Statistiques non paramétriques : Comparaison de proportions, de distributions et autres tests

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1 1 / 58 Statistiques non paramétriques : Comparaison de proportions, de distributions et autres tests M-A Dronne

2 2 / 58 Introduction Tests non paramétriques Comparaisons de proportions Comparaison d une proportion à une proportion de référence Test binomial exact Comparaison de 2 proportions Test du Chi-deux d homogénéité Test exact de Fisher Comparaison de plus de 2 proportions Test du Chi-deux d homogénéité

3 3 / 58 Introduction Tests non paramétriques Comparaisons de distributions Comparaison d une distribution à une distribution de référence Test du Chi-deux de conformité Test de Kolmogorov-Smirnov Tests de normalité Test de Shapiro-Wilk Test de Lilliefors Autres tests (test de Anderson-Darling, test d Agostino) Comparaison de deux distributions Test du Chi-deux d homogénéité Test de Kolmogorov-Smirnov Comparaison de plus de deux distributions Test du Chi-deux d homogénéité

4 Introduction Tests non paramétriques Liaison/indépendance de 2 variables qualitatives Test du Chi-deux d homogénéité Test du Chi-deux d indépendance Liaison/indépendance de 2 variables quantitatives Test du coefficient de corrélation de Spearman (cf cours sur la corrélation) Tests sur données binaires En présence de 2 conditions Test de MacNemar En présence de plus de 2 conditions Test Q de Cochran 4 / 58

5 5 / 58 Introduction Plan du cours Tests du Chi-deux Test de Kolmogorov-Smirnov Tests de normalité (test de Shapiro et test de Lilliefors) Tests sur variables binaires : Test de MacNemar Test de Cochran

6 6 / 58 Tests du χ 2 Vocabulaire et notation Chi-deux = Chi 2 = Khi-deux = Khi 2 = χ 2 Test du χ 2 de Pearson 3 types de tests 1. Test de conformité (= d ajustement) d une loi de probabilité parente à une loi de probabilité de référence cas univarié 2. Test d homogénéité de plusieurs distributions cas bivarié (1 v.a. + 1 variable contrôlée) 3. Test d indépendance entre 2 v.a. cas bivarié (2 v.a.)

7 Test de conformité du χ 2 Exemple Problème Une étude portant sur 300 jeunes adultes de 18 à 25 ans vise à déterminer la distribution du nombre de partenaires sexuels durant une année donnée. Les résultats sont les suivants : Nb de partenaires Effectif Question En langage courant Peut-on admettre que le nombre de partenaires sexuels par individu suit une loi de Poisson? En langage "statistique" La distribution de la variable étudiée est-elle différente de la distribution d une loi de Poisson au risque 5 %? 7 / 58

8 Test de conformité du χ 2 Question statistique Variable X : 1 variable qui peut être qualitative ou quantitative (discrète ou continue) Hypothèses statistiques Soit (x i, p i ) la loi de probabilité suivie par X et (x i, p 0i ) la loi de probabilité théorique : H 0 : conformité de la loi de X à la loi théorique H 0 : p i = p 0i i {1,..., I} H 1 : non conformité de la loi de X à la loi théorique H 1 : i {1,..., I} tq p i p 0i 8 / 58

9 9 / 58 Test de conformité du χ 2 Question statistique Exemples de lois théoriques Loi uniforme : p 0i = 1 I i {1,..., I} Loi binomiale B(n 0, p 0 ) : p 0i = C x i n 0 p x i 0 (1 p 0) n 0 x i Si p 0 inconnu, on l estime par f 0 Loi de Poisson P(λ 0 ) : p 0i = e λ 0 λx i 0 x i! Si λ 0 inconnu, on l estime par m x Loi normale N (µ 0, σ 0 ) : ( ) ( ) xi+1 µ p 0i = P(x i X x i+1 ) = F 0 σ 0 F xi µ 0 σ 0 Si µ 0 et σ 0 inconnus, on les estime par m x et s x

10 10 / 58 Test de conformité du χ 2 Données Remarque Les effectifs des observations sont recensés dans un tableau de contingence Tableau de contingence sur les données Valeurs : x i x 1 x 2... x I Total Effectifs observés : o i o 1 o 2... o I n Calcul des effectifs théoriques sous H 0 c i = n p 0i i {1,..., I} Valeurs : x i x 1 x 2... x I Total Effectifs théoriques : c i c 1 c 2... c I n = i c i

