position Exemple 1 : Caractère quantitatif discret a. Compléter la dernière colonne du tableau suivant : Nombre d enfants par famille (x i ) Nombre de familles(n i ) x i n i TOTAL 30 x i n i = b. Quelle est la réponse la plus fréquente? c. Quel est le mode de cette série? d. Comment calcule-t-on une moyenne? x =. Exemple 2 : Caractère quantitatif continu 1. Compléter le tableau suivant : Tailles Nombre d élèves(ni) [155; 160[ 2 Centre de la classe xi = a + b 2 ECC ECD xi ni [160; 165[ 2 [165; 170[ 4 [170; 175[ 6 [175; 180[ 7 [180; 185[ 6 [185; 190[ 3 TOTAL 30 xi ni = 2. Quelle est la classe qui a le plus grand effectif? 3. Quel est le mode de cette série? 4. Remplir la troisième et la quatrième colonne 5. Calculer la moyenne x. x = Séries statistiques à une variable 1

2 Détermination graphique de la médiane avec les Polygone des ECC, ECD, FCC et FCD a. Compléter le tableau suivant : Temps consacré chaque semaine par les élèves du lycée à regarder la télévision : Durée h [0 ; 4[ [4 ; 8[ [8 ; 12[ [12 ; 20[ [20 ; 28[ Total Effectif n i ECC ECD b. Tracer la courbe des effectifs cumulés croissants(ecc) dans le repère ci-dessous. L abscisse est la limite supérieure de la classe et l ordonnée est l effectif cumulé croissant de la classe. c. Tracer la courbe des effectifs cumulés décroissants(ecd) dans le même repère que les ECC. L abscisse est la limite inférieure de la classe et l ordonnée est l effectif cumulé décroissant de la classe. d. Tracer la droite horizontale passant par l intersection des deux courbes ECC et ECD. Si votre graphique est juste, cette droite horizontale vous donnera sur l axe des ordonnées la valeur de N (la moitié de l effectif total). 2 e. L abscisse du point d intersection des 2 courbes donne la valeur dite médiane. Remarque : La même chose est réalisable avec les fréquences (FCC, FCD). Dans ce cas, la médiane est l abscisse du point d intersection de la droite horizontale passant par 50% de l axe des ordonnées, et le polygone ainsi obtenu. Séries statistiques à une variable 2

3 Exercice 1 : Les élèves d une classe de Bac Pro sont en stage dans des entreprises. La distance de l entreprise au lycée est consignée dans le tableau ci-dessous. Distance en Km Nombre d entreprises ECC ECD [0 ; 5[ 8 [5 ; 10[ 22 [10 ; 15[ 32 [15 ; 20[ 18 [20 ; 25[ 5 [25 ; 50[ 8 Total 1. Compléter le tableau ci-dessus. 2. Construire le polygone des effectifs cumulés croissants et décroissants dans le repère ci-dessous. 3. Déterminer graphiquement la durée médiane du stage. 4. Quelle est sa signification pratique? Exercice 2 : Un magasin de matériel informatique propose 16 types d'imprimantes dont les prix de vente se répartissent suivant le tableau ci- dessous : Prix de vente en Modèles proposés ni Centres xi ni xi ECC ECD Fréquences (%) FCC ]100; 140 ] 4 ]140; 180 ] 2 ]180; 220 ] 6 ]220; 260] 2 ]260; 300] 2 Total Séries statistiques à une variable 3

4 1. Calculer le prix de vente moyen 2. Représenter, dans le repère ci-dessous, les polygones des ECC et des ECD. 3. Déterminer graphiquement la valeur du prix médian. 4. Vérifier ce résultat à l aide du polygone des FCC (repère FCC) Séries statistiques à une variable 4

5 Détermination de la médiane par calcul Dans le cas d un caractère discret Si l effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série. Si l effectif total est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales du caractère. Exemples : Donner la valeur médiane de chacune des séries suivantes f. Série de prix de vente PV en Prix médian = 1) Nombre d achats journaliers Nombre Nombre d achats médian = Cas d un caractère continu Méthode 1 : Exemple : Les élèves d une classe de Bac Pro sont en stage dans des entreprises. La distance de l entreprise au lycée est consignée dans le tableau ci-dessous. Distance en Km Nombre d entreprises ECC ECD [0 ; 5[ 8 [5 ; 10[ 22 [10 ; 15[ 32 [15 ; 20[ 18 [20 ; 25[ 5 [25 ; 50[ 8 Total 5. Compléter le tableau ci-dessus. 6. Le polygone des effectifs cumulés croissants est donné sur la figure (page 2) ci-dessous. a. Placer sur ce graphique les points A (10 ; 20) et B(15 ; 52) b. Placer le point M dont l ordonnée représente la moitié de l effectif total ( N 2 ). On note Me la valeur de la médiane qui correspond à. du point M. c. Calculer le coefficient directeur a : a = y B y A x B - x A = ; d. En déduire la valeur de la médiane Me en résolvant l équation suivante : a = y M y A Me - x A =. Séries statistiques à une variable 5

