Notion de fonction. EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

Transcription

1 Notion de fonction EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 8 AOÛT 8 Connaissances Capacités Commentaires. Organisation et gestion de données, fonctions. Notion de fonction Image, antécédent, notations f (x), x f (x). [Thèmes de convergences] Déterminer l image d un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d ensemble de définition sont hors programme. La détermination d un antécédent à partir de l expression algébrique d une fonction n est exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines. Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italique. Ouverture Le bloc atteint une hauteur de, m environ pour une distance horizontale de m, une hauteur de 9 m pour une distance horizontale de m et une hauteur de m pour une distance horizontale de m. La hauteur maximale est égale à m et elle est atteinte pour une distance horizontale de m. Le bloc atteint une hauteur de m pour une distance horizontale de, m et de 9, m environ et il atteint une hauteur de m pour une distance horizontale de, m et de, m environ. Je prends un bon départ QCM A C B A C 6 C B 8 A 9 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ). A ( ; ) et B ( ; )... a. Les points C et D semblent appartenir B à la droite (AB). E b. Par lecture graphique, F D l ordonnée de E est A égale à. c. Par lecture graphique, l abscisse de F est égale à.. Les couples b. et c. vérifient l équation.. Les couples a., c. et d. vérifient l équation.. L égalité n est pas vérifiée par le couple ( ; ), mais elle est vérifiée par le couple ( ; ).. x = + et = x +. C x Activités Objectif Découvrir la notion de fonction et les notations correspondantes. A.. a. Le piéton a parcouru m au bout de s et m au bout de s. b. Il lui a fallu s pour parcourir m. c. Il s est arrêté pendant s. Il a ensuite parcouru m en s, alors qu il avait parcouru les premiers mètres en s. Il a donc marché moins rapidement après s être arrêté qu avant son arrêt.. a. d () = et d () =. b. d () =. B.. a. Le nombre s affiche dans la cellule B. b. Les nombres ; ; et apparaissent dans les cellules B à B6.. f (x) = x.. f (x) désigne l image de x par la fonction f. L expression (x + ) désigne le produit du nombre par la somme (x + ). Objectif Déterminer l image ou un antécédent d un nombre par une fonction déterminée par une formule ou un tableau de valeurs.. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) x 8 ( x) a. f (x) = ( x). b. Les images de, et par la fonction f sont respectivement 8, et 9. c. f () = ( ) = =. Chapitre 6 Notion de fonction 6 Éditions Belin,.

2 d. Un antécédent de 8 par la fonction f est, et un antécédent de est. e. L équation ( x) = 6 s écrit 6 x = 6, ou x =. Elle admet pour unique solution le nombre. L antécédent de 6 par la fonction f est. Objectif Déterminer l image ou un antécédent d un nombre par une fonction à partir de la courbe représentant cette fonction. A.. h ( ) =.. On lit : h ( ) = et h () =. On remarque que : h ( ) = h ().. b. Cette droite coupe en un seul point, ce qui signifie que le nombre, a une image unique par la fonction h qui est l ordonnée du point de d abscisse,, soit, environ. B.. a. Les antécédents de semblent être les nombres et. b. On résout : x + =, soit : x =, qui s écrit : (x + )(x ) =. Les solutions sont les nombres et.. Les antécédents de semblent être les nombres, et,. On résout : x + =, soit x =, qui s écrit : (x + )( x ) =. Les solutions sont les nombres et. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) 68 B C.. a. A semble appartenir à la courbe et B ne semble pas appartenir à. h () = + =. On obtient l ordonnée de A, donc A appartient effectivement à. h (,) = (,) + =,. On n obtient pas l ordonnée de B, donc B n appartient pas à.. a. L ordonnée de C semble être égale à,. b. h (,) =, + = 6, + =,. Donc l ordonnée de est égale à,. A C Savoir-faire a. g ( ) = b. g = = c. g ( ) = a. h = c. h ( ) = + 6 x b. h () = 6 On résout l équation x =. On obtient : x =. L antécédent de par la fonction h est. On résout l équation On obtient : x =. x =. L antécédent de par la fonction j est On résout l équation x On obtient : x =. + 9 =.. L antécédent de par la fonction k est. 6 On résout l équation x + =. Cette équation se ramène à l équation x 9 =, puis à l équation produit nul (x + )(x ) =, dont les solutions sont et. Les antécédents de par la fonction g sont et. On résout l équation + 9x =. Cette équation se ramène à l équation 9x 6 =, puis à l équation produit nul (x + 6)(x 6) =, dont les solutions sont 6 et 6. Les antécédents de par la fonction f sont 6 et a. Les images de ; et par la fonction h sont respectivement ; et. b. Les images de ; et par la fonction h sont respectivement ; et. c. L antécédent de par la fonction h est. d. Les antécédents de par la fonction h sont et.. Les valeurs de x qui ont la même image par la fonction h et par la fonction h sont et. 9 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) g x i h Éditions Belin,.

