Partie de Janvier (Année académique )

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1 Haute Ecole de la Communauté Française du Hainaut INSTITUT SUPERIEUR INDUSTRIEL DE MONS Campus technique Type long BA2 TB2CSM Sciences des matériaux (résumé) Partie de Janvier (Année académique ) version du 08/02/14 Basé sur le cours de "Sciences des matériaux", ISIMs, B.QUITTELIER, ed Septembre prises de notes Réalisé par Corky Maigre *[*]* (FPMs 173). corky.maigre@std.hecfh.be

2 Table des matières 2. Propriétés mécaniques des matériaux Elasticité linéaire Matériau homogène et isotrope Essai de traction Loi de Hooke et module d'élasticité Diagramme de l'essai de traction (ou compression) Matériaux ductiles Matériaux raides Matériau visqueux Déformation transversale et coefficient de Poisson Grands principes pour le calcul des structures Principe de la linéarisation géométrique Principe de Saint-Venant Principe de Superposition Flexion pure, plane et oblique Flexion pure /10

3 2. Propriétés mécaniques des matériaux 2.1. Elasticité linéaire Si une force F croissante produit le déplacement u d'un point A d'un corps. Matériau linéaire Le déplacement u est proportionnel à la force appliquée jusqu'à la limite de proportionnalité F p. Ensuite le déplacement devient de plus en plus grand avec un petit écart de force. F = k. u avec F F P Matériau élastique Tant que la force appliquée ne dépasse pas la limite de proportionnalité F p, si on la supprime, le corps déformé retrouve sa forme initiale, avant sollicitation. Par contre après la limite, le corps déformé conserve sa modification. Elasticité linéaire ou comportement élastique linéaire du matériau Matériau homogène et isotrope Un matériau est isotrope si, en un point, les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions, sinon, il est dit anisotrope. Un matériau est homogène s'il présente partout les mêmes propriétés, sinon il est hétérogène Essai de traction Description de l'essai Soit une pièce soumise, dans une machine d'essai, à une effort de traction F croissant. Dans sa partie centrale, la pièce est prismatique de longueur l et de section A. Elle subit uniquement un effort normal de traction. 3/10

4 Forces internes Si on coupe la pièce, on obtient une section plane SB. Dans la section SB agissent: l'effort normal N = F, au centre géométrique. Des contraintes normales σ sur les facettes da composant l'air A qui modélisent l'effet de cohésion de la matière. Principe d'équilibre: N =. A Or, on ne connaît pas la loi de répartition des contraintes σ sur A qui détermine la valeur que prend σ sur chaque facette ΔA. Déformations La déformation est la manière dont la pièce change de forme au cours de la mise en charge. Comparer les positions initiale (avant déformation) et finale (après déformation). permet de préciser la répartition des contraintes. Sous l'action de la force de traction, les fibres s'allongent, et les sections obéissent à la loi de conservation des sections planes de Bernoulli: "Les sections droites, initialement planes et perpendiculaires à l'axe, le restent au cours de la déformation". Donc si une section quelconque reste plane, son plan ne peut être que normal à l'axe x. Les sections se déplacent en translation axiale. Entre deux sections quelconques SA et SB, toute fibre ab subit un allongement: {L,longueur initiale L',longueur déformée u = L ' L avec u 0, allongement absolu u 0, raccourcissement absolu Si on considère l'allongement par unité de longueur, on obtient la déformation relative ε appelé dilatation: = u L = L' L L indépendant de la longueur L. Contraintes Entre SA et SB, toutes les fibres subissent la même déformation. Les contraintes vont être les même partout car aucune fibre s'allonge plus qu'une autre, elles sont donc uniformément réparties sur la section = cste. N x = x A = x. A x = N A en [N/m2 ] 4/10

