Pricing d options asiatiques par les méthodes de Monte Carlo

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1 Pricing d options asiatiques par les méthodes de Monte Carlo BARRY IBRAHIMA et FRELE JEAN-MARC Février

2 Première partie Présentation et algorithmes Introduction Nées sur le marché des changes de okyo, d ou leur nom d asiatiques, les options sur moyennes sont de deux types : soit c est le sous-jacent qui est une moyenne, le strike étant fixe, soit c est le strike qui est une moyenne. Les payoffs respectifs s écrivent alors : max[, M(, ) K] (call) ou max[, K M(, )] (put) max[, S( ) M(, )] (call) ou max[, M(, ) S( )] (put) où M(, ) représente la moyenne des cours du terme sous jacent entre les instants et (, l échéance des options). L intérêt de telles options est que, la moyenne étant par construction moins volatile que le cours du terme sous jacent, elles sont moins chères que leurs homologues vanilles. Par ailleurs, pour un opérateur qui fait de nombreuses transactions sur le terme sous jacent ( par exemple une devise pour un importateur ou un exportateur, ou un taux d intérêt pour une institution financèire), le cours moyen de terme sous jacent est plus pertinent que le cours ponctuel une date donnée. Ces deux raisons contribuent à expliquer le succès de ces options asiatiques. Au niveau de l évaluation, on rencontre de nombreux problèmes : - Le caractère discret, et non continu, des cours observés du sous jacent. - Le calcul sur la moyenne. Dans ce rapport, nous allons présenter différentes façon d approcher l intégrale. Puis nous allons utiliser une réduction de variance sur chacuns de ces schémas pour ainsi montrer que la méthode de Monte Carlo peut être plus efficace que d autres méthodes connues que nous allons traiter en fin d article. Nous terminerons par une application au modèle d Heston

3 Contexte mathématiques. Connaissances financières Pour décrire les prix du sous-jaçent en fonction du temps, nous allons utiliser le modèle de Black et Scholes avec un actif risqué (de prix S t au temps t) et un actif non risqué (de prix St au temps t). La dynamique de l actif risqué est donnée par l équation stochastique suivante : ds t = S t (µdt + σdb t ) ou µ et σ sont deux constantes positives et (B h ) t est un mouvement Brownien standard.la dynamique de l actif sans risque est : ds t = rs t dt Comme d habitude, nous introduisons un processus W t = B t + µ r σ t qui est un mouvement Brownien sous une probabilité adaptrée, appelée probabilité risque-neutre et notée P. Sous cette nouvelle probabilité la dynamique de l actif risqué satisfait une nouvelle équation différentielle stochastique : ds t = S t (rdt + σdw t ) dont la solution est : σ (r S t = S e )t+σwt (.) où S est le prix du sous jaçent au début de la modélisation. Nous avons vu que les options asiatiques font parties des options pathdependant, dont le prix dépendait de la moyenne. Ce dernier pour une maturité peut donc être écrit : V (t, S, A) = e r( t) E[f(S t, A S (, t))] où A S (, t) = t t S u du 3

4 à partir de maintenant, =, sans perdre de généralité. La fonction f dépend du type de l option. Pour un call avec strike fixe : f(a) = (a K) + Pour un put avec strike fixe : f(a) = (K a) + Pour un call avec strike variable : f(s, a) = (s a) + Pour un put avec strike variable : f(s, a) = (a s) + Dans la suite, nous nous intéreserons aux calls à strike fixe dont la fonction de payoff est : f(a) = (a K) +. On cherche donc à calculer le prix de cette option, qui est donné ( dans l univers risque-neutre) par P = e r E (f(a)). Les schémas Si nous voulons simuler les prix par les méthodes de Monte-Carlo, nous avons besoin de modéliser la dynamique de S t, mais avant toutes choses, nous devons approximer les intégrales. Dans notre cas, il n est pas nécessaire d approximer S t car il peut être exactement simulé. Nous allons discrétiser l intervale [,] en N parties égales. Le pas de subdivision sera donc h=/n et nous définisons alors le temps = k/n = kh. Notons M le nombre de réalisation de la variable aléatoire que l on effectue pour approcher la moyenne de Monte-Carlo. On aura donc deux types d erreur dans l approximation : une liée à la discrétisation en temps ( qui sera de l ordre de O ( ) N ) et une liée à la méthode de Monte-Carlo ( qui sera de l ordre de O( M )) Le schéma standard : Nous introduisons trois schémas pour estimer Y t = S udu. Le plus simple est d approcher l intégrale par la somme de Riemann : Y r,n n = h k= S tk (.) Il suffit pour calculer les S tk, de calculer les W tk, ce qui est facilement réalisable car les accroissements W tk W tk, k =..N sont des variables aléatoires gaussiennes centrées de variance h i.i.d. En effet, on a : 4

