Constructions étanches en béton.

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1 Constructions étanches en béton. Journée d étude sur les constructions étanches organisée par le Groupement Belge du Béton en collaboration avec le Comité Construction de la FABI. Contrôle de la fissuration dans une structure étanche quid des règles de l Eurocode 2? J.-F. Cap SECO & UCL-EPL J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 1 / 50

2 Objectifs de l exposé Parcourir les règles principales énoncées dans l Eurocode2 (EN et EN ) qui concernent la maîtrise de la fissuration au moyen d armatures passives et qui sont pertinentes pour le dimensionnement des structures en béton étanches. Les prescriptions relatives aux ouvertures de fissures admissibles La définition du pourcentage minimal d armature. Les règles relatives au calcul des ouvertures des fissures. Exposer les bases théoriques de ces règles. Tenter quelques réflexions critiques relatives de ces règles. J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 2 / 50

3 Maîtrise de la fissuration au moyen d armatures Principes La fissuration des structures en béton à l état durci, sous les sollicitations mécaniques qu elles ont à subir durant leur réalisation et leur utilisation, est un phénomène normal Les causes de l apparition de fissures sont multiples et ne résultent pas uniquement des contraintes provoquées par l application les charges extérieures sur la structure. Il est généralement difficile d éviter qu un élément bridé ne se fissure sous l action du retrait (retrait de séchage, retrait thermique,...) du fait des capacités de déformation très limitées du béton en traction. La maîtrise de la fissuration au moyen d armatures passives aura pour but de limiter ses effets défavorables (limiter l ouverture des fissures) mais ne permettra pas d éviter la fissuration. Le contrôle de la fissuration aux moyens d armatures passives requière toujours un pourcentage minimum d armatures non négligeable. Le phénomène de fissuration est un processus complexe et fortement aléatoire. Les formules de calcul prédictif l ouverture des fissures (reprises dans les normes) sont basées sur des modèles théoriques déterministes et fortement simplifiés. Des écarts entre les résultats de ces calculs et ce qui peut être observé réellement sur site sont inévitables. D autres moyens et précautions complémentaires au dimensionnement correct de l armature, devront être mis en oeuvre pour éviter une fissuration inacceptable des éléments. La plupart de ces mesures sont relatives à des précautions de mise en oeuvre indépendantes du dimensionnement proprement dit ( phasage de construction, cure, composition,...) J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 3 / 50

4 Causes d apparition des fissures et possibilité de contrôle au moyen d armatures passives On peut résumer les causes d apparition des fissures dans le tableau suivant (d après Favre et.al.) Causes Période d apparition Utilité d une armature passive a Tassement du béton frais quelques heures aucune b Retrait plastique après le bétonnage aucune Retrait thermique quelques jours après le bétonnage oui c Déformations Retrait endogène quelques jours après le bétonnage oui imposées hydrique de dessiccation quelques mois ou années oui Tassement des fondations selon la nature du sol oui Températures, variations climatiques durant l utilisation oui d Charges (permanentes, variables) durant l utilisation oui e Corrosion de l armature quelques années aucune f Réaction chimique (alcali-granulats) après la construction aucune g Gel aucune J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 4 / 50

5 Motifs pour limiter la fissuration Les motifs pour lesquels il est nécessaire de limiter la fissuration sont multiples et dépendront des performances recherchées. Le tableau suivant résume ces différents motifs (d après Favre et.al.) Motif ou objectif Ductilité suffisante et non fragilité Durabilité des structures en béton armé Esthétique, aspect de parement (en général) Durabilité des structures en béton précontraint Étanchéité à l eau (fissures traversantes) Absence de toute fissure pour des motifs spéciaux (exploitation, esthétique, raideur,...) Ouverture maximale des fissures 0,5 mm ou davantage 0,3 à 0,5 mm 0,2 à 0,3 mm 0,2 mm ou critère de décompression 0,05 à 0,2 mm zéro (critère de décompression ou réserve de compression) J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 5 / 50

6 Limitation de l ouverture des fissures selon l EN Ouverture maximale des fissures (aspect et durabilité) sans exigences d étanchéité Selon l EN , en l absence d exigence spécifique, on peut admettre, pour la combinaison quasi-permanente de charges, que la limitation des ouvertures calculées des fissures aux valeurs w max sera généralement satisfaisante du point de vue de l aspect et de la durabilité. Éléments en béton armé Classe d exposition Classe d environnement Limitation Combinaison X0,XC1 EI w max 0,4 mm Quasi-permanente XC2, XC3, XC4 EE1, EE2,EE3 XD1, XD2, EE4, ES1, ES2 w max 0,3 mm Quasi-permanente XS1, XS2, XS3 ES3, ES4 J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 6 / 50

