Atelier 3 Division et calcul mental

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1 Atelier 3 Division et calcul mental Les pages qui suivent ont été élaborées à partir des comptes-rendus des travaux d'ateliers. Certaines parties issues de contributions différentes ont été regroupées, et on a cherché à éviter les répétitions de suggestions analogues. Consigne : Repérer dans le paragraphe Division, quotient des occasions de calcul mental. Prévoir quelques séquences à proposer aux élèves. Travaux des groupes : Lecture du programme Références à l'utilisation du calcul mental dans le 2.2 Division, quotient Contenus Compétences Exemples d'activité, commentaires Division euclidienne Calculer le quotient et le reste d'une division d'un entier par un entier (calcul mental,...) Dans ce domaine également, le calcul mental (en particulier approché) constitue l'objectif prioritaire. Ecriture fractionnaire - Multiplier un nombre entier ou décimal par un quotient de deux entiers ( ) - Reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles d'un même nombre. Le vocabulaire commun, introduit à l'école primaire, est utilisé : double/moitié, triple/tiers, quadruple/quart. Les élèves doivent être entraînés à effectuer mentalement des calculs utilisant ces expressions, sur des nombres entiers ou décimaux simples. ( ) La connaissance des tables de multiplication est notamment exploitée à cette occasion. Division décimale Calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers ou d'un décimal par un entier, dans des cas simples (calcul mental,...). Commentaires de points du programme en liaison avec le calcul mental :. Calculer le quotient et le reste d'une division d'un entier par un entier dans des cas simples. Les divisions euclidiennes, posées à la main, font appel au calcul mental dans les soustractions intermédiaires quand elles ne sont pas posées, dans la recherche du chiffre à écrire au quotient (recherche du multiple inférieur le plus proche dans une table de multiplication). /

2 On peut également faire calculer des divisions "de tête". 2. Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9 Les calculs nécessaires à ces critères peuvent être faits de tête sans problème. 3. Interpréter a/b comme quotient de a par b (le nombre a/b peut être approché par un décimal) Calcul d'ordre de grandeur à l'aide du calcul mental. 4. Multiplier un nombre entier par un quotient sans effectuer la division. Pour choisir l'un des trois modes de calcul [(axb):c ; (a:c)xb ; ax(b:c)] l'élève peut être amené à effectuer des multiplications de tête et retrouver un multiple du dénominateur. 5. Calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers. A lier au calcul d'ordres de grandeur. Repérage de parties se prêtant au calcul mental : Division euclidienne. Critères de divisibilité. Utilisation du vocabulaire : moitié, tiers, quart. Utilisation de la définition d'un quotient : le quotient a b est le nombre qui multiplié par b donne a. Diviser par 0, 00, 000. Prendre une fraction de. Mise en place dans nos pratiques de sixième Il paraît intéressant de faire du calcul mental de manière systématique, quasiment à chaque heure de cours. En effet un entraînement régulier semble la méthode la plus efficace. De plus cela permet de metre la clase au travail dès le début de l heure et asez facilement puisque les élèves de sixième sont en général demandeurs. Ces activités peuvent bien sûr être évaluées. Il nous a semblé intéressant de les structurer, d en garder une trace écrite. On pourra ainsi noter des propriétés et des «trucs et astuces». Il faudra aussi réfléchir à une progression annuelle. Cette pratique peut être poursuivie tout au long du collège. On pourra demander dans les classes supérieures des petits calculs littéraux (3a x 4a par exemple) ou des calculs de racines carrées. Début d une progresion de calcul mental sur la division euclidienne a. En premier lieu viendraient des calculs de quotients simples (divisions euclidiennes de reste nul) consistant en un travail sur les tables de multiplications de à (jusqu à 0 pour la table de ). Les formulations devront être variées pour montrer la diversité des situations d utilisation. Exemples : «56: 7 =» ; «En 56 combien de fois 7?» ; «Quel est le quotient de 56 par 7?» ; «Quel est le nombre qui multiplié par 7 donne 56?» ; «7 = 56» ; b. Ensuite le calcul de divisions euclidiennes simples, avec reste non nul, le dividende restant 2/2