11 11 / 58 Test de conformité du χ 2 Conditions d application Conditions à respecter Il faut que c i 5 i {1,..., I} Les observations doivent être indépendantes : n = i o i Remarque Si certains c i < 5, il faut regrouper les classes contigües

12 12 / 58 Test de conformité du χ 2 Statistique de test Formule, loi et valeur Variable d intérêt : O i (effectif observé) Statistique de test : Z = χ 2 = I (O i c i ) 2 i=1 c i Loi suivie sous H 0 : Z χ 2 avec ν = (I r 1) ddl r : nombre de paramètres (de la loi théorique) estimés Valeur calculée : z c = χ 2 c = I i=1 (o i c i ) 2 c i = I i=1 ( ) oi 2 n c i avec I : nombre de classes, c i = np 0i et n = I i=1 c i

13 13 / 58 Test de conformité du χ 2 Confrontation et conclusion Méthodes (cf. cours précédents) Confrontation Comparaison de la valeur de la statistique de test χ 2 c avec la valeur seuil χ 2 s lue dans la table du Chi-deux Position de χ 2 c par rapport à l intervalle d acceptation I a Comparaison de la p-value avec la valeur α Conclusion Conclusion en langage statistique et en langage courant (au risque α)

14 14 / 58 Test de conformité du χ 2 Confrontation et conclusion Remarque sur la valeur seuil Test du χ 2 équivalent à un test unilatéral Table du χ 2 : table unilatérale α table = α χ 2 s = χ 2 (α,ν) I a = [0; χ 2 (α,ν) [ Décision statistique Si χ 2 c < χ 2 (α,ν) : non rejet de H 0 au risque α Si χ 2 c χ 2 (α,ν) : rejet de H 0 au risque α

15 15 / 58 Test de conformité du χ 2 Correction de continuité Remarque Quand on effectue une approximation d une loi discrète par une loi continue, on peut réduire l erreur de l approximation en faisant une correction de continuité. Dans le cas d une approximation de la loi binomiale par la loi du Chi-deux (via la loi normale), on peut utiliser la correction de continuité de Yates : z c = χ 2 c = χ 2 Yates = I ( o i c i 0.5) 2 c i i=1 Cette correction diminue le χ 2 c et augmente donc la p-value.

16 16 / 58 Test de conformité du χ 2 Correction de continuité Remarque (suite) La correction de continuité de Yates a pour objectif d empêcher une surestimation de la significativité d un test lors de petits effectifs mais, inversement, elle risque d empêcher de détecter un effet quand il existe. Elle est utilisée surtout dans le cas où l effectif total est peu important Elle peut être ajoutée sur R par l option correct = TRUE

17 17 / 58 Test de conformité du χ 2 Logiciel R Commande R Fonction chisq.test(ef_obs,p=c(prop_theo)) Remarques Sous R, les valeurs théoriques doivent être données sous forme des proportions attendues alors que les valeurs observées doivent être données sous forme d effectifs Si un des effectifs théoriques est < 5, le message suivant apparait sur R : "l approximation du Chi-2 est peut-être incorrecte" regroupement de classe ou test exact de Fisher

18 18 / 58 Test de conformité du χ 2 Résultats de l exemple Résultats Chi-squared test for given probabilities data: c(47, 132, 73, 30, 12, 6) X-squared = , df = 5, p-value = Interprétation p-value < 0.05 rejet de H 0 au risque 5% La distribution du nombre de partenaires sexuels pendant l année considérée chez les ans est significativement différente d une loi de Poisson de paramètre 1.5 au risque 5%

19 Test d homogénéité du χ 2 Exemple Problème Afin d étudier l effet d un médicament A sur une maladie M, 2 groupes sont constitués (groupe contrôle et groupe traité). Le nombre de patients malades de la maladie M est recensé dans chaque groupe : Groupe traité : sur 300 patients ayant le médicament A, 84 ont contracté la maladie M Groupe contrôle : sur 200 patients sous placebo, 72 ont contracté la maladie M Question Est-ce que le médicament A a un effet sur la maladie M? La répartition des malades est-elle significativement différente dans les 2 populations au risque 5 %? Les proportions de malades sont-elles significativement différentes dans les 2 populations au risque 5%? 19 / 58