7 Limitation de l ouverture des fissures selon l EN Classes d étanchéité Classe d étanchéité Classe 0 Classe 1 Classe 2 Classe 3 Exigences en matière de fuite Un certain débit de fuite admissible, ou fuite de liquides sans conséquence. Fuites limitées à une faible quantité. Quelques taches ou plaques d humidité en surface admises. Fuites minimales. Aspect non altéré par des taches. Aucune fuite admise. Classe d étanchéité 0. : les dispositions du de l EN peuvent être adoptées. Classe d étanchéité 1. : il convient de limiter à w k1 l ouverture des fissures dont il est prévisible qu elles traversent la section sur toute son épaisseur [...] Classe d étanchéité 2. : il convient généralement d éviter les fissures dont il est prévisible qu elles traversent la section sur toute son épaisseur, à moins que des mesures appropriées aient été prises (par exemple, revêtements ou joints munis de profilés d étanchéité). Classe d étanchéité 3. : en règle générale, des mesures spéciales (par exemple revêtements ou précontrainte) se révèlent nécessaires pour assurer l étanchéité à l eau. Pour garantir le caractère non traversant des fissures, il faut vérifier que la valeur de calcul de la hauteur comprimée sous l action de la combinaison des charges quasi permanentes est au moins égale à la valeur minimale de 50 mm ou 0,2t J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 7 / 50

8 Limitation de l ouverture des fissures selon l EN Limite d ouverture des fissures pour la classe d étanchéité 1 Valeur limite de l ouverture de fissure w k1 pour la classe d étanchéité 1 en fonction du gradient de pression h w /t w k1 [mm] t 0, 20 0, 15 0, 10 hw 0, h w /t w k1 = 0,225 h w 200t avec 0,05 mm w k1 0,2 mm J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 8 / 50

9 Pourcentage minimum d armatures Prescription de l EN L Eurocode définit essentiellement trois types de prescriptions pour définir le pourcentage minimum d armatures à prévoir dans un élément en béton armé. Prescriptions technologiques énoncées dans le chapitre 9 (Dispositions constructives) pour les poutres, dalles et voiles. Ces prescriptions mènent à des quantités minimales d armatures très faibles (moins de 0,1% par face pour les voiles). Ces quantités ne permettent pas d assurer un contrôle de la fissuration ni même de respecter la condition de non-fragilité. Condition de non-fragilité Cette condition exprime que les armatures doivent être suffisantes pour que les efforts qui mènent à la formation d une fissure ne provoquent pas une rupture brutale de l élément après fissuration. Contrôle de la fissuration Cette condition exprime que les armatures doivent être suffisantes pour que les efforts qui mènent à la fissuration induisent des contraintes limitées dans les armatures de sorte que l ouverture des fissures reste sous un seuil acceptable. J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 9 / 50

10 Pourcentage minimum d armatures Principe : pourquoi faut-il une quantité minimale d armatures pour contrôler la fissuration? Indépendemment des valeurs des sollicitations (efforts ou déformations imposées) appliqués à un élément en béton armé, on peut facilement montrer que la maîtrise de la fissuration impose que l on place une armature minimale dans les zones tendues de la section. l l = ε i.l Supposons un élément complètement bridé soumis à un raccourcissement imposé ε i (retrait par exemple). Les contraintes de traction qui en résultent vont provoquer une première fissure. La contrainte w = l = ε i.l non armé dans l armature dans la fissure vaut w l = ε i.l ρ < ρ min w l/n f iss = ε i.s rm ρ = 0 trop faiblement armé armature plastifiée suffisament armé σ s = N A s = A c f ctm (1 + α e ρ) A s A c f ctm A s Si l on veut que l ouverture de la fissure reste limitée, il faut que l armature ne se plastifie pas σ s < f yd afin de permettre l apparition d autres fissures. On en déduit que pour contrôler la fissuration il faut une quantité minimale d armatures A s,min = ρ min A c qui vaut ρ ρ min A s,min A c f ctm f yd J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 10 / 50

11 Pourcentage minimum d armatures Principe : pourquoi faut-il une quantité minimale d armatures pour contrôler la fissuration? La condition A s > A s,min = A c f ctm f yd peut également être interprétée comme une condition de non-fragilité, en effet tout élément tendu qui n est pas armé de cette quantité minimale d armatures et qui est soumis à un effort de traction supérieur à l effort de fissuration, se rompt brutalement sans phase d allongement plastique. Si la condition précédente est suffisante, en théorie, pour maîtriser la fissuration, c est-à-dire : permettre la formation de plusieurs fissures d ouverture limitée, elle ne permet cependant pas de limiter l ouverture de ces fissures à une valeur fixée a priori. Pour ce faire, il conviendra de limiter la contrainte dans les armatures à une valeur plus faible que la limite élastique σ s f yd L expression de la quantité minimale d armature devient alors A s,min = A c f ctm σ s avec σ s f yd J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 11 / 50

12 Pourcentage minimum d armatures Armature minimale selon l EN L expression complète pour le calcul de l armature minimale reprise dans la norme est A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s f ct,eff A ct k c k σ s est la valeur moyenne de la résistance à la traction au moment où les premières fissures sont supposées apparaître est l aire de la section de béton tendu. La zone de béton tendu est la partie de la section dont le calcul montre qu elle est tendue juste avant la formation de la première fissure. est un coefficient qui tient compte de la répartition des contraintes dans la section immédiatement après fissuration ainsi que de la modification du bras de levier est un coefficient qui tient compte de l effet des contraintes non-uniformes auto-équilibrées conduisant à une réduction des efforts dus aux déformations gênées. est la contrainte admise dans les armatures après la formation de la fissure. Elle peut être prise égale à la limite d élasticité, f yk, de l armature. Une valeur inférieure peut toutefois être adoptée afin de satisfaire les limites d ouverture de fissures J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 12 / 50

