Tables de probabilités et quantiles de quelques lois usuelles 1

Transcription

1 Paul-Antoine Chevalier 8 décembre 2009 Tables de probabilités et quantiles de quelques lois usuelles 1 L3, ENS Cachan, La loi normale Source : Wikipedia La densité d une loi normale centrée réduite : La fonction de répartition φ(x) = 1 2π e x2 /2 Φ(x) = x φ(t)dt Sur la table 1, nous avons calculé la fonction de répartition Φ(p) = P (X < p) d une loi normale centrée réduite pour différentes valeurs positives de p. Sur la table 2, nous avons calculé la fonction quantile Φ 1 (q) d une loi normale centrée réduite pour différentes valeurs de q comprises entre 1/2 et 1. Comme la distribution est symétrique, on obtient facilement la fonction quantile pour les valeurs de q comprises entre 0 et 1/2. Il suffit de remarquer que Φ 1 (q) = Φ 1 (1 q) 1. Ce document reprend en partie le document de Marion Leturcq disponible à l adresse suivante http: //marionleturcq.googlepages.com/lois_khi2studentfisher_l3mosef.pdf

2 Table 1 Fonction de distribution de la loi normale centrée réduite

3 Table 2 Quantiles de la loi normale centrée réduite

4 2 La loi du χ 2 La loi du χ 2 (prononcez Khi-deux ) est construite à partir de la somme de carrés de lois normales centrées réduites. Si Z 1, Z 2,..., Z n sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, qui suivent toutes des lois normales centrées réduites, alors, en notant n U = on a : i=1 Z 2 i U χ 2 (n) U suit une loi de χ 2 de paramètre n. Remarque : On peut toujours se ramener à des lois normales centrées réduites. Soient X 1, X 2,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, qui suivent des lois normales de paramètres µ et σ. On a donc, i, X i N(µ, σ 2 ). En notant S 2 = 1 n n (X i µ) 2 i=1 On a : ns 2 σ 2 χ2 (n) Sur la table 3 nous avons représenté les quantiles de la loi du χ 2 pour différentes valeurs du paramètre n (F 1 (q)). χ 2 n

5 Table 3 Quantiles de la loi du χ 2 n/q

6 3 La loi de Student La loi de Student est construite à partir du ratio d une loi normale et d une loi du χ 2. Si Z et U sont des variables aléatoires indépendantes et si Z N(0, 1) et U χ 2 (n), en notant : T = Z U n alors T Student(n) T suit une loi de Student de paramètre n. Sur la table 4 nous avons représenté différents quantiles pour différentes valeurs du paramètre n (Ft 1 n (q)). Remarque : Si le paramètre n est grand, on peut approximer la distribution de Student par une loi normale. On se rapportera alors à la table 2

7 Table 4 Quantiles de la loi de Student n / q

8 4 La loi de Fisher La loi de Fisher est construite à partir du rapport de deux lois du χ 2 indépendantes. Si U et V sont deux variables aléatoires indépendantes et si U χ 2 (n 1 ) et V χ 2 (n 2 ), alors Y = U/n 1 V/n 2 F isher(n 1, n 2 ). Y suit une loi de Fisher de paramètres n 1 et n 2. Sur la table 5 nous avons représenté le quantile à 90% de la loi de Fisher pour différentes valeurs des paramètres (n 1, n 2 ) (F 1 F n1,n 2 (.9)). Sur la table 6 nous avons représenté le quantile à 95% de la loi de Fisher pour différentes valeurs des paramètres (n 1, n 2 ) (F 1 F n1,n 2 (.95)).

9 Table 5 Quantiles de la loi de Fisher à 90% n2/n

10 Table 6 Quantiles de la loi de Fisher à 95% n2/n

11 5 Pour aller plus loin 5.1 Le logiciel R R est un logiciel libre de statistiques. Il peut être gratuitement téléchargé sur le site du CRAN ( Le site Quick R ( constitue une bonne introduction à ce logiciel. On peut facilement obtenir les valeurs de la fonction quantile et de la fonction de distribution des principales lois de probabilités dans R. Il suffit d ouvrir le logiciel et de taper code > qnorm(.95) # Quantile d une loi de normale 0,1 [1] > qnorm(.975) [1] > qnorm(.995) [1] > qt(.975,10) # Quantile d une loi de Student à 10 degrés de liberté [1] > qchisq(.95,10) # Quantile d une loi du Chi Deux à 10 degrés de liberté [1] > qf(.95,10,15) # Quantile d une loi de Fisher à 10 et 15 degrés de liberté [1] >?qf # Pour obtenir de l aide 5.2 Le logiciel Stata Stata est un logiciel de statistiques. Le polycopié d Antoine Bozio constitue une bonne introduction ( ens.fr/~bozio/documents/stata.pdf). On peut facilement obtenir les valeurs de la fonction quantile et de la fonction de distribution des principales lois de probabilités dans Stata. Il suffit d ouvrir le logiciel et de taper code * di vaut pour display. di invnorm(.975) * le quantile d une loi normale 0, di invnorm(.95) di invttail(10,1-.975) * Le quantile d une loi de Student à 10 degrés de liberté * Attention avec la loi de Student on a l inverse *de la fonction de survie et non l inverse de la fonction de distribution. di invchi2(10,.95) * quantile d une loi du Chi Deux di invf(10,15,.95) * quantile d une loi de Fisher h density functions * pour en savoir plus