20 20 / 58 Test d homogénéité du χ 2 Question statistique Variables 2 variables : X : variable aléatoire (qualitative, quantitative discrète ou discrétisée) avec J réalisations possibles Y : variable contrôlée avec I valeurs fixées Hypothèses statistiques Soit p ij = P(X = x j Y = y i ) Soit p i. = P(Y = y i ) et p.j = P(X = x j ) H 0 : p ij = p i. p.j i {1,..., I} et j {1,..., J} H 1 : i {1,..., I} et j {1,..., J} tq p ij p i. p.j

21 21 / 58 Test d homogénéité du χ 2 Question statistique et données Remarques sur les hypothèses statistiques H 0 : homogénéité des distributions de X suivant les valeurs de Y H 1 : hétérogénéité des distributions de X suivant les valeurs de Y Tableau de contingence sur les données Valeurs x 1... x j... x J Totaux y 1 o o 1j... o 1J L y i o i1... o ij... o ij L i y I o I1... o Ij... o IJ L I Totaux S 1... S j... S J n

22 22 / 58 Test d homogénéité du χ 2 Données et conditions d application Calcul des effectifs théoriques sous H 0 Effectifs calculés : c ij = L i S j n i {1,..., I} et j {1,..., J} Conditions à respecter Il faut que c ij 5 i {1,..., I} et j {1,..., J} Les observations doivent être indépendantes : I J n = i=1 i=j o ij Remarque Si certains c ij < 5, il faut regrouper les classes contigües

23 23 / 58 Test d homogénéité du χ 2 Statistique de test Formule, loi et valeur Variable d intérêt : O ij (effectif observé) Statistique de test : Z = χ 2 = I J (O ij c ij ) 2 i=1 j=1 c ij Loi suivie sous H 0 : Z χ 2 avec ν = (I 1)(J 1) ddl Valeur calculée : I z c = χ 2 c = J i=1 j=1 (o ij c ij ) 2 c ij = I i=1 j=1 avec I : nb de lignes, J : nb de colonnes et n = ( ) J o 2 ij n c ij I J i=1 j=1 c ij

24 24 / 58 Test d homogénéité du χ 2 Correction de continuité Remarque Comme dans le cas du test de conformité du Chi-deux, on peut utiliser la correction de continuité de Yates. Recommandations de Cochran : Si n < 20 : test exact de Fisher Si 20 n < 40 et si les effectifs théoriques sont > 5 : test du Chi-deux avec la correction de Yates Si n 40 et si les proportions ne sont voisines ni de 0 ni de 1 : test classique du Chi-deux Sur R, option correct = TRUE

25 25 / 58 Test d homogénéité du χ 2 Logiciel R Commandes R Constitution des listes de valeurs : essai = c(84,216) et controle = c(72,128) Constitution du tableau : table= rbind(controle,essai) Réalisation du test : Fonction prop.test Fonction chisq.test Remarques Si le test est significatif, il est possible de faire des comparaisons de proportions 2 à 2 Les effectifs théoriques sont donnés par la commande chisq.test(...)$expected

26 26 / 58 Test d homogénéité du χ 2 Logiciel R Résultats avec prop.test 2-sample test for equality of proportions with continuity correction data: table X-squared = , df = 1, p-value = alternative hypothesis: two.sided 95 percent confidence interval: sample estimates: prop 1 prop Résultats avec chisq.test Pearson s Chi-squared test with Yates continuity correction data: table X-squared = , df = 1, p-value =

27 27 / 58 Test d homogénéité du χ 2 Logiciel R Remarque Quand X et Y ont chacune deux valeurs possibles (tableau 2 2), il est équivalent de faire un test d homogénéité du χ 2 et de faire un test bilatéral de comparaison de 2 proportions. z c = u c avec (u c ) 2 = χ 2 c et (u s ) 2 = χ 2 s Interprétation des résultats p-value > 0.05 non rejet de H 0 au risque 5% Les distributions ne sont pas significativement hétérogènes au risque 5% les distributions sont indépendantes du groupe au risque 5% la molécule A n a pas d effet significatif sur la maladie M au risque 5%

28 Test d indépendance du χ 2 Exemple Problème Dans un service de médecine légale, une étude a été réalisée pour établir l âge au décès à partir de l observation de l extrémité sternale de la 4 ème côte de personnes décédées. Un des critères utilisés est la forme de la dépression articulaire (cavité) qui peut prendre 6 modalités. Les données observées sur 500 patients sont les suivantes : Eff.obs < âge [30; 50[ [50; 70[ > Question Existe-t-il une liaison significative entre la forme de la cavité et l âge de la personne décédée au risque 5 %? 28 / 58

