Mathématiques. 6 ème collège Notre Dame BAUGE. Sommaire

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1 Mathématiques 6 ème collège Notre Dame BAUGE Sommaire Comment bien préparer un devoir page 2 Segment, droite, demi-droite.. pages 3 et 4 Addition, soustraction, multiplication pages 5 et 6 Nombres décimaux.pages 7 et 8 Divisions.pages 9 et 10 Symétrie axiale...pages 11 et 12 Proportionnalité..pages 13 et 14 Cercles.....page 15 Les unités... pages 16 et 17 Parallélépipède rectangle....pages 18 et 19 Triangles....page 20 Quadrilatères...page 21 Longueurs et périmètres..pages 22 et 23 Angles...pages 24, 25 et 26 Quotient de deux nombres....pages 27 et 28 Aires...pages 29 et 30 Statistiques...pages 31 et 32 1

2 Comment bien préparer un devoir Je travaille très régulièrement et je fais consciencieusement le travail demandé, sans m y prendre à la dernière minute pour pouvoir poser des questions en classe. Je refais des exercices, en particulier ce qui m a posé des difficultés (j ai corrigé en vert). Je fais à nouveau le dernier devoir maison (je prends une feuille et l énoncé, je travaille sans regarder le devoir, je vérifie). J apprends le cours dont la notion a été abordée en classe le jour même. Je le relis régulièrement et peux le réciter à quelqu un à la maison ou en l écrivant. Je travaille avec le livre qui contient des pages de cours et des exercices corrigés. La veille du devoir, ou l avant veille, je prépare ma copie, une feuille de brouillon, mes crayons. Il est important d avoir son matériel pour ne pas déranger les autres ou me déconcentrer donc je vérifie qu il est bien au complet et en bon état dans mon cartable (encre, crayon de bois, règle, équerre, compas,...). 2

3 SEGMENT DROITE DEMI-DROITE 1. Utiliser et reconnaître le vocabulaire et la notation codée: droite ( ), demi-droite [ ), segment [ ] Utiliser des lettres pour désigner les points d une figure ou un élément de cette figure POINTS DROITES DEMI-DROITES SEGMENTS DESSIN A B C A B E F H G NOTATION CODEE A,B,C (AB) ou (BA) [EF) [GH] PHRASE Points A, B, C La droite passant par les points A et B Demi-droite d'origine E passant par F Segment dont les extrémités sont G et H Points alignés : Exemples : A Des points sont alignés s ils appartiennent à la même droite. B C (d) A B C A, B et C ne sont pas A, B et C sont alignés A, B, C et D ne sont pas alignés alignés. ils appartiennent à (d) D n appartient pas à (d) D A B (d) C On note : A (d) on note : D (d) appartient à n appartient pas à Remarque : Deux points sont toujours alignés. 2. Connaître et utiliser la définition de la médiatrice d un segment Un segment est limité ; on peut le mesurer. Sa longueur se note sans crochets. E est le milieu de [GH] signifie que : - E [GH] - GE = EH G E La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. Remarque : Une droite est illimitée ; on ne peut pas la mesurer. Elle ne possède pas de milieu. H 3

4 3. Tracer par un point donné la parallèle à une droite, la perpendiculaire à une droite a) Droites sécantes : (d) A A est le point d intersection Deux droites sécantes ont un point d intersection. (d ) Deux droites perpendiculaires sont sécantes, elles se coupent en formant un angle droit. (d ) (d) Angle droit On note : (d) (d ) (d) b) Droites parallèles : (d ) Deux droites parallèles distinctes n'ont pas de point d'intersection : Deux droites parallèles confondues ont tous leurs points en commun : On note : (d) (d ) (d) (d ) 4. Enoncer les propriétés des droites parallèles et perpendiculaires Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. (d) (d 1 ) (d 2 ) (d 1 ) (d) et donc (d 1 ) // (d 2 ) (d 2 ) (d) C est cette propriété qui sert à tracer des droites parallèles Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. (d 1 ) (d 2 ) (d 3 ) (d 1 ) (d 2 ) et donc (d 1 ) // (d 3 ) (d 3 ) (d 2 ) Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. (d 1 ) // (d 2 ) (d) Et donc 4

