Chapitre IV Sens de variation d une fonction Résolution graphique d inéquations

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1 Chapitre IV Sens de variation d une fonction Résolution graphique d inéquations Extrait du programme : I. Sens de variation d une fonction Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de. - Dire que f est croissante sur I signifie que pour tous réels u et v de I, Si u v alors f ( u ) f ( v ) On dit qu une fonction croissante conserve l ordre. - Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tous réels u et v de I, Si u v alors f ( u ) f ( v ) On dit qu une fonction décroissante inverse l ordre. On dit que la fonction est strictement croissante ou décroissante lorsqu on manipule des inégalités strictes. - Lorsque le sens de variation de f ne varie pas sur un intervalle, on dit que la fonction f est monotone sur cet intervalle. Elle est donc soit monotone croissante, soit monotone décroissante. - Interprétation graphique : Une fonction croissante conserve l ordre : pour tous réels x 1 de I, f ( x 1 ) et f ( x 2 ) sont rangés dans le même ordre que x 1.

2 Une fonction décroissante inverse l ordre : pour tous réels x 1 de I, f ( x 1 ) et f ( x 2 ) sont rangés dans l ordre contraire de x 1. II. Tableau de variation Définition : Etudier les variations (ou le sens de variation) d une fonction, c est indiquer les plus grands intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. On résume ces propriétés dans un tableau de variation Point-méthode 13 : Dresser le tableau de variation d une fonction On considère la fonction f définie sur [ 2;5 ] et représentée par la courbe cicontre. 1. Décrire les variations de f 2. Dresser le tableau de variation de f 1. Pour déterminer le sens de variation d une fonction, on lit sur l axe des abscisses les intervalles sur lesquels la courbe «monte» ou «descend» quand on la parcourt de gauche à droite. - Croissante sur [-2;-1] - Décroissante sur [-1;2] - Croissante sur [2;5] 2. Un tableau de variation a 2 lignes : une ligne pour l axe des abscisses o On écrit x dans la première case o On écrit l ensemble de définition aux extrémités de la 2 ème case, puis on indique toutes les valeurs de x pour lesquelles il y a un changement de variations Une ligne pour l axe des ordonnées o On écrit f dans la première case o On trace des flèches qui montent ou qui descendent en s arrêtant sous chaque x. On laisse de l espace entre chaque flèche. o Dans chacun des espaces, bien alignés avec les x de la 1 ère ligne, on écrit les images de chacun d eux. Ce qui donne le tableau de variation suivant : Ces valeurs se lisent sur l axe des abscisses Ces valeurs se lisent sur l axe des ordonnées, ce sont les images des x correspondants. Point-méthode 14 : Comparer des images grâce aux variations d une fonction On reprendra pour cet exercice le tableau de variation trouvé dans le PM13. Lorsque cela est possible, 1. Comparer f ( 3 ) et f ( 4 ) 2. Comparer f ( 1 ) et f ( 0 ) 3. Comparer f ( 1,5 ) et f ( 1 ) 4. Comparer f ( 2 ) et f ( 2 )