3 a. Par lecture graphique, l image par f de est et l antécédent de est. b. À ans, le chêne atteint une hauteur de m environ. Le chêne atteint une hauteur une hauteur de m à ans environ. Les images des nombres ; et par la fonction g sont respectivement ; 6 et. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) a. f est une fonction qui, au nombre, associe. b. a pour image par la fonction f. c. est un antécédent de par la fonction f. L image de par la fonction h : x x + est 9, et l antécédent de par cette fonction est. 6. h () = h ( ) = 8 h () =.. k ( ) = k = k () =.. f ( ) = 8.. et ont pour image par f.. et sont deux antécédents de par f. 8 Le tableau correspond à la fonction h. Le tableau correspond à la fonction g. Le tableau correspond à la fonction f. Les valeurs prises par la fonction f pour les valeurs entières de x comprises entre et sont les nombres situés dans les cellules B à B. 9 a. D. b. C. c. B. d. A. a. f ( ) = ; f () = ; f () =. b. et sont les deux antécédents de par f. c. a deux antécédents par f, et a trois antécédents par f. La courbe b. représente la fonction f. Exercices À l oral a. «f de 8 égale» ou : «l image de 8 par f est égale à.» b. «g de x égale x 8» ou : «l image de x par g est égale à x 8.» c. «h est la fonction qui à x associe x +» ou : «l image de x par h est égale à x +.» Je m entraîne a. f :. b. g ( ) =. c. h () =.. Faux.. Vrai.. Vrai.. Vrai.. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 6) x 9 f (x) 9. a. f () = 9. b. Un antécédent de est.. h ( ) = 9, h = 6, h () = et h () =.. Un antécédent du nombre 9 est. 6. La division par est impossible donc le nombre n a pas d image par la fonction f.. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) x 9 9 f (x) 9 9, b. Un antécédent de 9 par f est.. =. Or la division par est impossible donc le nombre n a pas d image par la fonction g.. a. Les images des nombres ; ; ; et par g sont respectivement les nombres,,, et. b. Un antécédent de par g est. Chapitre 6 Notion de fonction 69 Éditions Belin,.

