Licence 2 nde année Jussieu, année 2014/2015
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- Gautier Dumas
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1 Licence 2 nde année Jussieu, année 2014/2015
2 INTRODUCTION Rappel Le transfert d énergie par conduction se produit dans tout référentiel. Analogie électrique Il est aisément identifiable dans le référentiel lié à un élément matériel, dès lors qu il existe un gradient de température. Ce transfert représente l effet global du transport d énergie par les porteurs élémentaires (molécules, électrons, ).
3 INTRODUCTION Rappel Le transfert d énergie par conduction se produit dans tout référentiel. Analogie électrique Il est aisément identifiable dans le référentiel lié à un élément matériel, dès lors qu il existe un gradient de température. Ce transfert représente l effet global du transport d énergie par les porteurs élémentaires (molécules, électrons, ).
4 INTRODUCTION Rappel Le transfert d énergie par conduction se produit dans tout référentiel. Analogie électrique Il est aisément identifiable dans le référentiel lié à un élément matériel, dès lors qu il existe un gradient de température. Ce transfert représente l effet global du transport d énergie par les porteurs élémentaires (molécules, électrons, ).
5 INTRODUCTION Cas particulier 1: cas d un fluide Les porteurs élémentaires (molécules, atomes, ions, ) sont caractérisés par des énergies de translation, éventuellement de vibration/rotation et des énergies électroniques. Analogie électrique Le formalisme d Enskog permet d accéder avec une bonne précision aux propriétés de transport à partir de considérations au niveau élémentaire.
6 INTRODUCTION Cas particulier 1: cas d un fluide Les porteurs élémentaires (molécules, atomes, ions, ) sont caractérisés par des énergies de translation, éventuellement de vibration/rotation et des énergies électroniques. Analogie électrique Le formalisme d Enskog permet d accéder avec une bonne précision aux propriétés de transport à partir de considérations au niveau élémentaire.
7 INTRODUCTION Cas particulier 2: cas d un solide Analogie électrique Les atomes sont liés entre eux au sein d un réseau cristallin plus ou moins parfait. Les agents de thermalisation sont appelés phonons, résultant de la transmission de proche en proche des quanta de vibration du réseau. Ces porteurs élémentaires sont éventuellement aidés par les électrons libres. N.B.: conduction thermique ~ conduction électrique
8 INTRODUCTION Cas particulier 2: cas d un solide Analogie électrique Les atomes sont liés entre eux au sein d un réseau cristallin plus ou moins parfait. Les agents de thermalisation sont appelés phonons, résultant de la transmission de proche en proche des quanta de vibration du réseau. Ces porteurs élémentaires sont éventuellement aidés par les électrons libres. N.B.: conduction thermique ~ conduction électrique
9 INTRODUCTION Cas particulier 2: cas d un solide Analogie électrique Les atomes sont liés entre eux au sein d un réseau cristallin plus ou moins parfait. Les agents de thermalisation sont appelés phonons, résultant de la transmission de proche en proche des quanta de vibration du réseau. Ces porteurs élémentaires sont éventuellement aidés par les électrons libres. N.B.: conduction thermique ~ conduction électrique
10 INTRODUCTION Cas particulier 2: cas d un solide Analogie électrique Les atomes sont liés entre eux au sein d un réseau cristallin plus ou moins parfait. Les agents de thermalisation sont appelés phonons, résultant de la transmission de proche en proche des quanta de vibration du réseau. Ces porteurs élémentaires sont éventuellement aidés par les électrons libres. N.B.: conduction thermique ~ conduction électrique
11 FLUX CONDUCTIFS Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Milieu homogène et isotrope La loi de Fourier permet d exprimer le vecteur flux surfacique conduit au sein d un tel milieu: où λ(t) est appelée conductivité thermique [W/m/K] T est la température Analogie électrique N.B.: Le signe rend compte du 2 nd principe de la thermodynamique.
12 FLUX CONDUCTIFS Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Milieu homogène et isotrope La loi de Fourier permet d exprimer le vecteur flux surfacique conduit au sein d un tel milieu: où λ(t) est appelée conductivité thermique [W/m/K] T est la température Analogie électrique N.B.: Le signe rend compte du 2 nd principe de la thermodynamique.
13 FLUX CONDUCTIFS Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Analogies La loi de Fourier est une approximation de la réponse au 1 er ordre du milieu à une perturbation thermique. En cela, elle est l analogue de lois régissant des phénomènes similaires de diffusion. Analogie électrique Ex 1: loi d Ohm sous forme locale j j = σ E = σ où est le vecteur densité de courant σ la conductivité électrique du milieu E le champ électrique V le potentiel électrique gradv
14 FLUX CONDUCTIFS Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Analogies La loi de Fourier est une approximation de la réponse au 1 er ordre du milieu à une perturbation thermique. En cela, elle est l analogue de lois régissant des phénomènes similaires de diffusion. Analogie électrique Ex 1: loi d Ohm sous forme locale j j = σ E = σ où est le vecteur densité de courant σ la conductivité électrique du milieu E le champ électrique V le potentiel électrique gradv
15 FLUX CONDUCTIFS Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Analogies La loi de Fourier est une approximation de la réponse au 1 er ordre du milieu à une perturbation thermique. En cela, elle est l analogue de lois régissant des phénomènes similaires de diffusion. Analogie électrique Ex 1: loi d Ohm sous forme locale où est le vecteur densité de courant σ la conductivité électrique du milieu le champ électrique V le potentiel électrique
16 FLUX CONDUCTIFS Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Analogies La loi de Fourier est une approximation de la réponse au 1 er ordre du milieu à une perturbation thermique. En cela, elle est l analogue de lois régissant des phénomènes similaires de diffusion. Analogie électrique Ex 2: loi de Fick où est le vecteur flux surfacique de masse de l espèce S [kg/m 2 /s] D S la diffusivité de l espèce S [m 2 /s] C S la concentration massique en S [kg/m 3 ]
17 FLUX CONDUCTIFS Limitations Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur La loi de Fourier présuppose l instantanéité en tout point du milieu de la réponse à une perturbation thermique survenue en 1 point M. Analogie électrique Validité: cette hypothèse est valide dans le cas général où les échelles de temps considérées sont grandes en regard du temps de relaxation caractérisant le transfert par collision entre porteurs élémentaires.
18 FLUX CONDUCTIFS Limitations Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur La loi de Fourier présuppose l instantanéité en tout point du milieu de la réponse à une perturbation thermique survenue en 1 point M. Analogie électrique Validité: cette hypothèse est valide dans le cas général où les échelles de temps considérées sont grandes en regard du temps de relaxation caractérisant le transfert par collision entre porteurs élémentaires.
19 FLUX CONDUCTIFS Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Limitations La loi de Fourier présuppose sur sa forme basique l isotropie du matériau. conductivité du graphite pyrolithique: a/ parallèlement au plan de clivage b/ perpendiculairement Analogie électrique
20 FLUX CONDUCTIFS Limitations Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur La loi de Fourier présuppose sur sa forme basique l isotropie du matériau. la loi de Fourier peut se généraliser en traduisant les conductivités sous forme de tenseur conductivité du graphite pyrolithique: a/ parallèlement au plan de clivage b/ perpendiculairement Analogie électrique
21 FLUX CONDUCTIFS Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Ordre de grandeur La gamme de conductivité thermique s étend sur une échelle relative de 1 à N.B.: échelle de conductivité électrique = 1 à bons conducteurs Analogie électrique mauvais conducteurs
22 FLUX CONDUCTIFS Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur Ordre de grandeur Application: isolation par lame gazeuse (à condition de réduire la dimension caractéristique du volume dédié au gaz) ex: laine de verre bons conducteurs Analogie électrique mauvais conducteurs
23 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Phénomène de convection Rappel: La convection thermique est un transfert d énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère. z tube de champ O y ds M x Débit-masse à travers ds:
24 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Phénomène de convection Rappel: La convection thermique est un transfert d énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère. z tube de champ O y ds M x Débit d enthalpie associé: dφ cv = dm h = ρ v n h ds
25 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Phénomène de convection Rappel: La convection thermique est un transfert d énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère. Débit d enthalpie associé: Vecteur flux surfacique associé: Flux surfacique associé:
26 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Types de convection Rappel: La convection thermique est un transfert d énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère. Convection forcée (ex: radiateur de voiture) Convection naturelle (ex: chauffage par la sol) Convection mixte L efficacité de chacun de ces types de convection est intimement liée à l écoulement (laminaire/turbulent) qui lui donne naissance.
27 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Types de convection Rappel: La convection thermique est un transfert d énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère. Convection forcée (ex: radiateur de voiture) Convection naturelle (ex: chauffage par la sol) Convection mixte L efficacité de chacun de ces types de convection est intimement liée à l écoulement (laminaire/turbulent) qui lui donne naissance.
28 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Types de convection Rappel: La convection thermique est un transfert d énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère. Convection forcée (ex: radiateur de voiture) Convection naturelle (ex: chauffage par la sol) Convection mixte L efficacité de chacun de ces types de convection est intimement liée à l écoulement (laminaire/turbulent) qui lui donne naissance.
29 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Types de convection Rappel: La convection thermique est un transfert d énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport macroscopique de masse dans ce repère. Convection forcée (ex: radiateur de voiture) Convection naturelle (ex: chauffage par la sol) Convection mixte L efficacité de chacun de ces types de convection est intimement liée à l écoulement (laminaire/turbulent) qui lui donne naissance.
30 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS y Physique du phénomène l T 2 Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur O T 1 x l T 2 T profil purement conductif O T 1 T m T profil réel profil approché
31 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Formulation l T 2 T Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur O T 1 T m T profil approché Problème: le flux conduit en proche paroi résulte du couplage entre phénomènes conductifs (transverse à l écoulement) et phénomènes convectif (parallèle à l écoulement). En toute rigueur, il faut résoudre une formulation thermomécanique du problème
32 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Formulation l T 2 T Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur O T 1 T m T profil approché Problème: le flux conduit en proche paroi résulte du couplage entre phénomènes conductifs (transverse à l écoulement) et phénomènes convectif (parallèle à l écoulement). En toute rigueur, il faut résoudre une formulation thermomécanique du problème
33 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Formulation l T 2 T Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur ξ O T 1 T m T profil approché Approximation: on discrétise le profil de température en 3 parties linéaires.
34 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Formulation Approximation: Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur h est appelé coefficient de transfert convectif à la paroi. h dépend uniquement des propriétés thermophysiques du fluide et de la nature de l écoulement (donc de la rugosité).
35 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Formulation Approximation: Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur h est appelé coefficient de transfert convectif à la paroi. h dépend uniquement des propriétés thermophysiques du fluide et de la nature de l écoulement (donc de la rugosité).