13 Pourcentage minimum d armatures Pourcentage minimum d armatures selon l EN A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s f ct,eff est la valeur moyenne de la résistance à la traction au moment où les premières fissures sont supposées apparaître f ct,eff = f ctm (f ct,eff = f ctm (t) si l on prévoit que la fissuration se produira avant 28 jours) fct,ef f [MP a] f ck [MP a] t = 28j. t = 14j. t = 7j. J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 13 / 50

14 Pourcentage minimum d armatures Pourcentage minimum d armatures selon l EN A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s k est un coefficient qui tient compte de l effet des contraintes non-uniformes auto-équilibrées conduisant à une réduction des efforts dus aux déformations gênées. h compression σc fct 01 traction k 1, 00 0, 95 0, 90 0, 85 0, 80 0, 75 0, 70 0, 65 0, h [mm] J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 14 / 50

15 Pourcentage minimum d armatures Pourcentage minimum d armatures selon l EN A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s A ct est l aire de la section de béton tendu. La zone de béton tendu est la partie de la section dont le calcul montre qu elle est tendue juste avant la formation de la première fissure. σ N cr A ct M cr A 01 ct f ct,ef f f ct,ef f σ M σ cr f P A ct k ct,ef f f ct,ef f M cr A ct M cr A ct f ct,ef f σ σ J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 15 / 50

16 Pourcentage minimum d armatures Pourcentage minimum d armatures selon l EN A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s k c est un coefficient qui tient compte de la répartition des contraintes dans la section immédiatement après fissuration ainsi que de la modification du bras de levier. Pour les sections rectangulaires et les âmes des sections en T : Traction pure k c = 1 Flexion simple k c = 0,4 Flexion composée avec compression 0 k c 0,4 Flexion composée avec traction 0,4 k c 1 Pour les membrures des caissons et des sections en T : F cr k c = 0,9 0,5 A ct f ct,eff où F cr est la valeur absolue de l effort de traction dans la membrure juste avant la fissuration, du fait du moment de fissuration calculé avec f ct,eff. J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 16 / 50

17 Calcul explicite de l ouverture des fissures Principes Afin de pouvoir vérifier le critère d ouverture maximum w w max, il est nécessaire d estimer une valeur de l ouverture de fissure probable au moyen d un calcul. Ce type de calcul est relativement complexe et nécessite de poser des hypothèses qui simplifient de manière radicale les phénomènes réels. Le calcul sera donc inévitablement entaché d erreurs. L ouverture de fissure calculée ne constitue qu une estimation (conventionnelle) de l ouverture réelle des fissures qui se produiront dans la structure. Afin de déduire une méthode de calcul des ouvertures de fissures, nous partirons de l examen du comportement d un simple tirant en béton armé tendu soumis à une déformation imposée. Pour pouvoir étendre les résultats au cas de la flexion, nous considérerons que le comportement du tirant tendu est représentatif du comportement de la zone tendue d un élément fléchi. N N A c l l A s J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 17 / 50

18 Calcul explicite de l ouverture des fissures Modèle théorique tirant tendu en béton armé N N u stade I Plastification Rupture N y N ε sm ε s2 ε s stade IIFissuration stabilisée 3 1, 3N r 2 Formation des fissures N r 1 Non fissuré ε m 0 0, 01% 0, 1..0, 15% 0, 22% 5% J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 18 / 50

19 Modèle théorique de fissuration Comportement d un tirant tendu en béton armé : phase 1 Tant que le béton n est pas fissuré,du fait de l adhérence entre les deux matériaux, dans toutes les sections du tirant la compatibilité des déformations entre le béton et l acier est respectée. ε s = ε c = ε m = l l Les contraintes dans l armature et le béton valent avec N σ s = E s ε m = α e A c (1 + α e ρ) σ c = E c ε m = ρ = A s A c ; α e = E s E c N A c (1 + α e ρ) N N A c l l A s J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 19 / 50

20 Modèle théorique de fissuration Comportement d un tirant tendu en béton armé : formation des fissures Dès que la contrainte dans le béton atteint la résistance à la traction f ctm une première fissure apparaît. N r zone de discontinuité première fissure N r w f ctm σ c l t l t σ sr1 σ s σ sr2 τ bm τ b J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 20 / 50

21 Modèle théorique de fissuration Comportement d un tirant tendu en béton armé : formation des fissures Au droit de cette fissure l effort normal dans le béton s annule ; l effort de traction total est donc reporté sur l armature seule. La compatibilité des déformations n est plus possible à cet endroit et un glissement relatif entre l acier et le béton se produit (rupture locale de l adhérence). N r zone de discontinuité w première fissure N r La formation de cette première fissure se produit lorsque l effort normal dans le tirant atteint une valeur N r correspondant à l effort pour lequel la contrainte dans le béton vaut la résistance à la traction f ctm N r = f ctm A c (1 + α e ρ) f ctm σ c σ sr1 σ s τ b σ sr2 τ bm l t l t J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 21 / 50

