Propagation unidimensionnelle non dispersive

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1 Propagation unidimensionnelle non dispersive a description ondulatoire des phénomènes physiques est un champ de la physique extrêmement vaste ; de la corde vibrante aux ondes sonores en passant par les ondes électromagnétiques, nous en étudierons cette année quelques applications mais bien d autres domaines de la physique font appel à cette modélisation. Dans ce chapitre, nous prendrons deux exemples avant de généraliser cette description avec l équation de d Alembert. es ondes sonores et électromagnétiques feront l objet de chapitre spécifiques ultérieurs. I Onde transversale sur une corde I.1 Description et modélisation du problème On considère une corde homogène, de section constante, de longueur, de masse linéique µ, initialement au repos horizontalement sur l axe Ox. On fait les hypothèses suivantes : a corde est inextensible l angle α que fait la tangente à la corde avec l horizontal est petit, ce qui signifie que l on pourra faire les approximations tan α «α, sin α «α et cos α «1. On peut montrer que ces deux conditions sont compatibles au premier ordre même si la corde peut sembler plus longue quand elle est hors position d équilibre. a tension de la corde au point M d abscisse x M est la grandeur scalaire T px M q telle que la partie de la corde x ą x M exerce sur la partie de la corde x ă x M une force ÝÑ T T pxq u M où u M est le vecteur unitaire tangent à la corde au point M et dirigé vers les X ą x M. I.2 Mise en équation On considère un élément de la corde compris entre x M et x M ` dx, de masse µdx. Cet élément est soumis à deux forces de tensions, ÝÑ T d dirigée vers les x ą x M et ÝÑ T g dirigée vers les x ă x M. e principe fondamental de la dynamique s écrit alors : µdx a ÝÑ T d ` ÝÑ T g (1) 1

2 Dans l hypothèse d une onde purement transversale, on a alors, en projetant sur les 2 axes $ & µdxa x 0 T px ` dx, tq cos αpx ` dx, tq T px, tq cos αpx, tq % µdxa y µdx B2 y Bt 2 T px ` dx, tq sin αpx ` dx, tq T px, tq sin αpx, tq sin α «α et cos α «1, on a donc a x 0 T px ` dx, tq T px, tq, ce qui signifie que T ne dépend pas de x. On peut alors réécrire la deuxième équation µdx B2 y T ptqαpx ` dx, tq T ptqαpx, tq T ptqbαdx (3) Bt2 Bx Par ailleurs, tan α «α By, on en déduit donc, en faisant l hypothèse que T ptq T : Bx B 2 y Bt 2 T B 2 y µ Bx 2 0 (4) II Onde sonore dans un solide II.1 Description et modélisation du problème On modélise un solide par une chaine infinie d oscillateurs selon un axe Ox, de masses identiques m reliées deux à deux par des ressorts de constante de raideur k et de longueur au repos a. es masses se déplacent sans frottement et sont au repos distantes de a. a masse n a pour abscisse x n ptq x n p0q`ξ n ptq. II.2 Mise en équation a masse n est soumise à deux forces provenant des ressorts présents de chaque coté, ÝÑ T d (droite, qui sera positive si le ressort droit s allonge) et ÝÑ T g (gauche, qui sera positive si le ressort gauche se comprime). a longueur du ressort à droite de la masse est d x n`1 x n x n`1 p0q ` ξ n`1 ptq px n p0q ` ξ n ptqq a ` ξ n`1 ptq ξ n ptq De même la longueur du ressort à gauche est g x n x n 1 x n p0q ` ξ n ptq px n 1 p0q ` ξ n 1 ptqq a ` ξ n ptq ξ n 1 ptq es forces appliquées à la masse n sont donc " ÝÑ T d kp d aq u x kpξ n`1 ptq ξ n ptqq u x ÝÑ T g kp g aq u x kpξ n 1 ptq ξ n ptqq u x On peut donc écrire le principe fondamental de la dynamique : m B2 x n Bt 2 u x ÝÑ T d ` ÝÑ T g kpξ n`1 ptq ξ n ptqq u x ` kpξ n 1 ptq ξ n ptqq u x On suppose maintenant la longueur d onde λ ąą a. On peut alors faire l approximation d un milieu continu. On introduit donc une fonction ξpx, tq dans laquelle l indice n est remplacé par la variable x. On peut alors écrire le développement de ξpx, tq autour du point x n p0q : $ & ξ n`1 ptq ξpx n p0q ` a, tq ξpx n p0q, tq ` a Bξ Bx ` a2 B 2 ξ 2 B 2 x % ξ n 1 ptq ξpx n p0q a, tq ξpx n p0q, tq a Bξ Bx ` a2 B 2 ξ 2 B 2 x 2

