Introduction à la physique des plasmas cours 4: ondes dans les plasmas

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1 à la physique des plasmas cours 4: ondes dans les plasmas S. Mazevet Laboratoire de Structure Electronique Département de Physique Théorique et Appliquée Commissariat à l Energie Atomique Bruyères-Le-Châtel, France p-1/30

2 Table of contents 1 Rappels sur les ondes 2 Oscillations électroniques 3 acoustiques ioniques 4 Electromagnétiques. pour B. p-2/30

3 Dans le vide, seules les ondes électromagnétiques peuvent se propager Dans un plasma, les particules chargées modifient les ondes électromagnétiques Les particules du plasma permettent également d autres types d ondes de type électrostatiques: par exemple les oscillations à ω p vues dans le 1er cours Ces différentes ondes peuvent être augmentées par les champs magnétiques externes La formulation fluide permet d étudier les propriétés de ces différents types d onde p-3/30

4 Rappels sur les ondes Toute onde dans un fluide peut être décomposée en une superposition d ondes sinusoidales: analyse de Fourier Ces ondes possédent une fréquence, ω, et une longueur d onde, λ propres Lorsque l amplitude des oscillations de l onde est faible, il n y a en général qu une seule composante sinusoidale Toute quantité qui oscille de manière sinousoidale peut être représentée par n = nexp[i(k.r ωt)] (1) ω est la pulsation, k le nombre d onde, et n est une constante Par convention, la partie réelle de l expression représente la quantitée mesurable Vitesse de phase: vitesse à laquelle se propage une surface de phase constante φ = ωt k.r = cste (2) dφ dt = 0 v φ = dr dt = ω k (3) p-4/30

5 Rappels sur les ondes II La vitesse de phase est un paramètre important dans les plasmas: si des électrons veulent échanger de l énergie avec une onde., il est plus efficace qu ils restent en phase avec un maximum du champ, donc que leur vitesse soit comparable à v phi La vitesse de phase peut être supérieure à la vitesse de la lumière Ceci ne contredit pas la relativité restrainte car une onde d amplitude constante ne transporte pas d information Une onde doit être modulée pour transporter de l information. La vitesse de groupe correspond à la vitesse de propagation de la modulation d une onde Considérons une onde modulée constituée de deux ondes E 1 = E 0 cos[(k + δk)x (ω + δω)t] (4) E 2 = E 0 cos[(k δk)x (ω δω)t] (5) Les deux ondes diffèrent en fréquence de 2δω En utilisant cos(a + b) = cosacosb sinasinb on obtient E 1 + E 2 = 2E 0 cos[(δk)x (δw)t]cos(kx ωt) (6) p-5/30

6 Rappels sur les ondes III Nous avons une onde sinusoidale modulée dont l enveloppe est donnée par cos[(δk)x (δw)t] La vitesse à laquelle l enveloppe se déplace s obtient en posant (δk)x (δω)t = cste dφ dt = 0 v g = dx dt = δω δk dω dk (7) Contrairement à la vitesse de phase, v φ, la vitesse de groupe, v g ne peut pas excéder la vitesse de la lumière p-6/30

7 Oscillations électroniques Rappel: Dans le premier cours, on a obtenu la fréquence fondamentale d un plasma en utilisant la description fluide: dv mn e e dt = en e E eq. du mouvement ɛ 0.E = ɛ 0 E/ x = e(n i n e ) eq. de poisson n e t +.(n e v e ) = 0 eq. de continuité Nous avons de plus considéré de petites perturbations sinusoidales pour obtenir la fréquence plasma ( n0 e 2 ) ω p = rad/sec (9) ɛ 0 m Nous avions de plus considéré que les particules étaient a température nulle p = 0 ω p ne dépend que de n. La vitesse de groupe v g = dω/dk est donc nulle, les oscillations correspondant à la fréquence plasma ne propagent pas d informations (i.e. d energie,...) (8) p-7/30

