1. La tendance centrale 2. Les caractéristique de position 3. La dispersion

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2 L objectif est de résumer les informations données par un tableau ou par un graphe par trois caractéristiques que l on peut mesurer: 1. La tendance centrale 2. Les caractéristique de position 3. La dispersion Il existe plusieurs indicateurs possibles pour la valeur centrale ou la dispersion. 2

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4 Les moyennes: La moyenne arithmétique simple: x 1 n xi n i1 Le moyenne arithmétique pondérée: x p i1 p i1 nx i n i i

5 Les moyennes: La moyenne arithmétique sur des données catégorielles: On prend c i le centre de la classe i comme valeur représentative pour cette classe x p i1 p i1 nc i n i i

6 La mediane: (Me) La valeur de la médiane est telle que la moitié des observations ont une valeur inférieure à la médiane et la moitié une valeur supérieure à la médiane. On classe les données par ordre croissant ou décroissant, la médiane est la valeur centrale qui sépare la série en deux parties égales

7 La mediane: (Me) Cas discret: 1. Si n impaire: n=2k+1 La médiane est égale à la (k+1) i ème valeur de la série Me xk 1 2. Si n est paire: n=2k La médiane est égale à la moyenne arithmétique de x k et x k+1 xk 1 Me 2 x k

8 La mediane: (Me) Calcul à partir d un tableau: On la détermine à partir des fréquence cumulées: Nombre d enfants Ménages Fréquences Fréquences cumulées % 5 % % 12 % % 27 % % 40 % % 65 % % 81 % % 92 % % 96 % % 98 % % 100 % Totaux % - 8

9 La mediane: (Me) Sur le graphique: 100 % 50 % médiane 9

10 La mediane: (Me) Cas continu: 1 - Déterminer la classe médiane [x i ; x i+1 [ telle que F(x i )<= 50% et F(x i+1 ) > 50%. 2 - Calculer par règle de trois la position exacte de la médiane. 0,5 Fx ( ) i Me xi ( xi 1 xi ) F x i1 F x i ( ) _ ( )

11 La mediane: (Me) 100 % Fréquences cumulées % 50 % Médiane = 9436,76 0 % Salaires mensuels 11

12 Le mode: Définition: Le mode (ou valeur modale) est la valeur que la variable statistique prend le plus souvent ( la valeur qui a le plus grand effectif ). Le mode peut être calculé pour les caractère qualitatifs comme pour les caractères quantitatifs. Exemple : Soit la série : {8,4,4,3,4,3,8,2,5} La valeur la plus fréquente de cette série est 4. Le mode est donc égal à 4. L'effectif associé à ce mode est 3. Remarques a) Une série peut avoir plusieurs modes Soit la série S = {4, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 2, 1, 3, 3, 4, 5}, les "2" et les "3" sont les valeurs qui reviennent le plus souvent : 5 fois chacune. Cette série a 2 modes, elle est bimodale. Ses deux modes sont : 2 et 3. L'effectif associé à chacun de ces modes est : 5. Bien entendu, on peut avoir des séries avec 3, 4, 5, etc. modes. Ce sont alors des séries multimodales. 12

13 Le mode: b) Le mode n existe pas forcément C'est le cas lorsque toutes les valeurs ont le même effectif comme dans l'exemple suivant : {8,6,5,7,3,1}. Dans ce cas, on peut aussi dire que toutes les valeurs sont modales. c) Le mode n est pas la valeur la plus élevée Il ne faut pas confondre le mode, qui est la valeur la plus fréquente, avec la valeur la plus élevée de la série. Dans la série {8,6,5,7,3,1}, il n'y a pas de mode, mais la valeur la plus élevée est 8. Il peut arriver que le mode soit aussi la valeur la plus élevée, mais ce n est alors qu une coïncidence. 13

14 Le mode: Caractère qualitatif Le mode est la MODALITE avec l effectif le plus important. Exemple: Population active selon le statut des emplois, en 2004 Statut de l emploi Effectifs (en milliers) Non salariés Salariés secteur privé Salariés secteur public Total Le mode de la distribution est représenté par les salariés du secteur privé. Sur le diagramme il s agit du tuyau le plus haut 14