3 On a fait un développement à l ordre 2 car les ordre 0 et 1 du développement s annulent. On obtient alors kpξ n`1 ptq ξ n ptqq u x ` kpξ n 1 ptq ξ n ptqq u x ka 2 B2 ξ B 2 x u x (5) et on obtient donc l équation aux dérivées partielles : B 2 ξ Bt 2 ka2 B 2 ξ m Bx 2 0 (6) ien avec le module de Young du matériau e module de Young E d un matériau est le rapport entre la force de traction F exercée sur une surface S et l allongement relatif du matériau { F S E Si la chaine contient n {a ressorts, alors l allongement de chaque ressort vaut δl {n a. a force qui s exerce alors sur chaque ressort vaut f kδl ka. Si l on considère un réseau cubique simple, une section S du réseau est occupée par N S{a 2 atomes. a force totale s exerçant sur la surface est donc ce qui donne comme expression Par identification avec (7), on trouve F Nf S a 2 ka F S 1 a k E k a (7) (8) II.3 Équation de d Alembert évolution deux systèmes précédents est décrite formellement par la même équation aux dérivées partielles, l équation de d Alembert : B 2 y Bt 2 c2 B2 y Bx 2 0 (9) où c est une constante homogène à une vitesse. On a donc, dans les deux cas évoqués c c d T µ d E ρ ponde sur une cordeq (10) ponde dans un solideq (11) 3

4 III Solutions de l équation de d Alembert III.1 Remarques préliminaires équation de d Alembert est une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre qui ne contient que des dérivées du deuxième ordre, ce qui implique la linéarité de l équation aux dérivées partielle : une somme de solutions de l équation est aussi solution de l équation, la présence de dérivées d ordre 2 uniquement implique une invariance par renversement du temps et de la variable x : si fpx, tq est solution, alors fp x, tq et fpx, tq le sont aussi. Nous allons dans la suite étudier des ensembles de solutions qui répondent évidemment à ces deux critères III.2 Ondes progressives On considère la forme d onde progressive ypx, tq fpx ctq fpuq. On a alors By Bx df Bu du Bx f 1 B 2 y puq Bx 2 d2 f B 2 u du 2 Bx 2 f puq et By Bt cf 1 puq B2 y Bt 2 c2 f puq a fonction fpx ctq est donc solution de l équation de d Alembert. De la même manière, on peut vérifier que gpx ` ctq est aussi solution. Interprétation de la solution On cherche à relier la forme de l onde à deux instants t 1 et t 2 ą t 1. on a alors ypx, t 1 q fpx ct 1 q fpx cpt 1 t 2 q ct 2 q ypx cpt 1 t 2 q, t 2 q a forme de l onde en x à t 1 est la même qu en x 1 x cpt 1 t 2 q ą x en t 2. On a donc une onde progressive qui se propage dans le sens des x croissants, sans déformation. De la même manière, on peut montrer que la fonction gpx ` ctq représente une onde progressive qui se propage dans le sens des x décroissants, sans déformation. Finalement, la solution est la solution générale de l équation de d Alembert. Remarques importantes direction arbitraire u : ypx, tq fpx ctq ` gpx ` ctq (12) On peut généraliser l expression pour des ondes se propageant dans une ypx, tq fp u r ctq ` gp u r ` ctq, r ÝÝÑ OM (13) Par ailleurs, dans un plan x constante, à un instant donné, l onde a une valeur fixée. C est donc une onde plane, déjà vue en optique. III.3 Ondes progressives harmoniques Une onde progressive est dite harmonique si sa dépendance en temps est sinusoïdale : ypx, tq y 0 cos pωt kx ` ϕ 0 q (14) pour une onde de pulsation ω et de nombre d onde k et se dirigeant vers les x croissants. 4