8 Oscillations électroniques II L agitation thermique permet à la fréquence plasma de se propager comme une onde Pour traiter cet effet, il faut ajouter l effet de la pression à l équation du mouvement p e A une dimension γ = 3 et n 1 p e = 3k B T e n e = 3k B T e (n 0 + n 1 ) = 3k B T e ˆx (10) x L équation du mouvement (linéarisée) devient v 1 mn 0 t = en n 1 0E 1 3k B T e x (11) En considérant les perturbations de forme sinusoidale A = Ae i(kx ωt)ˆx, on obtient imωn 0 v 1 = en 0 E 1 3k B T e ikn 1 (12) p-8/30

9 Oscillations électroniques III L équation de Poisson et de continuité deviennent iωn 1 = n 0 ikv 1 (13) ikɛ 0 E 1 = en 1 (14) Ce qui permet d obtenir [ ( ) ] e n0 ik imωn 0 v 1 = en 0 + 3k B T e ik ikɛ 0 iω v 1 (15) ( ω 2 n0 e 2 v 1 = ɛ 0 m + 3k ) BT e m k2 v 1 (16) ω 2 = ω 2 p k2 v 2 th (17) avec v 2 th = 2k BT e /m On voit que la fréquence dépend maintenant de k et que la vitesse de groupe est non nulle v g = dω dk = 3 k 2 ω v2 th = 3 vth 2 (18) 2 v φ p-9/30

10 sonores Pour décrire les ondes sonores on utilise l équation de Navier-Stokes [ ] v ρ t + (v. )v = p = γp ρ (19) ρ L équation de continuité est ρ +.(ρv) = 0 (20) t En considérant une onde du type exp[i(k.r ωt)], on obtient aprés linéarisation iωρ 0 v 1 = γp 0 ikρ 1 ρ 0 (21) iωρ 1 + ρ 0 ik.v 1 = 0 (22) En éliminant ρ 1 et en considérant le problème à une dimension, on obtient la vitesse du son c s ( ) 1/2 ( ) 1/2 ω k = γp0 γkb T = c s (23) M ρ 0 p-10/30

11 acoustiques ioniques Nous retrouvons l expression de la vitesse du son dans un gaz neutre Le même phénomène se produit dans un plasma complètement ionisé: ondes acoustiques ioniques Sans collision, les ondes sonores ne se propagent pas. En l absence d un champ magnétique, l équation fluide ionique est [ ] vi Mn t + (v i. )v i = ene p (24) = en φ γ i k B T i n (25) En linéarisant et en considérant une onde plane iωmn 0 v i1 = en 0 ikφ 1 γ i k B T i ikn 1 (26) Il faut une expression pour n 1 et φ 1 p-11/30

12 acoustiques ioniques II La perturbation en densité n 1 est obtenue en posant ( ) eφ1 n e = n i = n 0 exp k B T e = n 0 (1 + eφ 1 k B T e +...) n 1 = n 0 eφ 1 k B T e (27) En utilisant l équation de continuité linéarisée pour les ions, on obtient iωn 1 = n 0 ikv i1 (28) La substitution dans l expression (26) donne ( iωmn 0 v i1 = en 0 ik k ) BT e n0 ikv i1 + γ i k B T i ik (29) en 0 iω ( ω 2 = k 2 kb T e M + γ ) ik B T i (30) M ( ω kb T e = k M + γ ) 1/2 ik B T i v s (31) M avec v s la vitesse du son dans le plasma p-12/30

13 acoustiques ioniques III C est la relation de dispersion pour les ions Comme nous considérons un problème à une dimentsion on peut poser γ i = 3 Les électrons se déplacent trés rapidement comparé à ces ondes donc γ e = 1 Les ondes acoustiques ioniques n existent que lorsqu il y a de l agitation thermique (dépend de T e et T i ). Alors que pour la fréquence plasma, les ions sont considérés fixes, pour les ondes acoustiques ioniques, les électrons répondent immédiatement aux mouvements des ions Les ions forment des régions de compression comme pour une onde acoustique Les régions de compression s étendent dans les régions vides : -à cause de l agitation thermique des ions (2 eme terme) -à cause de l écrantage qui n est pas parfait due à l agitation thermique des électrons Contrairement à un gas de neutres, les ondes acoustiques ioniques persistent lorsque T i 0 si T i << T e p-13/30