29 Test d indépendance du χ 2 Question statistique Variables 2 variables (qualitatives, quantitatives discrètes ou discrétisées) : X : v.a. avec J réalisations possibles Y : v.a. avec I réalisations possibles Hypothèses statistiques (idem test d homogénéité) Soit p ij = P(X = x j...y = y i ) Soit p i. = P(Y = y i ) et p.j = P(X = x j ) H 0 : p ij = p i. p.j i {1,..., I} et j {1,..., J} H 1 : i {1,..., I} et j {1,..., J} tq p ij p i. p.j 29 / 58

30 30 / 58 Test d indépendance du χ 2 Question statistique Remarques sur les hypothèses statistiques H 0 : indépendance de X et Y H 1 : liaison entre X et Y Etapes suivantes Tableau de contingence Calcul des effectifs théoriques Conditions à respecter Statistique de test (formule et calcul) Confrontation et conclusion Correction de continuité idem test d homogénéité

31 Test d indépendance du χ 2 Logiciel R Commande R fonction chisq.test Remarques Si le test est significatif, il est possible de faire des comparaisons 2 à 2 pour savoir quelle(s) classe(s) est(sont) à l origine de la liaison Les effectifs théoriques sont donnés par la commande chisq.test(...)$expected 31 / 58

32 32 / 58 Tests d homogénéité et d indépendance du χ 2 Remarque Test de liaison/indépendance Liaison entre 2 variables qualitatives Variable aléatoire + variable contrôlée test du χ 2 d homogénéité 2 variables aléatoires test du χ 2 d indépendance Liaison (linéaire) entre 2 variables quantitatives Variable aléatoire + variable contrôlée Régression (test de la pente nulle ou test de Fisher) 2 variables aléatoires Corrélation (test de non corrélation)

33 33 / 58 Tests complémentaires aux tests du χ 2 Remarque Si les effectifs théoriques ne sont pas tous supérieurs à 5 (malgré les regroupements possibles de classe), on peut utiliser : Le test de Fisher (tableau 2 2) Le nombre de paires (NP) (tableau > 2 2) Si les n blocs (groupes) sont ordonnés, on peut utiliser la statistique de tendance (permet de faire un test "unilatéral") (tableau 2 n)

34 34 / 58 Test de Fisher Tableau de contingence Groupe 1 Groupe 2 Totaux Présence du facteur F a b M Absence du facteur F c d N M Totaux N 1 N 2 N Hypothèses statistiques H 0 : équirépartition des M individus avec le facteur F entre les deux groupes (i.e. indépendance) H 1 : non indépendance

35 Test de Fisher Probabilité Sous H 0, la loi suivie est une loi hypergéométrique H(N, M, N 1 ) p = P(a, b, c, d) = M!(N M)!N 1!N 2! a!b!c!d!n! p représente la p-value et est ensuite comparé à α Remarque On peut faire un test unilatéral avec le test de Fisher (contrairement au test du χ 2 ) Commande R Fonction fisher.test Pour faire un test unilatéral : option alternative = "greater" par exemple 35 / 58

36 36 / 58 Statistique de tendance Exemple de tableau de contingence Les groupes (blocs) sont ordonnés : Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Valeurs [0; 100[ [100; 200[ [200; 300[ Totaux Présence de F Y 1 Y 2 Y 3 M Absence de F N M Totaux K 1 K 2 K 3 N Hypothèses statistiques H 0 : indépendance H 1 : probabilité de présence du facteur F augmente avec la valeur de la grandeur étudiée

37 Test de Kolmogorov-Smirnov Utilisations Comparaison de 2 distributions Comparaison d une distribution à une distribution théorique bien définie 37 / 58

38 Test de Kolmogorov-Smirnov Test de conformité à une distribution de référence Variable 1 variable X quantitative (continue ou discrète) Hypothèses statistiques H 0 : X suit une loi bien définie (normale, Poisson,...) H 1 : X ne suit pas la loi considérée Logiciel R Fonction ks.test Exemple : comparaison de la distribution de X à la loi normale N (13; 3) : ks.test(x,"pnorm",mean=13,sd=3) 38 / 58