15 Le mode: Variables discrètes: Le mode est la VALEUR avec l effectif le plus important. Exemple: Distribution des jours d ouvertures d un magasin suivant le nombre de vente d un appareil A Nombre de vente par jours Nombre de jours total Le Mode est égale à 2 appareils par jours: il y a 75 jours où on a vendu 2 appareils dans la journée Sur le diagramme il s agit du tuyau le plus haut

16 Le mode: Variable continues La détermination du mode dans le cas d une variable continue est moins précise que pour les variables qualitatives ou les variables discrètes. On définie la classe modale comme étant la classe dont la densité des fréquence (ou fréquence corrigée) est maximum Si les classe ont la même amplitude on remplace fréquence corrigée par fréquence et on retrouve la définition précédente La classe modale dépend du découpage des classes. 16

17 Le mode: A partir du tableau statistique Exemple: Répartition des salaires mensuels d une entreprise X Classes de Salaires Effectifs Effectifs corrigé Hauteur [ [ 10 10/ [ [ 50 50/ [ [ 20 20/ [ [ 20 20/3000 6,67 [ [ 10 10/4000 2,5 [ [ 5 5/3000 1,67 Totaux La classe modale est [ [ : elle correspond à l effectif corrigé le plus élevés 17

18 Le mode: Sur l histogramme hauteur Il s agit du tuyau le plus haut Distribution des effectifs des salariés selon leur salaire mensuel Salaire mensuel 18

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20 Les caractéristiques de tendance centrale ne peuvent pas différencier deux séries statistiques. En effet, deux séries peuvent avoir la même moyenne arithmétique et la même mediane sans pour autant qu elles soient identiques. Pour y remédier on doit introduire les caractéristiques de dispersion qui estiment dans quelle mesures les observations s écartent les une des autres ou de leur valeur centrale.

21 Les carateristiques de dispersion sont des nombres qui mesurent la dispersion des valeurs observées autour d un pramètre de position (x, Me, ). Ils s expriment de la même unité que les observations et permettent de comparer les séries statistiques de même nature.

22 Etendue ou intervalle de variation: L étendue est égale à la différences entre la valeur maximum observée et la valeur minimum observée. W x x max min

23 Ecart absolu moyen: C est la moyenne des écarts des valeurs observées x i à la moyenne x p n x x e i1 i i p f p i xi x i1 ni i1

24 Moments: 1. Moments d ordre r d une variable X: p r nx i i p p i1 r 1 r r ( ) p i i i i i1 n i1 ni i1 m X f x n x 2. Moments centrés d ordre r: 1 u ( X ) n ( x x) f ( x x) p p r r i i i i n i1 i1 r

25 Variance et écart-type: La variance V(x) ou var(x) d une variable X est la moyenne des carrés des écarts des valeurs observés à leur moyenne arithmétique: p 2 ni( xi x) p 1 1 p i 2 2 ( ) i ( i ) i ( i ) p n i1 i1 ni i1 V x n x x f x x

26 Variance et écart-type: L écart-type est la racine carrée de la variance: p 1 ( X ) V ( x) ni( xi x) n Calcul de la variance: i1 2 V( X ) u ( X ) m ( X ) [ m ( X )]

27 Coefficient de variation: Le coefficient de variation est le rapport de l écart-type à la moyenne ( X ) Cv x C est un nombre sans unité. Il permet de comparer deux séries exprimés dans des unités différentes.

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29 Ce sont des caractéristiques qui donnent l allure des graphiques Généralement, ce sont les coefficients d asymétrie et d aplatissement.

30 L asymetrie: Une distribution est symétrique si les trois valeurs centrales, la moyenne arithmétique, le mode et la médiane, sont égales _ Mo Me x Sinon, on dit que la courbe est asymétrique.

31 L asymetrie: Une distribution est oblique à gauche ou distribution étalée vers la droite lorsque _ Mo Me x Une distribution est oblique à droite ou distribution étalée vers la gauche lorsque _ x Me Mo

32 L asymetrie: Coefficient de Fisher: u u ( u ) Si Si Si la série est symétrique la série est oblique à droite la série est oblique à gauche

33 L aplatissement Coefficient de Pearson: Si 3 u u2 la distribution est normale Si 3 la distribution est plus aplatie que la distribution normale Si 3 la distribution est moins aplatie que la distribution normale u

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