5 ADDITIONS, SOUSTRACTIONS ET MULTIPLICATIONS 1. Connaître la signification du vocabulaire : somme, terme, différence, produit, facteur Addition L addition est l opération qui permet de calculer la somme de plusieurs nombres. Exemple: 23,5 + 58,5 + 2,3 = 84,3 23,5 ; 58,5 et 2,3 sont les termes de la somme 23,5 + 58,5 + 2,3. Cette somme est égale à 84,3. Soustraction La soustraction est l opération qui permet de calculer la différence entre deux nombres. Exemple: 6,8 4,5 = 2,3 6,8 et 4,5 sont les termes de la différence 6,8 4,5. Cette différence est égale à 2,3. Multiplication La multiplication est l opération qui permet de calculer le produit de plusieurs nombres. Exemple : 403 3,6 = 1 450,8 402 et 3,6 sont les facteurs du produit 403 3,6. Ce produit est égal à 1 450,8. 2. Propriété de l addition et de la multiplication Dans le calcul d'une somme (ou d un produit), on peut changer l'ordre des termes (ou des facteurs) sans changer le résultat et donc effectuer des regroupements pour faciliter le calcul. A = , B = 4 5,06 25 A = ,3 B = ,06 A = ,3 B = 100 5,06 A = 134,3 B = 506 En revanche, l ordre des termes d'une différence est important

6 3. Etablir un ordre de grandeur du résultat d une opération Pour trouver un ordre de grandeur d un résultat : on remplace les termes ou les facteurs par des nombres proches mais plus simples. L ordre de grandeur doit se calculer mentalement. Exemples: 98, ,4 98,58 est proche de100 et 203,4 est proche de 200. La somme 98, ,4 est donc voisine de ,17 148,99 252,17 est proche de 250 et 148,99 est proche de 150. La différence 252,17 148,99 est donc proche de , est proche de et 3,26 est proche de 3. Le produit 998 3,26 est proche de Produit de deux nombres décimaux Pour calculer le produit de deux nombres décimaux : on effectue d abord la multiplication sans tenir compte des virgules on divise ensuite le résultat par 10 ; 100 ou : 100 Exemple : , : 10 4, : , Multiplier un nombre par 0,1 ou 0,01 ou 0,001, c est donc le diviser par 10 ou 100 ou Exemples : 15,7 0,1 = 1,57 34,57 0,01 = 0, ,001 = 0,256 Attention! Une multiplication n «agrandit» pas toujours! 6

7 NOMBRES DECIMAUX 1. Associer diverses désignations d un nombre décimal PARTIE ENTIERE PARTIE DECIMALE millions centaines de mille dizaines de mille unités de mille (ou milliers) centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes dix millièmes cent millièmes millionièmes six centaines cinq unités quatre dixièmes sept centièmes ,4 + 0, six cent cinq unités et quarante-sept centièmes soixante mille cinq cent quarante-sept centièmes Comparer et ranger les nombres décimaux : Comparer deux nombres c est chercher lequel est le plus grand (ou le plus petit) ou dire s ils sont égaux Exemples : 8,4 9 62,300 = 62,3 8,5 8,43 Inférieur à Supérieur à Ranger des nombres dans l ordre croissant, c est les ranger du plus petit au plus grand. Ranger des nombres dans l ordre décroissant, c est les ranger du plus grand au plus petit. 3. Lire l abscisse d un point, placer un point d abscisse donnée Sur une droite graduée on repère chaque point par un nombre qui s appelle abscisse. Exemple : 0 A 1 B Le point A a pour abscisse : 0,3 Le point B a pour abscisse : 1,4 4. Encadrer un nombre on note : A(0,3) on note : B(1,4) 7