22 Modèle théorique de fissuration Comportement d un tirant tendu en béton armé : formation des fissures Il apparaît, de part et d autre de la fissure, une zone de discontinuité dans laquelle les contraintes dans le béton et l armature varient dans le béton : la contrainte diminue de f ctm à 0. dans l armature : la contrainte augmente de σ sr1 à σ sr2. σ sr1 = α e N r A c (1 + α e ρ) = α ef ctm zone de discontinuité N r N r σ sr2 = N r A s = f ctm ρ (1 + α eρ) w La taille de cette zone de discontinuité dépend de la distance nécessaire au transfert des efforts du béton à l armature ( F = A c f ctm ) par adhérence (contrainte τ b ). f ctm σ c l t l t σ sr1 Cette longueur de tranfert l t vaut l t = A c f ctm τ bm π Φ où π Φ est le périmètre de l armature et τ bm la valeur moyenne de la contrainte d adhérence. J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 22 / 50 σ s τ b τ bm σ sr2

23 Modèle théorique de fissuration Comportement d un tirant tendu en béton armé : formation des fissures En augmentant la déformation imposée au tirant, de nouvelles fissures se forment dans les zones où la contrainte dans le béton est égale à f ctm, c est-à-dire : en dehors des zones de discontinuités qui encadrent les fissures déjà formées. zones de discontinuité N r N r f ctm σ c l t l t σ sr1 σ s σ sr2 τ b τ bm J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 23 / 50

24 Modèle théorique de fissuration Comportement d un tirant tendu en béton armé : formation des fissures Ce mécanisme de formation de nouvelles fissures prend fin lorsque leur nombre est suffisant pour que les zones de discontinuités se chevauchent sur toute la longueur du tirant. En effet, il n existe plus alors de zones où la contrainte dans le béton peut dépasser la résistance à la traction, condition nécessaire à la formation d une fissure. N zones de discontinuité N l t s rm 2l t f ctm σ c On observe qu à l issue de ce processus la distance moyenne entre les fissures s rm est comprise entre l t et 2 l t l t s rm 2 l t J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 24 / 50

25 Modèle théorique de fissuration Comportement d un tirant tendu en béton armé : fissuration stabilisée On entre ensuite dans un nouveau mode de comportement où la déformation imposée appliquée au tirant provoque une augmentation continue les contraintes dans l armature et de l ouverture des fissures, sans que le nombre des fissures n augmente (fissuration stabilisée). N zones de discontinuité N l t s rm 2l t f ctm σ c l t l t σ sr1 σ sr2 σ s σ s2 J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 25 / 50

26 Modèle théorique de fissuration Calcul de l ouverture des fissures dans le stade de formation des fissures A partir du modèle décrit précédemment, on peut déduire une méthode de calcul de l ouverture des fissures w. Au moment de la formation des fissures on peut écrire 0 lt w = (ε s ε c )dx = 2 l t (ε sm ε cm ) = s r,max (ε sm ε cm ) l t l t w l t ε sm et ε cm sont les déformations moyennes sur l t ε cm = k t ε r k t est un coefficient d intégration qui dépend de la répartition des contraintes d adhérence sur l t (0 < k t < 1). ε sm = k t ε r + (1 k t ) ε s2r ε cm = k t.ε r ε cr = ε s1r = ε r k t.ε r + (1 k t ).ε s2r En exprimant les déformations en fonction des contraintes et en utilisant les relations déduites précédemment, on obtient ε s r,max = 2.l t w = s r,max (1 k t ) f ctm E s ρ (1 + α eρ) J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 26 / 50

27 Modèle théorique de fissuration Calcul de l ouverture des fissures dans le stade de fissuration stabilisée Lorsque la fissuration est stabilisée, on peut obtenir par le même raisonnement w = srm/2 s rm/2 (ε s ε c )dx = s rm (ε sm ε cm ) ε cm = k t.ε r ε cr = ε s1r = ε r ε sm = ε s2 k t.(ε s2r ε r ) 0 k t.ε r + (1 k t ).ε s2r ε s2 ε l t s rm 2.l t w ε cm = k t ε r ε sm = ε s2 k t (ε s2r ε r ) ε s2 et ε s2r sont les déformations de l armature dans la fissure, sous l effort N et sous l effort provoquant la fissuration N r respectivement. ε s2 = σ s2 E s = N A s E s ε s2 = σ s2r E s = Nr A s E s En exprimant les déformations en fonction des contraintes et en utilisant les relations déduites précédemment, on obtient w = s rm ( σ s2 E s k t f ctm E s ρ (1 + α eρ)) J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 27 / 50

28 Modèle théorique de fissuration Calcul de l ouverture de fissure sous déformation imposée Lorsque le tirant est soumis à une déformation imposée ε imp l expression de l ouverture des fissures en stade de fissuration stabilisée devient simplement : w = s rm ε imp w w w = s rm.ε imp Au stade de formation des fissures, l ouverture est théoriquement indépendante de la déformation imposée et vaut, comme montré précédemment : formation des fissures fissuration stabilisée f ctm w = s r,max (1 k t ) E s ρ (1 + α eρ) 0, 1/ , 5/1000 ε imp J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 28 / 50

29 Modèle théorique de fissuration Calcul de l ouverture des fissures : généralisation Afin de généraliser le résultat obtenu à des éléments en béton armé tendus ou fléchis, on considère que le comportement du tirant tendu est représentatif du comportement de la zone tendue d un élément complet soumis à la flexion ou à la traction. Pour cela, on considère une aire effective de béton tendu qui enrobe les armatures A c,eff et on définit le pourcentage effectif d armatures présentes dans cette surface. ρ p,eff est le ratio d armatures présentes dans l aire de béton effectivement tendue autour de l armature A c,eff (aire de hauteur h c,eff ) ρ p,eff = A s /A c,eff h c,eff est la plus petite valeur parmi : 2, 5(h d) ; (h x)/3 ou h/2 On remplace ρ par ρ p,eff dans les expressions déduites précédemment. h d h A c,ef f h c,ef f A c,ef f x h c,ef f d A c,ef f h c,ef f x ε ε ε J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 29 / 50

