Compléments sur les suites

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Yves Després
il y a 6 ans
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1 Lycée Marcel Pagnol TES 2 Cours Compléments sur les suites Table des matières 1 Suites géométriques Définition Expression explicite Reconnaître une suite géométrique Sens de variation Somme de termes consécutifs d une suite géométrique Limites de la suite (q n ) avec q > Notion de ite Limites de la suite (q n ) avec q > Recherche d un seuil à l aide d un algorithme Suites arithmético-géométriques Définition et cas particuliers Suites géométriques 1.1 Définition On dit qu une suite (u n ) est géométrique lorsqu il existe un réel q tel que : Le réel q est appelé raison de la suite (u n ). pour tout entier naturel n, u n+1 = q u n Remarque : La raison d une suite géométrique est un réel indépendant de n. Le mode de génération des termes d une suite géométrique est le suivant : on passe d un terme au terme de rang suivant en multipliant toujours par q. u 0 u 1 u 2 u 3 u n u n+1 1

2 1.2 Expression explicite Soit (u n ) une suite géométrique de raison q 0. (1) n N et p N ; u n = u p q (n p). (2) En particulier, n N ; u n = u 0 q n. Exemple 1 Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison q = 2. Ainsi, u 4 = ( 1) 2 4 = 16. Soit (v n ) la suite géométrique de raison q = 3 telle que v 11 = 729. On se propose de calculer v 3. v 3 = v 11 q 3 11, soit v 3 = = 1 9 (calcul à la calculatrice). Soit (w n ) une suite géométrique vérifiant w 2 = 18 et w 4 = 162. On se propose de calculer w 9 et w 14. w 4 = w 2 q = 18q 2 q 2 = 9 (q = 3 ou q = 3) Sans autre information sur la suite ou sur la raison, on ne peut pas calculer la valeur de q ; par contre, w 14 = w 2 q 14 2 w 14 = 18q 12, or, ( 3) 12 = 3 12 = , donc w 14 = Reconnaître une suite géométrique Si pour tout n de N, u n = a q n (avec a un réel), alors (u n ) est une suite géométrique de raison q. Exemple 2 La suite définie par u n = 3 2 n, pour tout n entier naturel, est bien de la forme u n = a q n avec a = 3 et q = 2. C est donc la suite géométrique de premier terme u 0 = 3 et de raison q = 2. Remarque : Pour prouver qu une suite (u n ) est géométrique, il faut prouver que : Cette question tombe chaque année au BAC... u n+1 = u n (un nombre indépendant de n) 2

3 1.4 Sens de variation Soit (u n ) la suite définie, pour tout n de N par u n = q n avec q 0. La suite géométrique (u n ) est : strictement croissante si q > 1 ; constante si q = 1 ; strictement décroissante si 0 < q < 1 ; ni croissante, ni décroissante si q < 0. Preuve : (pour information) Pour tout n de N, u n+1 u n = q n+1 q n = q n (q 1). Ainsi, u n+1 u n dépend du signe de q et de q 1. Si q > 0 alors q n > 0 ; si q > 1 alors u n+1 u n > 0 et donc (u n ) est strictement croissante ; si q = 1 alors u n+1 u n = 0 et donc (u n ) est constante ; si 0 < q < 1 alors u n+1 u n < 0 et donc (u n ) est strictement décroissante. { q n > 0 si n est pair Si q < 0 alors q n < 0 si n est impair et donc (u n) n est ni croissante, ni décroissante. Remarque : exponentielles. Les suites géométriques de raison q > 0 correspondent à des évolutions 1.5 Somme de termes consécutifs d une suite géométrique La somme des puissances d un nombre réel q 1 s exprime sous la forme : Remarque : Si q = 1 alors 1 + q + q q n = 1 qn+1 1 q. 1 + q + q q n = n = } {{ } = n + 1. (n+1) termes La somme quelconque de termes consécutifs d une suite géométrique de raison différente de 1 est : de termes S = (1 ier 1 (raison)nombre terme) 1 raison ou S = u 0 + u 1 + u u n = u 0 1 qn+1 1 q 3