39 39 / 58 Test de Kolmogorov-Smirnov Test de conformité à une distribution de référence Kolmogorov-Smirnov et χ 2 Utilisation du test d ajustement du χ 2 = test du conformité du χ 2 ) : nombre important de données paramètres estimés de la loi Utilisation du test de Kolmogorov-Smirnov : petit nombre de données paramètres connus de la loi

40 40 / 58 Tests spécifiques de normalité Tests possibles Principaux tests : Test de Shapiro-Wilk Test de Lilliefors (variante du test de Kolmogorov-Smirnov) Autres tests : Test de Anderson-Darling (variante du test de Kolmogorov-Smirnov) Test de D Agostino (basé sur les coefficients d asymétrie et d aplatissement) tests non paramétriques

41 41 / 58 Tests spécifiques de normalité Test de Shapiro-Wilk Hypothèses statistiques H 0 : X suit une loi normale H1 : X ne suit pas une loi normale Statistique du test coefficient de détermination entre la série des quantiles générés à partir de la loi normale et les quantiles empiriques obtenus à partir des données Test particulièrement puissant pour les petits effectifs (n < 50) Très utilisé dans les logiciels de statistique Commande R : shapiro.test

42 42 / 58 Tests spécifiques de normalité Test de Lilliefors Hypothèses statistiques H 0 : X suit une loi normale de paramètres inconnus (à estimer) H1 : X ne suit pas une loi normale Variante du test de Kolmogorov-Smirnov Test sensible à la différence de la distribution empirique avec la loi théorique aux alentours de la partie centrale de la distribution mais moins performant lorsque la différence porte sur les queues de distribution Test moins utilisé que le test de Shapiro-Wilk Commande R : lillie.test dans le package nortest

43 43 / 58 Autres tests non paramétriques Tests sur des variables binaires Test de McNemar Test de Cochran

44 Test de McNemar Contexte Soit une variable qualitative binaire observée sur un échantillon de n individus dans deux conditions différentes. On se demande si la condition a eu un effet c est-à-dire s il y a une différence entre les deux situations. Variables 1 variable binaire (2 modalités) : S (succès) et E (échec) 1 variable qualitative à 2 modalités : "condition 1" et "condition 2" Hypothèses H 0 : même proportion de succès sous les 2 conditions (pas d effet de la condition) H 1 : proportion de succès différente selon la condition (effet de la condition) 44 / 58

45 45 / 58 Test de McNemar Exemple de données 2 séries appariées : Condition 1 Condition 2 Individu 1 E S Individu 2 S S Individu n S E Tableau de contingence 2x2 Succès Echec (condition 1) (condition 1) Succès (condition 2) N SS N SE Echec (condition 2) N ES N EE

46 46 / 58 Test de McNemar Statistique de test Calcul de la statistique de test : χ 2 c = (N ES N SE ) 2 (N ES + N SE ) Si (N ES + N SE ) est suffisamment grand ( 25), la loi suivie est la loi "classique" du χ 2 à 1 ddl Il est possible d ajouter la correction de Yates Si (N ES + N SE ) < 25, on peut utiliser le test binomial exact Commande R Fonction mcnemar.test

47 47 / 58 Test de McNemar Remarques Le test de McNemar revient à faire un test de comparaison de 2 proportions dans le cas d échantillons appariés. Le test équivalent pour comparer 2 proportions dans le cas d échantillons indépendants est le test de Fisher ou le test du Chi-deux d homogénéité Le test équivalent dans le cas d une variable quantitative (non binaire) est le test des rangs signés de Wilcoxon

48 Test de Cochran Contexte Test de McNemar généralisé à plus de 2 conditions Variables 1 variable binaire (2 modalités) : S (succès) et E (échec) 1 variable qualitative à k modalités : "condition 1",..., "condition k" Hypothèses H 0 : même proportion de succès sous les k conditions (pas d effet de la condition) H 1 : proportion de succès différente selon la condition (effet de la condition) 48 / 58

49 49 / 58 Test de Cochran Exemple de données k séries appariées : Condition 1... Condition k Individu 1 E... S Individu 2 S... S Individu n S... E

50 50 / 58 Test de Cochran Tableau complété avec les effectifs de succès Condition 1... Condition k Nb de succès Individu 1 E... S L 1 Individu 2 S... S L Individu n S... E L n Nb de succès C 1... C k Statistique de test (k 1) Q = [ k ( k k ) ] 2 j=1 C2 j j=1 C j k n i=1 L i n i=1 L2 i