30 Modèle théorique de fissuration Calcul de l ouverture des fissures : distance entre fissures La distance entre les fissures s rm est fonction de la longueur de transfert l t, nous avons vu que celle-ci pouvait s exprimer sous la forme l t = A c f ctm l t s rm 2 l t stade II stade I τ bm π Φ A c,ef f σ c = f ct Si l on suppose que la contrainte d adhérence N = N s moyenne est directement proportionnelle à la résistance à la traction τ bm = k b f ctm et que l on exprime l aire d armature en fonction du pourcentage effectif A s = ρ p,eff A c,eff = n π Φ 2 /4 pour n armatures τ b glissement A s l t σ s = σ s1 de diamètre Φ. Le périmètre total de ces armatures étant n π Φ, on obtient τb τ bm nπφ 2 f ctm l t = 4ρ p,eff k b f ctm nπφ l Φ t = 4ρ p,eff k b fissure N J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 30 / 50

31 Modèle théorique de fissuration Calcul de l ouverture des fissures : distance entre fissures Φ l t = 4ρ p,eff k b On observe donc que la distance entre fissures est directement proportionelle au diamètre des armatures Φ ; est inversement proportionelle au pourcentage effectif d armature ρ p,eff ; est théoriquement indépendante de la résistance à la traction du béton (si on pose l hypothèse τ bm = k b f ctm ) J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 31 / 50

32 Calcul explicite de l ouverture des fissures Règles de la norme EN La norme définit des règles pour le calcul de l ouverture des fissures basées sur le modèle exposé précédemment. Des adaptations sont apportées pour tenir compte des résultats des nombreux essais réalisés. Les principales adaptations sont : Le coefficient d intégration k t est pris égal à 0,6 ou 0,4 en fonction des conditions de chargement. L expression utilisée pour le calcul de la distance entre fissures s rm est adaptée pour tenir comptes de résultats empiriques (l enrobage de l armature c, intervient directement dans l expression). Une valeur minimale pour ε sm ε cm est fixée... La norme donne également des indications permettant de respecter les critères d ouvertures maximales sans réaliser de calcul explicite de l ouverture des fissures, mais en imposant une quantité d armatures minimale, une entre distance maximum et un diamètre maximum pour les barres. J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 32 / 50

33 Calcul explicite de l ouverture des fissures Règles de la norme EN L ouverture des fissures w k peut être calculée au moyen de l expression : s r,max w k = s r,max (ε sm ε cm ) ε w max s r,max ε sm ε cm est l espacement maximal des fissures est la déformation moyenne de l armature, incluant l effet des déformations imposées et en tenant compte de la participation du béton tendu. est la déformation moyenne du béton entre les fissures. ε sm ε cm ε s ε c ε sm ε cm J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 33 / 50

34 Calcul explicite de l ouverture des fissures Règles de la norme EN ε sm ε cm peut être calculée au moyen de l expression σ s k t ε sm ε cm = σ s E s k t f ct,eff E s ρ p,eff (1 + α e ρ p,eff ) 0,6 σ s E s est la contrainte dans l armature en supposant le béton fissuré. est un coefficient dépendant du type de chargement Type de chargement k t courte durée 0,6 longue durée 0,4 ρ p,eff est le ratio d armatures présentes dans l aire de béton effectivement tendue autour de l armature A c,eff (aire de hauteur h c,eff ) α e ρ p,eff = A s /A c,eff h c,eff est la plus petite valeur parmi : 2,5(h d) ; (h x)/3 ou h/2 est le coefficient d équivalence α e = E s /E cm h d h A c,ef f h c,ef f A c,ef f x h c,ef f d A c,ef f h c,ef f x ε ε ε J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 34 / 50

35 Calcul explicite de l ouverture des fissures Règles de la norme EN ε sm = ε s k t (ε sr ε r ) s r,max ε cm = k t ε r ε sm ε cm = ε s k t ε sr ε s ε sr est la déformation dans l armature en supposant le béton fissuré. ε s = σ s /E s est la déformation dans l armature en supposant le béton fissuré sous l effort provoquant la fissure. ε ε sr ε sm w max ε s ε sr = f ct,eff E s ρ p,eff (1 + α e ρ p,eff ) ε r est la déformation dans l armature en supposant le béton non-fissuré sous l effort provoquant la fissure. ε r ε cm ε c ε sm ε cm ε r = f ct,eff /E cm ε sm ε cm = σ s E s k t f ct,eff E s ρ p,eff (1 + α e ρ p,eff ) 0,6 σ s E s J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 35 / 50

36 Calcul explicite de l ouverture des fissures Règles de la norme EN pour le calcul de la distance entre fissures Lorsque les armatures sont disposées dans la zone tendue avec un entraxe suffisamment faible 5(c + φ/2), l espacement final maximal des fissures peut être calculé au moyen de l expression : φ s r,max = 3,4c + 0,425k 1 k 2 ρ p,eff φ est le diamètre des barres. Lorsque plusieurs barres de diamètres différents sont utilisées, on utilise un diamètre équivalent φ eq ni φ 2 i φ eq = ni φ i c est l enrobage des armatures. k 1 est un coefficient qui tient compte des propriétés d adhérence des armatures k 1 = 0,8 pour les armatures à haute adhérence k 1 = 1,6 pour les armatures ayant une surface effectivement lisse (armatures de précontrainte, par exemple) J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 36 / 50

37 0 1 Calcul explicite de l ouverture des fissures Règles de la norme EN pour le calcul de la distance entre fissures Lorsque les armatures sont disposées dans la zone tendue avec un entraxe suffisamment faible 5(c + φ/2), l espacement final maximal des fissures peut être calculé au moyen de l expression : φ s r,max = 3,4c + 0,425k 1 k 2 ρ p,eff où k 2 est un coefficient qui tient compte de la répartition des déformations k 2 = 0,5 en flexion simple k 2 = 1,0 en traction pure (ε 1 + ε 2 ) k 2 = en traction excentrée 2ε 1 où ε 1 est la plus grande et ε 2 la plus petite déformation de traction aux fibres extrêmes, la section étant supposée fissurée. ε1 = ε ε2 ε ε2 k2 = 0, 5 ε1 k2 = 1, 0 k2 = (ε1 + ε2)/(2ε1) J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 37 / 50

38 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct Règles de la norme EN pour les éléments tendus soumis à des déformations imposées Pour autant que l on prévoit un pourcentage minimal d armatures respectant la règle A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s (k c = 1, pour la traction pure, 0,65 k 1 en fonction de l épaisseur) on peut estimer que les ouvertures des fissures ne seront pas excessives,si pour des fissures principalement dues aux déformations bridées, on respecte le diamètre maximal des armatures indiqué dans le diagramme suivant : φ s 50 Diamètre max. des barres [mm] 40 wk = 0, 05mm wk = 0, 1mm wk = 0, 2mm wk = 0, 3mm Contrainte dans les armatures [N/mm 2 ] σs d h e φ s h d Il convient de modifier le diamètre maximal des barres indiqué par la figure à l aide de l expression ci-dessous φ s = φ f ct,eff h s 2,9 10(h d) J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 38 / 50

39 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct Règles de la norme EN pour les éléments tendus sous l effet de charges extérieures Pour autant que l on prévoit un pourcentage minimal d armatures respectant la règle A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s (k c = 1, pour la traction pure, 0,65 k 1 en fonction de l épaisseur) on peut estimer que les ouvertures des fissures ne seront pas excessives, si pour des fissures principalement causées par l application de charges extérieures, on respecte soit le diamètre maximal du diagramme précédent, soit l espacement maximal des barres indiqué dans le diagramme suivant : Espacement max. des barres [mm] wk = 0, 05mm wk = 0, 1mm wk = 0, 2mm wk = 0, 3mm Contrainte dans les armatures [N/mm 2 ] d h e φ s h d J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 39 / 50

40 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct Règles de la norme EN pour les éléments tendus soumis à des déformations imposées bridées L EN indique également comment calculer explicitement les ouvertures de fissures dans le cas de déformations d un élément bridé à son extrémité (annexe M.2) w = s rm (ε sm ε cm ) avec (ε sm ε cm ) = 0,5 α e k k c f ct,eff (1 + 1/(α e ρ)) E s On peut montrer que cette expression est équivalente au résultat théorique obtenu précédemment pour le calcul de l ouverture des fissures au stade de formation des fissures (en adoptant les valeurs k t = 0,5; k c = 1 et f ct = k f ct,eff ) 0,5 α e k k c f ct,eff E s (1+1/(α e ρ)) = (1 kt) α e k k c f ct,eff E s α e ρ (1+α e ρ) = (1 k t ) k f ct,eff E s ρ (1+α eρ) avec k t = 0,5 w = s r,max (1 k t ) f ct E s ρ (1 + α eρ) Le diagramme du diamètre maximal φ s en fonction de la contrainte σ s et de l ouverture de fissure w k peut être reconstruit en utilisant cette expression, en supposant que le pourcentage d armature ρ est égal au pourcentage minimum d armatures : ρ = ρ min = k c k f ct,eff σ s J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 40 / 50

41 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct Règles de la norme EN pour les éléments tendus soumis à des déformations imposées bridées On peut déduire des règles précédentes une méthode permettant théoriquement de déterminer la quantité d armatures à mettre en place pour limiter l ouverture des fissures à une valeur w k pour satisfaire aux conditions de la classe 1 d étanchéité, dans le cas où l élément est bridé et subit des déformations imposées qui mènent à une traction uniforme sur la section (retrait empêché,...). 1. On détermine la valeur w k limite que l on ne peut dépasser, et le diamètre φ s des armatures que l on veut utiliser. 2. On corrige la valeur du diamètre φ s pour obtenir φs au moyen de l expression φ 2,9 10(h d) s = φ s f ct,eff h 3. On détermine la valeur de la contrainte σ s à ne pas dépasser dans les armatures au moyen du diagramme (σ s,φ s ). 4. La quantité minimum d armatures théoriquement nécessaire pour s assurer que l ouverture des fissures ne dépassera pas w k est obtenu en utilisant l expression avec la valeur de σ s déterminée précedemment. A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 41 / 50