8 4. Encadrer un nombre Encadrer un nombre c est lui donner une valeur inférieure et une valeur supérieure. Exemples : encadrement à l unité près : 25 < 25,314 < 26 encadrement au dixième près : 25,3 < 25,314 < 25,4 encadrement au centième près : 25,31 < 25,314 < 25,32 5. Donner une valeur approchée d un nombre décimal 25,3 < 25,314 < 25,4 Valeur approchée par défaut au dixième près Valeur approchée par excès au dixième près 6. Multiplier ou diviser par 10 ; 100 ; Quand on multiplie un nombre par 10, chaque chiffre du nombre prend une valeur 10 fois plus grande. milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes ,4 10 = Quand on divise un nombre par 100, chaque chiffre du nombre prend une valeur 100 fois plus petite. milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes : 100 = 25,

9 Division 1. Connaître et utiliser le vocabulaire : diviseur, reste, dividende, quotient. Calculer le quotient et le reste d une division d un entier par un entier dans des cas simples Effectuer la division euclidienne d un nombre entier (le dividende) par un nombre entier différent de zéro (le diviseur), c est trouver deux nombres entiers : le quotient et le reste. Exemple : dividende reste diviseur quotient On écrit : 23 = ( 6 3 ) + 5 avec 5 < 6 dividende = (diviseur quotient )+ reste avec reste < diviseur 2. Calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers ou d un décimal par un entier. Effectuer la division décimale d un nombre (le dividende) par un nombre entier différent de zéro (le diviseur) c est calculer le quotient de ces deux nombres. Exemples : 45, , ,5 50 1, On écrit : 45,6 : 4 = 11,4 105 : 42 = 2,5 16 : 11 1,45 car il n y a pas de reste car il n y a pas de reste Le quotient peut être un nombre entier, un nombre décimal non entier ou un nombre non décimal (dans le cas où la division ne se termine pas). On peut alors en donner une valeur approchée décimale, par défaut ou par excès. 9

10 3. Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10 Si le reste de la division euclidienne d un entier a par un entier b est zéro, alors on dit que : a est divisible par b ou a est un multiple de b ou b est un diviseur de a Exemple : 24 6 = 4 Le reste de la division de 24 par 6 est zéro donc : 24 est divisible par 6 6 est un diviseur de est un multiple de 6 Critères de divisibilité : Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est pair ( 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ) Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est divisible par 4. Un nombre entier est divisible par 5 lorsque chiffre des unités est 0 ou 5. Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9. Un nombre entier est divisible par 10 lorsque chiffre des unités est 0. Exemples : est divisible par 2, 3 et est divisible par 2, 3, 5, 9 et est divisible par 2, 3, 4 et 9. 10

11 Symétrie axiale 1. Reconnaître des figures symétriques Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si en pliant le long de cette droite, les deux figures se superposent. 2. Construire le symétrique d un point Le point A est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) si (d) est la médiatrice du segment [AA ]. Construction sur quadrillage : Remarque : Un point qui appartient à la droite (d) est son propre symétrique. Construction à la règle et à l équerre : La médiatrice d un segment : le symétrique d un point : (d) A A B B 3. Propriétés de la symétrie axiale : Une figure et sa figure symétrique ont les mêmes dimensions, la même aire. Le symétrique d un segment est un segment de même longueur. 11

12 Le symétrique d une droite est une droite. Le symétrique d un cercle est un cercle de même rayon. 4. Tracer les axes de symétrie d une figure Une figure possède un axe de symétrie si en pliant le long de cet axe les deux parties se superposent. La médiatrice d un segment est un axe de symétrie de ce segment. 5. Connaître et utiliser la caractérisation des points de la médiatrice par la propriété d équidistance Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant (à égale distance) des extrémités de ce segment. Réciproquement, si un point est à égale distance des extrémités d un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Construction au compas : La médiatrice d un segment : le symétrique d un point : A B 6. Tracer la bissectrice d un angle en utilisant plusieurs méthodes (d) A B La bissectrice d un angle est l axe de symétrie de cet angle. Construction au rapporteur : Construction au compas : 12

13 Proportionnalité 1. Reconnaître une situation de proportionnalité Situation de proportionnalité Le prix à payer et la quantité de fruits achetés. La quantité de peinture et la surface à peindre. Situation de non proportionnalité L âge et la taille d une personne. La vitesse d une voiture et le nombre de passagers. 2. Traiter les problèmes de proportionnalité a. Linéarité Premier exemple : Un fil électrique de 4 mètres coûte 5. Quelle longueur de fil peut-on acheter avec 15? Combien va-t-on payer 6 m de fil? Combien va-t-on payer 18 m de fil? Présentation en ligne 15 c est 3 fois = = 12 On peut acheter 12m de fil avec m c est la moitié de 12 m. 12 : 2 = 6 15 : 2 = 7,50 6 m de fil coûtent 7, m c est 12 m plus 6 m = ,50 = 22,50 Ou bien : 18 m c est 3 fois 6 m 3 6 = ,50 = 22,50 18 m de fil coûtent 22,50. Longueur du fil en m Présentation en tableau Prix en ,5 22,5 On peut acheter 12 m de fil avec m de fil coûtent 7, m de fil coûtent 22,50. b. Coefficient de proportionnalité Deuxième exemple : Pour faire un cocktail, Jules met 25 cl de sirop de grenadine pour 100 cl de jus d orange. Quel volume de jus d orange doit-il mettre pour 40 cl de sirop de grenadine? Quel volume de sirop de grenadine doit-il mettre pour 180 cl de jus d orange? 0,25 est un coefficient de proportionnalité ; il faut 0,25 cl de Sirop de grenadine ,25 en cl 4 Jus d orange en cl est un coefficient de proportionnalité ; il faut 4 cl de jus 13

14 Jules met 4 fois plus de jus d orange que de sirop de grenadine. Pour 40 cl de sirop de grenadine, il faut 160 cl de jus d orange. Pour 180 cl de jus d orange, il faut 45 cl de sirop de grenadine. c. Passage par l unité Troisième exemple : Avec un pot de peinture de 4 kg, on peut peindre 48 m². Quelle surface peut-on peindre avec un pot de 7 kg? 12 Peinture en kg Surface en m² Avec 1 kg on peut peindre 12 m². Avec 7 kg on peut peindre 84 m². Remarque : le passage par l unité permet de trouver un coefficient de proportionnalité. 3. Application d un taux de pourcentage Exemple : Un collège comporte 700 élèves dont 35 % d élèves externes. Vocabulaire : «35 % des élèves du collège sont externes» signifie que pour 100 élèves de ce collège, 35 élèves sont externes donc pour 700 élèves du collège, 245 élèves sont externes Remarque : (35% de 700) Autre méthode de calcul : J utilise le passage par l unité pour trouver le coefficient de proportionnalité. : Nombre d élèves dans le collège Nombre d externes 35 0,35 ou : Propriété : «Calculer 35% d un nombre, c est multiplier ce nombre par (ou par 0,35)» Exemple : 35% de 400 se calcule en faisant

15 CERCLES 1. Utiliser le vocabulaire : cercle, centre, rayon, diamètre est un cercle de centre O et de rayon 3 cm. A, B, C, D et E sont des points du cercle. [DE] est un diamètre du cercle. [OA] et [OD] sont des rayons du cercle. [BC] est une corde du cercle. AD est un arc du cercle. 2. Caractériser les points du cercle Si M est un point du cercle de centre O et de rayon r alors OM = r. Si OM = r, alors M est un point du cercle de centre O et de rayon r. Les points A, B, C, D et E appartiennent au cercle de centre O et de rayon 3cm donc OA = OB = OC = OD = OE = 3 cm 15

16 LES UNITES 1. Effectuer des changements d unités (longueur, masse, capacité) Unités de longueur : kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre km hm dam m dm cm mm 1 hm = 100 m 8,5 m = mm 9 dm = 0,09 dam Unités de masse : kilogramme hectogramme décagramme gramme décigramme centigramme milligramme kg hg dag g dg cg mg 1 cg = 0,01g 500 g = 0,5kg 3 dg = 300mg 1 t = 1,000kg 1 q = 100kg Unités de capacité : kilolitre hectolitre décalitre litre décilitre centilitre millilitre kl hl dal L dl cl ml 1 dal = 10L 55cL = 550 ml 0,6 hl = 60L 16

17 2. Effectuer des changements d unités d aire : ha a km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 m 2 est l'aire d'un carré de 1 m de côté. 1 dm 2 est l'aire d'un carré de 1 dm de côté. 1 cm 2 est l'aire d'un carré de 1 cm de côté: 1 cm 1 dm 2 = 100 cm 2 1 cm 2 = 100 mm 2 1 m 2 = 100 dam 2 Remarque: L are ( a ) et l'hectare ( ha ) sont des unités d'aires utilisées en agriculture 1 a = 1 dam 2 = 100 m 2 1 ha = 100 a = 1 hm 2 3. Connaître et utiliser les unités de volume et les relier aux unités de contenance Savoir que 1L = 1dm 3 Effectuer pour les volumes des changements d unités m 3 dm 3 cm 3 mm 3 hl dal L dl cl ml 1 dm 3 = cm 3 1 L = 1 dm 3 17

18 Parallélépipède rectangle 1. Reconnaître et nommer les faces, les arêtes, les sommets Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide qui possède 6 faces. Toutes ses faces sont des rectangles. Un pavé droit a : 8 sommets 12 arêtes Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés 2. Dessiner ou compléter un patron d un parallélépipède rectangle 18

19 3. Tracer un pavé ou cube en perspective cavalière Représentation en perspective arête cachée arêtes visibles et fuyantes 4. Déterminer le volume d un parallélépipède rectangle en se rapportant à un dénombrement d unités ou une formule Le volume d un pavé droit de longueur L, de largeur et de hauteur h est donnée par la formule : V= L h V = L h V = V = 72 cm 3 Le volume du pave droit est 72 cm 3. 19

20 TRIANGLES Un triangle est un polygone qui a 3 côtés. A A, B et C sont les sommets du triangle ABC. [AB], [BC] et [AC] sont les côtés du triangle ABC. [BC] est le côté opposé au sommet A. B C 1. Connaître et utiliser les propriétés relatives aux côtés des triangles (isocèle, équilatéral, rectangle) 2. Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles (isocèle, équilatéral, rectangle) NOM FIGURE PROPRIETES DES COTES PROPRIETES DES ANGLES Le sommet principal TRIANGLE ISOCELE La base Un triangle isocèle a 2 côtés de même longueur. Les angles à la base sont de même mesure TRIANGLE RECTANGLE Un triangle rectangle a deux côtés perpendiculaires Les deux angles aigus sont égaux. TRIANGLE EQUILATERAL Un triangle équilatéral a 3 côtés de même longueur. Un triangle équilatéral est aussi un triangle isocèle. Les trois angles sont de même mesure

21 QUADRILATERES O Un quadrilatère est un polygone qui a 4 côtés, 4 sommets. P,O,L et I sont les sommets. POLI peut aussi se nommer PILO, LIPO, ILOP, LOPI, IPOL, OLIP et OPIL. [PO] et [IL] sont deux côtés opposés. P [PO] et [OL] sont deux côtés consécutifs. [PL] et [OI] sont les diagonales. I L 1. Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles des quadrilatères ( rectangle, carré, losange) NOM FIGURE PROPRIETES DES CÔTES PROPRIETES DES DIAGONALES PROPRIETES DES ANGLES Le losange, le rectangle et le carré sont des quadrilatères qui ont : LOSANGE Les quatre côtés sont de la même longueurs Les diagonales sont perpendiculaires Les angles opposés ont la même mesure leurs côtés opposés parallèles et de même longueur. leurs diagonales qui se coupent en leur milieu RECTANGLE Les côtés consécutifs sont perpendiculaires Les diagonales ont la même longueur Un rectangle a quatre angles droits Un carré est à la fois un rectangle et un losange! CARRE Les quatre côtés de même longueur et les côtés consécutifs sont perpendiculaires Les diagonales ont la même longueur, et sont perpendiculaires Un carré a quatre angles droits 21

22 Longueurs et Périmètres 1. Périmètre d'une figure : Le périmètre d'une figure (d une surface) est la longueur de son contour. Exemple : Notons P le périmètre du polygone ABCDE A 2 cm P = AB + BC + CD + DE + EA On a AB = 2cm E B ED = 1,5cm et DC = 3cm P = 2 + 1, , ,5 cm P = 10 D 30 mm C Le périmètre du polygone ABCDE est égal à 10cm. Attention!! Lorsque l on calcule un périmètre, toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité 2. Formules : a. Périmètre du rectangle, du losange, du carré : Rectangle Losange Carré L c c ou P = 2 ( L + ) P = (2 L) +( 2 ) P = 4 c 22

23 Exemples : Périmètre d un rectangle de longueur 6,5cm et de largeur 4cm : P = 2 6, P = P = 21 Le périmètre du rectangle est de 21cm. Périmètre d un carré de côté 7,5cm : P = 47,5 P = 30 Le périmètre du carré est de 30cm. b. Longueur d un cercle La longueur d un cercle de rayon r ( ou de diamètre d ) est donnée par la formule : = 2 r ou = d Exemples : où est un nombre dont une valeur approchée est 3,14 ( 3, ) Longueur d un cercle de rayon 3 cm Longueur d un cercle de diamètre 4 cm = 2 3 = 4 = 6 3, ,14 12,56 cm 18,84 cm La longueur d un cercle de rayon 3 cm est environ 18,84 cm et d un cercle de diamètre 4 cm est d environ 12,56 cm. 23

24 Angles 1. Nommer un angle Deux demi-droites de même origine forment 2 angles : sommet x [Ox) et [Oy) sont les côtés de l angle O y Pour désigner un angle, on utilise trois lettres, la lettre centrale correspond au sommet. N angle ou angle ou M P angle ou 2.Calculer la mesure d un angle Exemple : calcul de la mesure de l angle u y = 180 ( ) = = 41 t O x 24

25 3. Comparer des angles ; Utiliser le vocabulaire : angle plat, droit, nul, obtus, aigu Le degré est une unité usuelle de mesure d un angle ( noté : ) Angle nul Mesure : 0 Angle aigu Mesure comprise entre 0 et 90 Angle droit Mesure : 90 Angle obtus Mesure comprise entre 90 et 180 Angle plat Mesure : 180 Angle plein Mesure : Utiliser un rapporteur pour déterminer en degré la mesure d un angle On mesure un angle avec un rapporteur. Attention!! Les rapporteurs sont, en général gradués dans les deux sens. On place le centre du rapporteur au sommet de l angle et le zéro d une des deux graduations sur l un des côtés de l angle, ici [Oy). On suit cette graduation ( 0 ; 10 ; 20 ) jusqu à rencontrer l autre côté de l angle, ici [Ox) on lit alors la mesure. L angle mesure 105. On contrôle à vue d œil : l angle est obtus, sa mesure doit être supérieure à

26 5. Utiliser un rapporteur pour construire un angle de mesure donnée en degré Reproduire un angle Tracer un angle de 58 On trace l un des côtés de l angle, ici [Ax) On place le rapporteur On repère la graduation 58 (on suit 0 ; 10 ; 20 ), on marque un point. On trace le deuxième côté, ici [Ay) en joignant le sommet A au point marqué. 6. Connaître et utiliser la définition de la bissectrice d un angle La bissectrice d un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. x O y 26

27 Quotient de deux nombres 1. Interpréter comme quotient de l entier a par l entier b, c est à dire comme le nombre qui multiplié par b donne a. Connaître le vocabulaire : numérateur, dénominateur, fraction Exemple : 3 = 4 ou 3 = 4 est le nombre par lequel il faut multiplier 3 pour obtenir 4 C est le quotient de 4 par 3. Ce quotient se note : a et b désignent deux nombres avec b différent de 0 Le quotient de a par b se note a : b ou numérateur est l'écriture fractionnaire du quotient de a par b dénominateur Ce quotient est appelé fraction lorsque a et b sont des nombres entiers. Le quotient peut être : un nombre décimal entier : 2 = 12 = un nombre décimal non entier : = 14 = 2,8 5 5 un nombre non décimal : = 4 est la valeur exacte du quotient. on peut en donner une valeur approchée : 1,33 (au centième par défaut). 27