2 Limites de la suite (q n ) avec q > 0 2.

4 2 Limites de la suite (q n ) avec q > Notion de ite Étudier la ite d une suite (u n ), c est se demander ce que deviennent les nombres u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes, vers +. Exemple 3 Soit (a n ) la suite définie pour tout n de N par a n = 1, 05 n. D après le 1, (a n ) est une suite strictement croissante car 1, 05 > 1. u n = 1, 05 n u n = 1, 05 n On observe, par exemple qu à partir de n = 200, a n > On conjecture que plus n devient grand, plus a n = 1, 05 n devient grand. On dit que la suite (1, 05 n ) a pour ite + et on note 1, n + 05n = +. Exemple 4 Soit (b n ) le suite définie pour tout n de N par b n = 0, 8 n. D après le 1, (b n ) est une suite strictement décroissante car 0, 8 < 1. On observe, par exemple que 0 b n 0, 00001, pour n 50. On conjecture que plus n devient grand, plus b n = 0, 8 n se rapproche de 0. 4

5 On dit que la suite (0, 8 n ) a pour ite 0 et on note 0, n + 8n = Limites de la suite (q n ) avec q > 0 (admis) Soit q un nombre réel strictement positif. Si q > 1, alors Si q = 1, alors Si 0 < q < 1, alors n + qn = +. n + qn = n + 1n = n + qn = 0. 1 = 1. n Recherche d un seuil à l aide d un algorithme Exemple : Soit (r n ) la suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme r 0 = Comme 0 < 0, 96 < 1 la suite (r n ) est décroissante et converge vers 0 : , n + 96n = 0. L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est inférieur à C est à dire déterminer le plus petit entier p tel que pour tout entier n p, , 96 n Initialisation : A = ; I = 0; Traitement : tant que A > faire I prend la valeur I + 1 ; A prend la valeur 0, 96 A ; fin tant que Sortie : Afficher I Initialisation : A = I = 0 PROGRAMME TEXAS CASIO PROGRAM : SEUIL ===== SEUIL ===== : A A : 0 I 0 I : While A > While A > : I + 1 I I + 1 I : 0.96*A A 0.96*A A : End WhileEnd : Disp I I Traitement : Tant que la condition A > est vraie, on effectue la suite d instructions situées à l intérieur de la boucle tant que et fin tant que 5

6 Exemple : Soit (u n ) la suite géométrique de raison 1,015 et de premier terme u 0 = , 015 > 1 et u 0 > 0 donc la suite (u n ) est croissante et , n + 015n = +. L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est supérieure à C est à dire déterminer le plus petit entier p tel que pour tout entier n p, , 015 n > 3000 Initialisation : A = 2000 ; I = 0; Traitement : tant que A 3000 faire I prend la valeur I + 1 ; A prend la valeur 1, 015 A ; fin tant que Sortie : Afficher I La calculatrice affiche 28. Donc pour tout entier n 28, , 015 n > Suites arithmético-géométriques 3.1 Définition et cas particuliers La suite (u n ) définie pour tout entier n, par la relation de récurrence u n+1 = au n + b et le terme initial u 0, avec a et b deux réels, est une suite récurrente d ordre 1. Cette suite n est ni arithmétique, ni géométrique, cette suite est liée à la fonction affine x ax + b. Une telle suite est appelée suite arithmético-géométrique. Cas particulier : Si b = 0 alors u n+1 = au n et la suite (u n ) est géométrique de raison a. Si a = 1 alors u n+1 = u n + b et la suite (u n ) est arithmétique de raison b. Remarque : Conformément au programme, on verra sur des exemples que l étude d une suite arithmético-géométrique (u n ) peut être ramenée à l étude d une suite géométrique (v n ). 6

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= constante et cette constante est a. Le problème Lorsqu on sait que f(x 1 ) = y 1 et que f(x 2 ) = y 2, comment trouver l expression de f(x 1 )? On sait qu une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc