Exercice I-25 : Désintégrations nucléaires

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1 Exercice I-25 : Les désintégrations nucléaires sont écrites de façon simplifiée et la résolution des questions n exige pas de connaissances particulières sur ces désintégrations. L activité d une quantité donnée de nucléide est le nombre de désintégrations spontanées que présente cette quantité par seconde. Pour des raisons historiques cette activité se mesure en Curie (Ci). Un Ci correspond à 3, désintégrations par seconde. Le radium 226 se désintègre selon l acte élémentaire : 226 Ra 222 Rn He + énergie La constante de vitesse de cette réaction est : k =, s. La masse molaire du radium 226 est 226,025 g mol. Le nombre d Avogadro est N = 6, mol. - Que représente le symbole A Z X? 2- Soit P(t) la population d un échantillon de Radium 226 à la date t et P 0 la population à la date t=0. Cette population évolue suivant la loi : P = P0 exp( k t ) Etablir cette expression de la loi d évolution. 3- Evaluer l activité d un gramme de radium 226 en Curie. Quelle est la période T Ra (ou demievie) du radium 226? On rappelle que la période est la durée au bout de laquelle la population initiale a été divisée par deux et exp ( x ) + x lorsque x Selon vous quelle raison historique est à l origine de l unité Curie? 5- Le carbone 4 ( 4 C ) se décompose en azote 4 selon : 4 C N + électron + énergie avec une période T C de 5730 ans. Sa masse molaire est de 4,0 g mol. a- Quelle est l activité en Curie d un gramme de carbone 4? b- Présenter en quelques lignes une «utilisation» du carbone 4 dans un domaine scientifique distinct de la chimie. Page Claude ANIES EduKlub S.A.

2 6- L iode 25 ( I ) est obtenu à partir de Xénon 25 selon l acte élémentaire suivant : 25Xe I + positron + énergie avec une période T = 8 h. L iode 25 se décompose en tellure 25 ( Te ) par capture d un électron par le noyau (capture électronique). L acte élémentaire est le suivant : 25I électron Te + énergie avec une période T 2 = 60 jours. a- Dans le passage du xénon 25 au tellure 25, peut-on appliquer l approximation de l état quasi-stationnaire (AEQS) à l iode 25? Justifier votre réponse. b- On dispose, à la date t = 0, d un échantillon contenant uniquement une quantité N 0 de Xe. A l aide d approximations «grossières», établir à partir de quelle date t et pour quelle durée d l échantillon renfermera au moins 90% d iode 25. Page 2 Claude ANIES EduKlub S.A.

3 Correction - Le symbole A Z X représente un atome de numéro atomique Z, (nombre de protons du noyaux = nombre d électrons car l atome est électriquement neutre) et de masse atomique A, représentant le nombre de nucléons (nombre de protons + nombre de neutrons du noyau). 2- La désintégration du radium étant un acte élémentaire unimoléculaire, on en déduit que l ordre, égal à la molécularité est de, soit : d[ Ra ] = k [ Ra ] soit [ ] = [ Ra ] exp( k t ) Ra 0 La population P d un échantillon de Radium 226, étant proportionnel à la concentration, on en déduit alors l expression de la loi d évolution : P = P0 exp( k t ) 3- Un gramme de radium 226 représente une population initiale P 0 : m P = N =, =, molécules M 226, 025 En une seconde, la population P restante est de : (, ) P = P0 exp soit un nombre de désintégrations A = P [ ( )] exp k P0 k = 2, 664 0, = 3, 60 0 soit en Curie : A = 0,976 Ci On montre que la période T Ra (ou demie-vie) du radium 226 est pour un acte élémentaire unimoléculaire : soit ln 2 T Ra = car 0 = P exp( k T ) k P 2 T s h Ra =, =, =, jours = 62 ans 0 Ra Page 3 Claude ANIES EduKlub S.A.