28 2. Placer le quotient de deux entiers sur une demi-droite graduée Sur cette demi-droite graduée, l unité est partagée en 7 parties de même longueur. M N P Le point M a pour abscisse, le point N a pour abscisse et le point P a pour abscisse Reconnaître que des écritures fractionnaires différentes sont celles d un même nombre Le quotient de deux nombres ne change pas si on multiplie ou si on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Exemples : On obtient donc des quotients égaux. = 10 6 = 0,6 = 5 5 = 1 = 10 5 = 0, Multiplier un nombre entier ou décimal par un quotient de deux entiers sans effectuer la division. Prendre la fraction d'un nombre, c'est multiplier cette fraction par ce nombre. Exemple : Prendre les de 10, c'est calculer 10. Pour effectuer ce calcul 3 méthodes sont possibles: ,

29 Aires 1. Différencier périmètre et aire : Ces deux figures ont le même périmètre mais pas la même aire. Ces deux figures ont la même aire mais pas le même périmètre. 2. Déterminer l aire d une surface : à partir d un pavage : l unité d aire est le carreau A 1 = 16 unités d aire A 2 = 2 unités d aire en utilisant une formule : Rectangle Carré Triangle rectangle Triangle L A = L c c A = c c a A = b A= c h c h 2 29

30 Exemples : Rectangle de longueur 7cm et de largeur 4,5 cm : A = 7 4,5 A = 30 L aire du rectangle est 30 cm². Carré de côté 32mm: A = 3232 A = L aire du carré est mm² (ou 10,24 cm²). Triangle rectangle dont les côtés de l angle droit ont pour longueur 5cm et 4cm : A = 54 : 2 A = 20 : 2 A = 10 L aire du triangle est 10 cm². Triangle de côté 5m et dont la hauteur relative à ce côté mesure 0,35dam: 0,35 dam = 3,5m 53,5 A = 2 17,5 A = 2 A = 8,75 L aire du triangle est 8,75 m². Figure Aire Disque R R R Exemple : Disque de rayon 5cm A = 5 5 A 3,14 25 A 78,5 30

31 ORGANISATION ET REPRESENTATION DE DONNEES 1- TABLEAUX Un tableau permet d organiser et de regrouper des données afin de les lire plus facilement. a) Tableau à 2 lignes Nombres d élèves d un collège par niveau Niveau 6 e 5 e 4 e 3 e Nombre d élèves Chaque colonne donne une information : b) Tableau à 2 colonnes Altitude de certains sommets Nom des sommets Altitude (en m) Everest ( Himalaya) Aconcagua (Himalaya) Illimani (Andes) Chaque ligne donne une information : c) Tableau à double entrée Répartition des élèves d une classe selon leur âge et leur sexe Sexe Féminin Masculin Total Âge Total Il y a 23 élèves de 12 ans dans la classe en tout. Il y a 10 filles de 12 ans dans la Il y a en tout 15 garçons dans la classe. Il y a en tout 27 élèves dans la classe. 2- REPRESENTATIONS GRAPHIQUES a) Graphique cartésien Un graphique cartésien permet de représenter l évolution d une grandeur en fonction d une autre. Exemple : Evolution de la hauteur d un chêne en fonction de son âge Sur ce graphique cartésien : Les pointillés noirs indiquent qu un chêne de 30 ans mesure 10 m. Les pointillés rouges indiquent qu un chêne de 30 m a 150 ans. 31

32 b) Diagramme en bâtons (ou en barres) Un diagramme en bâtons (ou en barres) permet de comparer des données. Exemples :On a relevé le nombre d élèves d un collège qui pratiquent un sport dans une association. Combien d élèves pratiquent l escalade? 15 élèves pratiquent l escalade. Quel est le sport le plus pratiqué? Le sport le plus pratiqué est le rugby. Combien d élèves pratiquent un sport? = élèves pratiquent un sport. c) Diagramme circulaire ou semi-circulaire. Un diagramme circulaire ou semi-circulaire permet de visualiser une répartition des données. Dans un diagramme circulaire ou semi- circulaire, les mesures des angles sont proportionnelles aux quantités Représentées. Exemple : Répartition des spectacles culturels d une salle de spectacles pour l année. 32