5 σ (r k =..N, S tk+ = S tk e )h+σ(w+ W ) Par exemple si nous faisons M simulations, une approximation du prix d une option asiatique strike fixe est donnée par : e r M M j= ( h ) n k= S K + Si nous posons X i = e r f(a i ) où ai est une réalisation de la variable M a, le prix de notre option est alors : M X i. Nous allons aussi chercher les intervalles de confiance pour encadrer nos prix.nous avons que la variance de X est : V(X) = M Ce qui donne en multipliant par V(X) = M M = M ( M ( M i= i= ( M Xi i= M M : ( M Xi i= X i M ( M i= M i= ) M X i M i= ) ) M X i ) ) M X i Ce qui fait dans notre cas une variance de la forme : V(X) = M e r M M i= ( ) S u du K M + prix { }} { e r M ( ) S u du K M i= + Par le théorème central limite, on a : Si (X i ) i n désigne n réalisations d une même variable aléatoire X dont on cherche calculer l espérance, on a le résultat suivant : 5

6 ( [ ]) M θ θ P X i E(X).96, E(X) M (M) (M) i= où θ désigne la variance de X. On aura ainsi les intervalles de confiances pour chacun des schémas. On peut donc en inversant la formule précédente avoir un intervalle de confiance pour le prix de l option asiatique à 95 %. ( [ M θ P E(X) X i.96, M (M) M i= ]) M θ X i (M) i= Schéma plus précis Une façon d obtenir une meilleur précision pour l approximation d intégrale est de remarquer que dans L, la variable aléatoire la plus proche de ( S udu K) + quand les (S tk, k =,..., N) sont connues, est données par : E(( S u du K) + B h ) (.3) avec B h la famille generée par les (S tk, k =,..., N). Bien sur, il est impossible de générée une espérance conditionelle de cette forme ; c est pourquoi nous allons utiliser la loi conditionelle de W u. En effet conditionnelement B h pour u [, + ] la loi de W u est : L(W u W tk = x, W tk+ = y) = N ( + u x + u h h y, (+ u)(u ) ) h (.4) lemme. Soit (x,y) un vecteur gaussien avec x à valeur dans R et y à valeur dans R. On pose θ = E(x ) E(x), θ = E(y ) et ), θ 3 = E(y) ( E(xy) E(x)E(y). La matrice covariance de (x,y) est Γ = θ θ 3 θ 3 θ. On pose λ = θ 3 θ. Alors, E(x y) = E(x) + λ(y E(y)) 6

7 De plus, si on pose z = (x E(x)) λ(y E(y)),z est une gaussienne centrée et de variance θ = θ θ 3 θ. On a donc x = E(x) + λ(ye(y)) + z avec z indépendante de y. La loi de x conditionnellement en y est donc celle d une gaussienne centrée en E(x) + λ(y E(y)) et de variance θ. Preuve : (z,y) est clairement un vecteur gaussien. Pour vérifier que z est indépendant de y, il suffit donc de calculer la covariance E(zy). On a donc : E(zy) = E(z(y E(y))) = θ 3 λθ = E(x y) = E((z + E(x) + λ(y E(y))) y) = E(z) + E(x) + λ(y E(y)) = E(x) + λ(y E(y)) Enfin, calculons la variance de z. E(z ) = E(((x E(x)) λ(y E(y)))((x E(x)) λ(y E(y)))) = θ λθ 3 θ 3 λ + λθ λ = θ θ 3 θ Pour trouver la loi de W u, on applique le lemme précédent avec x = W u et y = W tk+, en faisant démarrer le brownien en W tk = x k i.e E(x) = x k et E(y) = x k. On a donc θ = (u ), θ = δt et θ 3 = θ d où λ = u δt et θ = (u )(u tk+ ) δt. On obtient alors, pour u (, + ), L(W u W tk = x k, W tk+ = x k+ ) = N ( + u δt On a l égalité : x k + u δt x k+, (+ u)(u ) δt ). (E( S u du B h ) K) + = ( E(S u du B h ) K) + (.5) 7