5 Périodicité spatiale et temporelle a forme de l onde, du fait de la périodicité des fonctions sinusoïdales, implique une périodicité temporelle et une périodicité spatiale. Il est aisé de montrer que la période temporelle T et la période spatiale ou longueur d onde λ obéissent aux relations suivantes : T 2π ω et λ 2π k (15) On injecte la solution en onde plane harmonique dans l équation de d Alem- Relation de dispersion bert, ce qui donne donc ce qui est vérifié pour B 2 y Bt 2 ω2 y ; B 2 y Bx 2 k2 y (16) ω 2 y ` c 2 k 2 y 0 (17) k ω c (18) Surface d onde et vitesse de phase a surface d onde est le lieu des points où ωt kx ` ϕ 0 constante ψ 0. a position de ce plan d onde est donnée par x ψ hkkkikkkj ϕ 0 ψ 0 k `ω k t ψ k ` ω k t a vitesse de déplacement du plan d onde, appelée vitesse de phase, est alors donnée par dx dt ω k c (19) Elle est égale à la vitesse de propagation dans le cas d une onde plane pour un phénomène non dispersif (voir chapitre sur les phénomènes dispersifs). Notation complexe Cette notation déjà vue en optique permet de simplifier les calculs. ypx, tq y 0 exppipωt kxqq Rpypx, tqq ypx, tq et y 0 y 0 exppiϕ 0 q (20) Généralisation l axe Ox, on a D une manière plus générale, pour une onde dont la direction de propagation n est pas yp r, tq y 0 cospωt k r ` ϕ 0 q (21) Intérêt des ondes harmoniques équation de d Alembert est une équation linéaire. analyse de Fourier montre que n importe qu elle fonction périodique peut se mettre sous la forme d un développement en série de Fourier, somme de termes sinusoïdaux, ce qui explique l intérêt accordé aux ondes harmoniques. 5

6 III.4 Ondes stationnaires On peut aussi chercher la solution à l équation de d Alembert sous la forme d une fonction ypx, tq f pxqgptq, c est la méthode de séparation des variables. Dans ce cas, on peut réécrire l équation de d Alembert fpxqg ptq c 2 f xqgptq 0 soit g ptq gptq c2 f pxq fpxq Chaque membre est dépendant soit de x, soit de t, donc, pour que l égalité soit vraie, il faut que ces deux membres soient constants, soit g ptq gptq c2 f pxq fpxq α ce qui donne deux équations différentielles à résoudre # g ptq αgptq 0 f pxq α c 2 fpxq 0 (22) Si α ě 0, alors les solutions sont divergentes ou tendent vers 0, ce qui ne correspond pas à un phénomène ondulatoire. On choisit donc α ω 2 négatif. fpxq est alors solution de f pxq ` ω2 c 2 fpxq f pxq ` k2 fpxq 0 On peut alors écrire les solutions " gptq a cospωt ` ϕ0 q fpxq b cospkx ` ψ 0 q et donc (23) ypx, tq y 0 cospωt ` ϕ 0 q cospkx ` ψ 0 q (24) es constantes y 0, ϕ 0 et ψ 0 sont déterminées par les conditions initiales et les conditions aux limites. Interprétation de la solution On peut interpréter cette solution de la manière suivante : c est un signal sinusoïdal temporel dont l amplitude dépend de la position x ypx, tq Apxq cospωt ` ϕ 0 q, il n y a plus de propagation puisque x et t sont séparés, les points où Apxq y 0 cospkx ` ψ 0 q 0 sont appelés nœuds de vibration, les points où Apxq y 0 (amplitude maximale) sont appelés ventres de vibration, 2 nœuds et 2 ventres successifs sont séparés de λ{2 Équivalence onde progressive/onde stationnaire a description en terme d onde progressive ou d onde stationnaire est un choix arbitraire qui est lié aux conditions initiales et aux limites du problème. En effet, ypx, tq y 0 cospωt kxq y 0 cospωtq cospkxq ` y 0 sinpωtq sinpkxq qui est la somme de 2 ondes stationnaires. Inversement, toute onde stationnaire peut s écrire comme la somme de deux ondes progressives. C est le calcul que nous verrons dans le cas de la réflexion totale d une onde. On notera que dans le cas le plus général, la solution de l équation de d Alembert n est ni une solution purement progressive, ni une solution purement stationnaire. 6

