Chapitre 4: Mouvement d'une particule soumise à une force centrale. Champ magnétique

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1 re B et C 4 Particule souise à une force centrale. Chap agnétique 33 Chapitre 4: Mouveent d'une particule souise à une force centrale. Chap agnétique. Force de Lorentz a) Définition Une charge q qui se déplace avec une vitesse v dans un chap agnétique caractérisé par le vecteur B subit une force agnétique appelée force de Lorentz f donnée par : f qv B f est le produit vectoriel de q v par B. b) Caractéristiques de la force de Lorentz direction : perpendiculaire au plan foré par qv et B sens : déteriné par la règle des trois doigts de la ain droite (cf. figure) nore : f qvbsin avec : q est la charge (C) v est la vitesse de la charge (/s) B est l'intensité (la nore) du vecteur chap agnétique (T) est l'angle foré par qv et B. c) Attention Si q < 0 alors qv est de sens opposé à la vitesse v!

2 re B et C 4 Particule souise à une force centrale. Chap agnétique 34. Etude cinéatique dans le cas où la vitesse initiale est perpendiculaire au chap agnétique Données : A l'instant initial t = 0, une particule de asse et de charge électrique q pénètre avec la vitesse v 0 dans une région de l'espace où règne un chap agnétique unifore B. On suppose que v 0 est perpendiculaire à B. Nous étudions le ouveent de la particule à l'intérieur du chap uniqueent. a) Systèe. Référentiel. Repère Le systèe est la particule chargée. Le référentiel est celui du dispositif qui crée le chap agnétique (par exeple deux bobines de Helholtz). Le repère est celui de Frenet ( T, N ) lié à la particule, auquel on ajoute le vecteur unitaire k fixe et perpendiculaire au plan foré par T et N à l instant t = 0. b) Conditions initiales t = 0 particule en O (origine de la trajectoire curviligne) vitesse = v 0 parallèle à T v 0k = 0

3 re B et C 4 Particule souise à une force centrale. Chap agnétique 35 c) Forces extérieures Force de Lorentz : f qv B Le poids P est négligeable devant f. Il n y a pas de frotteent car le ouveent se fait dans le vide. d) Accélération * Appliquons le principe fondaental de Newton (Newton II) : F a qv B a a q v B * Projections sur les directions de T, N et k : a T 0 () q vb a N () a k 0 (3) e) Vitesse et position dvt * (): a T 0 vt v constant! dt Conclusion : Le ouveent est unifore. dvk * (3): a k 0 vk constant = v 0k = 0 dt Donc il n'y a pas de ouveent suivant k! Conclusion : Le ouveent est plan. Il s'effectue dans un plan perpendiculaire à B, contenant la vitesse initiale v 0. * Coe la coordonnée norale de l'accélération s'écrit toujours a N v (r = rayon du r cercle tangent), on a grâce à () : v q vb v r, v, q et B sont constants r est constant! r Conclusion : Le ouveent est circulaire.

4 re B et C 4 Particule souise à une force centrale. Chap agnétique 36 f) Conclusion générale : nature du ouveent Une particule chargée entrant dans un chap agnétique avec une vitesse perpendiculaire au chap décrit un ouveent circulaire et unifore dans un plan perpendiculaire au chap. Le rayon de la trajectoire est donné par l'expression : v r (4) g) Vitesse linéaire, vitesse angulaire, période, fréquence r La vitesse linéaire de la particule se déduit de (4) : v v La vitesse angulaire est reliée à la vitesse linéaire par r La période est reliée à la vitesse angulaire par T T La fréquence est reliée à la période par f T Les expressions ontrent que, T et f sont indépendants du rayon r et de la vitesse v. f h) Rearques iportantes ) La force de Lorentz f est centripète. C'est elle qui est à l'origine du ouveent circulaire et unifore! ) Si v 0 est parallèle à B la force de Lorentz est nulle et la particule décrit un ouveent rectiligne et unifore à travers le chap (Newton I). 3) Si l'angle entre v 0 et B est différent de 0 et de 90, la particule décrit un ouveent unifore hélicoïdal (trajectoire = hélice).

5 re B et C 4 Particule souise à une force centrale. Chap agnétique Applications a) Spectrographe de asse Le spectrographe de asse sert à séparer les isotopes d'un êe éléent. Il est foré de trois chabres où règne un vide très poussé. * Chabres d'ionisation : On y produit des ions de êe charge q ais de asses et différentes. * Chabre d accélération : A travers une preière fente, les ions pénètrent dans cette chabre avec une vitesse négligeable. Ils sont accélérés par la tension U > 0 et sortent avec une vitesse q U v 0 (5) * Chabre de déviation : Les ions sont déviés par un chap agnétique B et ont pour trajectoire des dei-cercles dont les rayons R et R dépendent des asses et. U U (4) et (5) R et R B q B q Le rayon de la trajectoire augente avec la asse. On arrive ainsi à recueillir sur le détecteur des particules de êe asse ; la position du détecteur peret de déteriner le rayon R de la trajectoire. Connaissant la charge q, on déterine la asse de la particule.

6 re B et C 4 Particule souise à une force centrale. Chap agnétique 38 b) Le cyclotron (Découverte en 99 par E. O. LAWRENCE aux USA) Un cyclotron est un accélérateur de particules chargées. Il coporte deux électrodes creuses (des dei-cylindres plats) en fore de la lettre "D", les "dee" (en anglais) ou "dés" (en français), entre lesquelles est appliquée une tension alternative. Les deux "dés" baignent dans un chap agnétique unifore. En son centre (point O) se trouve une source qui injecte des particules chargées : protons, deutons (= particules forées d un proton et d un neutron), particules alpha (= particules forées par protons et neutrons),... Ces particules sont accélérées vers le "dé" supérieur, où elles arrivent en A avec une vitesse v A. Elles décrivent alors avec la vitesse v A constante un dei-cercle. Au oent précis où elles s apprêtent à sortir du dé (point B ), la tension appliquée entre les deux "dés" a changé de signe : les particules sont accélérées vers le "dé" inférieur (entre B et C ) : sa nouvelle vitesse est v C > v A. Dans le "dé" inférieur les particules décrivent aussi un dei-cercle, de rayon supérieur au précédent, avec la vitesse v C constante. Lorsqu'elles sortent (point D ) la polarité des "dés" a encore changé : les particules sont accélérées vers le "dé" supérieur (entre D et A ) et entrent dans ce "dé" avec la vitesse v A > v C. A chaque traversée de l'intervalle entre les "dés", la tension appliquée accélère les particules. Lorsque les particules sont à l'intérieur des "dés", elles décrivent des dei-cercles avec des vitesses de plus en plus grandes, et donc avec des rayons de plus en plus grands. La durée de parcours des dei-cercles est constante, égale à la dei-période : La fréquence du générateur doit donc correspondre exacteent à la fréquence constante des particules en ouveent circulaire. (On néglige les durées de parcours entre les dés.) T

7 re B et C 4 Particule souise à une force centrale. Chap agnétique 39 Après avoir tourné quelques centaines de tours, les particules arrivent à la périphérie des "dés" (rayon R) et sortent tangentielleent à la trajectoire avec la vitesse v. Elles peuvent alors être utilisées coe projectiles corpusculaires de haute énergie. Vitesse : v R Energie cinétique des particules : E c v R