4 8. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 8) x k (x) 6. Deux antécédents du nombre par la fonction k sont et. 9. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 9) x f (x). a. Deux antécédents de par f sont et. b. f ( 6) = ( 6) = 6 =, donc 6 est un antécédent de par f.. a. f () =, f () =, f () =, f ( ) = et f ( ) =. b. Le nombre a au moins deux antécédents : et. c. f ( ) = f () =.. Les images de deux nombres opposés par la fonction f sont égales puisque les carrés de deux nombres opposés sont égaux.. L antécédent de par f est la solution de l équation x =, soit 9. L antécédent de 6 par f est la solution de l équation x = 6, soit.. L antécédent de par g est la solution de l équation x + =, soit. L antécédent de 9 par g est la solution de l équation x + = 9, soit. L antécédent de par g est la solution de l équation x + =, soit,.. Les antécédents de par h sont les solutions de l équation x =, soit et.. L antécédent de par h est. Un carré n est jamais strictement négatif, donc n a pas d antécédent par h.. L antécédent de par h est la solution de l équation x =, soit.. Les antécédents de par h sont les solutions de l équation x =, soit et. Les antécédents de 8 par h sont les solutions de l équation x = 8, soit et.. L équation x = 8 n admet pas de solution, donc le nombre 8 n admet pas d antécédent par h.. La fonction f est définie par : f (x) = x +.. Les images par f des nombres ; ; ;, et sont respectivement ; 8 ; ; 8, et 9.. f ( ) =, f ( ) =, f () =, f () = et f () =.. a. Le nombre qui a pour image par f est la solution de l équation x + =, soit. b. L antécédent de par f est la solution de l équation x + =, soit.. Le nombre a un antécédent par g. Le nombre, a trois antécédent par g.. a. g ( ) =, g () = et g () =. b. L antécédent de par g est. c. Les nombres, ;, et, sont des valeurs approchées des trois antécédents de, par g. 6 DOCUMENTS À PHOTOCOPIER (ANNEXE ). a. x,, f (x), 6,,,, b. On obtient les valeurs de f (x) en multipliant celles de x par,. Il s agit donc d un tableau de proportionnalité. c. La courbe représentative de f est donc une droite passant par l origine du repère.. 6 x 6 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) x,,,, h (x) 9, 6,,, x,,,, h (x),,, 6 9, x 6 Éditions Belin,.

5 8. x f (x). DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) (d) x. a. A (, ;,) ne semble pas appartenir à la droite (d). On le vérifie par le calcul : f (,) =, + =. On n obtient pas l ordonnée de A, donc A n appartient pas à (d). b. B ( ; ) semble appartenir à la droite (d). On le vérifie par le calcul : f ( ) = ( ) + =. On obtient l ordonnée de B, donc B appartient à (d). 9. Ce tableau pourrait correspondre à la fonction f définie par: f (x) = x.. f (,) = 6, f (,) =, f (,) =,.. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) x b. La courbe tracée admet un axe de smétrie : l axe des ordonnées du repère.. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ),,, x. Par lecture graphique : l image de, par g est,, et celle de est. l antécédent de par g est, et celui de, est,.. a. U () = U () = U (6) =. b. Le générateur délivre V au bout de s, V au bout de s et V au bout de 6 s.. a. Des valeurs approchées de deux antécédents de sont et, et des valeurs approchées de trois antécédents de sont, et. b. Le générateur a délivré une tension de V au bout de s et s environ et il a délivré une tension de V au bout de s, s et s environ.. f ( ) =, donc l ordonnée de A est.. La solution de l équation x + = est le nombre, donc l abscisse de B est.. ( ) + = 6 ; on obtient l ordonnée de C, donc C appartient à (R).. a. v () =, et v (), b. La vitesse au sol d un corps lâché d une hauteur de m est de, km h, et celle d un corps lâché d une hauteur de m est d environ, km h.. DOCUMENTS À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) a. h (en m) v (h) (en km h ),, 9, 9,, b. v(h) (en km h ) h (en m). Par lecture graphique : a. la vitesse au sol d un corps lâché d une hauteur de m est de km h environ. b. la hauteur de chute d un corps arrivant au sol à la vitesse de km h est de m environ.. a. L expression de v (h) ne dépend pas de la masse du corps : seule la hauteur de la chute intervient dans l expression de la vitesse. b. Par conséquent, en l absence d air, une bille de plomb ne chuterait pas plus vite qu une bille de liège que l on laisserait tomber de la même hauteur.. h ( ) = ( ) =. On n obtient pas l ordonnée de F, donc F n appartient pas à (R).. h ( ) = ( ) =. On obtient l ordonnée de G, donc G appartient à (R).. h ( ) = ( ) =. On obtient l ordonnée de H, donc H appartient à (R). h () = =. On n obtient pas l ordonnée de K, donc K n appartient pas à (R). h () = =. On obtient l ordonnée de L, donc L appartient à (R). Chapitre 6 Notion de fonction Éditions Belin,.

6 . a. Il s agit de la fonction f définie par : f (x) = x +. b. Il s agit de la fonction g définie par : g (x) = x.. a. f ( ) = et f () = 8. b. g ( ) = 86 et g () = 69. Je m entraîne au brevet 6. Les tranches horaires de départs possibles pour ce voilier sont entre h et h min environ, puis entre h min et h environ.. Julien partira à h min. 6. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 6) CASIO-Collège D + TI-Collège plus f : f : Y = X + f (x) x z t a b c + g : Y = X x + g : f (x) x z t a b c x + h : Y = X x + X h : f (x) ( ) x z t a b c x + x z t a b c. f ( ) = 9 g ( ) = 6 h ( ) = 86. f () = g () = h () = a. Le volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide est d environ 6, L. b. Le volume d eau liquide permettant d obtenir litres de glace est d environ 9, L.. Le volume de glace est proportionnel au volume d eau liquide car la représentation graphique est une droite passant par l origine du repère.. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 8) Volume de la glace en litre en fonction du volume d eau liquide en litre Volume de la glace (en L) 6,. La fonction associée est la fonction f définie par : f (x) = x. 8 DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) 6 9, Volume de l eau liquide (en L) Si litres d eau donnent,8 litres de glace, alors litres d eau donnent 8 litres de glace. Soit une augmentation de 8 litres pour litres, autrement dit, une augmentation de 8 %. 6. Pour que l éolienne fonctionne, le vent doit atteindre une vitesse au moins égale à m/s.. La puissance de l éolienne est au moins kw pour une vitesse du vent au moins égale à 9 m/s, soit m/s par exemple.. La courbe représentant la puissance fournie, en kw, en fonction de la vitesse du vent, en m/s, n est pas une droite, donc la puissance fournie par cette éolienne n est pas proportionnelle à la vitesse du vent. 6. A.. A.. C. 9 m ( ) = ( ) + ( ) = + ( ) = 8 et n ( ) = ( ) = 8. m () = + = et n () = =. m () = + = + = et n () = =. J approfondis. On résout l équation x + =, qui se ramène à x =, ou encore à (x + )(x ) =, dont les solutions sont les nombres et. Les antécédents de par f sont donc et. On résout l équation x + =, qui se ramène à x 6 =, ou encore à (x + )(x ) =, dont les solutions sont les nombres et. Les antécédents de par f sont donc et. On résout l équation x + = 8, qui se ramène à x 8 =, ou encore à (x + 9)(x 9) =, dont les solutions sont les nombres 9 et 9. Les antécédents de 8 par f sont donc 9 et 9. Éditions Belin,.

7 . L équation x + = n admet pas de solution, donc n a pas d antécédent par f.. g () = ; g ( ) = ; g ( ) = 9.. g () =, donc est un antécédent de par g. Thème de convergence. Durée (en h) Taux (en g/l),,,,,8,8. Le taux d alcool,, présent dans le sang, au bout d une demiheure est, g/l., Ce taux est égal, à,8 g/l au bout,, minutes, et il est, égal à, g/l au,, bout de trois heures.,. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 9),,, Taux (en g/l),,8,6 Durée (en h). Graphiquement la durée approximative pendant laquelle le taux d alcool est supérieur ou égal à, g/l est d environ, h (,8, =,), soit environ h min.. Après une telle absorption d alcool, on peut reprendre le volant au bout de,6 h environ, soit après h 6 min. 6. L image de par la fonction f est.. ( ) + 6 = + 6 =, donc a deux antécédents par la fonction x x + 6. Donc la fonction f définie par f (x) = x + 6 convient. Si f était définie par f (x) = x, alors serait l unique antécédent de par f.. a. L équation f (x) = 9 s écrit x + = 9, qui se ramène à x 6 =, ou encore à (x + )(x ) =, dont les solutions sont les nombres et. b. Les antécédents de 9 par f sont donc et.. a. On résout l équation f (x) =, qui s écrit x + =, ou encore x =, dont les solutions sont les nombres