14 acoustiques ioniques IV Nous avons utilisé la condition de neutralité n e = n i pour obtenir la vitesse acoustique ionique alors que E 0 Pour estimer l erreur commise, on utilise l équation de Poisson ɛ 0.E 1 = ɛ 0 k 2 φ 1 = e(n i1 n e1 ) (32) La densité électronique est donnée par l équation de Boltzmann n e1 = φ 1 k B T e n 0 (33) En insérant (33) dans (32), on obtient ( ɛ 0 φ 1 k 2 + n 0e 2 ) ɛ 0 k B T e = en i1 (34) ɛ 0 φ 1 (k 2 λ 2 D + 1) = en i1 λ 2 D (35) En insérant dans (26), ceci donne la relation de dispersion ( ω k = kb T e M k 2 λ 2 D + γ ) 1/2 ik B T i (36) M p-14/30

15 acoustiques ioniques V L approximation plasma n e = n i peut donc être utilisée sauf aux faibles longueurs d onde Dans la limite où T i 0, on obtient ( ) ω 2 = k 2 kb T e 1 M 1 + k 2 λ 2 (37) D = ne2 k 2 λ 2 D ɛ 0 m 1 + λ 2 (38) D k2 Pour les petites longueurs d ondes (λ 2 D k2 >> 1) on voit que ω Ω P Pour les petites longeurs d onde (k ), l onde ionique acoustique devient une onde de fréquence constante, la fréquence plasma ionique, Ω p Cela contraste avec les ondes électroniques qui sont presque constantes mais tendent vers 3/2v th pour les petites longueurs d onde. Lorsque le champ magnétique est non-nul, il y a apparition de plusieurs autres types d onde p-15/30

16 Comparison entre les ondes électroniques et ioniques Relations de dispersion: électronique plasma acoustique ionique ω 2 = ωp k2 vth 2 ω 2 = k (Ω 2 2 λ 2 D p (1 + k 2 λ 2 D ) + γ ) ik B T i M (39) p-16/30

17 électromagnétiques dans le vide Nous considérons maintenant des ondes électromagnétiques transverses B 1 0 Dans le vide, les équations de Maxwell à considérer sont E 1 = B 1 t c 2 B 1 = E 1 t on rappelle que dans le vide j = 0 et ɛ 0 µ 0 = c 2. Ceci permet d écrire (40) (41) c 2 ( B 1 ) = E 1 = 2 B 1 t t 2 (42) En considérant des ondes planes du type exp(i(kx ωt)) on obtient ω 2 B 1 = c 2 k (k B 1 ) = c 2 [k(k.b 1 ) k 2 B 1 )] (43) avec (k.b 1 ) = 0 on obtient dans le vide ω 2 = k 2 c 2 p-17/30

18 électromagnétiques avec B Dans un plasma avec B, on doit ajouter un terme j 1 /ɛ 0 à l expression de B 1 c 2 B 1 = j 1 + E 1 ɛ 0 t En prenant la dérivée temporelle et en utilisant (44) ( E 1 ) = (.E 1 ) 2 E 1 = B 1 t En supposant une dépendence en exp(i(kx ωt)), on obtient k.k.e 1 + k 2 E 1 = On considère des ondes transverses k.e 1 = 0 donc Il faut une expression pour j 1 (45) iω ɛ 0 c 2 j 1 + ω2 c 2 E 1 (46) (ω 2 c 2 k 2 )E 1 = iωj 1 /ɛ 0 (47) p-18/30