36 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Ordre de grandeur Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur cas purement conductif cas convectif En général efficacité des transferts convectifs
37 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Ordre de grandeur Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur cas purement conductif cas convectif En général efficacité des transferts convectifs
38 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Ordre de grandeur Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur cas purement conductif cas convectif ϕ = λ T T l cd y= 0 f cc T T1 ϕ λ m = y= 0 f ξ + En général efficacité des transferts convectifs
39 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Ordre de grandeur Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur cas purement conductif cas convectif En général efficacité des transferts convectifs
40 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Ordre de grandeur Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur Type de transfert Fluide h (W/m2/K) convection naturelle convection forcée changement de phase (eau) gaz 5-30 eau gaz eau huile métal liquide ébullition condensation
41 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Généralités Généralités cas 1 cas 2 cas 3 De façon classique, la température T est supposée continue aux limites du domaine d étude. De même, le flux surfacique d énergie (au sens large) y est supposé continu. Contre-exemples: contact thermique imparfait interface entre 2 phases
42 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Généralités Généralités cas 1 cas 2 cas 3 De façon classique, la température T est supposée continue aux limites du domaine d étude. De même, le flux surfacique d énergie (au sens large) y est supposé continu. Contre-exemples: contact thermique imparfait interface entre 2 phases
43 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Généralités Généralités cas 1 cas 2 cas 3 De façon classique, la température T est supposée continue aux limites du domaine d étude. De même, le flux surfacique d énergie (au sens large) y est supposé continu. Contre-exemples: contact thermique imparfait interface entre 2 phases
44 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS C.L. 1: milieu opaque et milieu transparent Solide opaque Fluide transparent h T 0 λ S, T S 0 λ f, T f x Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Continuité du flux surfacique suivant (Ox): T R [ ( 0) T ] S λ S = h TS 0 + ϕ x x= 0 avec ϕ R e = ϕ a ϕ
45 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS C.L. 1: milieu opaque et milieu transparent Solide opaque Fluide transparent h T 0 λ S, T S 0 λ f, T f x Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Continuité du flux surfacique suivant (Ox): avec
46 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS C.L. 2: 2 milieux opaques Solide opaque Liquide opaque h T 0 λ S, T S 0 λ f, T f x Généralités cas 1 cas 2 cas 3 cd ϕ S R ϕ = 0 Continuité du flux surfacique suivant (Ox): λ S T x S x= 0 = [ ( 0) T ] h T S 0
47 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS C.L. 2: 2 milieux opaques Solide opaque Liquide opaque h T 0 λ S, T S 0 λ f, T f x Généralités cas 1 cas 2 cas 3 Continuité du flux surfacique suivant (Ox):
48 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Généralités cas 1 cas 2 cas 3 C.L. 3: milieu semi-transparent et milieu transparent Continuité du flux surfacique radiatif (pas d absorption surfacique): Solide semi transparent λ S, T S Fluide transparent h T 0 0 λ f, T f x Continuité du flux surfacique conductif:
49 FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS Généralités cas 1 cas 2 cas 3 C.L. 3: milieu semi-transparent et milieu transparent Continuité du flux surfacique radiatif (pas d absorption surfacique): Solide semi transparent λ S, T S Fluide transparent h T 0 0 λ f, T f x Continuité du flux surfacique conductif:
50 EQUATION DE LA CHALEUR (V) ds S Formulation intégrale Système indéformable fixe continu matériel Forme intégrale Forme locale On réalise le bilan sous forme intégrale: où ε = t q = q q n ds + cd S= V ext V P dv + q R P: puissance volumique engendrée en un point M du système (ex: effet Joule)
51 EQUATION DE LA CHALEUR (V) ds S Formulation intégrale Système indéformable fixe continu matériel Forme intégrale Forme locale On réalise le bilan sous forme intégrale: où P: puissance volumique engendrée en un point M du système (ex: effet Joule)
52 EQUATION DE LA CHALEUR (V) ds Formulation locale Système indéformable fixe continu matériel Forme intégrale Forme locale Pour un régime stationnaire: S Avec le théorême de la divergence:
53 EQUATION DE LA CHALEUR (V) ds Formulation locale Système indéformable fixe continu matériel Forme intégrale Forme locale Pour un régime stationnaire: S Avec le théorême de la divergence:
54 EQUATION DE LA CHALEUR (V) ds Formulation locale Système indéformable fixe continu matériel Forme intégrale Forme locale Pour un régime stationnaire: S soit sous forme locale:
55 EQUATION DE LA CHALEUR (V) ds Formulation locale Système indéformable fixe continu matériel Forme intégrale Forme locale Pour un régime stationnaire: S soit sous forme locale:
56 EQUATION DE LA CHALEUR (V) ds Formulation locale Système indéformable fixe continu matériel Forme intégrale Forme locale Pour un régime stationnaire: S avec les conditions aux limites abordées précédemment, cette équation conduit à un problème mathématique clos, à solution unique.
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