Master 1 AGES SE GBS VVT. 2w ANOVA ANCOVA MANOVA. Sta-s-ques CM2. Sébas-en COUETTE

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1 Master 1 AGES SE GBS VVT Sta-s-ques CM2 2w ANOVA ANCOVA MANOVA Sébas-en COUETTE

2 ANOVA à 2 facteurs

3 Comparaison de 2 groupes (apparié ou non) ANOVA Corrélation Régression Y X Paramétrique Test de Student ANOVA paramétrique Corrélation de Pearson Régression (apparié ou non) Non paramétrique Test de Wilcoxon (apparié ou non) ANOVA de Kruskall-Wallis Corrélation de Spearman ou de Kendall + TEST DE CHI-DEUX ou TEST DE FISHER pour Tables de contingences

4 ANOVA à 2 facteurs Rappel: l ANOVA à 1 facteur

5 ANOVA à 2 facteurs Rappel: l ANOVA à 1 facteur

6 ANOVA à 2 facteurs 1 var quan- 1 var quan-/ 1 var quali Comparaison de 2 groupes (apparié ou non) ANOVA Corrélation Régression 2 ou plus var quali ANOVA à 2 facteurs Y X Paramétrique Test de Student (apparié ou non) ANOVA paramétrique Corrélation de Pearson Régression Non paramétrique Test de Wilcoxon (apparié ou non) ANOVA de Kruskall-Wallis Corrélation de Spearman ou de Kendall

9 ANOVA à 2 facteurs Exemple: Un vi-culteur cherche à améliorer sa produc-on. Il applique 4 traitements différents à 5 de ses cépages et regarde, sur 2 années, son rendement moyen. - Premier facteur à 4 modalités: traitement (α i ) - Deuxième facteur à 5 modalités: cépage (β j ) - Variable quan-ta-ve: rendement moyen (Y ijk )

10 ANOVA à 2 facteurs Exemple: Traitement cépage

12 ANOVA à 2 facteurs Graphique des interac-ons traitements et cépages Le rendement moyen par cépage diffère par traitement et vice versa

13 ANOVA à 2 facteurs Test de Shapiro sur les résidus Bartle` sur les résidus par facteur 4) N>30

18 ANOVA à 2 facteurs Rendement Traitement Cépage Ici les p-value < 0,05 donc on accepte H1. Ainsi les facteurs cépage et traitement ainsi que leur interac;on ont un effet significa-f sur le rendement. L'effet du traitement sur le rendement diffère le cépage, et vice versa.

19 ANCOVA

20 ANCOVA Modèles linéaires simples Procédure Régression simple ANOVA à un facteur ANOVA à facteurs multiples ANCOVA Régression multiple Variable dépendante Variable(s) independante(s) 1 continue 1 continue 1 continue 1 discrète 1 continue 2 ou plus discrètes 1 continue Au moins 1 discrète et au moins une 1 continue 1 continue 2 ou plus continues

21 ANCOVA 2 var quan- ANCOVA 1 var quali Comparaison de 2 groupes (apparié ou non) ANOVA Corrélation Régression Y X Paramétrique Test de Student (apparié ou non) ANOVA paramétrique Corrélation de Pearson Régression Non paramétrique Test de Wilcoxon (apparié ou non) ANOVA de Kruskall-Wallis Corrélation de Spearman ou de Kendall

22 ANCOVA Utilisation de l ANCOVA Afin de comparer une relation entre une variable dépendante (Y) et une variable indépendante (X 1 ) pour différents niveaux d une variable discrète (X 2 ) ex: la relation entre le poids (Y) et la taille (X 1 ) pour différents groupes taxonomiques (oiseaux et mammifères, X 2 ) Masse Taille Taille

23 ANCOVA Utilisation de l ANCOVA Lorsque l on fait ces comparaisons, on suppose que les modèles sont qualitativement similaires pour tous les niveaux de la variable discrète... autrement ce serait comme comparer des pommes et des oranges! Y Y Modèles qualitativement similaires Modèles qualitativement différents X 1

24 ANCOVA Le modèle de la régression simple Le modèle de la régression: Y = a + bx + e i i i toutes les régressions simples sont décrites par 2 paramètres: l ordonnée à l origine (a) et la pente (b) Observées Prédites Y i ΔY a (ordonnée à l origine) X ΔX b = ΔY/ΔX (pente) X i e i

25 ANCOVA Y a & b diffèrent Y même a, différents b X 1 X 1 Y a diffèrent même b Y même a, même b X 1 X 1

26 ANCOVA Le modèle complet Le modèle complet Y = µ + α + β ( X X ) + ε ij i i ij i ij β i est la pente de la régression de Y sur X 1 estimée pour le niveau i de la variable discrète X 2 α i est la différence entre les moyennes de la variable discrète X 2 pour chaque niveau i et la moyenne générale. Y 1 µ Y 2 X α 2 α 1 X 1 X 2 X 1 j 1 X 1 j ε 1 j β 1 β 2 Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2

27 ANCOVA Le modèle complet X X 1 j 1 hypothèses nulles ε 1 j Pour le modèle complet contenant 2 variables indépendantes, on a 3 hypothèses nulles: H H H : : : α = i β = i 0 pour tous les constante, β = β = 0 i i, Y 1 µ Y 2 β 1 β 2 α 2 α 1 X 1 X 2 X 1 j Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2

28 ANCOVA H H H Le modèle complet : α = 0, i : β = i : β = β = i constante 0, Y H H H : α = 0, i : β = constante, i : β = β = i 0 Y H H H : α = 0, i : β = constante, i : β = β = i 0 Y

29 ANCOVA Le modèle complet Conditions d application Les résidus sont indépendants et distribués normalement La variance des résidus est égale pour toutes les valeurs de X et indépendantes des valeurs de la variable discontinue (homoscedasticité) pas d erreur sur les variables indépendantes

30 ANCOVA Le modèle complet Ajuster le modèle complet, tester la différence entre les pentes H02:β = constante i Si H 02 est rejetée, faire des régressions séparées pour chaque niveau de la variable catégorique Si H 02 est acceptée, ajuster le modèle d ANCOVA. Y H 02 acceptée ANCOVA X 1 H 02 rejetéee Régressions séparées Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2

31 ANCOVA Le modèle complet Mâles Exemple age, sexe et longueur de l esturgeon LFKL LAGE 1.9 Q1: la pente de la régression de LFKL sur LAGE est la même pour les deux sexes? LFKL Femelles LAGE

32 ANCOVA Le modèle complet Exemple Dep Var: LFKL N: 92 Multiple R: Squared multiple R: Analysis of Variance Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P LAGE SEX$ SEX$*LAGE Error Conclusion 1: la pente est la même pour les deux sexes (accepter H02 ) p(sex$*lage) > 0.05 Q2: l ordonnée à l origine est-elle la même?

33 ANCOVA Le modèle additif X X 1 j 1 Le modèle: Y = µ + α + β( X X ) + ε ij i ij i ij β est la pente de la régression de Y sur X 1 regroupée pour tous les niveaux de la variable catégorique X 2. α i est la différence entre la moyenne pour chaque niveau i et la moyenne générale Y 1 µ Y 2 β Ùβ int ra = i α 2 α 1 X 1 X 2 X 1 j ε 1 j ( (x ij x i )(y ij y i ) j i ( (x ij x i ) 2 j

34 ANCOVA Le modèle additif X X 1 j 1 hypothèses nulles β ε 1 j Pour une ANCOVA avec 2 variables indépendantes, deux hypothèses nulles: Y 1 µ Y 2 α 2 α 1 H H : α = 0 pour tous les i, : i β = β = i 0 X 1 X 2 X 1 j Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2

35 ANCOVA Le modèle additif H H : α = 0 pour tous les i, : i β = β = i 0 Y H H : α = 0 pour tous les i, : i β = β = i 0 Y H H : α = 0 pour tous les i, : i β = β = i 0 Y

36 ANCOVA Le modèle additif Conditions d application du modèle additif les résidus sont indépendants et distribués normalement la variance des résidus est égale pour toutes les valeurs de X et indépendantes des valeurs de la variable catégorique (homoscedasticité) les pentes des régressions de Y sur X sont les mêmes pour tous les niveaux de la variable catégorique (ce n est pas une condition d application du modèle complet!!)

37 ANCOVA Le modèle additif Procédure Y Ajuster le modèle d ANCOVA, tester: H01 : α i = Si H 01 est rejetée, séparer les régressions pour chaque niveau de la variable discon-nue Si H 01 est acceptée, ajuster une régression commune. 0 H 01 acceptée Régression commune X 1 H 01 rejetée Régressions séparées Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2

38 ANCOVA Le modèle additif Exemple Dep Var: LFKL N: 92 Multiple R: Squared multiple R: Analysis of Variance Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P SEX$ LAGE Error Conclusion 2: Ordonnée à l origine est la même pour les deux sexes. H01 est acceptée. p(sex$ >.05), le meilleur modèle est la régression commune. la réduction du R2 est négligeable (.697 to.696).

39 ANCOVA Le modèle à droites confondues Le modèle: Y = µ + α + β( X X ) + ε ij i ij i ij β est la pente de la régression de Y sur X 1, regroupée pour tous les niveaux de la variable discrète X 2. X est la moyenne groupée de X 1. µ α β X X 1 j X X 1 j ε 1 j Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2

40 ANCOVA Le modèle à droites confondues hypothèses nulles β X 1 j X ε 1 j On a deux hypothèses nulles pour la régression commune: µ α H H : α = 0, : β = 0. X X 1 j Niveau 1 de la variable X 2 Niveau 2 de la variable X 2

41 ANCOVA Le modèle à droites confondues Exemple Dep Var: LFKL N: 92 Multiple R: Squared multiple R: Adjusted squared multiple R: Standard error of estimate: Effect Coefficient Std Error Std Coef Tolerance t P(2 Tail) CONSTANT LAGE

42 ANCOVA Le modèle à droites confondues Conditions d application du modèle à droites confondues Les résidus sont indépendants et distribués normalement la variance des résidus est égale pour toutes les valeurs de X et indépendantes des valeurs de la variable discrète (homoscédasticité)

43 ANCOVA Conclusion Aller du modèle complexe au modèle simple Donc choisir a priori les variables explicatives

44 MANOVA

45 MANOVA Paramétrique Comparaison de 2 groupes (apparié ou non) Test de Student (apparié ou non) ANOVA Corrélation Régression ANOVA paramétrique Corrélation de Pearson Y X Régression Plusieurs variables dépendantes MANOVA Plusieurs variables indépendantes Non paramétrique Test de Wilcoxon (apparié ou non) ANOVA de Kruskall-Wallis Corrélation de Spearman ou de Kendall

46 MANOVA Sur le principe, une MANOVA est une ANOVA a plusieurs variables dépendantes Variable dépendante 2 groupes Variable indépendante

47 MANOVA Sur le principe, une MANOVA est une ANOVA a plusieurs variables dépendantes Variable dépendante 2 groupes Variable indépendante

48 MANOVA Avantage de la MANOVA, contrôler l erreur de type I Un des protocole possible, tester l effet «groupe» sur l ensemble des VD. Si l effet est significatif, examiner les variables ANOVA par ANOVA

49 MANOVA Exemple: Variables mesurées sur des poissons provenant de sites différents. Les variables sont elles conjointement affectées par le fait d appartenir a l un ou l autre site.

50 MANOVA Sur le principe, une MANOVA est une ANOVA a plusieurs variables dépendantes Variables dépendantes Pas de différence significa-ve Variable indépendante

51 MANOVA Sur le principe, une MANOVA est une ANOVA a plusieurs variables dépendantes Variables dépendantes Effet significa-f Variable indépendante

52 MANOVA Sur le principe, une MANOVA est une ANOVA a plusieurs variables dépendantes Variables dépendantes Vecteur des moyennes Effet significa-f Variable indépendante

53 MANOVA Pré-requis de la MANOVA: Très similaires à ceux de l ANOVA - Normalité multivariée - Homogénéité des matrices de covariances (test M de Box) - Indépendance des observations - Linéarité Relation linéaire entre les variables dépendantes

54 MANOVA Limitation des MANOVA: - Outliers Comme pour l ANOVA les observations extrêmes affectent beaucoup le modèle - Multicolinéarité et singularité Une grande corrélation entre les variables dépendantes impliquent de la redondance

55 MANOVA Décomposition de la variance On cherche une difference multivariée entre les groupes. Cela signifie que les vecteurs des moyennes de variables sont differents selon les groupes. La décomposition de la variance s ecrit: Somme des carrés et carrés croisés totaux T = W + B Somme des carrés et carrés croisés inter groupe Somme des carrés et carrés croisés intra groupe

56 MANOVA Décomposition de la variance De cette décomposition de la variance on en tire la statistique λ λ = W = T W W + B λ suis une distribution connue aux degrés de liberté choisis. On a donc une valeur de λ seuil et un λ observé. On tombe dans la logique d un test.

57 MANOVA (m1 <- manova(cbind(y1, y2) ~ group, manova.data)) Call: manova(cbind(y1, y2) ~ group, manova.data) Terms: group Residuals resp resp Df 2 9 Residual standard error: Es-mated effects may be unbalanced > summary(m1, test = "Wilks") Df Wilks approx F num Df den Df Pr(>F) group Residuals 9

58 2 ou plus var quali 1 var quan- ANOVA à 2 facteurs 1 var quali 2 var quan- ANCOVA Plusieurs variables dépendantes MANOVA Plusieurs variables indépendantes