42 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct Règles de la norme EN pour les éléments soumis à des charges extérieures de traction Dans le cas où les fissures sont principalement dues à des charges extérieures, et que la section est entièrement tendue (fissuration traversante) on pourra déterminer la contrainte limite σ s soit au moyen du diagramme des diamètres max. (φ s, σ s, w k ) soit au moyen du diagramme des espacements max. (e max, σ s, w k ). Espacement max. des barres [mm] e wk = 0, 05mm wk = 0, 1mm wk = 0, 2mm wk = 0, 3mm Contrainte dans les armatures [N/mm 2 ] σs Diamètre max. des barres [mm] φ s wk = 0, 05mm wk = 0, 1mm wk = 0, 2mm wk = 0, 3mm Contrainte dans les armatures [N/mm 2 ] σs La quantité d armatures minimale à mettre en place sera déterminée au moyen de la même expression A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s On devra en outre dimensionner les armatures sous l effet des charges extérieures en veillant à ne pas dépasser en service la contrainte limite σ s sous la combinaison de charge appropriée (combinaison quasi permanente). J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 42 / 50

43 Maîtrise de la fissuration au moyen d un calcul détaillé Application des règles de l EN et EN A la place d utiser les diagrammes (φ s, σ s, w k ) ou (e max, σ s, w k ), il est également possible de déterminer une combinaison diamètre d armature φ s, contrainte limite σ s et pourcentage d armature ρ en utilisant les relations qui permettent de vérifier explicitement l ouverture des fissures, c est-à-dire : Dans le cas d un élément bridé soumis à des forces de traction dues à des déformations imposées (stade de formation des fissures) : Trouver une combinaison φ, σ s et ρ telle que w k w k,lim (= w k1 dans le cas de la classe d étanchéité 1) avec w k = s r,max (ε sm ε cm ) s r,max = 3,4c + 0,425k 1 k 2 φ ρ p,eff (ε sm ε cm ) = (1 k t ) k c f ct,eff E s ρ ρ A s,min = k c k f ct,eff A ct (1 + α e ρ) avec k t = 0,5 h/2 et ρ p,eff = ρ σ s 2,5(c + φ/2) ρ J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 43 / 50

44 Maîtrise de la fissuration au moyen d un calcul détaillé Application des règles de l EN et EN Dans le cas d un élément bridé soumis à des forces de traction dues à des sollicitations extérieures (stade de fissuration stabilisée) : Trouver une combinaison φ, σ s et ρ telle que w k w k,lim (= w k1 dans le cas de la classe d étanchéité 1) avec w k = s r,max (ε sm ε cm ) s r,max = 3,4c + 0,425k 1 k 2 φ ρ p,eff (ε sm ε cm ) = ρ σ s E s k t f ct,eff E s ρ p,eff (1 + α e ρ p,eff ) 0,6 σ s E s avec 0,4 k t 0,6 A s,min = k c k f ct,eff A ct h/2 et ρ p,eff = ρ σ s 2,5(c + φ/2) ρ Il conviendra en outre de vérifier que sous la combinaison quasi permanente des charges la contrainte dans les armatures ne dépasse pas la contrainte limite σ s. L utilisation de ces expressions détaillées requière bien entendu un calcul un itératif habituellement non praticable manuellement. Ces calculs donneront des résultats semblables à ceux obtenus par l intermédiaires des diagrammes décrits précédemment. J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 44 / 50

45 Maîtrise de la fissuration au moyen d armatures passives Commentaires à propos des règles de l Eurocode Bien que les règles de l Eurocode semblent fournir un cadre suffisant pour réaliser un dimensionnement des armatures tel que l on puisse garantir que l ouverture des fissures reste sous un seuil défini et permettre ainsi de remplir les conditions d étanchéité souhaitées en fonction de la classe d exigence choisie, il s avère qu en pratique l application des méthodes de dimensionnement exposées ci-dessus posent certaines difficultés... Si l on prend le cas d un élément bridé à ses extrémités soumis à des efforts de traction dus à des déformations imposées (retrait de dessication, retrait thermique,...), on remarque que le pourcentage théorique minimum d armatures pour limiter l ouverture des fissures à des valeurs inférieures à 0,2mm (classe d étanchéité 1) obtenu en appliquant les règles exposées ci-dessus est très important. Prenons l exemple du voile suivant : Béton C30/37 ; f ct,eff = 2,9MPa ; h = 300mm ; c = 30mm ; w k1 = 0,2mm et supposons qu un risque de fissuration traversante du fait du bridage de déformations imposées existe. Si l on choisi d utiliser des armatures φ s = 12mm on obtient φ 2,9 10(h d) s = φ s = 12 2, = 14,4mm f ct,eff h 2,9 300 Le diagramme (φ s, σ s, w k ) nous montre que pour w k = 0,2mm la contrainte limite est d environ σ s 230MPa. On peut en déduire l armature minimum nécessaire : A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s = 1 1 2, = 41,6cm2 /m (ρ = 1,3%) J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 45 / 50