3 dans les tables de à 9 et le diviseur étant à un chiffre. Exemples : «Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 58 par 7?» c. Ensuite le calcul de divisions (de reste nul) plus complexes par les nombres 2, 5, 20, 25, 50 et 60. Exemple : «Calculer le quotient de 50 par 25» Une proposition de trois séquences Les séquences proposées font suite à d'autres séquences de calcul mental. Séquence : Il y a 27 bonbons et 5 enfants. Combien de bonbons a chaque enfant et combien reste-t-il de bonbons? J'ai 70 bonbons et il y a 8 enfants. Est-ce que chaque enfant peut avoir 9 bonbons? 8 enfants ont chacun 4 bonbons, il reste 5 bombons. Combien y avait-il de bonbons au départ? Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 23 par 3. Quel est le dividende lorsque le quotient est 7, le diviseur 6 et le reste 4? Quel est le diviseur lorsque le dividende est 5, le quotient 0 et le reste? Il y a 220 personnes sur le quai de la gare, on peut mettre 50 passagers par wagon. Combien faut-il de wagons? Séquence 2 ; Une fois que toutes les opérations sont en place, on peut poser 0 petits problèmes utilisant la multiplication, la division euclidienne ou la division décimale. Puis demander pour chacun d'eux quelle opération permet de résoudre le problème. Séquence 3 : J'ai lu les 2/3 des 60 livres du CDI du Collège. Combien ai-je lu de livres? Le tiers des 900 élèves du Collège sont externes. Combien sont-ils? Ecrire sous la forme d'une fraction le tiers de 7. Quel nombre multiplié par 2/3 donne 2? Quelle est la fraction qui multiplié par 3 donne 5? Séquence de calcul mental liée à l introduction de la division euclidienne Choix initial : se restreindre aux tables de 6 ; 7 ; et 8. Objectif : répondre à des problèmes par des procédures qui se rapprochent de la division euclidienne. 0 Questions : 4 premières questions : révisions des tables. a) Quel nombre doit-on multiplier par 8 pour obtenir 48? b) Quel nombre doit-on multiplier par 6 pour obtenir 42? c) En 56 combien de fois 7? 3/3

4 d) En 54 combien de fois 6? e) Quel nombre doit-on multiplier par 8 pour obtenir 40? 2 questions suivantes : petits problèmes de proportionnalité avec restes nuls. f) On veut partager équitablement 40 billes pour les donner à cinq enfants. Combien de billes chacun aura-t-il? g) Combien doit-on faire de paquets de 6 œufs si on en posède questions suivantes : petits problèmes de proportionnalité avec restes nuls h) A la cantine, chaque table peut accueillir 8 élèves. Combien de tables seront complètes si 50 élèves doivent y déjeuner? i) Un camion ne peut transporter que 8 tonnes de marchandises à chaque livraison. Combien de livraisons devra-t-il faire pour répondre à une commande de 54 tonnes. dernière question : ordre de grandeur d un résultat (appréciation du professeur est un peu plus délicate : bien avoir précisé les ordres de grandeur auparavant et en avoir assuré une certaine maîtrise auprès des élèves) j) Le collège organise un tournoi de volley-ball par équipes de 6. Donner un ordre de grandeur du nombre d équipes si le collège compte 484 élèves? Autres idées d activités ) Calculer le quotient exact, calculer le quotient et le reste d une division: - problèmes de partage avec reste: des groupes d élèves par exemple - multiplication "à trou" (28 = 4 x ; 45 = 3 x ; ) - multiplication "à trou" avec support géométrique : Par exemple : Quelle est la deuxième dimension d'un rectangle dont on connaît une dimension et l'aire? Quelle est la longueur du côté d'un triangle équilatéral dont on donne le périmètre? - écrire des potences, placer trois nombres, l élève doit trouver le quatrième 2) Critères de divisibilité : - trouver un chiffre inconnu dans un nombre pour que ce nombre soit divisible par 3, etc. 3) Ordre de grandeur : - trouver l ordre de grandeur d un quotient 4) Ecriture fractionnaire : - simplifier des écritures fractionnaires simples 5) Donner un nombre entier, et chercher une multiplication qui amène à ce nombre : 24 = x ; 6) Mettre en place des activités ludiques, type «code secret», «message secret». ( cf Jeux n 6 de l APMEP ) 4/4

