Contenu b) Forme de récurrence Séquence 1 : Généralités
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- Arlette Bernier
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1 Mathématiques 11èSES SAMATE Avec les TICE travailler moins faire plus! Classe : 11 SES Attention!!! CHAPITRE 6 À ne pas confondre la suite le terme d indice (sans parenthèse) c'est-à-dire le terme général SUITES NUMÉRIQUES -Différentes formes d une suite numérique Domaine : Sciences Mathématiques Technologies Compétences : Communiquer des messages en utilisant le langage le symbolisme mathématiques Composantes : Participer à des échanges d informations à caractère scientifique technologique mathématique Manifestations : Sélectionner les données mathématiques scientifiques technologiques qui sont en rapport avec la situation Ressources éducatives : Professeur élèves matériels didactiques Stratégies d animation : Travaux en groupe (pédagogie active) Les suites peuvent être définies sous diverses formes : a) Forme explicite la suite définie par avec Cte suite est définie explicitement Contenu b) Forme de récurrence Séquence 1 : Généralités 1) Suites numériques Les suites peuvent être définies par le premier terme une formule de récurrence exprimant en fonction de Approche 1 en groupe de travail On considère la fonction de la variable entière pour tous définie par : c) Forme graphique a) Calculer i) Représentation graphique sur un axe b) Pour quelle valeur de on a la suite définie par On a la représentation de cte suite sur l axe Synthèse partielle 1 On dit que la fonction est une suite de nombre réel ou simplement suite numérique On note Les termes 0 1 sont les termes d indice ou de rang Approche en groupe de travail Soient les termes d une suite numérique : 1) Conjecturer une formule claire vérifiée par les premiers termes connus de cte suite ii) Représentation graphique dans un repère Dans un repère ; le graphique de la fonction étant tracé la représentation graphique de la suite est formée de points isolés de cordonnées Alors les indices sont représentés sur l axe des abscisses les termes sont représentés sur l axe des ordonnées Par exemple soit la suite La représentation de cte suite s obtient à l aide de la fonction affine ) A l aire de cte formule obtenue calculer 5 Synthèse générale 1 On appelle suite numérique ou suite de nombre réels toute fonction de dans ℝ définie à partie d un certain rang Polycopié de cours Chapitre 6 : Suites Numériques 11 SES wwwlamine-samateml 0 1 Page 9
2 Mathématiques 11èSES SAMATE Avec les TICE travailler moins faire plus! Les points isolés sont : représentation graphique de la suite constituent la a) b) d) d) Forme en tableau de valeurs Séquence : Suites arithmétiques Approche en groupe de travail le tableau suivant : n On donne les suites de nombres entiers définies par 5 1 Ce tableau correspond au tableau de valeur de la suite Quelle relation existe-t-il entre ces nombres? Synthèse partielle ) Monotonie ou sens de variation d une suite Approche en groupe de travail On dit que les termes sont les termes consécutifs d une suite arithmétique de raison la suite Synthèse générale définie par : a) Calculer b) Comparer les deux à deux conclure Une suite est dite arithmétique lorsqu on passe de chaque terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre c'est-à-dire indice Synthèse partielle On dit que la suite est une suite décroissante est appelé la raison de Synthèse générale -Reconnaissance d une suite arithmétique Définitions Pour montrer qu une suite est arithmétique : 1) une suite quelconque de nombres réels - On doit montrer que est croissante (respectivement strictement croissante) à partie du rang lorsque (respectivement - On écrit est décroissante (respectivement strictement décroissante) à partir du rang lorsque (respectivement pout tout On considère la suite Prouver que est stationnaire s il existe est constante lorsque du domaine de définition de tel que sous la forme (avec la raison) Évaluation définie par est une suite arithmétique -Expression du terme général d une suite arithmétique er une suite arithmétique de 1 terme raison Calculer en deux minutes est monotone si elle est croissante ou décroissante à partir du rang ) Lorsque la suite est explicitement définie par on étudie le sens de variation de la fonction Ainsi si est croissante est croissante si décroissante est décroissante Approche 5 en groupe de travail sur ℝ est de Synthèse partielle Impossible de trouver le résultat en min Un calcul fastidieux!!! Évaluation 1 On doit faire recours à une formule classique Étudier la monotonie des suites suivantes : Synthèse générale Polycopié de cours Chapitre 6 : Suites Numériques 11 SES wwwlamine-samateml Page 0