7 IV Applications IV.1 Corde vibrante fixée à ses deux extrémités On s intéresse au cas d une corde fixée à ses deux extrémités. C est par exemple le cas d une corde de guitare ou de piano. es conditions aux limites sont les suivantes : yp0, tq yp, tq 0. Elles imposent des nœuds de vibration aux extrémités de la corde. a présence de ces nœuds de vibration conduit à choisir une onde stationnaire comme solution au problème : ypx, tq y 0 cospωt ` ϕ 0 q cospkx ` ψ 0 q a première condition yp0, tq 0 donne la relation y 0 cospωt ` ϕ 0 q cospψ 0 q 0. Si on exclut la solution uniformément nulle y 0 0, alors cos ψ 0 0 ce qui implique ψ 0 π{2. On choisit ψ 0 π{2 car cospkx π{2q sinpkxq a deuxième condition yp, tq 0 donne la relation y 0 cospωt ` ϕ 0 q sinpkq 0. Si on exclut la solution uniformément nulle y 0 0, alors sinpkq 0 ce qui implique k n nπ, n P N. Comme ω kc, on a alors k n nπ et ω n ncπ (25) équation de d Alembert admet donc un ensemble infini de solutions y n px, tq nπ x ncπ y n px, tq y 0n sin cos t ` ψ 0n Chaque solution y n px, t est un mode propre de vibration de la corde. e mode n 1 est appelé mode fondamental, les autres modes les modes harmoniques. Solution complète équation de d Alembert est linéaire, la fonction Y px, tq définie par nÿ ˆiπ ˆicπ Y px, tq y 0i sin x cos t ` ψ 0i i est alors aussi solution. analyse de Fourier montre que c est la solution la plus générale à l équation de d Alembert. a résolution pratique demande de connaitre 2n conditions initiales, n conditions sur la position de la corde à t 0 et n conditions sur la vitesse de la corde à t 0. 7 (26) (27)

8 IV.2 Corde de Melde a corde de Melde est un système où la corde est accrochée à une extrémité fixe et à une extrémité en mouvement harmonique. es conditions aux limites sont alors les suivantes : yp0, tq a cospωtq et yp, tq 0. À nouveau, on choisit une solution en forme d onde stationnaire en raison du nœud imposé en x : ypx, tq y 0 cospωt ` ϕ 0 q cospkx ` ψ 0 q a première condition yp0, tq y 0 cospωt ` ϕ 0 q cospψ 0 q a cospωtq conduit à ϕ 0 0 et a y 0 cospψ 0 q. a deuxième condition yp, tq 0 donne la relation y 0 cospωtq cospk ` ψ 0 q 0. Si on exclut la solution uniformément nulle y 0 0, alors cospk ` ψ 0 q 0 ce qui implique k ` ψ 0 π{2. On choisit ψ 0 π{2 k car cospkx k π{2q sinpkx kq. On peut alors écrire la solution ypx, tq soit en simplifiant a a cospωtq sinpkx kq cosp π{2 kq ypx, tq cospωtq sinpkpx qq (28) sinp kq a cospωtq sinpkp xqq (29) sinpkq a solution diverge pour sinpkq 0, ce qui met en évidence un phénomène de résonance. Ce phénomène se produit pour k n nπ, c est à dire k n nπ et ω n ncπ c est à dire pour des fréquences correspondant aux modes propres de la corde libre. Remarque a divergence n est jamais atteinte, puisque des processus dissipatifs interviennent. C est heureux, puisque notre étude se borne aux petites oscillations qui permettent en retour d obtenir une équation linéaire. (30) 8