5 7) Travailer mentalement sur double et moitié, triple et tiers 8) Appliquer des pourcentages : - prendre 50%, c'est diviser par 2 - prendre 0%, c'est diviser par 0 - prendre %, c'est diviser par 00 - prendre 20%, c'est diviser par 5, donc diviser par 0 et multiplier par 2. Autres exemples cités pour une utilisation du calcul mental : - dans la technique experte de la division ; - dans le contrôle de l'égalité de la division euclidienne ; - dans la mise en œuvre des critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9 ; - dans la comparaison de deux fractions : repérer les fractions égales ; - pour donner du sens à la fraction (exemple : /4 d'heure =. min) ; - trouver le multiple de 5 le plus proche de 7 ; - diviser par 3, puis par 2, c'est diviser par 6 et non par 5. 5/5

6 Répartition du calcul mental sur plusieurs chapitres Essai de répartition des idées de calcul mental en plusieurs chapitres avec parfois une certaine progression au sein du chapitre.. le travail sur les caractères de divisibilité est de toute évidence un travail de calcul mental 2. autour de la division euclidienne - soustractions successives : 47-5 puis 5 puis 5 etc. - tables de multiplication : encadrer 47 par deux multiples de 5 - trouver le quotient dans une division euclidienne En 40 secondes, combien de minutes? - trouver le reste dans une division euclidienne Tom répartit équitablement 3 timbres dans 4 sachets. Combien en reste-til? - trouver quotient et reste d une division euclidienne, la réponse pouvant être écrite par l égalité a = bq + r 3. autour des différentes écritures, passage de l une à l autre - écrire sous forme fractionnaire des nombres décimaux. Trouver, si possible, plusieurs écritures nombres décimaux familiers : 0,5 ; 0,25 ; 0,2; 0, autres :,5 ; 2,6 ; 0,3; 0,02 - écrire sous forme décimale quotients familiers : 2 ; 4 ; 5 ; 25 numérateurs multiples de 0 : 0 2 ; 0 4 ; 0 5 ; 0 0 ; 0 00 dénominateurs multiples de 0 : 20 ; 40 ; 50 ; 00 ; écrire sous forme d une fraction décimale quotients familiers : 2 ; 4 ; 5 ; 25 autres quotients : 500 ; 250 ; 3 50 ; à partir des égalités obtenues dans les calculs précédents établir les règles de multiplication et division par 4 ; 5 ; 25 5 = 2 0 diviser par 5 c est ; = 0,5 multiplier par 0,5 c est 2 25 = 4 00 diviser par 25 c est ; = 0,25 multiplier par 0,25 c est 4 6/6

7 4. autour du quotient a b - toutes les opérations qui sont une application directe de la définition : 7 6 ; etc. - des opérations pour montrer que quand on multiplie un quotient par un nombre la procédure qui consiste à faire d abord la multiplication suivie de la division n est pas toujours la plus intéressante: Calculer le plus rapidement possible : ; ; autour de la division décimale - encadrer un quotient par deux entiers consécutifs - vocabulaire: double, triple - donner le quotient pas excès à l unité (par exemple) Combien faut-il de bus de 50 places pour véhiculer 57 élèves? 6. La simplification d une fractiona paru difficile à travailler en calcul mental (nécessité de deux opérations simultanées). 7/7