Discrétisation par différences finies des problèmes transitoires

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Melanie Lavoie
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1 École Nationale Supérieure de Techniques Avancées Discrétisation par différences finies des problèmes transitoires août 2007 MA261 Introduction au calcul Lunéville

2 Introduction Discrétisation des problèmes transitoires eq. desondes : 2 tu c 2 u=f eq. delachaleur : t u α u=f différences finies en espace et en temps rôle différent des 2 discrétisations : sens du temps lien entre les pas de discrétisation lié à la vitesse de propagation exemple modèle : équation des ondes 1D (corde vibrante) tu(x,t) c 2 2 xu(x,t)=f(x,t) 2 x ]0,1[,t>0 u(0,t)=u(1,t)=0 t>0 u(0,x)=u 0 (x) x ]0,1[ t u(x,0)=v 0 (x) x ]0,1[ 1

3 Un exemple encore plus simple : l équation de transport { t u(x,t)+c x u(x,t)=0 x R,t>0 u(0,x)=u 0 (x) x R premier ordre pas de condition limite solutionévidente: u(x,t)=u 0 (x ct) ct u 0 u(.,t)=u 0 (. ct) x équation conservative, propagation à vitesse finie (c) similaire à l équation des ondes 2

4 Discrétisation de l éq. de transport abscissesdediscrétisationx j =j x j Z instantsdediscrétisationt n =n t n 0 t t n =n t t 0 =0 x 0 =0 x j =j x x u n j approximationdeu(x j,t n ) onau 0 j =u 0(x j ) j Z(conditioninitiale) 3

5 Idée : fabriquerunschémaquiconstruitu n+1 = ( u n+1 ) j àpartir j Z desapproximationsauxinstantsprécédentsu n,u n 1,... schéma décentré (DF d ordre 1) u n+1 j u n j t +c un j un j 1 x =0 n 0, j Z u n+1 j =u n j α( ) u n j un j 1 avecα= c t x schéma explicite à 2 pas! j 1 j j+1 n+1 n schéma saute-mouton (leapfrog) (DF d ordre 2) u n+1 j u n 1 j 2 t +c un j+1 u n j 1 2 x u n+1 j =u n 1 j α ( u n j+1 un j 1 schéma explicite à 3 pas! =0 n 1, j Z ) (ilfautconstruireu 1 ) j 1 j j+1 n+1 n n 1 4

6 Ordre des schémas le schéma décentré est d ordre 1, le schéma saute-mouton est d ordre 2 dms : u solution régulière de l équation de transport erreur de troncature pour le schéma décentré: ε n j = u(x j,t n+1 ) u(x j,t n ) +c u(x j,t n ) u(x j 1,t n ) t x = t u(x j,t n )+O( t)+c x u(x j,t n )+O( x) =O( x)+o( t) erreur de troncature pour le schéma saute-mouton: ε n j = u(x j,t n+1 ) u(x j,t n 1 ) +c u(x j+1,t n ) u(x j 1,t n ) 2 t 2 x = t u(x j,t n )+ t 2 2 tu(x j,t n )+O( t 2 ) +c x u(x j,t n )+c x 2 2 xu(x j,t n )+O( x 2 ) =O( x 2 )+O( t 2 ) car tu= c 2 xu 2 5

7 Stabilité des schémas et convergence erreure n j =un j u(x j,t n )onapourleschémadécentré: e n+1 j =e n j α( e n j j 1) en + tε n j... e n+1 =Ae n + tε n α 1 α avec A= e n t n 1 k=0 e n =A n e 0 + t n 1 k=0 A n k ε k A n k ε k Tmax0 k n 1 A n k ε k 0 n T t déf leschémaeststablepourlanorme siilexisteuneconstantec indépendanteden, tet xtelleque: A n u 0 C u 0 0 n T t 6