et. Les antécédents de par f sont donc et. b. L équation f (x) = s écrit x + =, ou encore x =, qui n a pas de solution. Donc n a pas d antécédent par la fonction f. 8. La droite parallèle à l axe des abscisses passant par le point de coordonnées ( ; ) coupe la courbe en trois points distincts dont les abscisses sont les solutions de l équation f (x) =. Donc l équation f (x) = admet trois solutions.. La droite parallèle à l axe des abscisses passant par le point de coordonnées ( ; ) coupe la courbe en un seul point dont l abscisse est la solution de l équation f (x) =. Donc l équation f (x) = admet une seule solution.. L axe des abscisses coupe la courbe en trois points distincts dont les abscisses sont les solutions de l équation f (x) =. Donc l équation f (x) = admet trois solutions. 9. a. On obtient respectivement ; ; ; et. b. L antécédent par r de est. L antécédent par r de est 9.. x Valeurs exactes Arrondis au dixième de r (x) de r (x),,, 6 6,,6 8 8,8 9,. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) 6 8 x 8. Chaque image est égale à.. a. On obtient : f (x) =. b. Quelle que soit la valeur de x, le nombre f (x) est égal à.. f (x) ne varie pas : f est constante. Chapitre 6 Notion de fonction Éditions Belin,.

8 8. L équation g (x) = se ramène à x + x + =, soit x + x =, ou encore à : x(x + ) =, dont les solutions sont les nombres et.. L équation g (x) = admet deux solutions distinctes, donc le nombre admet deux antécédents par la fonction g : les nombres et. 8. Il n existe pas de valeurs de x telles que : f (x) >.. Graphiquement : a. f (x) = pour x = et pour x =. b. f (x) pour x et pour x. c. f (x) pour x.. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) f b. Le maximum de g est. g x 8. L équation h (x) = se ramène à x x + =, soit x x + =, ou encore à (x ) =, qui revient à x =, dont la solution est le nombre.. L équation h (x) = admet une solution unique, donc le nombre admet un antécédent unique par la fonction h qui est égal à. 8. =. Or la division par est impossible, donc n a pas d image par la fonction f.. f ( ) = f () = f () = f () =.. f (8) = =, donc 8 est un antécédent de par f.. On résout l équation f (x) =, soit x + x =, ou encore : x + = x. Cette équation n a pas de solution, donc n a pas d antécédent par f. 8. =. Or la division par est impossible, donc n a pas d image par la fonction g.. g ( ) = g () = g () =. 8 x. On résout l équation g (x) =, soit : =, x ou encore : x = x +, dont la solution est. L équation g (x) = a une seule solution égale à, donc est le seul antécédent de par g. x. On résout l équation g (x) =, soit : =, x ou encore : x = x +. Cette équation n a pas de solution, donc n a pas d antécédent par g. 86. h ( ) =, donc : a ( ) 6 =, soit : a = 6 d où : a = 9. On a donc : h (x) = 9x 6.. h () = 6, donc le point d intersection de avec l axe des ordonnées a pour coordonnées ( ; 6).. a. L équation h (x) = se ramène à 9x 6 =, soit (x + )(x ) =, dont les solutions sont les nombres et. Donc les solutions de l équation h (x) = sont les nombres et. b. Les points d intersection de avec l axe des abscisses ont donc pour coordonnées : ; et ;. 8. On obtient respectivement les images suivantes : 9 ; ; et.. a. h (x) = [(x + ) + ][(x + ) ] = (x + )(x + ). Les solutions de l équation (x + )(x + ) = sont les nombres et. b. h (x) = (x + ) 9 = (x + ) = (x + ) =. [(x + ) + ][(x + ) ] = (x + )(x + ) =. Les solutions de l équation (x + )(x + ) = sont les nombres et.. On déduit de ce qui précède que les antécédents de sont les nombres et, et les antécédents de sont les nombres et. 88. a. Les deux courbes se coupent aux points de coordonnées ( ; ) et ( ; ), donc l égalité f (x) = g (x) est réalisée lorsque : x = et lorsque : x =. Éditions Belin,.