3 1. Comparer f ( 3 ) et f ( 4 ) : la fonction f est croissante sur [3 ;4] donc elle conserve l ordre. 3 < 4 donc f ( 3 ) < f ( 4 ) 2. Comparer f ( 1 ) et f ( 0 ) : la fonction f est décroissante sur [0 ;1] (attention à l ordre) donc elle inverse l ordre. 0 < 1 donc f ( 0 ) > f ( 1 ) 3. Comparer f ( 1,5 ) et f ( 1 ) : sur [-1,5 ;1] la fonction n est pas monotone, on ne peut donc pas comparer les images. 4. Comparer f ( 2 ) et f ( 2 ) : sur [-2 ;2] la fonction n est pas monotone, mais on sait que f ( 2 ) = 3 et f ( 2 ) = 1 par conséquent, f ( 2 ) < f ( 2 ) III. Extremum d une fonction Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de et a un nombre réel de I. Dire que f admet un maximum sur I en a signifie que : Pour tout nombre réel x I, f ( x ) f ( a ) Le maximum de f sur I est f ( a ). Dire que f admet un minimum sur I en a signifie que : Pour tout nombre réel x I, f ( x ) f ( a ) Le minimum de f sur I est f ( a ). Interprétation graphique : Le maximum de f sur I est l ordonnée du point le plus haut de la courbe représentative de f sur I. Le minimum de f sur I est l ordonnée du pont le plus bas de la courbe représentative de f sur I. Point-méthode 15 : Déterminer un extremum graphiquement et algébriquement Voici la représentation graphique de la fonction définie sur [0 ;3] par : f ( x ) = ( x 1 ) ² Déterminer graphiquement le minimum de f 2. Déterminer par le calcul le minimum de f ainsi que la valeur en laquelle il est atteint. 1. On repère sur la courbe le point le plus bas. Son ordonnée est le minimum Le point ( 1;2 ) est le plus bas de la courbe, donc le minimum de f est 2, atteint pour x = 1 2. Pour prouver algébriquement qu un point est un minimum, il faut 2 étapes : - Trouver un m tel que pour tout x, f ( x ) m - Vérifier qu il existe un a tel que f ( a ) = m, c est-à-dire vérifier que m est bien atteint. Pour cela, on s aide du carré présent dans l expression de la fonction f : ( x 1 ) ² 0 car un carré est toujours positif Donc ( x 1 ) ² car on ajoute 2 à chaque membre de l inégalité Ainsi f ( x ) 2 pour tout x de [0 ;3]

4 On résout maintenant l équation f ( x ) = 2 pour savoir si 2 est bien atteint : f ( x ) = 2 ( x 1 ) ² + 2 = 2 ( x 1 ) ² = 0 x 1 = 0 x = 1 Ainsi f ( 1 ) = 2 et pour tout xde [0 ;3], f ( x ) 2 donc 2 est le minimum de f sur [0 ;3] atteint pour x = 1 IV. Résolution graphique d inéquation Nous avons appris dans le chapitre II comment résoudre graphiquement une équation. En appliquant une méthode très similaire, on peut aussi résoudre une inéquation graphiquement. En règle générale, l ensemble solution s écrit sous forme d intervalle. Point-méthode 16 : Résoudre graphiquement une inéquation Les courbes c f et c g ci-contre représentent deux fonctions f et g définies sur [ 3;6 ]. 1. Résoudre graphiquement l inéquation : f ( x ) < 2 2. Résoudre graphiquement f ( x ) g ( x ) 1. Pour résoudre une inéquation, on procède comme pour une équation :

5 - On se place en 2 sur l axe des ordonnées, on repère les abscisses des points d intersection avec la courbe : ici 2 et 3. - On regarde toute la partie de la courbe qui est SOUS cette droite (car on a «inférieure»). - S il y a 2 morceaux (ou plus), alors l ensemble solution sera sous la forme de 2 intervalles (ou plus) - On fera attention aux crochets en fonction de l inégalité stricte ou large. Ici f ( x ) < 2 a pour solution : s = [-3 ;-2[ ]3 ; 6] Les crochets sont fermés en 3 et en 6 car on est bien en dessous de la droite y = 2 pour ces abscisses, mais on les ouvre en 2 et 3 car on est sur la droite, et l inégalité est stricte. 2. Pour comparer 2 fonctions, - on repère les abscisses de leurs points d intersection - on regarde le ou les intervalles sur le(s)quel(s) la courbe représentant f est au-dessus (car supérieure) de celle représentant g. - on est vigilant sur le nombre d intervalles et sur les crochets. Ici f ( x ) g ( x ) a pour solution : s = [-1 ; 3] l inégalité est large, donc les crochets sont fermés.