19 électromagnétiques avec B II Les fréquences des ondes électromagnétiques sont telles que les ions peuvent être considérées comme fixes j 1 = n 0 ev e1 (48) En prenant l équation du mouvement pour les électrons et en considérant la température nulle (T e = 0) on obtient m v e1 t = ee (49) v e1 = ee 1 (50) imω Ce qui permet d obtenir la relation de dispersion pour un plasma froid lorsqu il n y a pas de champ magnétique (ω 2 c 2 k 2 )E 1 = iω ɛ 0 n 0 e ee 1 imω = n 0e 2 ɛ 0 m E 1 (51) Avec ω 2 p = n0e2 ɛ 0m on obtient ω 2 = ω 2 p + c 2 k 2 (52) p-19/30

20 électromagnétiques avec B III La relation de dispersion dans le vide est donc modifiée par la fréquence plasma Dans un plasma, la vitesse de phase est donc supérieure à la vitesse de la lumière v 2 φ = ω2 k 2 = c2 + ω2 p k 2 > c2 (53) La vitesse de groupe doit par contre être inférieure à la vitesse de la lunière La relation de dispersion est similaire à celle obtenue pour les ondes électrostatiques mais avec une asymptote à c plutot que v th La relation de dispersion posséde une fréquence de coupure en dessous de laquelle une onde ne peut pas se propager, la fréquence plasma ω p p-20/30

21 Fréquence de coupure Une relation de dispersion du type ω = ω p + k 2 c 2 posséde ce que l on appelle une fréquence de coupure Si l on envoit une onde de fréquence ω dans le plasma, la longueur d onde dans le plasma prend des valeurs données par la relation de dispersion Lorsque la densité augmente et donc ω p qui est proportionelle à celle ci, k dimininue (la longueur d onde dans le plasma augmente) Il arrive une densité pour laquelle k est nul Ceci se produit pour une densité critique n c = mɛ 0 ω 2 /e 2 Pour les densités plus élevées, la relation de dispersion ne peut pas être vérifiée pour une valeur de k réelle. p-21/30

22 Fréquence de coupure II Dans ce cas k 2 0 et la relation de dispersion donne ck = (ω 2 ω 2 p) 1/2 (54) L onde à une dépendence spatialle du type exp(ikx) Elle est atténuée de manière exponentielle si k est imaginaire e ikx = x/δ L onde est absorbée sur une épaisseur de peau δ = k 1 = c (ω 2 p ω 2 ) 1/2 (55) p-22/30

23 Fréquence de coupure: mesure de la densité d un plasma La fréquence de coupure est un moyen pratique de mesurer la densité d un plasma On peut faire varier la fréquence d une onde envoyée au travers du plasma et mesurer sa transmission Lorsque le signal détecté disparait, l onde n est plus transmise Ceci correspond à une région du plasma où la densité est n c = mɛ 0 ω 2 /e 2 Cette procédure donne la densité maximale dans un plasma Les sources opérant dans le régime µm ne sont pas courantes donc on utilise souvent un principe d interférométrie Une des applications les plus connue de la fréquence de coupureplasma porte sur les ondes radio Lorsqu une onde radio atteint l ionosphère terrestre elle rebondie Application numérique: pour une densité critique n c = m 3 on voit que la fréquence est de lórdre de 10MHz. p-23/30

24 Fréquence de coupure IV: applications Pour communiquer avec un vaisseau spatial, il faut donc que la fréquence soit au dessus pour pénétrer l ionosphère Lorsqu un vaisseau (navette) entre dans l atmosphère, un plasma est créé en raison de l échauffement avec l atmosphère Ceci produit un temps durant lequel il n est pas possible de communiquer avec le vaisseau blackout p-24/30

25 . Nous considérons maintenant la propagation d une onde électromagnétique en présence d un champ magnétique On considère dans un premier temps des ondes se propageant de manière perpendiculaire au champ: Si nous considérons des ondes transverses k E 1, il reste dans ce cas deux choix: E 1 B 0 ou E 1 B 0 p-25/30