8 la stabilité implique la convergence e n T max A n k ε k CT max ε k CT( t+ x) 0 k n 1 0 k n 1 stabilitée l 2 w ξ = ( e iξj x) j Z,(w ξ) ξ R basefourierdel 2 pourobtenirlastabilitéilsuffitdemontrerque A n w ξ 2 C w ξ 2 0 n T t (Aw ξ ) j =(1 α)e iξj x +αe iξ(j 1) x = ( 1 α+αe iξ x) e iξj x =g(ξ, x, t)(w ξ ) j = ξ Aw ξ =g(ξ, x, t)w ξ A n w ξ 2 sup ξ g(ξ, x, t) n w ξ 2 Condition suffisante de stabilité: sup ξ g(ξ, x, t) 1 7

9 g(ξ, x, t) 2 = 1 α+αe iξ x 2 =1 2α(1 α)(1 cosξ x) stablesiα= c t x 1 (conditioncfl) interpréetation de la CFL siuestlasolutionalors: u(x j,t n+1 )=u(x j c t,t n )=u 0 (x j ct n+1 ) n+1 j 1 x j j+1 CFL: t x 1 c n t x t c vitessedeprop. duschéma vitesse de prop. de l équation droited équationx ct=x j ct n+1 depente1/c toujoursinstablesic<0 utiliser le décentré avant 8

10 Stabilitée du schéema saute-mouton mêmeapproche(unpeupluscompliquécar3pas) condition CFL: c t x 1 fonctionne(souscfl)quelquesoitlesignedelavitessec(schémacentré!) α=0.3 α=1.01 9

11 Discrétisation de l éq. des ondes 1D tu(x,t) c 2 2 xu(x,t)=f(x,t) 2 x ]0,1[,t>0 u(0,t)=u(1,t)=0 t>0 u(0,x)=u 0 (x) x ]0,1[ t u(x,0)=v 0 (x) x ]0,1[ discrétisationde[0,1]avecm+2pts: x j =j x j=0,m+1 t t n =n t x= 1 m+1 t 0 =0 x 0 =0 x j =j x x x m+1 =1 10

12 Schéma saute-mouton u n+1 j +uj n 1 2u n j t 2 u n 0 =u n m+1=0 u 0 j =u 0(x j ) u 1 j =u 0(x j )+ tv 0 (x j ) c 2un j+1+u n j 1 2u n j x 2 =fj n j=1,m n 1 n 1 j=1,m j=1,m u n+1 j = u n 1 j +α 2 u n j+1 +2(1 α2 )2u n j +α2 u n j 1 + t2 f n j schéma explicite à 3 pas d ordre 2 n+1 n n 1 j 1 j j+1 11

13 forme vectorielle u n = ( u n j) j=1,m f n = ( f n j ) j=1,m (éliminationdesindices0etm+1) { u n+1 =(2I α 2 B) u n u n 1 + t 2 f n n 1 u 0, u 1 donnés avec B= matricem m u(x,t)solutiondel eq. desondes: u n =(u(x j,t n )) j=1,m erreur de troncature: u n+1 =(2I α 2 B) u n u n 1 + t 2 f n + t 2 ε n avec ε n =O( t 2 )+O( x 2 ) (approx. DFd ordre2) 12

14 Stabilité et convergence du schéma l erreuràl instantn: e n = u n+1 u n vérifie: enposant E n = E n+1 = e n+1 =(2I α 2 B) e n e n 1 + t 2 ε n n 1 ( e n+1 e n ) ona: [ (2I α 2 B) I I 0 qui donne par récurrence: soit l estimation d erreur: ] E n +( ε n 0 ) E n =M n 1 E 1 + t 2n 1 E n M n 1 E 1 k=1 M n k ε k + tt max k=1,n 1 = M E n + Ξ n def M n k Ξ k 13

15 Sileschémaeststable: M k X C X X, k 1avecC indépendantdek alors on convergence du schéma: E n C 1 E 1 +O( t 2 )+O( x 2 ) condition suffisante de stabilitée: icim= [ (2I α 2 B) I I 0 ρ(m) 1 (ρrayonspectral) ] etlesvaleurspropresdebsontconnus on en déduit après quelques calculs la condition de stabilité: α = c t x 1 (CFL) (même interprétation que pour l eq. de transport) 14

16 Equation des ondes 2D Utilisation de saute-mouton pour l équation des ondes 2D dans un carré 15

17 calcul stable 16

18 Diffraction d une onde acoustique (milieu air-mer) 17

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