4 4- Pierre et Marie Curie ont tous deux travaillés sur la radioactivité du radium, d où le Curie, unité de désintégrations comme le Becquerel (initiateur des travaux) est l unité qui représente le nombre de désintégration par seconde. 5a- Le carbone 4 ( 4 C ) se décompose en azote 4 selon un acte élémentaire unimoléculaire avec une période T C de 5730 ans. Sa constante de vitesse est donc : ln 2 ln 2 k = = = 3, s TCa , soit un nombre de désintégrations A = P [ ( k )] exp P0 k =,, =, Bq 4, 0 soit en Curie : A = 4,456 Ci 5b- La radioactivité du carbone 4 est appliquée à la datation des objets organiques possédant notamment du carbone. Le nombre de carbone 4 ayant varié au fil des millénaires, en fonction du rayonnement cosmique, cette méthode peut conduire à une certaine incertitude sur la date. Il a été nécessaire de corriger la population en carbone 4 au fil du temps (carotte polaire) et de corréler avec d autres méthodes de datation, dendromètres ou décompte du nombre de cernes dans les arbres par exemple. 6a- L approximation des états quasi stationnaires peut s appliquer à un intermédiaire de réaction, lorsque celui-ci est formé au cours d une ou plusieurs étapes cinétiquement lentes et consommés au cours d une ou plusieurs étapes cinétiquement rapides. Sa concentration est alors très faible devant la concentration des réactifs ou produits et sa variation de concentration globale par rapport au temps est quasi-nulle sauf à t = 0. L iode 25 est obtenu à partir de Xénon 25 selon un acte élémentaire dont la période T est de 8 h alors qu il se décompose en tellure 25 selon un acte élémentaire dont la période T 2 est de 60 jours. On en déduit donc, les actes élémentaires étant unimoléculaires que la constante de la réaction de formation de l iode, ln 2 k 5 = =, s est nettement plus grande que celle de la réaction de décomposition, T Page 4 Claude ANIES EduKlub S.A.

5 ln 2 k 7 2 = =, s. Il n est donc pas possible d appliquer l AEQS à l iode puisqu il est T2 formé dans une étape rapide et consommé dans une étape lente. 6b- On a deux réactions successives : Xe I + positron + énergie de constante k I + électron Te + énergie de constante k 2 On a donc : dnxe soit N N exp( k t ) = k NXe dn Xe = 0 dni = k NXe NI ou I k N = k N exp( k t ) + 2 I 0 Il s adit d une équation différentielle du er ordre avec 2 nd membre exponentiel. Cette E.D. s intègre selon la méthode de la solution particulière en : hom ogène N I ( k t ) = λ exp 2 pour la solution de l équation différentielle sans 2 nd membre avec une solution particulière du type : particulière N I = µ exp ( k t ) soit ( k µ + k µ ) exp( k t ) = k N exp( t ) 2 0 k soit µ = k N0 La solution générale, somme de la solution de l équation différentielle sans second membre et de la solution particulière est : k N N I = λ exp 2 ( k t ) + 0 exp( k t ) avec comme condition initiale : N I ( t = 0) = 0 Page 5 Claude ANIES EduKlub S.A.

6 on obtient k N λ = 0 k N I = 2 soit N 0 [ exp( k t ) + exp( k t )] En supposant que k 2 est négligeable devant k, et ( t ) exp k 2 on a : k N N 0 I 0 Pour déterminer à partir de quelle date t : [ + exp( k t )] N [ exp( k t )] N I > 0, 9 N 0 soit [ exp ( t )] > 0, 9 ln(, ) 0 d où t > = 2, s = 59, 8 h k On suppose «grossièrement» que le nombre d atomes d iode passe par un maximum proche de N 0 au bout de 60 h. Il y a alors décroissance de la quantité d iode selon une loi exponentielle en N 0 exp( k2 t ). A un instant τ = t + d, la quantité d iode est à nouveau de N I = 0, 9 N0, soit : 0, 9 N0 = N0 exp[ k2 ( t + d )] soit ln 0, 9 τ = 7, s = k2 soit une durée d de 59 h 29 h Page 6 Claude ANIES EduKlub S.A.