51 Test de Cochran Remarque Si n est suffisamment grand, Q suit une loi du Chi-deux à (k-1) ddl Commande R Fonction cochran.qtest du package RVAideMemoire Si le test est "significatif", la fonction réalise automatiquement toutes les comparaisons 2 à 2 possibles par le test des signes de Wilcoxon. 51 / 58

52 52 / 58 Test de Cochran Remarques Le test Q de Cochran revient à faire un test de comparaison de plus de 2 proportions dans le cas d échantillons appariés. Le test équivalent pour comparer plusieurs proportions dans le cas d échantillons indépendants est le test du Chi-deux d homogénéité Le test équivalent dans le cas d une variable quantitative (non binaire) est le test de Friedman

53 53 / 58 Autres tests non paramétriques Exemples Test de Fligner-Killeen test de comparaison de variances de plusieurs séries de données Test de Wald test d auto-corrélation Autres tests...

54 54 / 58 Reconnaissance de tests Exemple 1 Vous souhaitez tester l association entre un marqueur génétique spécifique et la maladie de Crohn. Pour ce marqueur, vous savez que la fréquence q de l allèle "a" est égale à 0.2 et que la fréquence p de l allèle "A" est égale à 0.8. Vous constituez deux échantillons : Groupe 1 : 100 individus atteints de la maladie de Crohn : 18[aa] + 26[Aa] + 56[AA] Groupe 2 : 169 individus témoins non atteints : 2[aa] + 30[Aa] + 137[AA] Dans un 1er temps, vous voulez vérifier que l équilibre de Hardy-Weinberg est bien vérifié chez les témoins, c est-à-dire que les fréquences des génotypes ne sont pas significativement différentes des fréquences suivantes : f (AA) = p 2, f (aa) = q 2 et f (Aa) = 2pq Dans un 2ème temps, vous souhaitez répondre à la question de l étude. Indiquez les tests statistiques à effectuer

55 Reconnaissance de tests Exemple 2 A la fin du 1 er semestre de licence L2, les étudiants ont passé chacun un examen de mathématiques fin novembre (examen 1) et un examen de mathématiques en janvier (examen 2). L objectif est de savoir si les proportions de réussite sont les mêmes à ces deux examens. Pour cela, les résultats de 15 étudiants ont été recensés dans le tableau suivant (R = reçu / C = collé). Numéro d étudiant Examen 1 R R C R C C C Examen 2 C R C C C R R Numéro d étudiant Examen 1 R R R C R C R R Examen 2 R C R C C R R R Indiquez le test à effectuer 55 / 58

56 Reconnaissance de tests Exemple 3 Vous souhaitez étudier l effet de l exercice physique sur la dépression. Pour cela, vous réunissez un échantillon représentatif de 60 personnes dépressives. De façon aléatoire, vous affectez chaque individu à un des 3 groupes suivant : "pas d exercice physique", "20 min de jogging par jour" et "60 min de jogging par jour". A la fin du mois, vous interrogez les 30 personnes et vous leur demandez de juger leur état dépressif sur une échelle de 5 états allant de extrêmement déprimé à pas du tout déprimé. Indiquez le test à effectuer 56 / 58

57 57 / 58 Reconnaissance de tests Exemple 4 Vous souhaitez étudier les préférences des consommateurs français à propos de 4 variétés de pommes de terre : Ratte, Charlotte, Bintje et Monalisa. Dans un 1er temps, vous recrutez un échantillon de 30 individus, représentatif de la population française. Chaque individu goûte successivement les 4 variétés et les note de A (variété préférée) à F (variété la moins appréciée). L ordre de présentation des différentes variétés est tirée au sort pour chaque individu. Indiquez le test à effectuer. Dans un 2ème temps, vous souhaitez savoir si la variété préférée est liée à l âge du consommateur. Pour cela, vous faites goûter les 4 variétés à 200 personnes selon le protocole décrit précédemment. Les consommateurs sont répartis en 4 classes d âges : < 20 ans, [20-40[, [40-60[ et 60 ans. Pour chaque personne, vous notez la variété préférée. Indiquez le test à effectuer.

58 58 / 58 Reconnaissance de tests Réponses Exercice 1 Question 1 : test du chi-deux de conformité Question 2 : test du chi-deux d homogénéité Exercice 2 : test de MacNemar Exercice 3 : test de Kruskal-Wallis Exercice 4 Question 1 : test de Friedman Question 2 : test du chi-deux d indépendance / d homogénéité