6 Méthode 2 : Exemple : On a relevé le montant de 200 chèques remis à un guichet et obtenu le tableau suivant : Montant des chèques ( ) Effectif ECC Fréquences (%) FCC [0 ; 500[ 26 [500 ; 1000[ 110 [1000 ; 1500[ 42 [1500 ; 2000[ 22 Total N = 1. Compléter le tableau. 2. Construire le polygone des FCC dans le repère ci-dessous. Séries statistiques à une variable 6

7 3. Déterminer graphiquement la valeur médiane possible des chèques. 4. Vérification par le calcul : a. Quel est le rang de la médiane? r = N 2 = b. Quelle est la classe médiane (elle correspond à l effectif N 2 )? c. La 100 e valeur appartient à la classe [ ; [ d. On suppose que les valeurs sont uniformément réparties dans cette classe, le rapport des intervalles séparant des valeurs successives (taux d accroissement) est : =... e. Dans la classe [500 ; 1000[, la 100 e valeur occupe la ème position (100 )... f. Sa valeur est donc : g. La valeur médiane des chèques est donc d environ.. Séries statistiques à une variable 7

8 Exercice n 1 : La consommation annuelle d eau des foyers d un village est détaillée dans le tableau ci-dessous : Consommation d eau (m 3 ) Effectifs n i [0 ; 50[ 80 [50 ; 100[ 120 [100 ; 150[ 100 [150 ; 250[ 140 [250 ; 400[ 60 1) Quel est le nombre total de foyers dans ce village? 2) Calculer la consommation moyenne en eau des foyers de ce village, après avoir complété le tableau ou utilisé le mode statistique de votre calculatrice. 3) Calculer l écart type de la série de mesures après avoir complété le tableau (résultat à 0,01 m 3 près par défaut). 4) Construire l histogramme de cette série de mesures. Echelle à utiliser : 1 cm pour 50 m 3 1 cm pour 20 foyers. Exercice n 2 : Un laboratoire a fabriqué 1200 doses d un aliment expérimental pour enfant (masse unitaire : 500 g). Chaque dose a été pesée en fin de fabrication. Pour que le lot soit remis à l expédition, on doit vérifier que la masse moyenne est comprise entre 503 et 508 g et que l écart type est inférieur à 8 g ; sinon le lot est refusé. Les résultats des pesées sont donnés dans le tableau : Masse (g) Effectif [490 ; 495[ [495 ; 500[ [500 ; 505[ [505 ; 510[ [510 ; 515[ [515 ; 520[ Le lot est-il accepté pour expédition ou refusé? Exercice n 3 : Au cours d une séance de travaux pratiques, des élèves ont mesuré le dosage du calcium dans un eau minérale. Les résultats (en mg/l) ont été : Résultats (mg/l) ) Calculer la moyenne et l écart type (arrondis à deux décimales). 2) On considère que le dosage est correct si le résultat trouvé est dans l intervalle [ x Quel est le pourcentage des élèves qui ont réussi la manipulation? x ; ]. Séries statistiques à une variable 8

9 Exercice 4 : BEP secteur 7 session 1999 (* : question supplémentaire) Les employés d une société se répartissent en fonction de leur durée de travail de la façon suivante (polygone des E.C.C.). (E.C.C. : Effectifs Cumulés Croissants) E.C.C Durée de travail (heures) 1) Compléter le tableau suivant : Durée de travail (Heures) [ 36 ; 39 [ Effectifs E.C.C. TOTAL *2) Déterminer la classe modale de cette série statistique. Séries statistiques à une variable 9

10 *3) a) Déterminer graphiquement la médiane. *b) Faire une phrase pour donner sa signification. *4) Déterminer l étendue de cette série statistique. Séries statistiques à une variable 10