8 En appliquant l inégalité de Jensen ( la fonction partie positive étant convexe) on prouve que (.4) est plus petit que (.). En utilisant la loi du couple vu en, on a : E[S u B h ] = n tk+ k= E[S u W tk, W tk +]du = n tk+ k= E[S e (r σ )u+σwu W tk, W tk +]du = n tk+ S k= e (r σ )u E[e σwu W tk, W tk +]du lemme. On sait que si G suit une loi normale centrée, alors : E[e G ] = e E[G]+ V[G] Ayant la loi conditionnelle de L(W u W tk, W tk+ ), on a : E[S u B h ] = n tk+ k= e (r σ )u e σ + u h W tk +σ u h W+ + σ (+ u)(u ) h du Modifions maintenant un peu la formule précédente pour arriver à une forme simplifiée. E( S udu) = = = n tk+ k= n tk+ k= n tk+ k= e (r σ e (r σ e σ u )u e σ + { }} { + u h W tk +σ u h W+ + σ )u e σ u h (W+ W )+σ h (W+ W ) σ (u ) h =h { }} { (+ )W tk + { }} { (+ u)(u ) h du h +σ +ru e σw σ du =h { }} { (+ )(u ) (u ) σ h h du 8

9 Nous allons maintenant faire des dévellopements limités dans cette équation pour obtenir notre deuxième schéma : Posons : A(u) = e σ u h (W+ W ) σ (u ) h +ru e σw σ On a A( ) = S tk. Calculons la dérivée partielle de A par rapport à u. A u (v) = σ h (W + W tk )A( ) σ (v ) A( ) + ra( ) h On a ainsi : A u () = σ h (W + W tk )S tk + rs tk Par un dévellopement limité on a : A = S tk + ( σ h (W + W tk )S tk + rs tk )(u ) Remplaçons la valeur dans l intégrale : tk+ S tk + ( σ h (W + W tk )S tk + rs tk )(u )du = hs tk + ( σ h (W h + W tk ) + r)s tk forme : En plaçant ce résultat dans l équation préc dente, on a un schéma de la Y e,n = h n k= S tk ( + rh + σ W + W tk ) (.6) Le dernier schéma ressemble beaucoup au second. Le mouvement Brownien étant un processus Gaussien, W udu a une densité normale par rapport à la mesure de Lebesgues sur R et peut donc être facilement simulé. 9

10 lemme 3. On sait que pour u (, + ), L(W u W tk = x k, W tk+ = x k+ ) = N (M(u), Θ(u)) avec M(u) = + u x k + u x k+ et δt δt Θ(u) = (u )(+ u). On peut alors explicitement trouver la loi de δt tk+ W u d sachant que W tk = x k et W tk+ = x k+. Il s agit d une loi normale de moyenne m(x k, x k+ ) = x + y δt et de variance h3 6. Preuve : La moyenne est donnée par + M(u)du ce qui donne m(x k, x k+ ). Pour calculer la variance, on utilise le fait que le brownien est à accroissements indépendants : tk+ tk+ E(( W u M(u)du) ) = E( tk+ (W u M(u))(W v M(v))dvdu) tk+ = E( tk+ (W u v M(u v))dvdu) = tk+ tk+ Θ(u v)dvdu tk+ = u Θ(v)dvdu Ainsi : = h3 6 Y t = S u du = n tk+ S tk k= e σ(wu W ) σ (u )+r(u ) du