3 Mathématiques 11èSES SAMATE Avec les TICE travailler moins faire plus! une suite arithmétique de 1 er terme de raison avec On a : peut s écrire également En faisant (1) + () On obtient : () On sait que Et on sait encore que : En sommant nombre par nombre on a : Par suite Par simplification : jusqu à facteurs : puisque est une suite arithmétique de 1 er terme D où Évaluation de raison on a une suite arithmétique de 1 er terme de raison Calculer maintenant en deux minutes -Somme des termes consécutifs d une suite arithmétique Approche 6 en groupe de travail Calculer rapidement en une minute la somme : Synthèse partielle 5 Encore un calcul fastidieux!!! Synthèse générale 5 une suite arithmétique tels que la somme des termes consécutifs on a : Évaluation Donner une réponse à l approche précédente Évaluation 5 Calculer la somme Remarque -Les termes dans c ordre sont termes consécutifs d une suite arithmétique ou progression arithmétique si seulement si est une suite arithmétique sa représentation est constituée de points alignés Évaluation 6 Soient les trois termes consécutifs d une suite arithmétique Calculer ses trois termes sachant que leur somme est 9 que la somme de leur carré est 59 Polycopié de cours Chapitre 6 : Suites Numériques 11 SES wwwlamine-samateml Page 1
4 Mathématiques 11èSES SAMATE Avec les TICE travailler moins faire plus! f) Monotonie d une suite arithmétique -Expression du terme général d une suite géométrie une suite arithmétique de raison Approche 8 en groupe de travail Si est strictement croissante Si est constante Si est strictement décroissante Évaluation 7 On donne la suite telle que a) Prouver que est suite arithmétique dont on précisera sa raison b) Étudier le sens de variation de L effectif du LMMS était de 06 élèves en 01 C effectif augmente de 075% chaque année Quel sera l effectif en 016? Synthèse générale 7 Étant donnée une suite géométrique de 1 er terme de raison On a : Séquence : Suites géométriques Approche 7 en groupe de travail Dans un service le Directeur le Comptable le secrétaire le gardien ont partagé une certaine somme chacun a reçu respectivement la somme de 1) Calcul les rapports suivants : ) Quelles relations lient les gains de ces personnes? En faisant le produit membre par nombre on a : Par simplification Synthèse partielle 6 On dit que les parts G S C D sont les termes consécutifs d une suite géométrique de raison Synthèse générale 6 Une suite est dite suite géométrique lorsqu on passe de chaque terme au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre c'est-à-dire est appelé la raison de la suite géométrique -Reconnaissance d une suite géométrique Pour démontrer qu une suite est géométrique on montre que R ou on écrit sous la forme Évaluation 8 avec la raison de la suite C'est-à-dire Évaluation 9 récurrence une suite géométrique définie par la relation de Calculer le cinqui terme -Somme des termes consécutifs d une suite géométrie Approche 9 en groupe de travail Calculer la somme partagée par les quatre personnes dans l Approche 7 Synthèse partielle 7 On dit que l on a fait la somme des termes consécutifs d une suite géométrique de 1 er terme 1500 de raison On définit la suite Prouver que telle que est une suite géométrique Synthèse générale 8 Polycopié de cours Chapitre 6 : Suites Numériques 11 SES wwwlamine-samateml Page
5 Mathématiques 11èSES SAMATE Avec les TICE travailler moins faire plus! une suite géométrique de raison er deux entiers naturels le 1 terme En désignant par la somme des termes consécutifs de la suite on a : (1) Et () En faisant On nomme suite arithmético-géométrique une suite à la fois arithmétique géométrique c'est-à-dire les suites de la forme ou ℝ -Reconnaissance de suite arithmético-géométrique est une suite arithmétique de raison on pose la suite définie par est une suite géométrique de raison Évaluation 1 On considère la suite Par simplification Puisque telle que Calculer -Probl concr utilisant les suites arithmétiques ou géométriques Évaluation 1 Évaluation 10 La population d un pit village de la région de Sikasso est de 01 habitants en 01 Cte population croit chaque année de 07% Calculer les sommes des 10 premiers termes consécutifs d une suite géométrique de premier terme de raison a) Quelle serait l effectif de la population en 019? Remarque b) En quelle année la population aurait atteint 000 Les trois termes forment une progression géométrique ssi -Monotonie d une suite géométrique une suite géométrique de raison strictement croissante constante strictement décroissante habitants? Évaluation 1 Un propriétaire désire vendre sa maison qui comporte deux étages de 16 marches chacun L acheur devra payer 10 F ère pour 1 marche 0 F pour la marche 0 F pour la marche ainsi de suite en doublant chaque fois jusqu à la dernière marche Quel est le prix de vente de cte maison? Mention légale Lamine SAMATE on ne peut pas étudier la monotonie Évaluation 11 Étudier la monotonie de la suite suivante : Nota Bene : Ce chapitre n était pas censé être dispensé en 6 position mais vu le temps qui nous reste nous avons jugé commencer les Suites Numériques constituant une introduction aux Mathématiques Financières des 1 SECO -Suites arithmético géométriques Synthèse générale 9 Définition Polycopié de cours Chapitre 6 : Suites Numériques 11 SES wwwlamine-samateml Page
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