9 b. f (x) = g (x) x + = x + x = x =. (x + )(x ) =. Donc les solutions de l équation f (x) = g (x) sont les nombres et. On vérifie ainsi la lecture graphique de la question a.. a. Par lecture graphique, f (x) g (x) lorsque la courbe est en dessous de, c est-à-dire pour : x. b. Par lecture graphique, f (x) g (x) lorsque la courbe est au-dessus de, c est-à-dire pour : x et pour : x. Argumenter et débattre 89. Vrai. En effet, l équation x x = s écrit x(x ) =, soit x(x + )(x ) =, dont les solutions sont les nombres, et.. Faux. En effet : h () = =.. Faux. En effet, l équation g (x) = s écrit x + =, ou encore x =. L équation g (x) = a donc une solution : le nombre. Par conséquent, a un antécédent par la fonction g, égal à. 9. a. Le coureur a parcouru km pendant les premières minutes, puis km pendant les minutes suivantes, donc la vitesse du sportif n a pas été constante durant toute sa course. b. Le coureur s est arrêté pendant minutes (entre la e et la e minute).. a. d () =. b. L antécédent de 6 est. c. d () =, ce qui signifie que le coureur a parcouru km pendant les premières minutes. L antécédent de 6 est, ce qui signifie que le coureur a parcouru 6 km en min.. Le coureur a ralenti après minutes de course, pendant minutes, sur km. On peut penser qu il a gravi une côte à ce moment-là.. Durant les dernières minutes, le coureur a parcouru km (il avait parcouru km les premières minutes et km les suivantes). Il a couru plus rapidement que précédemment ; on peut donc penser que ces minutes de course se sont effectuées en descente.. a. À la fin du parcours, le coureur a parcouru km en minutes, ce qui correspond à une vitesse moenne de 8 km h. b. Le coureur a parcouru 6 km en min, soit en 6 h. d 6 v = t =, soit v, km h. 6 Atelier découverte 9. F = f(l) = 8, L,.. a. f (,9),6 Hz f (,) 69, Hz f (,),6 Hz f (,) 6, Hz b. Une corde de harpe de longueur 9 cm vibre avec une fréquence de,6 Hz. Une corde de harpe de longueur cm vibre avec une fréquence de 69, Hz. Une corde de harpe de longueur cm vibre avec une fréquence de,6 Hz. Une corde de harpe de longueur cm vibre avec une fréquence de 6, Hz. T 9. F = g (T) =, 9, T =, 88,.. a. g () 6, Hz g () 6,8 Hz g () 68, Hz g (), Hz g (9), Hz. b. Une corde mi de piano dont la tension est N vibre avec une fréquence de 6, Hz. Une corde mi de piano dont la tension est N vibre avec une fréquence de 6,8 Hz. Une corde mi de piano dont la tension est N vibre avec une fréquence de 68, Hz. Une corde mi de piano dont la tension est N vibre avec une fréquence de, Hz. Une corde mi de piano dont la tension est 9 N vibre avec une fréquence de, Hz.. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) Fréquence (en Hz) 66 6 Tension (en N) 8 8. Par lecture graphique : a. La tension pour laquelle on obtient la fréquence du mi égale à 6,8 Hz est N environ. b. la fréquence correspondant à une tension de 8 N est Hz environ. 9. Pour le boau, F 8, Hz. Pour le nlon, F Hz. Pour l acier, F 9, Hz.. a. On obtient T μ = L F, d où T = μl F. Avec L =,6 m, on a : T =,68 μf. b. Avec F = 8, Hz, on a : Pour le boau, T, N. Pour le nlon, T,9 N. Pour l acier, T 8, N. Chapitre 6 Notion de fonction Éditions Belin,.