11 Par des dévellopement de aylor, on a : Y p,n = n k= S tk (h + rh tk+ + σ (W u W tk )du) (.7) 3 Convergence dans les espaces L p Dans cette section, nous nous intéresserons à la convergence des schémas. Nous allons citer plusieurs propositions sans les démontrer ( voir [3], l article de base de notre étude pour les preuves) Proposition 3.. Pour une diffusion de type Black et Scholes, nous avons : E S t S s C q t s q Cette proposition est valable pour toute diffusion avec un coefficient Lipschizien. Proposition 3.. Avec les notations précédentes, il existe trois schémas non décroissants K ( ),K ( ),K 3 ( ) tels que : ( ( ( E E E ( )) sup Y r,n q t Y t q t [, ] ( )) sup Y e,n q t Y t q t [, ] ( )) sup Y p,n q t Y t q t [, ] K ( ) n K ( ) n K 3( ) n 3 Ces inégalités donnent une limite suprérieure pour la vitesse de convergence, mais il est possible d obtenir un résultat plus précis. De plus, si nous étudions la convergence dans L, il est possible d obtenir le résultat exact. Proposition 3.3. Avec les notations et hypothèses précédentes nous avons : E [ ( )] S u du E S u du B h = σ e (σ +r) ( ) n (σ + r) +O n n (3.)

12 E [ S u du Y e,n ] = σ n e (σ +r) ( ) (σ + r) + O n n (3.) E [ ] S u du Y r,n = K ( ) n +O n n avec K σ e (σ +r) (σ + r) (3.3) E [ ] S u du Y p,n = n σ n 4 e(σ +r) ( ) (σ + r) + O n (3.4) 4 Réduction de variance 4. Concept de la variable de contrôle Afin d améliorer l efficacité de la simulation de Monte Carlo, nous allons procéder à une réduction de variance par une variable de contrôle. Dans notre article, nous cherchons à approcher au mieux l intégrale S udu pour calculer un prix de la forme E(f). L idée est d introduire et d utiliser une nouvelle variable h tel que E(f) = E(f h) + E(h) (linéarité de l espérance) avec E(h) facilement calculable et V(f h) V(f) Nous allons suivre la méthode de Kemna et Vorst. Cette dernière consiste à approcher S udu par Y = exp( ln(s u)du) (ce qui n est pas trop faux si r et σ ne sont pas trop grands). On rapelle que σ (r E(Y ) = xe ) σ E(e Wudu = xe r σ On va donc considérer une variable de contrôle de la forme Z = e r (e K) +. L espérance de Z est donnée par : log(su)du avec d = σ E(Z) = e r σ (r ( KN ( d) + xe 6 ) N ( d + σ 3 ) (4.) 3 (ln( K S ) (r σ ) )

13 En utilisant () on a : σ (r ln(s u ) = ln(s e )u+σwu ) Ainsi on a : = ln(s ) + (r σ )u + σ(w u) ln(s u)du = ln(s ) + (r σ ) + σ W tdt Considérons maintenant la variable Z définie par : Y = ln(s u)du = ln(s ) + (r σ ) + σ W tdt Cette variable suit la loi N (ln(s ) + (r σ ), σ 3 ), et on cherche donc à simuler : E(Z) = E ( e r ) (exp(y ) K) + Calculons l éspérance de la variable de contrôle. Posons m = (r σ et v = σ 3, G une loi N (, ) et d = v (ln( x K ) + m). On a : ) σ (r E(xe ) + σ Wudu K) + = E((xe m+vg K) + ) = xe y m+vy e π { xe m+vy > K}dy K e y π { xe m+vy > K}dy or {xe m+vy > K} = {y > v (ln( x K ) + m)} = {y > d}. D où : σ (r E(xe ) + σ Wudu K) + = e m xe 3 d y vy e π dy KN ( d)

14 d xe (y+v) + v dy KN ( d) π = em = em π d+v =z { }} { xe ( y + v) + v dz KN ( d) = e m+ v N ( d + v) KN ( d) 4. Les schémas avec la variable de contrôle On va appliquer la même approximation pour W udu que celle de S udu. On a ainsi le schéma : Z r,n = e r S e (r σ ) + σ n hw tk k= K + (4.) Pour ce schéma, il suffit de simuler une somme d un mouvement Brownien en n points. Or on sait que W tk+ W tk N (, h), on va donc avoir W tk+ = W tk +N (, h). Pour ce schéma, il suffit juste de simuler une somme de gaussiennes indépendantes. De même avec le schéma en utilisant la méthode des trapèzes on a : Z r,n = e r S e (r σ ) + σ n h k= (W +W+ ) K + (4.3) Enfin pour le troisième modèle avec réduction de variance on a : Z r,n = e r S e (r σ n ) + σ k= + W udu K + (4.4) 4