26 Onde ordinaire E 1 B 0 Pour E 1 B 0, on peut donc prendre B 0 = B 0 ẑ et E 1 = E 1 ẑ et k = kˆx On retrouve le résultat précédent obtenu pour B (ω 2 c 2 k 2 )E 1 = iωj 1 /ɛ 0 = in 0 eωv e1 /ɛ 0 (56) Comme E 1 = E 1 ẑ, on ne considère que la composante v ez m v ez t = ee z (57) La relation de dispersion est donc ω 2 = ω 2 p + c 2 k 2 (58) La relation de dispersion n est dans ce cas pas affectée par le champ magnétique (onde ordinaire) p-26/30

27 Onde extraordinaire E 1 B 0 Dans le cas où E 1 B 0, le déplacement des électrons est affecté par B 0 et la relation de dispersion est changée Pour E 1 B 0, les ondes se propageant dans le plasma développent une composante E x suivant k, devenant ainsi partiellement transverse et longitudinalle Pour traiter ce mode il faut poser E 1 = E xˆx + E y ŷ (59) L équation du mouvement pour les électrons devient alors imωv e1 = e(e + v e1 B 0 ) (60) Ceci entraine pour les composantes x et y v x = ie mω (E x + v y B 0 ) (61) v y = ie mω (E y v x B 0 ) (62) p-27/30

28 Onde extraordinaire E 1 B 0 II En résolvant pour v x et v y on trouve v x = v y = e mω e mω ( ie x ω c ω E y ( ie y ω c ω E x ) ( ) 1 ω2 c ω 2 ) ( ) 1 ω2 c ω 2 (63) (64) avec ω c = eb 0 (65) m Il faut maintenant garder le terme k.e 1 dans l équation d onde (ω 2 c 2 k 2 )E 1 + c 2 ke x k = iωj 1 /ɛ 0 = in 0 ωev ei /ɛ 0 (66) Ces deux équations pour E x et E y ont une solution si le déterminant est nul La relation de dispersion est alors c 2 k 2 ω 2 = c2 vφ 2 = 1 ω2 p ω 2 ωp 2 ω 2 ω 2 ωh 2 (67) avec ω h = ω p + ω c p-28/30

29 Onde extraordinaire: fréquence de coupure La relation de dispersion d une onde extraordinaire posséde une fréquence de coupure et une fréquence de résonance Fréquence de coupure: lorsque l index de réfraction tend vers zéro ñ = ck/ω (la longueur d onde devient ) l onde est réfléchie Fréquence de résonance: lorsque l index de r efraction tend vers l infinie (la longueur d onde tend vers 0) l onde est absorbée Lorsqu une onde se propage dans une région où ω p et ω c changent elle rencontre des résonances et des fréquences de coupure Les résonances d une onde extraordinaire se trouvent en posant k dans l équation (67) Une résonance se produit lorsque ω ω h ω 2 h = ω 2 p + ω 2 c = ω 2 (68) Ceci correspond à la relation de dispersion pour une onde electrostatique perpendiculaire à B 0 Une onde extraordinaire est donc partiellement électrostatique et partiellement électromagnétique p-29/30

30 Onde extraordinaire: résonance La fréquence de coupure d une onde extraordinaire s obtient en posant k 0 dans l équation (67) 1 = ω2 p ω [ω 2 c /(ω 2 ω 2 p)] (69) Ceci nous amène une équation du second degré qui entraine deux fréquences de coupure ω 2 ± ωω c ω 2 p = 0 (70) ω R = 1 2 [ω c + (ω 2 c + 4ω 2 p) 1/2 ] (71) ω L = 1 2 [ ω c + (ω 2 c + 4ω 2 p) 1/2 ] (72) Il est plus facile d utiliser la vitesse de phase v φ en fonction de ω pour interpréter ces relations de dispersion 1/ñ ω p-30/30