5 2.4. Loi de Hooke et module d'élasticité Dans le cas d'un matériau linéaire, le déplacement u est proportionnel à l'effort tranchant N avec N = k.u. Or = N A et = u l, donc. A = k..l = k.l A. = E. (loi de Hooke) E = La loi caractérise le comportement de la matière sous sollicitation axiale et est l'expression mathématique de la loi de comportement des matériaux élastiques linéaires. Le module d'élasticité E est la constante de proportionnalité dans l'expresion de Hooke et qui est une propriété du matériau en [N/m 2 ]. E = = N A u l = N.l A.u 2.5. Diagramme de l'essai de traction (ou compression) Pour représenter les propriétés résistantes d'une pièce au cours de l'essai, on trace un diagramme contraintedilatation (ε,σ) Matériaux ductiles Après la phase élastique linéaire, les matériaux ductiles s'allongent fortement avant de se rompre. Voici le diagramme de la courbe typique des aciers de construction usuels (acier doux). 1. Droite de Hooke OA = E. Comportement élastique (réversible) Limite d'élasticité σ e. 2. Palier d'étirage AB Le comportement cesse d'être linéaire. Palier horizontal. Comportement plastique (plus réversible) 3. Déchargement élastique Dans le cas où on arrête la déformation et qu'on la reprenne après. L'allure de la déformation reprendra à ce niveau car on se trouve dans la zone plastique donc l'acier n'avait pas retrouvé sa forme initiale et avait gardé sa déformation. 4. Zone de l'écrouissage BC Il faut augmenter la charge pour rompre la pièce car le métal se raissaisit. La pièce s'allonge fortement et la courbe passe par un maximum appelé résistance à la traction σ t. 5/10

6 Pour le diagramme des métaux tels que l'aluminium. Il n'y a pas de palier AB mais un passage progressif de la loi de Hooke à la zone plastique. Il en résulte que la limite de proportionnalité σ p est difficile à trouver expérimentalement. La limite d'élasticité conventionnelle σ 0,2 au point B s'obtient avec l'intersection de la courbe et d'une droite FB parallèle à OA à partir du point F situé à 0,2% d'abscisse. On étend la validité de la loi de Hooke jusqu'à σ 0,2. En conclusion, pour les matériaux ductiles, les propriétés mécaniques importantes sont: le module d'young ou module d'élasticité E la limite d'élasticité σ e ou σ 0,2 qui n'est généralement pas dépassée dans les construction. la ductibilité (longueur des zone élastique et plastique) l'allongement de rupture ε D Matériaux raides Après la phase élastique linéaire, les matériaux raides ne s'allongent pas avant de rompre. Ce sont des matériaux fragiles qui cassent assez vite à la traction ou compression. (ex: verre, béton, pierre, brique,...) Le diagramme (σ,ε) présente une partie linéaire déterminée, plus ou moins étendue. La rupture se produit assez brusquement et n'est pas précédée d'une zone de grandes dilatations (=zone d'écruissage) comme pour les métaux. L'ensemble du diagramme est plutôt élastique. Les résistances à la traction σ t et à la compression σ c sont proches des limites de proportionnalité correspondantes. En conclusion, pour les matériaux raides, les propriétés mécaniques importantes sont: le module d'young ou module d'élasticité E la résistance à la traction σ t la résistance à la compression σ c Le module d'élasticité est d'autant plus grand que le matériau est plus résistant. 6/10

7 2.6. Matériau visqueux Un matériau visqueux est un matériau qui, sous charge constante, se déforme lentement au cours du temps. Le fluage est l'augmentation lente de la dilatation d'une fibre sous une contrainte constante. Soit du béton en compression, la dilatation est composée d'une partie élastique (loi de Hooke) et d'une partie visqueuse (due au fluage). Le diagramme (σ,ε) du béton dépend de la durée de l'essai. Si on procède rapidement, le béton est raide avec E et σ c très grands. Si on procède lentement, le béton est ductile mais avec E et σ c faibles. Le fluage et la vitesse de sollicitation peuvent jouer un rôle important dans la détermination expérimentale des propriétés mécaniques Déformation transversale et coefficient de Poisson Suite à l'essai de traction la pièce subit un allongement u qui est toujours accompagné d'une variation des dimensions transversales. Lorsqu'une pièce s'allonge, son épaisseur diminue. Lorsqu'une pièce se raccourcit, son épaisseur augmente. lat = b b ' b (déformation transversale) En traction, la déformation transversale est appelée contraction latérale ou transversale. En compression, la déformation transversale est appelée gonflement latéral ou transversal. Dans le domaine élastique, vu la loi de Hooke, cette déformation est proportionnelle à la contrainte normale σ et donc à la dilatation ε. lat =. avec, coefficient de Poisson 0 0,5 sans dimension. Contradiction de la formulation de Hooke: lat E. lat 7/10