15 Comme dans le cas du schéma (7) nous allons simuler pour chaque pas W tk+ alors la variable aléatoire ξ k définie par ( + W u du W tk, W tk+ ). En écrivant n tk+ W u du dans l équation précédente, nous pensons à la somme n ξ k k= k= 5 Applications Dans cette section nous allons comparer les différents schémas présentés précédement pour le prix d un call asiatique. out d abord, nous allons étudier les convergences des schémas sans et avec réduction de variance et montrer l importance de la réduction de variance pour le calcul du prix. Dans la seconde partie, nous comparons les méthodes de Monte Carlo avec d autres méthodes : différences finies, et montrons l efficacité des méthodes de Monte Carlo pour le pricing d options asiatiques. Enfin nous testerons les schémas aux limites. 5. Convergence des méthodes de Monte Carlo 5.. Simulation sans technique de réduction de variance Nous testons les schémas avec les paramètres suivants : = (an), r=., X /K= et σ=.. Les premières simulations sont réalisées sans réduction de variance et avec tirages de Monte-Carlo. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant. On voit que la convergence est assez rapide, mais les intervalles de confiance sont bien trop grands pour une utilisation financière. 5

16 Schéma Nombre de pas Prix Intervalle de confiance à 95% Variance (.) [ ,6.446] [6.8879,6.9934] [ ,7.483] (.6) [ , ] [ ,7.3767] [ ,7.657] (.7) [7.689,7.3] [7.54,7.3] [7.6,7.66] Et la variation du prix en fontion du pas de temps pour les schéma sans réduction de variance est donnée par : 7. 7 le prix de l option en fonction de N(nbre de pas de temps) schema schema schema le prix axe des N Comme nous le verons plus tard, le prix réel de ce call est 7.4. Le tableau précédent montre que le premier schéma n est pas très efficace par rapport aux autres notamment quand le pas est faible. La surprise vient des schémas (.6) et (.7) qui semblent avoir la même convergence alors que la proposition 3 assure que le second est plus précis. Le tableau montre la limite des méthodes de Monte-Carlo sans réduction de variance pour une utilisation en finance. En effet, en finance il est d habitude de simuler trajectoires pour trouver un prix. Notre objectif est d étudier la convergence 6

17 de nos schémas quand le pas tend vers l infini. Avec cet objectif, nous devons augmenter le pas ce qui augmente donc le temps de calcul. Afin d améliorer ce temps, nous allons procéder à une technique de réduction de variance par variable de contrôle. 5.. Simulation avec la technique de réduction de variance Pour la simulation avec variable de contrôle nous conservons les mêmes paramètres que précédement mais nous faisons seulement Monte- Carlo (8% de moins qu avant). Nous observons à nouveau que les schémas (4.3) et (4.4) sont quasi identiques et que l approximation par la somme de Riemann n est toujours pas très efficace (surtout pour un pas peu élevé). Schéma Nombre de pas Prix Intervalle de confiance à 95% Variance (4.) [6.748,6.755] [ ,6.995] [7.9,7.3].5497 (4.3) [7.464,7.4498] [7.745,7.363] [7.76,7.89].455 (4.4) [ ,7.5976] [7.48,7.3966] [7.88,7.938].33 On constate que les schémas (4.3) et (4.4) ne donnent pas les valeurs prévues. Le prix se rapproche tout de même du prix correct, et la variance diminue quand le pas augmente pour chaques schémas. La variation du prix en fontion du pas de temps pour les schéma avec réduction de variance est donnée par : 7

18 le prix de l option avec reduc de var en fonction de N schemar schemar schema3r le prix axe des N Avec la réduction de variance non seulement la variance diminue mais aussi le temps d exécution.dans le tableau suivant on montre cette diminution pour N = : Les scémas schéma schéma schéma3 temps sans reduc 3. second 6.3 second 3.98 second temps avec reduc.8 second.83 second. second 5. ests aux limites Dans cette section, nous allons tester nos modèles en changeant certains paramètres. Par exemple en prenant un strike, un taux d intérèt, ou la volatilité nul afin de voir comment réagit le pricer. Comparons d abord le prix asiatique, noté S a (avec le schéma avec réduction de variance) au prix européen S e pour différents strike afin de montrer la réelle différence de prix entre ces deux options. Nous prenons S = dans tous les exemples. Nous faisons ensuite le rapport entre le prix européen et l asiatique. 8

19 Strike Prix asiatique Prix européen (faux) Rapport S e /S a On constate que le rapport devient vraiment important une fois que l on a passé la monaie. Ceci vient tout simplement par construction des options asiatiques. En effet, l option asiatique faisant une moyenne sur toute la courbe pour le prix. Cette dernière a par contruction moins de chance de se finir au dessus d un strike très au dessus du prix initial que la valeur finale S. Nous allons maintenant regarder l effet de la volatilité sur le prix asiatique et européen. Nous gardons les paramètres précédents. Volatilité(en %) Prix asiatique Prix européen On remarque que le prix asiatique est moins sensible à la volatilité que son homologue européen ( environ deux fois moins) à la monaie. Ceci est lié à la dynamique de la moyenne des options asiatiques. Durée (en années) Prix asiatique Prix européen On constate une fois de plus que le prix de l option asiatique est inférieur à celui de l européenne. 9

20 5.3 Comparaison avec d autres méthodes de pricing Nous allons comparer la méthode de Monte-Carlo à d autres méthodes pour pricer les options asiatiques Différences finies Cette mèthode est basée sur l équation suivante : V t (x, t) + σ x V (x, t) (ρ(t) + rx) V (x, t) = x x Prenons ρ = et réécrivons l équation sous une autre forme par le changement de variable Ṽ ( t, x) = V (t, x) Ṽ t (x, t) σ x ( ) Ṽ (x, t) + x + rx Ṽ (x, t) =, x R, x ( avec les conditions initiales Ṽ (x, ) =,x et u (t, ) = e rt ), r t Une discétisation standard en temps donne le schéma suivant : Ṽ n+ Ṽ n + BṼ n+θ =, θ [, ] t Avec les dérivées partielles d ordre (centrée) fournit l expression de B : ( ) ( ) ( BṼ = i + rz Ṽi+ n+ Ṽ i n+ i z ) σ z i (Ṽ n+ i+ n+ Ṽi + Ṽ ) i n+ z Par la méthode LU, nous allons résoudre le système AU n+ = U n, où les coefficients de la matrice A sont : a[i] = b[i] = c[i] = ( ) ) ( σ i + rx i x ( ) δt + σ i ( σ i ( ) ) + + x i x (5.) (5.) (5.3)

21 La variation du prix en fontion du pas de temps et d espace par la méthode des différence finies est donnée par : le prix par difference finie diff_finie le prix axe des x axe du temps Le choix de la discrétisation est importante car la stabililté du schema en depend comme le montre l exemple suivant : le prix d une option asiatique avec =,sigma=.,r=.,s=k= "asian.dat" index :: prix axe du temps axe des x

22 Deuxième partie Modèle d Heston Présentation En présence d une nappe de volatilité, nous savons que la volatilité n est pas constante durant la vie du produit. Le modèle de Heston permet de modéliser une volatilité stochastique et est très utilisé pour le pricing d options path-dependent. En 993, Heston a proposé le modèle suivant : ds t = rs t dt + V t S t dwt σ(s, i) = dv t = k (θ V t ) dt + σ V t dwt d W, W t = ρdt Le processus (V t ) t est un processus du type CIR. θ est la moyenne de long terme de la variance,k la vitesse de retour vers cette moyenne et σ la volatilité du processus de variance, connue sous le nom de vol de vol. Le paramètre σ est le coefficient de diffusion de la volatilité et r est le taux sans risque. Il est important de dire que dans les modèles à volatilité stochastique, le marchè financier est incomplet ( il y a deux sources de risque et seulement le terme sous jaçent pour dupliquer l option. Les études empiriques montrent que la densité de log-returns de l actif ds t n est pas gaussienne et est caractérisée par des queues importantes et des crêtes élevées. Le paramètre ρ peut-être interprété comme la corrélation des log-returns et la volatilité de l actif. Si ρ > alors la volatilité augmente si ds t >, ceci diffusera la queue droite de la distribution et comprimera la queue gauche (l inverse étant pour ρ < ). Le paramètre ρ affecte aussi proportionnellement la skewness de la distribution. Le paramètre σ augment la kurtosis de la distribution et rend aussi le skew(biais) plus important. L algorithme Le temps sera discrétisé en N pas de taille δt, nous avons = Nδt. En commençant à S et v = σ { Si+ = S i ( + rδt + σ i δt (N (, ) ρ + N (, ) )) ρ v i+ = v i + k (θ v i ) δt + σ i δtn (, ) δ, avec σ i = v i

23 òu N j (, ),j=, sont des réalisations de deux gaussiennes indépendantes. On calcule ensuite le prix par les méthodes précédentes. Il faut alors calibrer notre modèle, c est à dire trouver les paramètres k,σ et θ qui permettent de retrouver les prix du marché. Pour cela il faut trouver les paramètres qui minimisent une distance entre les prix générés par le modèle et les prix du marché. Dans notre cas, nous avons cherché les paramètres qui, en appliquant le modèle de Heston au schéma sans réduction de variance nous donne un prix d environ 6.99 pour un pas de. Normalement, il faut calibrer le modèle d Heston avec des prix de produits vanilles observés sur le marché. Nous allons ensuite tester, en conservant ces paramètres, le modèle de Heston avec les autres schémas. Pour une lecture plus approfondie sur les techniques de calibration du modèle d Heston, on peut se référer á []. Nous trouvons les paramètres suivants : θ =.79,k =.5, =. et ρ =.6 En péconditionnant par la volatilité, nous cherchons l EDP de Black et Scholes correspondante et ensuite sa solution qu on utilisera pour calculer le prix par des simulation de type Monte Carlo. Considérons alors le procesus(cf [4]) : { dst = rs t dt + ρσ t µ t S t dt + σ t S t ρ dw t µ t = W t i+ W t i δt ρσ ts t pour t [t i, t i+ ] Et par la formule d Ito on obtient : dlog (S t ) = rdt + ρσ t µ t dt + σ t ρ dwt ( ρ ) σt dt On obtient alors : S ti+ = S ti exp(rδt + σ ti ( ρ (W t i+ W t i ))) + ρ(w t i+ W t i )) σ t i δt) S ti+ = S ti exp(rδt + σ ti (W t i+ W t i ) σ t i δt) Nous reconnaissons ici une discrétisation du processus stochastique suivant : exp(rt + t σ tdwt t σ dt) Où σ t est solution de la dynamique d la volatilité dans le modèle de Heston. C est avec cette nouvelle discrétisation qu on va faire les simulations de Monte Carlo. C est ce qui est fait avec la fonction privehestonmcbs. 3

24 schéma (.) (.6) MC et BS Prix asiatique Conclusion Le pricing d option path-dependant comme les options asiatiques peut se faire par plusieurs méthodes. Nous avons vu que la méthode de Monte- Carlo peut-être très compétitive en terme de précision et de rapidité de calcul, notament grâce à la technique de réduction de variance sugérée par Kemna et Vorst. De plus, le méthode de Monte-Carlo permet d avoir un intervalle de confiance pour le prix. La méthode des différences finies donne un prix proche mais souffre d une instabilité importante avec parfois des prix négatif (même en faisant une différenciation à droite ou à gauche). En présence d un smile, le modèle d Heston permet de considèrer une volatilité stochastique et corrige donc cette hypothèse erronée du modèle de Black- Scholes. outefois, ce modèle n est pas exempt de défauts. Obtenir le bon calibrage est assez difficile et long. De plus, ce modèle ne s utilise que sur des options de maturité relativement courte (un an ou moins), car du fait du théorème de la limite centrale, le processus des log rentabilités tend à long terme à redevenir gaussien, ce qui aplatit sensiblement, contrairement aux observations, le smile des options longues. Références [] Davalos, B, Le modèle d Heston et ses extensions. 7. [] Jackel, P., Monte Carlo methods in finance. [3] Lapeyre, B. emam, E., Competitive Monte Carlo methods for the pricing of Asian Options.. [4] Pironneau, O. Loeper, G., A mixed PDE/Monte-Carlo Method For Stochastic Volatility Models.. 4