46 Maîtrise de la fissuration au moyen d armatures passives Commentaires à propos des règles de l Eurocode soit 20,8cm 2 /m par face. Cette quantité d armatures est relativement importante (Si l on veut placer une telle armature, il sera probablement nécesssaire pour des raisons technologiques d augmenter le diamètre de celles-ci, ce qui aura pour effet d encore augmenter la quantité d armatures à mettre en place...) Pour des raisons économiques et pratiques, il arrive fréquemment que des quantités d armatures plus faibles soient mises en place. Dans de tels cas, il est théoriquement possible que des fissures plus ouvertes apparaissent. Celles-ci devront faire l objet d un traîtement a posteriori (injection,...). Il convient encore d insister ici sur l attention à porter aux mesures à prendre pour réduire l ampleur des déformations imposées qui ne sont pas liées directement à la quantité d armatures mises en place (composition du béton, cure, phasage,...). En effet on constate qu il sera toujours difficile et coûteux de compter uniquement sur l effet de l armature passive pour garantir des performances d étanchéité. Dans le cas où une quantité plus faible que celle calculée ci-dessus est mise en place, il semble néanmoins nécessaire d au moins respecter la condition de non-fragilité, c est-à-dire placer un pourcentage minimum d armature correspondant à A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s avec σ s = f yk soit pour l exemple précédent une aire de 8,7 cm 2 /m par face. En effet en dessous de cette quantité toute fissure traversante provoquera théoriquement la plastification de l armature ce qui empêchera la formation de plusieurs fissures nécessaires pour absorber la déformation imposée. Etant donné les particularités propres à chaque ouvrage, il convient d adopter des mesures de bonnes pratiques basées sur l expérience d ouvrages similaires. J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 46 / 50

47 Maîtrise de la fissuration au moyen d armatures passives Commentaires à propos des règles de l Eurocode Dans l annexe informative M, l EN indique que l on peut traîter différemment le cas du bridage d un élément le long d un bord du cas du bridage d un élément à ses extrémités. Le cas du bridage le long d un bord, est particulièrement courant. Il se produit lorsqu une paroi est coulée sur une dalle de base rigide pré-existante. Dans ce cas, la norme propose d évaluer l ouverture des fissures au moyen de l expression w k = s r,max (ε sm ε cm ) avec (ε sm ε cm ) = R ax ε free R ax ε free est un facteur de bridage 0 R ax 1. Pour le bridage à la base de la paroi la valeur de R ax vaut 0,5 selon les indications de l annexe L. est la déformation qui se produirait si l élément était totalement libre de se déformer. J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 47 / 50

48 Maîtrise de la fissuration au moyen d armatures passives Commentaires à propos des règles de l Eurocode Cette expression suppose que l ouverture des fissures n est pas gouvernée par les efforts théoriques dans l élément lors de la formation d une fissure traversante, mais qu elle résulte de l ouverture de fissures produites par la déformation imposée sur un schéma de fissuration déja stabilisé. L utilisation de cette expression mènera à des ouvertures de fissures théoriques largement inférieures à celles obtenues en appliquant la formule pour les éléments bridés à leurs extrémités. w Ouverture théorique des fissures en stade de formation w formation des fissures 0, 1/ , 5/1000 w = s rm.ε imp w = s rmr axε f ree fissuration stabilisée ε imp Comme exposé précédemment, dans le cas de l utilisation d une telle expression, il semble malgré tout nécessaire d au moins respecter la condition de non-fragilité, c est-à-dire placer un pourcentage minimum d armature correspondant à. A s,min = k c k f ct,eff A ct σ s avec σ s = f yk J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 48 / 50

49 Maîtrise de la fissuration au moyen d armatures passives Commentaires à propos des règles de l Eurocode Dans le cas d élements de forte épaisseur (radier et bajoyer d écluse par exemple) l application aveugle de ces règles mènent à des quantités d armatures impraticables. Il semble clair que les théories sous-jacentes aux règles énoncées dans l Eurocode (modèle de fissuration simplifié exposé plus haut) ne sont pas réalistes dans le cas d élements de forte épaisseur. Les expériences récentes montrent que dans de tels cas (écluse de Lanaye, écluse d Ivoz Ramet, écluse à Anvers, etc..) les quantités d armatures minimales adoptées en pratique qui sont de l ordre de 30 cm 2 /m à 40 cm 2 /m par face pour des éléments de 1 m à 2,5 m d épaisseur sont généralement suffisantes pour éviter l apparition de fissures d ouverture non contrôlées. (Compte tenu de l ensemble des dispositions qui sont prises pour réduire les déformations imposées : composition appropriée du béton, phasage de construction,... ). Les quelques fissures éventuelles qui sont trop ouvertes font l objet d un traitement a posteriori. Notons que dans ces ouvrages on veillera généralement à bien respecter les conditions de non-fragilité pour toutes les parties d ouvrage soumises à des sollicitaions extérieures significatives ( M Rd M fissuration, N Rd N fissuration ) J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 49 / 50

50 Maîtrise de la fissuration au moyen d armatures passives Commentaires à propos des règles de l Eurocode La fissuration des éléments en béton armé, singulièrement en ce qui concerne les phénomènes liés à des déformations bridées, est un problème complexe qui fait encore l objet de nombreuses recherches. A titre d exemple, on peut citer l article récent de D. Schlicke & N. V. Tue Minimum reinforcement for crack width control in restrained concrete members considering the deformation compatibility Structural Concrete (2015), No. 2 On y développe un modèle de fissuration impliquant deux familles de fissures (primaires et secondaires)... J.-F. Cap (SECO & UCL-EPL) Contrôle de la fissuration selon l EC2 50 / 50