8 2.8. Grands principes pour le calcul des structures Principe de la linéarisation géométrique Soit un corps soumis à des actions qui le déforment légèrement. Il subit des déplacements (translation ou rotation) qui se mesurent de la position initiale (non déformée) à position de la déformée. Ces déplacement sont tellement petits que les positions initiale déformée sont pratiquement confondues déplacements négligés. On peut négliger sa déformation et d'étudier la structure dans sa position initiale Principe de Saint-Venant «Dans la section droite d'une poutre, la distribution des contraintes (et déformations) due à un système de forces, appliquées à une certaine distance de cette section, ne change pas si l'on substitue à ces forces un autre système, provoquant les mêmes efforts intérieurs; seules changent, sur une longueur égale à une à deux fois la plus grande dimension transversale de la poutre, les contraintes locales provoquées par l'introduction des forces». Soit une pièce chargée d'une force verticale Q sur sa face supérieure par l'intermédiaire d'une petite plaque d'appui. Cette dernière ne répartit Q que sur les fibres centrales de la section extrême, les fibres situées en dehors n'étant pas sollicitées. Les fibres médianes sont donc fortement comprimées, tendent à se raccourcir et à glisser le long des fibres extérieures car lors d'une compression, leur épaisseur augmente. Il naît donc entre ces fibres des contraintes tangentielles (doubles flèches) qui transmettent progressivement une partie de la force vers les fibres extérieures. Plus on s'éloigne de la face supérieure de la pièce, plus cette transmission est effective. Quand on arrive au point c, la distance par rapport à la face supérieure de la pièce est égale à la plus grande dimension tranversale de celle-ci, et la répartition des contraintes normales sur une section droite et pratiquement uniforme. En conclusion: Si on se trouve assez loin sur la pièce, on ne verra pas l'influence des sollicitations sur la contribution des contraintes Mêmes contraintes quelques soient les charges. 8/10

9 Le principe de Saint-Venant n'a pas une validité générale. Il n'est vrai que pour des poutres de section massive et n'est donc pas respecté par les poutres à parois minces ou les poutrelles en treillis Principe de Superposition «Pour un matériau élastique et linéaire, l'effet produit par plusieurs causes agissant simultanément est égal à la somme des effets produits par chacune des causes supposée agissant séparément». Permet de scinder l'étude de cas complexes en celle de cas simples. 9/10

10 4. Flexion pure, plane et oblique 4.1. Flexion pure Une poutre rectiligne infiniment longue de section constante est dite sollicitée à la flexion pure lorsqu'elle est soumise à l'action de deux couples égaux et opposés à ses extrémités. L'effort tranchant V z est nul et le moment fléchissant M y est constant. (y et z doivent être les axes principaux d'inertie) Le moment fléchissant M y est positif lorsqu'il a pour effet de donner à la poutre une courbure concave vers le haut. Compression des fibres supérieures (au-dessous) de la poutre. Allongement des fibres inférieures (en-dessous) de la poutre. Les fibres neutres conservent leur longueur initiale. Comme le moment fléchissant est constant, la déformation est la même partout. L'axe de la poutre se transforme donc en une courbre (arc de cercle de centre H) de courbure = 1. Loi de Bernoulli: «Pendant la déformation, les sections droites restent planes et normales aux fibres déformées.» Chaque section tourne par rapport à la section voisine autour d'un axe neutre (axe y). La dilatation est donné par x = z et la contrainte x = E. x = E z (x est l'axe de la poutre). Diagramme d'effort normal de papillon: La distribution des déformation est linéaire donc la distribution des contraintes est une droite passant par zéro au centre de gravité. La contrainte dans une fibre quelconque est proportionnelle à sa distance à l'axe neutre. Position de l'axe neutre x = N A N = x. A = 0 car axe neutre = axe y. N = A x da = 0 A E z da = 0 E z da = 0 A S y S y = 0 (moment statique). L'axe neutre passe par le centre de gravité de la section droite. 10/10